Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

一些简单的计算表明AT（+），G+T，T=在（+）PVP、 ^G，T.在[22]中，Shah et Bertsimas也利用了相似性缩减（2.5）。我们要指出的是，杨和戴没有在他们的产品中使用这种技术：因此，他们对pricingis问题的解决更加复杂，计算成本也更高。根据GMWB-CF合同，相似性约简不能直接应用。事实上，我们可以证明ηV（A，B，G，t）=V（ηA，ηB，ηG，t）（2.6），但在这种情况下，我们还必须对保证提款量G进行缩放，因此减少问题维度是没有用的。3基金的随机模型为了理解随机波动性和随机利率对此类长期合约的不同影响，我们根据两种模型对GMWB VA进行定价：提供随机波动性的赫斯顿模型和提供随机利率的布莱克-斯科尔斯-赫尔-怀特模型。正如我们之前所说，流程S代表驱动产品账户价值的基础资金。3.1赫斯顿模型赫斯顿模型[15]是金融领域最为人所知和使用的模型之一，用于描述标的资产和标的资产本身的波动性演变。为了确定符号，我们报告了其动力学：（dSt=rStdt）+√vtStdZStS=\'S，dvt=k（θ- vt）dt+ω√vtdZvtv=\'v，（3.1），其中zs和zv是布朗运动，dZSt，Zvt= ρdt。3.2 Black-Scholes-Hull-White模型Hull-White模型[16]是历史上最重要的利率模型之一，目前常用于风险管理目的。HW模型的重要优点是，存在计算债券、资产净值和互换期权价格的封闭公式。

为了确定符号，我们报告了BS HW模型的动力学：（dSt=rtStdt+σStdZStS=\'S，drt=k（θt- rt）dt+ωdZrtr=`r，其中zs和zr是布朗运动，dZSt，Zrt= ρdt。过程r是一个广义的Ornstein-Uhlenbeck（以下简称OU）过程：这里θ不是常数，而是一个确定性函数，它完全由零息债券（ZCB）的市场价值通过校准确定（见Brigo和Mercurio[8]）：在这种情况下，ZCB的理论价格与市场价格完全匹配。设PM（0，T）表示到期日T在时间0时ZCB的市场价格。然后，市场即时远期利率由Fm（0，T）=- ln PM（0，T）T.众所周知，短速率过程r可以写成rt=ωXt+β（T），其中X是dxt=-kXtdt+dZrt，X=0，β（t）是一个函数β（t）=fM（0，t）+ω2k（1）- 经验(-kt）。然后，BS HW模型由dSt=rtStdt+σStdZStS=\'S，dXt=-kXtdt+dZrtX=0，rt=ωXt+β（t）。（3.2）一种特殊情况称为FL曲线。在这种情况下，我们假设PM（t，t）=e-\'-r（T）-t） fM（0，t）=r，然后β（t）=r+ω2k（1- 经验(-和θt=\'r+ω2k（1）- 经验(-2kt）。工艺VtNode（3,2）时间tj（3,2）阳极（n，j）j=00j=01j=12j=23j=44工艺XtNode（n，j）节点（3,8）时间tj（3,8）Dj（3,8）Bj（3,8）Aj（3,8）CFigure 4.1：赫斯顿和赫尔白模型的树。4定价的数值方法本节介绍四种定价方法：混合蒙特卡罗方法、标准蒙特卡罗方法、混合偏微分方程方法和ADI偏微分方程方法。我们记得，我们的目标是确定αg的公允价值：正是费用使保单的初始价值等于初始保费。为了实现这一目标，我们对策略进行定价（使用以下程序之一），然后使用割线法接近αg的正确值。

因此，主要目标是能够找到给定值αg:V（a，B，0）（αg）的初始值。我们注意到，我们想从保险公司的角度计算保单的价值：管理费被视为现金流出，如果我们假设保单持有人遵循退出策略，我们认为对保险公司来说最糟糕的策略。4.1混合蒙特卡罗方法GMWB策略的值可以通过一组蒙特卡罗模拟来计算。这一过程分为两个步骤：场景生成（产品生命周期内潜在价值的采样），以及产品在场景中的投影。根据我们获取场景的方式，我们区分了两种蒙特卡罗模型：混合MC（HMC）和标准MC（SMC）。Briani等人[7]介绍了混合MC方法。这是一种为不同模型生成MCP场景的简单而有效的方法。这种方法被称为“混合”，因为它结合了树和MC方法。首先，需要建立一个简单的树：这可以根据Appelloni等人[3]或我们在[13]中对LWB所做的那样来完成。然后，使用伯努利随机变量向量，我们从根到树，描述波动性或利率的场景。使用欧拉格式可以很容易地获得每个时间步的基础值。4.1.1树在本小节中，我们介绍了用于构建波动率或利率树的要点：它们是四项树的样本，用于匹配随机过程的前3个矩。根据Appelloni等人[3]或Nelson和Ramaswamy[20]的说法，也可以建造其他树木，但我们更喜欢我们的四元树，因为它们更能保证长期成熟时收敛到准确的价格。

这些树的示例如图4.1所示。我们假设定义一个时间范围[0，T]，一个N>0的数字，我们定义h=T/N。我们表示“G（N，j）”树级别N和位置j的节点的值。赫斯顿模型波动率的赫斯顿过程（3.1）没有常数方差，也不是高斯分布。我们考虑由平方根得到的过程：√vt=4kθ -√及物动词- ω√vtdt+ωdZt。我们用方差ωdt的高斯过程来近似它。这种近似有助于定义马尔可夫链的状态网格空间：受[20]的启发，我们定义了jn=max0楼1.5n-√vω√H,我们设置v（n，j）=max0，√v+（j+jn）- 1.5n）ω√H对于j=0，3n- jn。由于jn而产生的移位有助于拒绝许多值等于零的节点：如果jn>0，则“v（n，0）=0和“v（n，1）>0。我们要指出的是，这个过程“VT”接近VT，而不是VT√vt：矩匹配是根据过程vt的矩进行的。我们现在确定n和j的值。离散过程v可以从一个节点跳到另一个节点，如阿马尔科夫链。我们现在展示如何找到可能即将到来的节点。Heston过程的前三个时刻可以在Alfonsi[1]：ψ（h）=（1）中找到-E-kh）/k，M=E[vt+h | vt=v]=ve-kh+θkψ（h），M=Eh（vt+h）|vt=vi=M+ωψ（h）θkψ（h）/2+ve-kh,M=Eh（vt+h）|vt=vi=MM+ωψ（h）2ve-2kh+ψ（h）kθ+ω3ve-kh+θkψ（h）.然后，我们可以像一般情况一样继续。无论如何，我们使用的网格是基于一个近似值：所以求解线性系统得到的概率可能不是正的。如果我们得到一个给定节点的负转移概率，我们尝试另一个即将出现的节点组合，用一个（或两个）靠近它们的节点替换一个（或两个）节点a、B、C、D。节点A或C可以被定义为大于C的第一个节点的节点E替换，节点B或D可以被定义为节点D之前最小的节点F替换。

这就产生了9种需要测试的组合。如果起始节点很小，且节点D验证jD=jn，则无法进行最后一次更改，因为将没有F节点。在这种情况下，我们允许节点D替换为节点E：见图4.2。如果这些尝试没有给出积极的结果（负概率），我们就放弃尝试匹配前三个时刻，我们满足于匹配前两个时刻的近似值，如[20]，从而确保弱收敛。在这种情况下，我们只使用节点A、B、C、D：我们定义了=u- Gn+1，jBGn+1，jA- Gn+1，jB，pBA=1- pAB，pCD=u- Gn+1，jDGn+1，jC- Gn+1，jD，pDC=1- pCD，pA=pAB，pB=pBA，pC=pCD，pD=pDC。可以证明，该变量的第一时刻等于M，等于h→ 0如[20]中所证明的，二阶矩接近M，确保收敛。在我们所有的数值测试中，最后一个选项（只匹配两个时刻）从来没有必要：改变节点，所有时刻都匹配正概率。Daecffigure 4.2：用于在Heston模型树中获得正概率的可能组合。红点对应于使用的节点。（3.2）中的Hull-White模型的过程X是高斯分布的，这个特性简化了树的构造。如Ostrovski[21]所示，变量Xtand'tsXydy是具有已知均值和方差的二元正态分布条件变量。我们定义（n，j）=J-3nr1- 经验(-2kh）2k，n=0，N和j=0，3n。让我们定义一个节点x（n，j）。

我们定义=exp(-kh），K=r1- 经验(-2kh）2k，M=X（n，j）H，jA=ceilMK+3（n+1）, XA=X（n+1，jA）。跃迁概率由pa=（XA）给出-M） 2KK+（K+M）- XA）, pB=（K+M）-XA）2KK+（M）- XA）,pC=（K+M）-XA）6K2K+（K+M）- XA）, pD=（XA）-M） 6K2K+（米）- XA）.4.1.2情景生成波动过程和利率过程的生成方式类似：我们从树的节点（0，0）开始，根据离散随机变量和节点概率，移动到下一个节点，依此类推。假设R是一个离散的随机变量，可以假设a、B、C、d的值，概率为pA、pB、pC、pD：在每个节点对这样一个变量进行采样，我们得到每个时间步的过程值。我们为这两个模型区分了两种情况。在Heston模型中，我们通过离散过程来近似[0，T]中的耦合（St，vt）“Skt、 “vkTk=0，。。。，T/t、 与\'S，\'v= （S，v）。对于每种情况，我们都会产生波动性。让N~ N（0，1）和B~ B（0.5）。我们推导出‘St’的值+tby’St+t=\'StexphR-ρσkθt+ρσk-“vt+t+？-vtt+ρσ（\'vt+T- \'vt）+p（1）- ρ) t“vtni如果B=0，\'StexphR-ρσkθt+ρσk-“vt+t+？-vtt+ρσ（\'vt+T- \'vt）+p（1）- ρ) t\'vt+tNiif B=1。根据（3.1），我们使用正态变量N来生成S的高斯增量，使用伯努利变量B来分割与赫斯顿过程相关的算子。该方案（无分裂）出现在Briani等人[7]中，分裂方法出现在Alfonsi[1]中。在Black-Scholes-Hull-White模型中，我们通过离散过程来近似[0，T]中的耦合（St，Xt）“Skt、 \'\'XkTk=0，。。。，T/t、 与\'S，\'X= （S，0），我们通过`rt=ωXt+β（t）来推导利率。让N~ N（0，1）。我们推导出‘St’的值+tby’St+t=\'Stexp“rtt+-rt-σt+σ\'Xt+t+-Xt（kT- 1)ρ +√t′ρN.4.1.3投影我们已经生成了场景集S={sk，k=1。

，ns}，我们将保单投射到所有的场景中：这意味着我们将合同的初始价值VS计算为根据每个场景确定的贴现现金流之和∈ 然后，合同V的初始值可以近似为所有情况下初始值的平均值：V≈nsXk=1Vskns。这个计算取决于我们是否采取了优化策略。在这种情况下，PH值的策略是固定的。We setG=Pm（T- T） 。对于GMWB-CF产品，基本收益Bt的价值是确定的：Bt(-)i=P- G（i）- 1） 和Bt（+）i=Bt(-)我-G.我们可以只写Vs=Vs（A，t）来表示GMWB的值，该值在时间t时等于toA。这个事实将问题维度设置为2。在这种情况下，GMWB-CF和GMWB-YD是同一种产品。对于每种情况，我们首先计算所有ti的（+）If值：AT=PAt(-)i=At（+）i-1斯蒂斯蒂斯-1e-αtottAt（+）i=最大值0，在(-)我- G.然后我们开始在（+），T= 在（+）；对于所有的人在（+）i，ti处= E-\'ti+1tirsdhvs在（+）i+1，ti+1处+ Gi，最后是Vs（AT，T）=e-`tTrsdshVs在（+），t+ 大兵。如果T=0，则这是根据场景s的策略初始值。否则，如果我们是延迟产品（即T>0），我们使用相似性缩减来获得vs（A，0）=e-\'TrsdsVs（P，T）·最大值P、 STe-α-托特P.最佳提取最佳提取是动态提取的一种情况，仅适用于GMWB-CF产品。在他们的文章中，Chen和Forsyth假设PH有权进行最佳取款，即在每个活动时间选择取款多少。在这种情况下，我们假设在每个事件时间，PH值可以提取正常量的一小部分。为了在这种情况下定价，我们假设PHH选择Withat的值会导致保险公司面临最糟糕的套期保值情况。

在这种情况下，wedenote V（A，B，t）是状态参数为A，B:V（A，B，t）=E[Vs（A，B，t）]的一般策略在时间t的预期值。因此，我们假设PH选择Wisuch thatWi=argmaxwi∈0，英国电信(-)我五、最大值在(-)我- wi，0, 英国电信(-)我- wi，ti+ wi-fi。这个期望值可以用Longstaff-Schwartz方法计算：1。模拟N个随机场景，并将策略定价到这些场景中。2.对于i=N到i=0（从tN=Tto t=t=0）：（a）对于每种情况，s计算VsAt（+）i，Bt（+）i，ti作为未来贴现现金流的总和。（b） 使用最小二乘投影到函数空间（通常是多项式）近似函数V（A，b，ti）（如果ti>0）。（c） 对于每种情况，找到最佳取款Wi（如果ti>0）。（d） 根据τ=titoτ=t重新计算即将到来的状态变量，假设PH为Wτ选择了最佳值（如果ti>0）。用初始值{Vs（P，P，0），s的平均值来近似V（P，P，0）∈ S} 。寻找这类产品的最佳提取是一个目的。用多项式逼近函数V（A，B，t）是困难的：这是因为当计算值Atis接近Bt时，该函数是非常弯曲的，否则它是非常直的。我们以两种不同的方式开发了投影算法，以提高计算时间或收敛到正确的值。我们称快速算法为“完全回归”，精确算法为“直线回归”。完全回归在这种情况下，每个事件时间Ti的回归使用两个三变量多项式完成：qopti（A，B，u）和Qdwti（A，B，u），其中在BS HW模型中u是r，在Heston模型中是v。这里最重要的一点是o创建一个由常数点G=a×B={（ak，bh），0组成的网格≤ K≤ K、 0≤ H≤ H} 作为初始值，使用随机场景区分夫妇（A，B）。

这个网格让我们能够确保在每个事件时间，初始值集都是均匀分布的，并且对多项式回归有用。在我们的测试中，我们使用B作为从0到P的切比雪夫节点集，使用a作为从0到3P的均匀节点集。参见图4.3.o将空间分成两个区域U={（a，b）|a≥ b} D={（a，b）|a<b}并使用qopti（Ati，Btti，uti）对第一组进行回归，使用Qdwti（Ati，Bti，uti）对第二组进行回归使用移位和缩放技术来改进回归如前所述，最后一个事件时间的最佳退出时间ti=Tis始终等于minG、 英国电信(-).o 为了找到提取量Wi的最佳值，数值试验证明，如果G精确除以p，然后在G的倍数中搜索就足够了。这里有一个伪代码：1全回归（{2 int-ETs=T2*WD_率；3场景生成（{u-generation_-step（））；4前进（{u-initial_-step（））；5（int-ti=ETs-1；ti>0；ti-）{6后退（{u-step_-GMWB（ti）；7最小二乘（{u-step_-GMWB（ti）；8前进（{Dynamic_-step_-step_-GMWB）（ti）；9}10后退（{GMWB）（0）；11}我们使用的函数如下：o场景_生成_步骤（）。生成场景：S和v或r前进\\初始\\步骤（）。对于所有场景，选择网格G的一个节点（a，b）（覆盖所有网格的变化），并设置巴斯蒂= （a，b）对于所有ti.o后退_步_GMWB（ti）。对于所有情况，计算保单价值VSTIA，将事件时间TIA作为贴现未来现金流的总和最小平方步GMWB（ti）。执行多项式回归。使用值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qupti（A、B、u），使Ati≥ Bti。使用值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qdwti（A、B、u），以便Ati≤ Bti.o前进_动态_步骤_GMWB（ti）。

将前进_初始_步函数规定的Atia和Btias的值保持不变，在所有事件时间tjafterti计算策略的状态参数，每次使用最佳退出。当我们后退和tj时≥ ti，我们可以使用在前面步骤中计算的多项式Quptj（A，B，u）和Qdwtj（A，B，u）来确定最佳提取。直线回归在这种情况下，每个事件时间ti的回归使用3个多项式完成，每个基本收益B和事件时间ti的值有2个变量：quti，B（A，u），Qmdti，B（A，u）和Qdwti，B（A，u），其中在BS HW模型中u为r，在Heston模型中为v。这些多项式都应该具有相同的d阶。这里最重要的一点是o创建一个由常数点G=a×B={（ak，bl），0组成的网格≤ K≤ K、 0≤ L≤ 五十} 作为初始值，使用随机场景区分夫妇（A，B）。这个网格让我们能够确保在每个事件时间，初始值集都是均匀分布的，并且对多项式回归有用。在我们的测试中，我们使用B作为从0到P的统一节点集，L=P/G:B={0，G，2G，…，P}。布景更复杂。它包含从Amin=0到Amax=3P的点；我们还尝试了Amax的其他值，3P给出了最好的结果。对于每一级B∈ B、 我们将区间[0，3P]划分为3个子集：DWB=0，B, MDB=B、 BU-PB=B、 3P. 在每个子集中，我们定义了d+1切比雪夫节点。这些节点定义了网格。