Heston和Black Scholes的GMWB定价和套期保值

模型参数见表3，我们在Black-Scholes情况下得到的αG值见表4.5.1.1测试1：Black-Scholes-Hull-White模型中的静态GMWB-CF在该测试中，我们希望根据BS HW模型对GMWB-CF产品进行定价。我们使用与Black-Scholes模型相同的相应参数。模型参数如表5所示。结果见表6。这四种方法都表现良好，在配置D中，它们给出的结果与基准一致。HPDE被证明是最好的：它的所有配置都给出了与基准一致的结果。然后APDE和SMC以及HMC也给出了很好的结果。SMC的表现略好于HMC：第一种方法准确地模拟了基础价值和利率，因此足以模拟每个事件时间的价值。HMC与BS HW r过程的前三个时刻相匹配，但它并不完全产生其规律：因此每年增加步骤的数量是正确的。因此，对于给定的运行时，我们可以在HMC中模拟比SMC更少的场景：有效地，HMC的置信区间比SMC大。此外，当使用配置D时，SMC的性能超过基准。这两种PDE方法返回稳定的结果，并且它们通常以单调的方式收敛。关于数值结果，我们观察到αgv值随着成熟度的增加而减少，就像Black-Scholes的情况一样，随着退出频率的增加而略有增加。5.1.2测试2：赫斯顿模型中的静态GMWB-CF在该测试中，我们希望根据赫斯顿模型对GMWB-CF产品进行定价。模型参数见表7。

结果如表8所示。在这个测试中，MC方法有更多的困难；PDE方法的所有值都接近基准，而MC方法的一些值精度较低，但与基准兼容（BM值在MC置信区间内）。如果我们比较两种MC方法，在这种情况下，它们是等效的：HMC在使用很少的时间步长时被证明比SMC更快（我们可以在配置A中利用+11%的模拟），而SMC在高时间步长模拟中被证明略快，因为构建波动率树需要更多的时间(-8%的模拟（配置D）。HPDE显示bevery稳定（情况T=10，WF=2，αgdidn不会通过配置B-D改变），APDE表现良好（通常是单调收敛）。关于数值结果，我们观察到αgv值随着成熟度的增加而减少，就像Black-Scholes的情况一样，随着退出频率的增加而略有增加。5.1.3测试3：静态GMWB CFA的套期保值为了降低金融风险，保险公司必须对售出的VA进行套期保值：为了实现这一目标，他们必须计算产品的价值。在这项测试中，我们想展示如何使用不同的方法来计算主要参数。这可以通过变量上的小冲击的有限差异来实现。一般来说，PDE方法属于w.r.t.MC方法：价格通过有限差分计算，因此冲击下的价格已经计算出来。对于MC方法，这相当困难，因为定价必须重复改变输入。首先，我们计算测试1和测试2的乘积的基础希腊增量。在这种情况下，我们不想计算公平费用αg，我们随意地对其进行计算：见表9和表11。所选择的价值足以覆盖保险公司的成本，在实际案例中可能是合理的。

结果见表10（表中的所有值必须乘以10-4).在这次测试中，我们用所有的方法得到了非常准确的结果。无论如何，HPDE和APDE被证明是最好的：它们都给出了稳定而准确的结果；在本试验中，两种PDE方法是等效的。我们注意到，尽管在改变保单到期日时公平费用变化很大，但Deltach的价值变化要小得多。事实证明，与BSHW模型相比，Heston模型的增量计算稍微困难一些：参见置信区间。到期时间T 5、10、20年GMW G 100.0/（T·W F）提款频率W F 1或2每年初始保费100.0初始账户价值A100。S100。0初始基数b。

值B100。0 r 0.05退出惩罚κ0.10σ0.20管理费α表3:Chen和Forsyth在[9]中使用的参数。TW F=1 W F=2PDE MC PDE MC5 235.24 235.11±0.42 243.96 243.80±0.4210 92.41 92.28±0.30 94.62 94.84±0.3020 27.64 27.79±0.24 28.09 28.39±0.24表4：对于静态GMWB-CF，使用与[9]中相同的参数，α-金-布莱克-斯科尔斯模型的公平bp值。Sr曲线kωρσ100 0.05 f lat 1.0 0.2-表5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.0.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.1.62196.88±0.11D19.19.1966.67±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1961966.65 1966.65 1966.1966.6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.18 79.44±0.07 79.38 79.40 80.9010.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25.25±0.17±0.7 7 7.24.9024.9024.9024.9024.24.24.24.24.24.24.24.24.24.0 0 0 0 0 0.24.24.24.24.0 0 0 0 0 0 0 0 0.24.24.24.9024.9024.9024.24.24.9024.9024.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.24.24.9024.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24.24 20 25.18HMC SMC HPDE APDEA 31s 30 s 30 s 30 sB 121 s 121 s 120 s 118 sC 482 s 484 s 464 s 481 sD 1920 s 1899 s 1893 s 1909稳定6：测试1。在第一个表中，Black-Scholes-Hull-White车型的公平费用为每半年或每年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，绘制了相对误差（w.r.t.）。

在运行时间表的相同情况下，四种方法的BM值）。表3和表5列出了本试验所用的参数。Svθkωρr100 0.200.201.0 0.2-0.5 0.05表7：试验2的模型参数。英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语英语42±0.21231.56±0.23231.45231.47239.489.9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9±0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 24.98.01 98.00A 31.84±1.173.31.31.31.2631.05B（b）31.42±0.31±0.30.30.31.2631.05B（b）31.42±0.31±0.31.48±0.48±0.48±0.48±0.31±0.30±0.31±0.31±0.31±0.31±0.31.2631.2631.2631.7.7.7.7.7.7.7.7.7.3.30.30.30.30.30.30.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0.0 0 0.10.7.7.7 7.7.7.7 7.7 7.7.7.7 7 7.7 7 7 7 7.7.7.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.0 0 0 0 0 0.10±s 121 s 120 sC 486 s477 s 483 s 479 sD 1951 s 1924 s 1956 s 1939稳定8：测试2。在第一个表中，Heston模型的公平费用为每半年或每半年一次。在第二个表中，W F=1，T=10情况下的运行时间。最后，在运行时间表的相同情况下，四种方法的相对误差（w.r.t.BM值）图。

表3和表7给出了该试验所用的参数。TW F=1 W F=25 200 20010 100 10020 50表9：静态BS HW情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 6212±4 6214±3 6213 62126178±4 6180±4 6181 6180B 6213±3 6213±1 6213 6213 6180±3 6180±2 6180 6180C 6211±1 6213 6213±1 6179±1 6180±1 6180 6180±1 6213 6213 6213 6213 6179±1 6113 715 715 715 7187134±5 7132±4 7132 7131C 7152±3 7153±1 7154 7154±3 7131±2 7132 7131±1D 7157±2 7154±1 7154 7133±2 7131±1 7132 7131A 8018±16 8010±13 8017 80088010±20 8005±20 8005 7995B 8023±11 8016±7 8017 8014±14 8005±10 8005 8005 8005 8005 802C 8025±6 8013±3 8013 8002±3 8004 8003 8003 8015±1 801 8004 80012 8004 8003表10：测试3。静态BS HW情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.

表3、7和表9中列出了本试验所用的参数。TW F=1 W F=25 250 25010 100 10020 50表11：静态Heston情况下用于增量计算的αG值（bps）。TW F=1 W F=2 HMC SMC HPDE APDE BM HMC SMC HPDE APDE BMA 6132±4 6141±5 6132 61316101±5 6107±5 6099 6098B 6134±3 6136±3 6131 6131 6101±3 6104±3 6098 6098C 6131±2 6131 6131±2 6097±2 6098 6098 6098±1D 6131±1 6131 6098 6098±1 6098 6098A 7287±8 729 7267266±6 7269±6 7262 7263C 7287±3 7287±3 7284 7284±3 7262±3 7262 7262±1D 7285±2 7287±2 7284 7263±2 7264±2 7262 7262A 8051±19 8084±19 8059 80588048±19 8053±19 8048 8045B 8067±13 8074±14 8058 8056±13 8072±14 8045 C 8060±7 8068±7 8056±7 8045±7 8046 804 804±4 8046 8045表12：试验3。静态Heston情况下的增量计算。所有结果必须乘以10-4.本试验所用参数见表3、7和表11。TW F=1 W F=2 DE MC Ch.Fo。PDE MC Ch.Fo。5248.33247.75±1.39N.c.258.20257.32±1.42N.c.10129.18128.58±1.08129.10133.60133.09±1.11133.522066.4266.20±0.89N.c.68.5968.52±1.29N.c.表13：对于[9]中相同参数的动态GMWB-CF，αgin-Black-Scholes模型的公平bp值。[9]中不可用的值（未计算）用“n.c.”表示。5.2 GMWB Cf的动态退出在动态退出的情况下，我们假设PH值在每个事件时间选择退出多少，以便最大化他（她）的收益（最佳退出）。静态测试4和5的灵感来自[9]：在他们的文章中，Chen和Forsyth在Black-Scholes模型下，在最优退出框架下为GMWB合同定价。

首先，我们根据不同的成熟度和退出率对他们的产品进行定价，假设Black和Scholes模型中的最优退出，以获得该模型中的参考价格；我们使用直线回归蒙特卡罗方法和标准偏微分方程方法得到了α值。当我们得到简单Black-Scholes模型的良好值时，我们加入了随机利率和随机波动率。模型参数见表3，我们得到的αG值见表13。我们注意到，我们使用完全回归算法计算MC价格（SMC和HMC的情况A、B、C、D）：这种方法非常快，但结果质量较低。相反，我们使用直线回归算法来计算基准（BM）：这种算法比完全回归需要更多的时间，但其结果更高，证明了回归性能更好，使用这种方法的PH值可以有更好的回报。此外，该方法在Black-Scholes模型中表现良好，我们用它来填充表13。

我们也尝试对案例A、B、C、D使用Linesalgorithm回归，但由于可用的运行时间较短（最多30分钟），我们没有得到好的结果。对于基准计算，我们使用了4次多项式和10个场景（通过对偶变量技术加倍），不包括T=20，wf=2的情况，其中我们使用了半个场景：执行这些计算所需的时间（围绕HPDE的情况D值的两个割线步骤）从30分钟（情况T=5，wf=1）到38小时（情况T=20，wf=2）不等。我们要指出的是，在Black-Scholes模型中使用PDE方法，我们得到了与[9]相同的值（Chen和Forsyth的论文中只有两个值可用），但MC方法（直线回归）存在一些问题（较低的值）：最小二乘回归不太有效，这个问题对MC方法有效（见表13）。因此，我们可以想象，MC方法在下面的测试中也会有困难，其中添加了一个维度。5.2.1试验4:Black-Scholes船体白色模型中的动态GMWB-CF试验4是试验1的动态情况。模型参数如表5所示。结果见表14。在这项测试中，PDE方法被证明比MC方法更有效。事实上，MC方法使用最小二乘回归方法来确定最佳提取：该方法需要大量场景，以便通过回归来近似给定变量集的策略值，这需要时间。然后，在固定时间工作，我们可以执行比静态情况更少的场景。PDEmethods感觉到了另一个问题：问题维度的增加迫使我们减少了静态情况下的时间步数。

使用MC方法，相对于PDE方法，我们总是得到较低的值，而且当从配置A移动到配置D时，MC值增加了几个基点。两种MC方法被证明是等效的：场景生成运行时的差异是可以忽略的，因为大部分时间都花在寻找最佳提取上。HPDE方法给出了良好且稳定的结果，而APDE则有更多的问题，结果接近于良好值。然后，根据测试结果，HPDE方法被证明是最好的方法。事实证明，（T，wf）=（20，2）的情况非常阴险：长期的成熟期和大量的延迟日期（40个事件时间）也使PDE方法的问题变得困难。在这种情况下，配置A中的MC方法给出的值也低于静态方法（18.64 vs 25.20）：由于考虑的场景较少，最小二乘回归未能增加PH的增益。5.2.2测试5：赫斯顿模型中的动态GMWB-CF测试5是测试2的动态情况。模型参数如表7所示。结果见表15。在这个测试中，情况与测试4类似，但优化问题似乎比测试4更容易：MC方法收敛得更好，尤其是在使用高级配置时。PDE方法的表现和往常一样好，在这种情况下，它们被证明几乎是等效的：除了在（T，wf）=（20，2）的情况下，它们都给出了良好的结果，其中APDE的初始结果太高。这两种MC方法被证明是等效的。我们注意到，在赫斯顿模型的情况下，与BS HW的情况相比，动态策略增加了αGlesss的值：很可能，利用利率比利用波动性让PH获得更多收益。情况（T，wf）=（20，2）仍然是最危险的，但这次我们没有得到任何低于αg.5.2.3测试6的静态值的值：动态GMWB CF6的套期保值是测试3的动态情况。