非马尔可夫BSDE的密度分析及其在生物学和生物学中的应用

经典的定价问题在于找到一个套期保值策略Z和一个价格Y，使得代理人的最终财富为ξ。[17]表明，当S是几何布朗运动DYT=（rtYt+θtZt）dt+ZtdWt，YT=ξ时，这个定价问题可以简化为求解以下随机线性BSDE。（7.1）更一般地说，我们设置了以下假设，这扩大了本研究的可能应用范围，让资产S，对于任何FT可测量的平方可积随机变量ξ，定价问题可以简化为研究BSDE（7.1），其中过程θ取决于S的动态。备注7.1。在这句话中，我们提供了两个经典的例子，说明过程满足之前的假设。（aB）假设资产S是一个算术布朗运动，其动力学常数为：∈ R、 其中b和σ是F-可预测过程，σt>0，P-a、 s。。给定一个FT可测平方可积随机变量ξ，利用自融资性质，可以很容易地证明相应的定价问题可以简化为求解θ=b的BSDE（7.1）-rσ。在这种情况下，过程Y提供问题的值，过程z/σ给出在时间t拥有的资产的最佳数量，以解决定价问题。（gB）假设资产的动态S由DST=btStdt+σtStdWt给出，S=x∈ R、 其中b和σ是F-可预测过程，σt>0，P-a、 s.给定一个FT可测平方可积随机变量ξ，在[17]中表明，相应的pricingproblem可以简化为求解θ=b的BSDE（7.1）-rσ。在这种情况下，过程Y提供了问题的价值，过程Z/σ给出了投资于风险资产以解决定价问题的最佳资金量。大多数模型都假设r是有界的，以简化研究。

然而，正如在[16]中所注意到的，关于短期利率r有界性的假设在市场中很少成立。在这一节中，我们研究了（7.1）解的各分量定律的密度的存在性。在该模型中，假设（A）和（A）（i）见第3节。4对于任何p>0，EhepRTrsdsi<+∞ 和R·θtdWt是BMO鞅。因此，我们有以下lemmaLemma 7.1。假设（H1）成立，并且对于任何p>0，E[|ξ| p]<+∞. 然后，BSDE（7.1）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。此外，如果ξ≥ 0，P- a、 s.（分别为ξ）≤ 0，P- a、 那么对于任何t∈ [0，T]，Yt≥ 0，P- a、 s.（分别为ξ）≤ 0，P- a、 证据。中唯一解（Y，Z）存在性的证明∈ Sp×Hp是定理3.5的推论。使用线性化，我们得到yt=EQthξe-RTtrsdsi，其中dqdp:=e-RTθsdWs-RT |θs | ds。因此，我们注意到，Y过程的符号由ξ.7.2应用于Vasìcek ModelLet a，b的符号给出≥ 0和$>0。假设市场利率r是以下SDE的解。drt=a（b）- rt）dt+dWt美元，r∈ R.（7.2）引理7.2。设r:=（rt）t∈[0，T]是SDE（7.2）的解决方案。然后，对于任何p>1，q≥ 1和任何t∈ [0，T]，rt∈ Dq，p.此外，对于任何0≤ U≤ t，Durt=$≥ 0，P- a、 对于任何q>1，Dqrt=0，P- a、 s。。证据设r:=（rt）t∈[0，T]是SDE（7.2）的解决方案。请注意，rtis Malliavin是可微分的（参见[35，定理2.2.1]）。此外，作为一个Ornstein-Uhlenbeck过程，Rtc可以被明确计算为yrt=re-at+b（1）- E-at）+e美元-atZteasdWs。（7.3）取Malliavin导数，直接得到任何rt的导数∈ Dq，p对于任何p>1，q≥ 1.除此之外，任何0≤ U≤ T≤ T，Durt=$≥ 0，P- a、 美国。

对于任何q>1，Dqrt=0，P- a、 由于我们的目标是应用布劳和赫希准则（见定理2.3），我们首先证明BSDE（7.1）的解的成分Yt和Zt是Malliavin可微分的。在本节中，我们将在假设（Θ）下工作（见第5.1节），因为我们的目标是应用第5.1节的结果来调查Yt和Zt组分的密度存在性。尽管这一假设确实有局限性，但正如备注4.1所解释的，我们无法做得更好。然而，对于以下关于YT和Zt的Malliavin差异性的结果，考虑到假设（A）成立，可以做出较弱的假设（Θ）。提议7.1。让ξ∈ D1，p对于任何p>1。设r是SDE（7.2）和θ满足假设（Θ）的唯一解。然后，BSDE（7.6）允许一个唯一的解决方案（Y，Z）∈ 对于任何p>1的情况，Sp×Hp。此外，对于任何p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1，潘兹∈ L（[t，t]；D1，p）。证据通过注意到假设（A）、（A）、（DA）和（DA）成立，并应用定理3.6，我们推断BSDE（7.6）允许唯一解（Y，Z）∈ 对于任何p>1，如果t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）表示任何p>1。在这个特殊的模型中，如第5节所述，我们现在提供了ξ及其Malliavin导数的条件，以确保BSDE（7.1）解的Yt分量定律和Zt分量定律的密度存在。定理7.1。让ξ∈ D1，p对于任何p>1。假设（Θ）成立，并且以下两个假设中的一个满足 Ohm 使得P（A）>0（ξ+）≥ 0，Duξ≤ 0，λ（du）- a、 e.，Duξ<0，λ（Du）- a、 e.在（ξ）上-) ξ ≤ 0，Duξ≥ 0，λ（du）- a、 e.，Duξ>0，λ（Du）- a、 e。

在A上，那么对于任何t∈ （0，T），Ytis定律对于Lebesgue测度是绝对连续的∈ D2，p对于任何p>1，并假设除了（ξ+）thatDv（Duξ）≥ 0, (λ  λ） （杜，dv）- a、 e.，Dv（Duξ）>0，（λ） λ） （杜，dv）- a、 e.在（7.4）或（ξ）之外-) thatDv（Duξ）≤ 0, (λ  λ） （杜，dv）- a、 e.，Dv（Duξ）<0，（λ） λ） （杜，dv）- a、 e.在a上，（7.5），那么Zt定律有一个关于勒贝格测度的密度。证据我们用（Y，Z）表示BSDE（7.1）中任意p>1的唯一解，对于任意p>1和t∈ [0，T]，Yt∈ D1和Z∈ L（[t，t]；D1，p）使用命题7。1.假设（ξ+）为真。然后，根据定理4.5以及引理7.1和7.2，对于任何t∈ （0，T]关于勒贝格测度的密度定律。回想一下，在假设（ξ+）下，根据备注4.2，我们对任何T∈ （0，T），杜伊特≤ 0，λ（du） P- a、 e.此外，假设条件（7.4）成立，并应用定理5.1和f（t，Yt）：=-rtYt，我们推导出（DZ+）（DY-) 和（f）-) 持有然后，对于任何0，DvZt>0≤ v<t≤ 几乎可以肯定。因此，根据定理2.3，对于任何t，Zt定律都有一个关于Lebesgue测度的密度∈ （0，T.）（ξ）下的证明-) 类似于定理5.1的结果，通过展示假设（DZ-), （DY+）和（f）-) 持有7.2.1示例1：亚式期权在本节中，我们研究亚式期权的定价问题，即负债ξ是风险资产S平均值的函数。我们假设该假设成立，因此定价问题被简化，以解决有效的非马尔可夫BSDEYt=ξ-ZTt（rsYs+θsZs）ds-ztzsdws，ξ=fZTg（Ws）ds！，（7.6）式中，f，g是从R到R的两个连续映射。命题7.2。假设（Θ）保持不变。设r为SDE（7.2）的唯一解决方案。此外，假设f，g是两次可微λ（dx）-a.e。

以下假设之一满足（A1+（i）f≥ 0，f≥ 0，克≤ 在勒贝格测度为正的集合a上，f>0，g<0，（ii）f“≥ 0，克≥ 0，并且在A（A2+（i）f上f>0或g>0≥ 0，f≤ 0，克≥ 在勒贝格测度为正的集合a上，f<0，g>0，（ii）f“≥ 0，克≤ 0，且A（A1）上的f>0或g<0-)（i） f≤ 0，f≥ 0，克≥ 0和f>0，g>0在勒贝格测度为正的集合a上，（ii）f“≤ 0，克≤ 0，且A上的f<0或g<0。（A2-)（i） f≤ 0，f≤ 0，克≤ 0和f<0，g<0在Lebesgue（ii）为正的集合a上≤ 0，克≥ 然后，通过表示（Y，Z）BSDE（7.6）的唯一解，对于任何t∈ （0，T]Yt定律和Zt定律对于Lebesgue measure.Proof都是绝对连续的。注意，对于任何0≤ U≤ 我们有duξ=fZTg（Ws）ds！ZTug（Ws）ds，以及任何0≤ 五、≤ 我们有dV（Duξ）=fZTg（Ws）ds！ZTug（Ws）dsZTvg（Ws）ds+fZTg（Ws）ds！ZTu∧vg（Ws）ds。因此，通过注意假设（A1+）（i）或（A2+）（i）（分别为假设（A1-)（i） 或（A2）-) （i） ）确保（ξ+）和（ξ-)) 如果是真的，我们从上面第7.1条的第一部分推断，对于任何t∈ （0，T）。此外，如果假设（A1+）（ii）或（A2+）（ii）（分别假设（A1-) （ii）或（A2）-) （ii）保持，则条件（7.4）满足（分别为（7.5））。应用定理7.1，我们推导出YT和ZT关于勒贝格测度的绝对连续律。7.2.2示例2：回溯选项在本节中，我们旨在将定理7.1应用于回溯选项。假设为真。设置M:=（Mt）t∈[0，T]，其中Mt=sups∈[0，t]Ws。下面的引理是[21，引理1.1]，[24，备注8.16和问题8.17]的直接结果。引理7.3。Mt公司∈ D1、2和DrMt=1r≤τt，其中τ几乎肯定是唯一的，由Wτt=Mt定义。

更准确地说，对于任何0≤ s≤ t、 P（τt）≤ s） =π弧长。我们考虑非马尔可夫BSDEYt=ξ-ZTt（rsYs+θsZs）ds-ZTtZsdWs，ξ=f（MT），（7.7），其中f是从R到R的连续映射。我们有以下命题，这是引理7.3和定理4.5的结果。提议7.3。假设Y是BSDE（7.7）解决方案的第一个组成部分，因此对于任何t∈ （0，T），如果f是可微分的λ（dx）-a.e.，并且满足以下两个假设之一（lb+）f≥ 0和f≤ 在勒贝格测度为正的集合上（lb-) F≤ 0和f≥ 在一个勒贝格测度为正的集合上，如果f>0，则yti定律相对于勒贝格测度是绝对连续的。备注7.2。因为ξ：=mt不是两次Malliavin可微分的（见[21]），即ξ不属于D2，pwhatp≥ 1，我们不能复制命题7.2的证明来研究Zt的密度存在性问题。感谢作者感谢Dylan Possama"i和Anthony Réveillac在本文写作过程中的对话和宝贵建议。作者感谢法兰西地区的财政支持。参考文献[1]O.Aboura和S.Bourguin。一维反向SDE解的密度估计。潜力分析，38（2）：573–587，2013。[2] S.Ankirchner、P.Imkeller和G.Dos Reis。具有二次增长的BSDE的经典和变分可微性。电子J.Probab，12（53）：1418-14532007。[3] F.安东内利和A.科哈苏·希加。一维后向SDE的密度。潜力分析，22（3）：263-2872005。[4] 本德和科尔曼。具有随机Lipschitz条件的BSDE。康斯坦茨大学，法库特·弗尔数学与信息，2000年。[5] 吉咪。铋。最优随机控制中的共轭凸函数。数学分析和应用杂志，44（2）：384-4041973。[6] B.布查德和N.图兹。

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