Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

见图4.3对于每个B级，通过回归获得多项式quti、B（A，u）、Qmdti、B（A，u）和Qdwti、B（A，u），使用集合DWB、M Db和u PB中节点的策略状态参数使用移位和缩放技术来改进回归如前所述，最后一个事件时间ti=T的最佳退出总是等于minG、 B-T.o 为了找到取款金额Wti的最佳值，数值测试证明，如果G精确除以P，那么在G的倍数中搜索就足够了。这意味着，当我们搜索最佳取款时，B的可能值是B的值。图4.3：完全回归法和直线回归法中使用的网格，用于T=10的GMWB和年度取款。在第一张图中，两个区域都使用了紫色点。在第二张图中，对于每个B级别，灰点位于不同扇区的边界，它们是共享的。最后一种情况下多项式的阶数是4。这里是一个伪代码：1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。2.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和各方面的工作。1.1回归和5（5）5（5）5（5）5）为（INTL=0；l=0；l=0；l<1；l<1；l+1；l<1；l+1；l+1；l+1（6）6）6（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（6）为（部门（部门）为（部门）为（部门）为（部门（部门（部门（部门）l=l=l=l=l=l=DW=DW=DW=DW=DW=DW=DW=DW，l=DW，l u步骤（）；13后退步（0）；14}我们使用的函数如下：o场景_生成_步骤（）。生成场景：S和v或r前进动力步（ti，l，DW）。对于所有场景，设置Bti=bl=l·P/G，并在节点集DWBti中选择ATI，计算所有事件时间tjafter ti的策略状态参数，每次使用tj最佳退出。该功能也适用于M DBTIAN和U PBti扇区后退_步_GMWB（ti）。

对于所有情况，计算保单VSTIA在事件时间TIA的价值，即贴现未来现金流的总和最小平方步（ti，l，DW）。执行多项式回归。使用使用的数值（Ati、Bti、uti、Vti）计算Qdwti，B（A、u）。该功能也适用于M DBTIAN和U PBti扇区最后一个前进动态步骤（）。对于所有场景，计算策略的状态参数，从t=0和A=B=P开始。本案涉及GMWB-YD产品。在他们的文章中，杨和戴假设博士有权在最佳情况下投降。在这种情况下，我们假设在每个事件时间ti∈ {t，…，tN}PH可以撤回合同金额，或完全放弃。正如我们之前所做的那样，相似性缩减让我们确定G的值。我们表示V（A，t）状态参数为A的一般策略在t时的预期值（相似性缩减让我们仅使用A作为变量）：V（A，t）=E[Vs（A，t）]。所以，我们假设PH在ti时投降*如果（1）- κ） 麦克斯在-我*- G、 0≥ 五、最大值在-我*- G、 0, T.期望值V可以用标准的Longsta ff-Schwartz方法计算：1。假设PH遵循静态方法，模拟N个随机场景，并将保单定价到这些场景中。2.对于ti=tNto ti=t：（a）使用最小二乘投影到函数空间（通常是多项式）来近似函数V（a，ti）。（b） 对于每种情况，评估Ti是否是良好的停止时间。3.在时间T使用相似性减少，包括账户价值重置。4.计算所有情况下初始值Vs（P，0）的平均值，以接近V（P，0）。4.2标准蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法与混合蒙特卡罗方法非常相似。唯一的区别是我们产生随机场景的方式。

投影阶段与混合蒙特卡罗阶段相同。4.2.1场景生成我们区分了两种模型的两种情况。Heston模型——在这种情况下，情景（基础和波动性）的生成一直在使用阿方西[1]中描述的三阶方案。Black-Scholes-Hull-White模型在这种情况下，场景（基础和利率）的生成是使用奥斯特罗夫斯基[21]中描述的精确方案完成的，为了整合基础和利率之间的相关性，进行了一些更改。4.3 PDE混合方法混合PDE方法不同于之前的方法。事实上，这是一种PDE定价方法，它基于Briani等人[6]，[7]对Heston和Hull White案例的分析。使用一棵树来区分波动率或利率，我们在两个树级别之间冻结这些值，并使用即将到来的节点数据的加权组合作为初始数据，为树的每个节点求解Black-Scholes偏微分方程。我们可以从模型、算法结构和定价三个方面恢复定价方法。我们开始描述事件时间之间的模型。4.3.1 Heston模型从所发现的Stin（3.1）的模型开始，我们称为¨ρ=p1- ρ，我们写出ZAt=ρZvt+’ρZAt，其中‘ZAt是一个与Zv无关的布朗运动。然后，（dAt=（r- αtot）Atdt+√vtAtρdZvt+’ρd’ZAtv=\'v，dvt=k（θ- vt）dt+ω√vtdZVtA=\'A，d“扎特，Zvt= 0，涵盖了两个事件时间之间的At行为，我们定义了processYEt=ln（At）-ρωvt，YE=ln（A）-ρωvThen，At=exp然而+ρωvt（4.1）anddYEt=R- αtot-及物动词-ρωk（θ）- （vt）dt+’ρ√vtdèZAt。这个过程很重要，因为它是一个与波动过程v不相关的过程，我们在[6]中介绍了它。

我们将使用它来定义一个PDE，并沿着树进行求解。我们定义了t、 然而= V（t，At）。如果，在一个小的时间延迟内[τ，τ+τ]，我们用“动态是比亚迪给出的”过程来近似这个过程=R- αtot-vτ-ρωk（θ）- vτ）dt+’ρ√vτd′ZAt。然后，^VHet、 “还没有验证以下PDE^VHet+R- αtot-vτ-ρωk（θ）- vτ）^VHe\'YEt+\'ρvτ^VHe“还没有- r^VHe=0。（4.2）4.3.2 Black-Scholes-Hull-White模型从发现的Stin（3.2）的模型开始，我们称之为¨ρ=p1- ρ，我们写出ZAt=ρZrt+’ρZAt，其中‘ZAt是一个与Zr无关的布朗运动。然后dAt=At（r）- αtot）dt+σAtρdZrt+′ρd′ZAtA=\'A，dXt=-kXtdt+dZrtX=0，rt=ωXt+β（t），d“扎特，Zrt= 0.我们定义了流程Yut=ln（At）- ρσXt，YU=ln（A），然后，At=exp（Yt+ρσXt）（4.3）和dyut=rt- αtot-σ+σρkXtdt+σ′ρd′ZAt。这个过程很重要，因为它是一个与均值回复过程X不相关的过程，我们在[6]中介绍了它。我们将使用它来定义一个PDE，并沿着树进行求解。我们定义了VHWt、 是的= V（t，At）。如果，在一个小的时间延迟内[τ，τ+τ] ，我们用过程来近似这个过程，动力学是比亚迪给出的=rτ- αtot-σ+σρkXτdt+σ′ρdZt，利率过程由rτ，然后，^VHWt、 “是的验证以下PDE^VHWt+rτ- αtot-σ+σρkXτ^VHW“是+”ρσ^VHW“是的- rτ^VHW=0。（4.4）4.3.3算法结构该算法的结构由树和PDE解算器组成。如Briani等人[6]，[7]所述，我们使用一棵树来区分产品生命周期中的波动性（或利率），并在树的每个节点上解决反向1D PDE冻结——波动性（或利率）。该树是根据第4.1.1节（四项树，匹配过程的前三个时刻）建立的，PDE是用有限差分法求解的。

我们必须解决事件时间之间的偏微分方程，在每个事件时间，我们将变化应用于状态，以重现事件的影响。我们注意到，我们求解偏微分方程只需要一个线性复杂度，因为我们必须用三对角矩阵求解线性系统。如[6]和[7]所述，计算成本较低。我们观察到XT和VT过程是均值回复。由于树的构建方式，树中有许多节点无法被近似马尔可夫链访问。因此，它们被访问的概率pn，jt值为0，并且它们对树根的值没有影响。没有理由对这些节点执行任何操作。因此，为了节省时间，我们只对pn，j>0的节点执行标准步骤（根据转移概率混合向量并向后求解PDE）。这种缩减技术减少了计算时间，并保留了方法的收敛性。[2]中使用了类似的方法。4.3.4 PricingWe区分了3种情况。静态情况GMWB-CF和GMWB-YD产品都有这种情况。问题维度为2:aboutGMWB CF，在每个事件时间，基本收益Btiis的值等于P-G·i，因此它不是一个问题变量；关于GMWB-YD相似性约简，将问题维度减少到2。对于树的每个节点，我们必须使用向上节点的数据的混合来求解一个偏微分方程：混合是根据转移概率来完成的。要求解的偏微分方程是（4.2）和（4.4）中的偏微分方程，其中[τ，τ+τ]表示两个树节点之间的时滞。变量r、X和v将使用实际节点的数据表示rt、XT和VT的冻结值。我们使用有限差分方法，使用等间距节点进行处理。

为了减少运行时间，我们只对最相关的节点这样做：这种切割技术在不影响结果质量的情况下大大减少了计算时间。然后，使用反变换（4.1）和（4.3），我们应用（2.3）或等效（2.4）中的事件时间动作。最佳取款这个案例是关于GMWB-CF产品的。这是最难处理的问题，因为问题的维度是3。我们求解的PDE与静态情况下的PDE相同，但这一次我们必须求解BTE的不同值，并在每个事件时间选择最佳值。数值测试表明，在G的倍数等于或小于基本收益的情况下搜索最佳取款就足够了。然后，我们决定解决所有Bt值均为G的倍数且小于初始溢价P的问题：B=0，B=G，Bt=2G。B=nG=P。然后，我们解决n个二维问题，而不是一个三维问题。这种方法类似于为MC方法定义的“直线回归”。最佳取款搜索是在允许取款中进行搜索，取款是G的倍数：W=0，W=G。W=mG=B。对于不在网格上的A值，V（A，B）的估计值是使用样条线进行的。0 AT0BT204060801000100 200 300 400 500图4.4：给定节点的PDE最优退出方案。在图4.4中，我们可以看到一个代表G=20的产品发生了什么的方案：例如，一个5年到期的GM，年提款率为P=100（G=20）。节点是指数分布的（对于Y进程是一致的），对于每个B值，我们添加一个表示a=0的节点（蓝色节点）。对于每个节点，我们首先根据转移概率混合即将到来的节点的数据向量。然后，我们从混合数据开始反向求解偏微分方程。

然后我们应用取款步骤：对于每个节点，我们考虑W=kG类型的可接受取款，并选择最大化EPH收益的值：现金流加保单价值。该研究如图所示（见黄色节点，对应于可能的取款）。最佳投降本案涉及GMWB-YD产品。这比最优取款要简单得多。事实上，PHC只能在按合同利率退出和完全放弃之间做出选择。事件发生时的退出步骤是将V（A，ti）替换为max[G+V（max（A- G、 0），ti）；G+（1）- κ） （A）- G） ]4.4 PDE ADI方法我们提出了一种具有替代方向隐式方案的PDE定价方法，该方法已成功用于欧洲金融产品（见[14]）和保险GLWB产品（见[13]）。该方法允许处理Heston模型和BS HW模型。该方法快速、准确。此外，它很容易考虑相似性降低和最优行为。对于这种方法，我们遵循了HPDE方法中考虑事件时间的相同原则。两个模型中需要求解的偏微分方程是vhet+V-AVHeAA+ωVVHeV+（r- αtot）AVHeA+ρωAV VHeAV+k（θ）- V）VHeV- rVHe=0（He）VHWt+σAVHWAA+ωVHWrr+（r- αtot）AVHWA+ρωAσVHWAr+k（θt）- r） VHWr- rVHW=0（HW）必须仔细选择多个数值参数。

我们必须为BS HW模型中的收益基数、账户价值、利率和赫斯顿模型中的波动率选择网格。我们选择使用[14]中描述的网格，参数saleft=0.8SAright=1.2SAmax=1000·T 2·Sand d=S/20，BS HW静态Heston静态HMC SMC HPDE APDE HMC SMC HPDE APDEA 4×9.2·101×1.7·10260×250×250×505 4×5.8·104×5.2·10270×250×250×505B 8×1.8·101×5.7·10420×500 40×400×85×1.2·108×1.2·10520×500 40×400×80C 12×6.3·101×2.9·10780×620×12×3.4·10850×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10×10.11.动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；动态的；vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv1.5·10×3266×1000 25×320×60D 16×3.5·10×4 1×3.5·10×4 360×2000 35×400×120 16×4.2·10×4 16×5.0·10×4 350×2000 40×500×90表1：BS HW模型和赫斯顿模型的配置参数，T=10和W F=1的GMWB-CF产品的静态和动态配置参数。对于变量A的网格，Rmax=0.8，对于BS HW模型中变量r的网格，c=Rand d=Rmax/400，Vmax=MIN（最大（100V，1），5），d=Vmax/500。对于Heston模型中变量V的网格。有些网格是均匀的或基于双曲变换的。此外，边界条件是完全未知的，因此有必要对其进行渐近研究。我们选择了齐次Neumann边界条件，我们选择了非常大的网格，以避免这种选择影响结果。我们只使用了道格拉斯方案，但其他方案可能在时间上有更好的收敛顺序。

因此，有许多可能改进ADI方案，但更容易的已经足以获得良好的结果。5数值结果在本节中，我们比较了第4节中使用的数值方法：混合蒙特卡罗（HMC）、标准蒙特卡罗（SMC）、混合偏微分方程（HPDE）和ADI偏微分方程（APDE）。特别是，我们比较了两种产品类型在静态和动态情况下的定价和计算。我们根据4种配置（A、B、C、D）选择了方法的参数，增加了步骤数量，因此每种配置中各种方法的计算时间都很接近。表1和表2中列出了4种配置，其中ADI PDE方法的符号为（每年时间步长×空间步长×体积步长），混合PDE方法的符号为（每年时间步长×空间步长），MC方法的符号为（每年时间步长×模拟次数）。在蒙特卡罗动力学情况下，我们还加载了近似多项式的阶数。选择这些值是为了使用普通计算机实现近似的运行时间：（A）30秒，（B）120秒，（C）480秒，（D）1920秒。为了减少运行时间，我们对所有方法使用越来越多的时间步进行割线迭代：表1和表2中的值是最后3次迭代使用的值。我们使用标准MC作为定价方法，两者都作为基准（BM）。关于基准测试，在静态情况下，我们使用了10次独立运行。在动态情况下，我们使用了10次独立运行；在每个子运行中，预期值都用4次多项式近似。对公平αG值的搜索是由割线法驱动的。

该方法的初始值为αg=0 bp和αg=200 bp。为了在蒙特卡罗方法中实现δ计算，我们在静态情况下使用1h冲击，在动态情况下使用1%冲击。BS HW静态Heston静态HMC SMC HPDE APDE HMC SMC HPDE APDEA 4×3.2·101×6.0·10130×250 10×245×50 4×2.3·104×2.0·10120×250×250×50B 8×6.4·101×2.3·10215×500 15×375×80 8×4.6·108×3.8·10220×500 15×380×80C 12×2.2·101×1.2·10415×1000×35×520×110×12×1.6·1012×1.3·10215×10×10×10×10×10.5×10×10×10.5×10×10.5×10.5×10×10.5×10.8×10×10.5×10.5×10.5×10.5×10.5×10.8×10×10.5×10.5×10.5×10.8×10.8×104.vvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvvv10×4425×1000 36×530×110D 16×1.8·10×4 1×1.8·10×4 480×2000 55×880×180 16×1.5·10×5 16×1.5·10×5 480×2000 55×890×180表2：BS HW模型和赫斯顿模型的配置参数，静态和动态对于GMWB-YD产品（T，T）=（10，25）5.1静态提取GMWB C在静态提取的情况下，我们假设PH值完全以保证的速率提取。静态测试1和2的灵感来自[9]：在他们的文章中，Chen和Forsyth根据Black-Scholes模型下的最优退出框架为GMWB合同定价。首先，我们根据不同的到期日和提款率对其产品进行定价，假设Black和Scholes模型中的静态提款，以在该模型中获得参考价格；我们使用标准蒙特卡罗方法和标准偏微分方程方法得到了α值。因为我们很容易得到简单Black-Scholes模型的正确值，所以我们加入了随机利率和随机波动率。