Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

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英文标题：
《Pricing and Hedging GMWB in the Heston and in the Black-Scholes with
  Stochastic Interest Rate Models》
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作者：
Ludovic Gouden\\`ege, Andrea Molent and Antonino Zanette
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Valuing Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) has attracted significant attention from both the academic field and real world financial markets. As remarked by Yang and Dai, the Black and Scholes framework seems to be inappropriate for such a long maturity products. Also Chen Vetzal and Forsyth in showed that the price of these products is very sensitive to interest rate and volatility parameters. We propose here to use a stochastic volatility model (Heston model) and a Black Scholes model with stochastic interest rate (Hull White model). For this purpose we present four numerical methods for pricing GMWB variables annuities: a hybrid tree-finite difference method and a Hybrid Monte Carlo method, an ADI finite difference scheme, and a Standard Monte Carlo method. These methods are used to determine the no-arbitrage fee for the most popular versions of the GMWB contract, and to calculate the Greeks used in hedging. Both constant withdrawal, optimal surrender and optimal withdrawal strategies are considered. Numerical results are presented which demonstrate the sensitivity of the no-arbitrage fee to economic, contractual and longevity assumptions.
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中文摘要：
对保证最低支取福利（GMWB）的估值已引起学术界和现实世界金融市场的极大关注。正如杨和戴所说，Black和Scholes框架似乎不适合这样一个长期成熟的产品。Chen Vetzal和Forsyth in还表明，这些产品的价格对利率和波动参数非常敏感。我们建议使用随机波动率模型（赫斯顿模型）和随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（赫尔-怀特模型）。为此，我们提出了四种GMWB变量年金定价的数值方法：混合树有限差分法和混合蒙特卡罗法、ADI有限差分格式和标准蒙特卡罗方法。这些方法用于确定最流行的GMWB合同版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的金额。考虑了持续撤退、最优投降和最优撤退策略。数值结果显示了无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

用随机利率模型Sludovic Goudenege对Heston和Black-Scholes的GMWB进行定价和套期保值*Andrea Molent+Antonino ZanetteAbstractValuation Guaranted Minimum Druch Benef（GMWB）吸引了学术界和现实金融市场的极大关注。正如Yang和Dai[17]所说，Blackand Scholes框架似乎不适合这样一个长期成熟的产品。[10]中的Chen Vetzaland Forsyth也表明，这些产品的价格对利率和波动性参数非常敏感。我们建议使用随机波动率模型（赫斯顿模型）和随机利率的布莱克-斯科尔斯模型（赫尔-怀特模型）。为此，我们提出了四种GMWB变量年金定价的数值方法：混合树-有限差分法和混合蒙特卡罗方法、有限差分方案和标准蒙特卡罗方法。这些方法用于确定最流行的GMWB合同版本的无套利费用，并计算套期保值中使用的价格。考虑了持续撤退、最优投降和最优撤退策略。数值结果显示了无套利费用对经济、合同和寿命假设的敏感性。关键词：可变年金，随机波动，随机利率，最优提取。*巴黎中央大学数学系——CNRS FR3487——卢多维奇。goudenege@math.cnrs.fr+迪姆斯，特里亚斯特大学-安德烈。molent@phd.units.it乌迪内大学经济统计科学研究所-安东尼诺。zanette@uniud.it1简介可变年金是有保险覆盖的投资合同。

近年来，由于其特殊的特点，它们成为许多投资者的吸引力来源：它们是能够保证长期最低回报的税收递延产品，并能利用有利的市场走势。文献中的模型以Black和Scholes模型对这些产品进行了分析，忽略了利率的可能变化和标的资产的波动性。2008年次贷危机之后，金融市场经受住了影响整个世界经济的动荡。从那时起，这些市场极其动荡。在多次失败之后，适用于不同发送器的不同利率之间的差距越来越大，关于无风险利率识别的讨论也在进行中。欧洲央行和美联储的利率逐渐下降，而主权债务利率则逐渐上升。在本文中，我们考虑保证最低提取福利（GMWB）年金。我们将注意力限制在一种简单的GMWB形式上，这种形式是通过向保险公司一次性付款发起的。然后一次性投资于风险资产，通常是共同基金。福利基金或担保账户余额最初设定为一次性付款金额。保单持有人（以下简称PH）有权提取固定金额，即使风险资产的实际投资降至零。提款期可以立即开始，也可以稍后开始：在这种情况下，收益基数和账户价值可以重置为其价值和固定价值之间的最大值。最后，PH在支付罚金后，可以提取超过合同规定金额的款项，包括完全放弃合同。

此处完全退保意味着PHH提取投资账户中剩余的全部金额，合同终止。在大多数情况下，全部或部分投降的惩罚在五到七年后降至零。在合同执行期间，PH的死亡可能会带来死亡福利：在这种情况下，PH的继承人将获得风险资产账户中的剩余金额。本担保的套期保值成本通过从风险资产中扣除一定比例的费用来确定。从保险的角度来看，这些产品被视为金融产品：这些产品被套期保值，就好像它们是纯粹的金融产品一样，而死亡风险则是使用largenumbers法则进行套期保值的。因此，对保险公司来说，快速为这些产品定价是非常重要的。此外，这些产品的期限很长，可以持续近25年。具有恒定利率和波动率的Black-Scholes模型似乎不适用于这些产品：这就是为什么我们在两个框架中介绍定价方法，建模随机波动率（Heston模型[15]）和随机利率（Hull-White模型[16]）。最近有几篇关于GMWB定价的文章。特别是，我们会记得陈和福赛斯[9]和陈和维·扎尔和福赛斯[10]。在第一篇论文中，作者使用脉冲随机控制公式对可变年金GMWB进行定价，假设允许PH连续或仅在周年纪念日提取资金。在第二部分中，作者使用相同的偏微分方程方法分析了几种产品和模型参数的影响。PDE的使用被证明是非常快速和准确的，我们将其作为我们工作的参考。关于GMWB的另一项研究工作是杨和戴的[17]：他们使用可变树来评估带有各种条款的GMWB合同。

杨岱的产品与陈福赛斯的产品略有不同：这就是为什么我们将两者区别对待的原因。我们还参考了Bacinello等人[4]：可变年金（包括GMWB）采用蒙特卡罗方法定价。假设PH的行为是半静态的，即持有人撤回合同价格或放弃合同。在本文中，我们对两种类型的GMWBs担保进行定价，并在Hestonl模型和Black-Scholes随机利率模型（BS-HW模型）中找到无套利费用。首先，我们处理静态退出策略：PH按照合同利率退出。然后，从套期保值者的最坏情况来看，假设PH遵循动态退出策略，我们为担保定价。我们还使用这些方法来计算对冲和风险管理的风险。为此，我们提出了四种数值方法：混合树有限差分方法和混合蒙特卡罗方法（两者均由Briani等人[6]提出）、有限差分格式（Haentjens和Hout[14]）和标准蒙特卡罗方法（Longsta ff-Schwartz最小二乘回归（Longsta ff和Schwartz[18]）。正如我们在[13]中所做的那样，这些方法已经在“保证终身提取收益”（GLWB）定价问题上得到了发展，但在这种情况下，问题维度可能会发生变化。事实上，GLWB定价问题的维度为2，而GMWB定价问题的维度可能为2或3。我们使用“无套利费”一词的意思是，这是维持复制投资组合所需的费用。Chen等人[9]和Belanger等人[5]对此类担保的复制投资组合进行了描述。本文的主要结果如下：o我们制定了无套利费用（即。

使用不同的定价方法在Heston模型和BS HW模型中维护复制套期保值组合的成本我们展示了随机波动率和随机利率对定价和计算的影响，以及GMWB费用对各种建模参数的敏感性我们使用不同的数值方法为GMWB合同定价我们给出了数值例子，证明了这些方法的收敛性。本文的结构如下：在第二节中，我们描述了合同的主要特征，如事件时间、撤销和处罚。在第3节中，我们简要回顾了随后使用的随机模型。在第4节中，我们介绍了数值方法，以及如何实现它们来解决GMWB合同定价问题。在第5节中，我们进行了数值测试，以显示它们的行为，并研究了无套利费用对经济和合同假设的敏感性。最后，在第6章中，我们给出了结论。2 GMWB合同在下文中，我们将参考陈和福赛斯[9]的论文以及杨和戴[17]的论文中描述的合同。我们将[9]中所述的合同称为GMWB-CF，将[17]中所述的合同称为GMWB-YD。现在，我们简要总结一下这两份合同的主要特点。2.1死亡率与陈和福赛斯[9]、米列夫斯基和索尔兹伯里[19]以及戴等人[11]的研究相似，我们将忽略以下方面的死亡率影响。我们计划在未来的工作中研究死亡率的影响。2.2合同状态参数t=0投保人向保险公司一次性支付保费P。溢价投资于一只基金，其价格由变量St表示。对于这两个合约，我们假设有一组离散时间{ti，i=1；在这些时候，可能会发生提款。

我们想ti=ti+1- tito为常数，表示为t、 我们也考虑t=t- t、 为了与杨岱的符号保持一致，我们将用t代替t（t=t）。然后，我们写T<T+t=t<t<··<tN=t；时间间隔[T，T]称为支付阶段。我们注意到，T.GMWB-CFC中没有提款。合同的状态参数为：o账户价值：At，A=P.o基本收益：Bt，B=P。这两个变量最初都设置为等于保费。我们确定T=0合同开始的时间，T=T最后一次可能撤回的时间。通常，首次提款发生在t=1年或t=0.5年。GMWB-YD合同的状态参数为：o账户价值：At，A=P.o保证最低支取：G.变量ATI最初设定为等于保费，而G直到T时支取期开始时才确定。对于这种类型的合同，我们不需要确定收益基数变量，因为在PH决定失效之前，其值是确定的。对于该产品，有两个时间参数，分别表示付款阶段的开始和结束。Yang和Dai使用整数值表示Tand和Tand在数值试验中，t=1 y。现在抽签发生在延迟时间，即t∈ [0，T[：在这段时间内，账户价值的演变如下一小节所述（见公式（2.2））。在Talso时，账户价值重置为（+）=maxhC（T），在(-)i、 G的值固定为asG=AT（+）m（T- T） ，（2.1），其中m表示每年的提款次数（通常m=1），C（T）是合同规定的值，可解释为总担保提款的下限。

该值指定为初始投资的回报，加总利率保证利率i，如下所示：C（T）=P（1+i）T。如果T=0，重置是微不足道的：AT（+）=a=P。2.3合同在延迟时间和事件时间之间的演变。我们将延迟时间称为从0到支付阶段开始的时间T:0≤ t<t。此时间集为空，除非用于延迟的GMWB-YD产品；其他产品的T=0，因此没有错误时间。我们首先考虑担保价值的演变，不包括事件时间ti。莱特∈ [0，T[ [0，T]或T∈ ]ti，ti+1[ [0，T]。正如我们之前所说，ST表示推动账户价值的基础基金。下一节将介绍STC的动态。账户价值遵循STD的相同动态，但某些费用可能会被连续减去：dAt=AtStdSt- αtotAtdt。（2.2）我们假设总年费由PH收取，并从投资账户中连续提取。这些费用包括共同基金管理费α和为担保（也称为附加条款）αg提供资金所收取的费用，因此αtot=αm+αg。保险公司用于对冲合同的唯一部分是来自αg的费用：另一部分费用必须视为PH提款时的流出资金。2.4事件时间和最终支付让G为提款保证金额：对于CF产品类型，此参数为合同输入，而对于YD类型，此值在时间t根据公式2.1确定。我们用ti时PH值的下降表示。

在[9]中，我们观察到Wii是一个控制变量。GMWB Cf第一个事件时间通常发生在时间t=t=1 y或t=t=0.5y；而且ti=i·t、 我们用在(-)i、 英国电信(-)i、 钛在tiandwith时间发生的事件时间之前的状态变量At（+）i，Bt（+）i，ti紧随其后的状态变量。我们区分了两种定价框架：在每次活动中，PH可以根据合同费率G（静态方法）或不同费率（动态方法）退出。如果Wi≤ G、 这样就不会受到惩罚；如果Wi>G，则存在成比例的罚款κ（Wi- G） 。无论如何，PH值的Wichosen值不能超过保证提取量Bt(-)i:一定是Wi∈h0，英国电信(-)二、正如我们之前所说，PH可能不会收到他（她）从账户价值中提取的所有资金。Letfi（W）：h0，英国电信(-)二、→ R是扩大PH收到的现金流量率的函数，因为在时间ti提取。然后，fi（Wi）=（Wiif-Wi）≤ GWi- κ（Wi）- G） 如果Wi>G，则新的状态变量为At（+）i，Bt（+）i，ti=最大值在(-)我- Wi，0, 英国电信(-)我- Wi，ti. （2.3）在时间t=t发生最后一次事件时间：PH值与前一次事件时间一样退出；然后，他（她）将收到最终的支付，该支付值为P=max（在（1-κ） 英国电信）。这种最终支付也适用于静态情况。可以证明，在Tis WN=min时的最佳提取G、 英国电信(-); 在这种情况下，撤回前合同的价值为在(-), 英国电信(-), T= 最大值在(-), (1 -κ） 英国电信(-)+ κminG、 英国电信(-).因此，本文简化了动态框架下最优退出的研究。我们注意到(-)i> 英国电信(-)在ti中，合同不能完全终止：如果PH以最大速率退出，则Wi=Bt(-)土地At（+）i，Bt（+）i，ti=在(-)我- 英国电信(-)i、 0，ti.

在这种情况下，由于B=0，PH将无法在以下事件时间内进行任何撤回，但他将收到最终付款F P=ATat时间T。GMWB-YD此类产品可延期或不延期。如果我们开始t=（t-T） /N，然后ti=T+t·i表示i=1，通常t=1 y。我们用在(-)i、 G(-), ti公司在tiandwith时间发生的事件时间之前的状态变量在（+）i，G（+），ti处紧随其后的状态变量。根据[17]，我们区分了两种定价框架：在每个事件时间，PH可以根据合同费率G（静态方法）或完全放弃（动态方法）退出。在第一种情况下，他（她）在T（T）之后的所有事件时间都收到G- t支付），状态变化由在（+）i，G（+），ti处=最大值0，在（+）i处- G(-), G(-), ti公司. （2.4）在时间t=t时，PH值接收到G加上最终支付：F P=At（+）。在第二种情况下，PH值在投降事件发生前接收G，等式（2.4）仍然成立。假设PH在事件发生时决定投降*; 然后在（+）i*, G、 钛*= （0,0,ti）*) .最终支付在时间ti支付*, 合同变得毫无价值：fp=G+（1）- κ） 麦克斯0，在(-)我*- G.2.5相似性降低GMWB-YD合同的一个重要特点是，该合同在规模化转换下表现良好，GLWB可变年金也是如此。如果V（A，G，t）表示合同的价值，则可以证明对于任何标量η>0ηV（A，G，t）=V（ηA，ηG，t）。（2.5）然后，我们只需将G=G的情况处理为固定值（例如，G=P/（T））- T） ，然后，选择η=^G/G，我们可以得到v（A，G，T）=G^GV^GGA，^G，T！，这意味着我们只能解决单个代表值G的定价问题。这有效地降低了问题的维度。重置A和G时，可以应用上一个属性。