动态自适应混合模型

，B第3.1小节详细说明的两个高斯分量SAMM规范。然后，对于每个估计模型，我们评估每个时间点t=1，…，的隐含条件均值和条件方差，T我们用Haas（2006）的马尔可夫切换AR（1）–GARCH（1,1）（MSARGARCH，此后）和YT定义的两个区域对具有两个高斯分量的DAMM进行基准测试- us，tσs，t（St=s，英尺）-1) ~ N（0，1），（49）式中，us，t=\'\'us+φsyt-1（50）σs，t=ωs+αszs，t-1+βsσs，t-1，（51）式中zs，t=yt- μs，tand |φs |<1，ωs>0，αs+βs<1，αs>0，βs>0，对于s=1，2被施加以保持过程的弱平稳性，并确保yt的第二个条件动量的正性。在等式（49）中，Stre表示定义在离散空间{1，2}上的整数值随机变量，该空间遵循一阶马尔可夫链和转移概率矩阵。DAMM的前两个条件矩具有相同的公式（46）。然而，与SDMM相反，在DAMM对θ进行调节的情况下，这是多余的，因为θtif在时间t完全可用- 1，因此θt∈ 英尺-1.Q={qlk}，其中qlk=P（St=k | St）-1=l）是在时间t访问状态k的概率，即在时间t访问状态k的概率- 1链处于状态l，初始概率向量δ=（δs，s=1，2），δs=P（s=s），即在时间1处于状态s的概率，参见例如Hamilton（1989）和Dueker（1997）。以英国《金融时报》为条件-1，yti的分布是两个高斯分布yt | Ft的混合-1.~ P（St=1 |英尺-1） Nyt |u1，t，σ1，t+ P（St=2 |英尺-1） Nyt |u2，t，σ2，t, （52）式中P（St=s | Ft-1） 对于s=1，2，是使用汉密尔顿滤波器评估的预测概率，参见例如Fr–uhwirth Schnatter（2006）。在无定向混合模型方面报告了进一步的比较结果，其中两个高斯分量是使用K=100观测值的执行移动窗口（标记为MMR）对模拟数据进行估计的。

具体而言，在每个t=K，利用观测值对含有两个高斯分量的静态混合模型进行递归估计y（b）t-K+1，y（b）t, 对于b=1，B.对于每个t=K，…，存储每个静态混合模型中的隐含平均值、方差和混合成分，T和b=1，B并与SDMM规范产生的真实数量进行比较。MMR规格的前K均值、方差和混合成分不可用，不在比较分析范围内。利用Dempster等人（1977）的期望-最大化算法对MMR和MSARGARCH模型进行估计，其中对于e的MSARGARCH模型部分，step在数值上最大化，参见例如西葫芦和麦克唐纳（2009）。根据SDMM规范生成的真实条件平均值、方差和混合物成分与DAMM、MSARGARCH和MMR模型交付的结果之间的平均绝对误差（MAE）和均方误差（MSE），给出了比较结果。为了研究DAMM规范的性能，以近似SDMM所暗示的条件分布，我们还计算了等式（44）中报告的真实条件密度与DAMM、MSARGARCH和MMR模型估计的真实条件密度之间的平均Kullback-Leibler（AKL）散度。

m型的阿克尔散度∈ 第b条路径的{DAMM，MSARGARCH，MMR}由akl（b）=T给出-1TXt=1Z<logp（yt |θt）pmyt|^θ（b）m，tp（yt |θt）dyt，（53），其中p（yt |θt）表示方程（44）attime t和pm中报告的SDMM规格的真实密度yt|^θ（b）m，t表示模型m的密度，带有第b个模拟序列的估计滤波参数^θ（b）m，tat time t。表B.1报告了E（yt |θt）和Var（yt |θt）的中值MSE和MAE，以及DAMM、MSARGARCH和MMR模型的真实和估计条件分布之间的中值AKL。报告了与MSARGARCH相关的比较结果。我们注意到，具有两个高斯分量的DAMMW报告的条件平均方差和混合成分的MSE和MAE较低，这证实了其优于MSARGARCH和MMRMODEL的过滤能力。查看表B.1的最后一列，我们还注意到，DAMM规范的真实和估计条件密度之间的平均AKL差异，远远低于根据MSARGARCH和MMR模型进行的评估。这一结果表明，DAMM规范更适合于近似SDMM规范所暗示的条件密度，并证实了Koopman等人（2015）之前对此处所考虑的DAMM规范的发现。为了总结我们的分析，在图A.1中，我们报告了每个时间点t的条件平均值、条件方差和混合权重的B估计值的真实值和中位数。我们注意到，即使估计的模型高度误判，DAMM能够准确地表示由SDMM生成的前两个条件力矩的动态，分别在图A.1的第一个和第二个面板中报告。

此外，图A.1第三个面板中报告的混合物成分动态也被DAMM规范准确地近似。值得强调的是，在这个MC实验中，发现DAMM能够近似方程式（46）中报告的条件平均值和条件方差，而不是方程式（45）中报告的混合成分参数。我们想强调的是，在混合物成分向某一特定组分转移的过程中，{uj，s，s>0}和{σj，s，s>0}，j=1，2无法正确估计，这是因为在这些过程中，大多数数据是由概率更高的组分生成的。因此，新数据中不包含相关信息，以便更新混合物中低重量组分的参数。如前所述，这些逻辑推理在文献中被完全忽略，大多数可用的模型没有考虑到在某些时期，它们无法更新部分潜在过程的可能性。相反，如前所述，DAMM自然包含了一个解决这一特定问题的基本原理机制。4.2. 时变相关性我们的实验设计与Engle（2002）和Crealet al（2012）的研究类似。具体地说，我们从具有单位方差和时变相关性ρT的双变量高斯分布模拟长度为T=1000的B=500时间序列。

我们对相关参数施加的动力学是o常数：ρt=0.9o正弦：ρt=0.5+0.4cos（2πt/200）o快速正弦：ρt=0.5+0.4cos（2πt/20）o阶跃：ρt=0.9- 0.5（t>500）o斜率：ρt=mod（t/200）/200o模型1：ρt=exp（~ρt）/[1+exp（~ρt）]，其中ρt=-0.4 (1 - 0.99）+0.99ρt-1+0.14ηρt，ηρt~N（0，1）o模型2：ρt=ωtρ1，t+（1）- ωt）ρ2，t这里ρi，t=exp（~ρt）/[1+exp（~ρt）]，~ρi，t=- 0.99）+0.99ρi，t-1+0.14ηρit，i=1，2，和¨ρ=-0.4，ρ=0.4，式中ωt=[1+exp（~ωt）]-1，ωt=0.98ωt-1+ηω和ηρ，ηρ，ηω皮重iid N（0，1）。我们用最大似然估计每个模拟数据序列的两个二元高斯混合分量的DAMM。因此，我们使用过滤后的动态和模拟动态之间的MAE和MSE来评估模型跟踪动态相关性的能力。我们还指定了两个约束DAMM版本DAMM¨ρ和DAMM¨ω。DAMM–ρ规格被定义为DAMM，但具有恒定的状态相关，即ρj，t=ρj，j=1,2，而DAMM–ω再次被定义为DAMM，但具有静态混合物成分，即ωt=ω，t、 出于比较目的，我们将DAMM模型与Engle（2002）的动态条件相关（DCC）模型以及定义为Qt=λQt的指数加权移动平均（EWMA）模型进行了对比-1+ (1 - λ） yt-1yt-1（54）ρEWMAt=q12，t/√q11，tq22，t，（55），其中qij，是qt和λ的（i，j）–th元素设置为0.96，qi固定为序列的经验条件相关性。对于DAMM规范，我们将混合物平均值和方差设置为常数，并以值uj、t=0和σj为中心，对于j=1、2和t=1，TDCC模型也受到了类似的约束。表B.2报告了三种模型和七种相关模式的中位数平均误差和中位数平均误差。结果是相对于DCC模型给出的。

我们注意到，在任何情况下，DAMM规范都比考虑过的替代方案更受欢迎。更准确地说，对于正弦、快速正弦、斜坡和模型2的情况，首选无限制DAMM规范，对于恒定阶跃，首选DAMM¨ρ，而当假设模型1规范用于条件相关性的演化时，首选DAMM¨ω。总体而言，我们发现DAMM规范在MAE和MSE标准下均优于DCC和EWMA模型。4.3. 时变混合成分我们的第三个模拟实验侧重于DAMM对根据几种模式生成的动态混合成分建模的能力。为此，我们指定了两个具有固定均值和方差的单变量高斯分布的混合，即我们的DGP为formyt~ ωtN（yt |- 4, 6) + (1 - ωt）N（yt | 1，3）（56），其中ωt根据以下模式之一波动：o常数：ωt=0.9o正弦：ωt=cos（2πt/200）o快速正弦：ωt=cos（2πt/20）o阶跃：ωt=0.9- 0.5（t>500）o斜率：ωt=mod（t/100）/100o模型1：ωt=[1+exp（)ωt）]-1式中，ωt=-0.015+0.98¨ρt-1+0.1ηωt，ηωt~ N（0，1）o模型2：ωt=[1+exp（~ωt）]-1式中，ωt=-0.015+0.98¨ρt-1+0.5ηωt，ηωt~ N（0，1）。模型1和模型2是非线性一阶自回归，具有不同的标准偏差，用于创新。根据新息标准差的选定值，ωt过程在模型1的区间（0,1）内发展得更为平稳，在模型2的区间（0,1）内显示出从0到1的突变。我们根据所考虑的七种模式模拟了（56）假设ωT的T=1000个观测值。然后，我们用两个高斯分量对模拟观测值估计DAMM，并存储ωt的滤波序列。该过程重复B=500次。

我们将混合成分参数ωt的过滤动力学与两个区域的马尔可夫切换模型（在每个区域（MS）中具有时不变高斯分布）所提供的动力学进行了比较，并与模拟实验中详述的MMR模型进行了比较。对于所有考虑的模型，每个高斯成分分布的平均值和方差均固定为真值，即对于DAMM规范，我们施加u1，t=-4，u2，t=1，σ1，t=6和σ2，t=3，对于所有t=1，T表B.3报告了三种模型和七种ωt模式在B重复中的主题MAE和中值MSE。结果与MS模型相关。与之前报道的相关性研究类似，我们发现DAMM规范报告了混合物成分参数ωt假设的所有模式的优越结果。唯一的例外是ωt遵循“快速正弦”动态，MS模型略微超过DAMM。4.4. 错误的条件相关性动态参数化的代价在我们上一次的模拟研究中，我们研究了将错误的模型估计为四维随机变量的动态条件相关性的后果。具体而言，我们规定了四种数据生成过程，这些过程仅与隐含的条件关联动态不同。实验继续从四个考虑的DGP中的一个采样B=500系列长度T，假设它是真实的，然后根据模拟数据估计四个DGP。该实验重复四次，假设每次所考虑的DGP之间存在不同的真实DGP。对于yt的条件分布，我们考虑以下一般参数假设∈ <,yt~ ωtN（0，R1，t）+（1）- ωt）N（0，R2，t），（57），其中Rj，t，j=1，2是全相关矩阵。

四个DGP定义为oDGP1：ωtand Rj，t，i=1，2使用第2节和第3节详述的YTA条件分布分数进行更新DGP2：等于DGP1，但ωt=ω；DGP3：等于DGP1，但Rj，t=Rj，j=1,2oDGP4：假设ωt=ω和Rj，t=Rj，j=1,2。由于随机变量ytis standardGaussian的j–th分量的边际分布，该模型暗示了ytis的条件相关性，即加权ωtand（1）的混合分量相关性的平均值- ωt），用Rht表示，表示h∈{DGP1，DGP2，DGP3，DGP4}。我们考虑三种不同的样本量：小样本（T=500）、中等样本（T=1000）和中等样本（T=2000）。假设相关矩阵Ri和混合成分参数ωt具有高持久性，参数值的确定与经验应用中获得的值类似。结果根据矩阵^Rk | ht的平均Frobenius范数给出- Rht，其中^Rk | Ht表示时间t时的估计隐含相关矩阵，假设Dgp k，当真实DPG为h时，即“fh | k=t-1TXt=1VUTXL=1Xm=1ρk | hlm，t- ρhlm，t, （58）式中，^ρk | hlm，tandρhlm，分别是矩阵^Rk | htt和Rht的（l，m）–th元素。表B。4报告了所有h，k的平均Frobenius标准值“fh | Kf的B样本中位数∈{DGP1，DGP2，DGP3，DGP4}。表B.4中的行表示估计模型，而列表示生成序列的真实DGP。为了便于比较，所有结果都是相对于真实DGP报告的。我们注意到，当真实的DGPI为DGP1时，当样本大小为小或中等时，指定DGP2没有损失，当样本大小为中等大小时，我们必须支付大约5.5%的估计精度。如果我们分别指定DGP3或DGP4，成本大约为13%和21.4%。

不同的是，如果实际的DGP是DGP2，我们估计DGP1，对于中等规模的样本，我们不支付条件相关动力学精度估计方面的误判成本。如果我们假设DGP3或DGP4，结果会发生变化。在这些情况下，错配的成本随着样本量的增加而增加。具体来说，如果真实模型是DGP3，如果我们估计其他考虑的DGP之一，我们将支付约30%。一般来说，我们发现，如果样本量较小，最好不要假设DGP1这样的高度参数化模型，因为模型系数的不确定性会影响结果的过滤相关动力学精度。相反，如果样本量相当大，且实际DGP为DGP1或DGP2，则误判的成本较低。最后，当真实DGP为DGP3或DGP4时，估计错误的模型对过滤相关动态的精度有相对较高的影响。5.实证应用在本节中，我们采用多个单变量和多变量DAMM规范来估计和预测一组每日财务日志收益的条件分布。我们考虑了四家资本最雄厚的美国公司，即苹果公司（Apple Inc.）、埃克森美孚公司（Exxon Mobil Corp.）、富国银行（Wells Fargo&Co.）和通用电气公司（GE）。该数据集从Datastream获得，包括从1996年1月8日到2016年1月22日的4968次观察，包括影响美国经济的几次危机事件，如20世纪90年代的储蓄和贷款（S&L）危机、2000-2002年的互联网泡沫以及2007-2008年的全球金融危机（GFC）。与通常的金融时间序列风格化事实一致，该系列显示了波动性集群和重尾条件经验分布，有关单变量和多变量金融回报风格化事实的详尽处理，请参见McNeil等人（2015）。

此外，根据Engle（1982）和Tse（2000）的ARCHLM检验和LMC检验（未报告），分别发现了时变第二条件矩和时变相关性的证据。5.1. 在样本分析中，我们将单变量和多变量DAMM与样本分析中的GARCH/DCC类型进行比较。具体而言，我们使用J个多元高斯分布（DAMM（J）–mG）的混合物以及J个多元Student–t分布（DAMM（J）–mT）的混合物来估计DAMM。我们还包括两个DAMM copula规范。第一种假设时间t时收益的条件联合分布是J个高斯copula（DAMM（J）–copG）的混合，而第二种假设是J个Student–t copula（DAMM（J）–copT）的混合。具有copula分布的DAMM的边缘规格由具有J Student–t分布（DAMM（J）–uT）分量的单变量DAMM给出。对于所有考虑过的规格，我们要求每种混合物成分的平均值随时间保持不变，但各成分之间会发生变化。包括单变量或多变量Student-t分布（DAMM（J）–mT，DAMM（J）–copT，DAMM（J）–uT）的规范要求具有恒定的形状参数，可改变混合物组分。从未报告的分析中，我们发现，对于所考虑的系列，所有DAMM规格都首选J=2，因此，对于其余的分析，我们只考虑此类模型，避免在模型标签中报告J=2。我们使用Cappiello等人（2006）的GDCC模型对提出的DAMM规范进行基准测试，该模型与AMMS类似，允许每个条件相关性与过去信息的异质行为。