动态自适应混合模型

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英文标题：
《Dynamic Adaptive Mixture Models》
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作者：
Leopoldo Catania
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper we propose a new class of Dynamic Mixture Models (DAMMs) being able to sequentially adapt the mixture components as well as the mixture composition using information coming from the data. The information driven nature of the proposed class of models allows to exactly compute the full likelihood and to avoid computer intensive simulation schemes. An extensive Monte Carlo experiment reveals that the new proposed model can accurately approximate the more complicated Stochastic Dynamic Mixture Model previously introduced in the literature as well as other kind of models. The properties of the new proposed class of models are discussed through the paper and an application in financial econometrics is reported.
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中文摘要：
在本文中，我们提出了一类新的动态混合模型（DAMM），能够使用来自数据的信息来顺序调整混合成分以及混合成分。所提出的这类模型的信息驱动性质允许精确计算全似然，并避免计算机密集型模拟方案。一个广泛的蒙特卡罗实验表明，新提出的模型可以准确地逼近文献中介绍的更复杂的随机动态混合模型以及其他类型的模型。本文讨论了新提出的这类模型的性质，并报道了它在金融计量经济学中的应用。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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关键词：混合模型 Applications epidemiology econometrics Sequentially

动态自适应混合模型，*本文提出了一类新的动态混合模型（DAMM），它能够利用来自数据的信息，顺序地适应混合成分以及混合成分。这类模型的信息驱动特性允许精确计算全似然，并避免计算机密集型模拟方案。大量的蒙特卡罗实验表明，新提出的模型能够准确地逼近文献中介绍的更复杂的随机动力混合模型以及其他类型的模型。本文讨论了新提出的一类模型的性质，并报道了其在金融计量经济学中的应用。关键词：动态混合模型，分数驱动模型，自适应模型，密度预测。1.简介混合分布是一种非常常用的参数化工具，用于对非高斯曲线建模，这些非高斯曲线通常是经验数据的特征。通过选择合适的混合物成分分布，可以在混合物模型（MM）中实现高度的灵活性。此外，混合成分也可以与线性和广义混合模型中通常出现的新信息相适应，如Bishop（2006）。在MM的背景下，也可以允许混合物成分随时间变化，这类模型通常是确定的*罗马大学经济与金融系“Tor Vergata”，Via Columbia，201333，罗马，意大利。利奥波多。catania@uniroma2.it，电话：+3906725941，网页：http://www.economia.uniroma2.it/phd/ef/default.asp?a=216.Preprint2016年3月7日提交给爱思唯尔的动态混合模型（DMM），参见例如Yu（2012）。

DMM已成功应用于过程监控（Yu，2012）、干预检测（Gerlach等人，2000）、保险损失（Frigessis等人，2002）和图形工程（KaewTraKulPong和Bowden，2002；Xie等人，2005）。DMM的回溯是，当混合物成分和混合物成分的演变假设为非线性非高斯规范时，经典推断无法应用到更多领域，参见例如Gerlach等人（2000）。通常的解决方案依赖于计算机密集型马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）模拟方案来进行贝叶斯推理，这大大降低了此类模型及其在商业软件中的实现的实用性，如Gerlachet等人（2000年）、Yu（2012年）和Billio等人（2013年）。在本文中，我们采用了一种不同的方法，在完全观察驱动的框架下，对混合物成分分布以及混合物成分的时间演化进行建模（Cox等人，1981年）。我们从分数驱动模型的最新进展开始构建模型，参见Harvey（2013）和Creal等人（2013）。在分数驱动模型中，根据条件分布的分数，使用适当的强制变量更新潜在的动态参数。在我们的上下文中，混合物成分可以被选择为任何参数分布，并且有可能在每个成分的全套参数中允许时间变化。我们还允许使用数据中包含的信息对混合物成分进行顺序更新。鉴于这类模型在可能的动态参数假设中的高度灵活性，以及它们顺序调整混合成分的能力，我们将其称为动态自适应混合模型（DAMM）。正如Koopman等人广泛讨论的那样。

（2015），使用条件计分法将数据中的信息汇集到新的更新参数中，结果非常灵活。事实上，他们发现基于分数的稳健滤波器很好地逼近了非线性非高斯状态空间模型和其他类型模型产生的不可观测动态。通常，在利用混合分布作为参数工具的应用程序中，主要推理目标之一是聚类结果，参见McLachlan和Peel（2000）。此外，在马尔可夫转换（MS）模型的背景下，经验结果通常是根据潜在的不可观测区域的去编码给出的，参见例如Hamilton（1989）、Capp’e等人（2005）和Fr¨uhwirthSchnatter（2006）。然而，考虑到混合物中各成分的动态演变，DAMM的使用不限于此类应用。事实上，DAMM的主要范围之一是自适应地表示混合物的动态成分，而不是唯一地识别影响数据的制度或结构变化。然而，如果底层的数据生成过程表现为普通的MS过程，那么DAMM可以很容易地适应这个特性。为了证明DAMM的灵活性，我们进行了由四部分组成的广泛蒙特卡罗实验。在第一部分中，我们的目标是近似前两个条件矩以及由类似于Yu（2012）的随机DMM（SDMM）生成的动态混合成分。在这方面，我们的实验与Koopman等人（2015）的实验类似。在使用广义自回归评分（GAS）模型过滤状态空间模型的背景下，Harvey（2013）报告了对这一有趣主题的理论处理。第二和第三部分，类似于Engle（2002）和Creal等人。

（2013），重点是过滤条件随机变量的相关性和混合成分假设的几种艺术模式。在上一个实验中，我们研究了模型误判的成本，即过滤条件相关性的精度损失。我们的结果表明，与竞争模型相比，DAMM能够充分逼近SDMM产生的高度非线性动态以及艺术相关性和混合成分模式。为了进一步研究拟议DAMM的性质，我们还报告了在金融计量经济学中的实证应用。具体而言，我们估计了一组财务回报的几个单变量和多变量DAMM规格。我们考虑的规范在参数假设和条件分布的动态特性方面有所不同。样本内和样本外的比较结果是根据边际和联合条件分布的拟合优度和预测能力给出的。我们发现，DAMMs在这两种情况下都优于competitiveGARCH/DCC模型。论文的组织方式如下。第2节描述了DAMM，并详细介绍了混合成分分布和混合成分的更新机制。第3节报告了几个可用于相关实证应用的单变量和多变量DAMM规范。第4节报道了蒙特卡罗实验。第5节报告了金融计量经济学的实证应用。最后，第6节总结并报告了对未来研究的一些建议。2.动态自适应混合模型Let yt∈ <dbe a d–根据顶部条件分布的维随机向量（yt | Ft-1，θt），带Ft-1b由过程{ys，s>0}到时间t产生的过滤- θ是时变条件参数的向量。

我们假设p（·）是J实值条件分布的有限混合，即p（yt | Ft-1，θt）=JXj=1ωj，tpj（yt | Ft-1，θj，t），（1）与ωj，t∈ （0,1）和Pjj=1ωj，t=1 t=1。θt=θj，t，ωj，t，j=1，J. 在动态混合模型中，混合组分密度参数θj，t通常遵循随机过程。方便的选择包括一阶非线性自回归（Billio等人，2012；Casarin等人，2015）和马尔可夫转换过程（Kim，1994；Kim和Nelson，1999；Ardia，2008；Harrison和West，1999）。后者通常在贝叶斯环境下通过粒子滤波器进行估计，而前者则经常采用Dempster等人（1977）的期望最大化算法。不同的是，在本文中，我们遵循Harvey（2013）和Creal等人（2013）的分数驱动框架（SDF），通过使用条件分布p（yt | Ft）的分数更新整套参数-1，θt）。形式上，假设ωt=（ωj，t，j=1，…，j）是包含时间t处的混合权重的向量，并且∈ <J-1be a（J）- 1） -维数向量，使得∧ω（)ωt）=ωt，对于Ft-1可测映射函数∧ω：<J-1.→ SJ，使得∧ω∈ C、 SJ代表标准单位J–单纯形，即SJ:{（t，…，tJ）∈ <J | PJj=1tj=1∧ tj≥ 0, j} 。同样地，设∧θj，t∈ OhmJ <dj是一个dj–维向量，对于每个时间t，我们都有∧jθj，t= θj，twhere∧j:<dj→ Ohmj对∧ω（·）表示相同的性质，对于所有j=1，J.为了避免对动态参数的复杂非线性约束，本文不直接对定义在J×上的向量θtde建模Ohm× ··· × OhmJ、 我们对参数的无约束向量∧θt进行建模=ωt，θj，j=1，J定义于<J-1×<d×·×<dJ。

为此，我们将条件分布（1）重新参数化为pyt |，|θt, 从现在起，英国《金融时报》的依赖性在哪里-1出于注释目的被省略。在SDF中，利息数量是条件分布的分数，由√~θt | yt= ln~pyt |θt~θ~θ=~θt，（2）它作为一个强迫变量线性地进入~θt的动态更新方程，即~θt+1=κ+a ~~~θt | yt+ 其中κ是aJ- 1+PJj=1dj= L–维向量和A和B是需要估计的系数的L×L矩阵。因为我们是在对参数的无约束向量∧θtand{~θt | ys, s>0}形成一个鞅差序列，我们只需要将B的奇异值施加在单位圆内，以确保过程{θs，s>0}的弱平稳性。为了避免参数扩散的问题，可以对κ、A和B中存在的自由参数的数量施加限制。事实上，在本文中，我们将对A和B施加绝热结构。值得注意的是，通过简单地应用链式规则，参数无约束向量的条件分数~θt | yt可以很容易地表示为全映射函数J的雅可比矩阵转置之间的乘积θt以及根据参数的约束向量计算的条件分数（θt | yt），即~θt | yt= Jθt（θt | yt），（4）其中“全映射函数”指向量值函数∧：<J-1×<d×·×<dJ→SJ×Ohm× ··· × Ohm包含∧ω（·）和∧j（·），j=1，J、 这样∧θt= θt，t、 在我们的上下文中，因为矩阵A和B是对角的，而矩阵Jθt如果是块对角的，则动态更新方程（3）可分为J+1个单独的动态，即ωt+1=κω+AωJω（ωt）ω（ωt | yt）+Bω∧ωt（5）~θj，t+1=κj+AjJjθj，tj（θj，t | yt）+Bjθj，t，j=1。

，J，（6），其中所有符号的解释与之前相同，但现在与模型的每个规格相关。下面的建议在以后是必要的。命题2.1（混合分布的得分）。让x~ g（x |φ），其中g（x |φ）=PKi=1ωigi（x |φi），其中ωi≥ 0，PKi=1ωi=1和ω=（ωi，i=1，…，K）。设φi的尺寸，设φ=ω、 φi，i=1，K做一个K+PKi=1di= D–包含所有分布参数的第维向量。允许 （φ| x）= lng（x |φ）φ、 （7）是一个维数为D的向量，表示g（x |φ）的分数，分为 （φ| x）=ω（ω| x），（i） （φi | x），i=1，K, 哪里ω（ω| x）= lng（x |φ）ω(8)（i） （φi | x）= lng（x |φ）φi，i=1，K、 （9）假设gi（x |φi）⊥⊥ gl（x |φl）， I6=l，我们有（a）ω（ω| x）=gi（x |φi）g（x |φ），i=1，K, 及(二)（i） （φi | x）=ωigi（x |φi）g（x |φ）gi（φi | x），i=1，Kwheregi（φi | x）= ln-gi（x |φi）φi是第i个混合物成分分布的分数。证据（a） 紧接着，而对于（b）我们注意到（i） （φi | x）=ωig（x |φ）gi（x |φi）φi，（10）和gi（x |φi）φi= exp（ln-gi（x |φi））φi=gi（x |φi）gi（φi | x）。(11)2.1. 更新混合物成分可以使用几种不同的选择，以便重新参数化和更新混合物权重ωt。例如，Billio等人（2013）使用逻辑变换高斯（LTG）权重，即他们的映射函数是向量值函数∧LTG:<J→ SJ，j–th分量由∧LTGj（)ωj，t）=exp（)ωj，t）PJi=1exp（)ωi，t）和)ωt给出~ NJ（ωt |ωt）-1，∑），其中∑是一个适当的协方差矩阵。这种映射和更新方案假设权重不依赖于可观测数据。此外，由于总是有可能找到<J上定义的映射函数，因此它会以某种方式被过度参数化-1（而不是<J）和J-1个自由参数，在SJ中映射。

我们对函数∧ω（·）提出了一个方便的选择，由∧ω（∧ωt）给出：=ωj，t=λ[0，bj，t]（)ωj，t），j=1，J- 1ωJ，t=1-PJ-1h=1ωh，t，（12）式中bj，t=bj-1，t- ωj-1，twith b1，t=1和λ[L，U]：→ [L，U] < 是一个实值确定单调二次可微分映射函数，如修改的逻辑λ[L，U]（x）=L+（U-五十） 1+经验(-x） 。通过∧ω（·）和λ[L，U]（·）的选择，j×j的（j，h）–th元素-1雅可比矩阵Jω（·）由Jω（～ωt）（J，h）给出=北京，特克斯普(-ωj，t）（1+exp(-如果h=j-Pj-1k=1Jω（～ωt）（k，h）1+exp(-ωj，t），如果h<j∧ j 6=j-PJ-1k=1Jω（～ωt）（k，h），如果j=j，0，如果h>j。（13）关于混合权重参数的（1）分数来自命题2.1，由下式给出：ω（ωt | yt）=pj（yt |θj，t）p（yt |θt），j=1，J, i、 e.其第j组分由混合物分布和第j组分分布之间的比率给出。值得注意的是，SDF自然建议使用密度比中包含的信息来更新权重动态，该密度比根据ωt的选择重新参数化进行调整，即Jω（～ωt）ω（ωt | yt）。这种机制隐式地将混合物成分移动到时间t内每个点的高概率质量区域，与Billio等人（2013）提出的纯随机游走假设有很大不同。2.2。更新混合物成分如果我们假设混合物分布没有排序限制，矩阵Jθt结果是关于子矩阵Jj是块对角的θj，t, j=1，J、 因此，可以将∧θt的动态测年方程划分为每个∧θJ的J动力学，t加上∧ωt的动力学。该模型的这一特点还允许轻松地并行∧θt的更新。至于混合物成分的更新，重新参数化的混合物组分参数∧θJ，tj=1。

，J使用重新参数化混合分布的条件分数p进行更新yt |θt关于向量∧θj，t，由Jj给出θj，tj（θj，t | yt）式中，j（θj，t | yt）=ωj，tpj（yt |θj，t）p（yt |θt）pj（yt |θj，t），j=1，J、 （14）遵循命题2.1，以及pj（yt |θj，t）= ln pj（yt |θj，t）θj，是第j个分量的分数。第j–th混合物组分参数的更新方程可以写成∧θj，t+1=κj+ξj，tajjθj，tpj（yt |θj，t）+Bj|θj，t，（15）式中ξj，t=ωj，tpj（yt |θj，t）p（yt |θt），（16）有时，在实际应用中，它可能会导致相当严格的限制。事实上，在（隐藏）混合模型的背景下，通常需要使用基于先前知识的一些预定义方案来识别混合成分参数。例如，在金融市场中，在高波动期间，企业之间的相关性往往更高，反之亦然。这种情况表明混合组分方差和相关性是有序的。如果是这种情况，矩阵Jθt不再是块对角的，混合组件参数的J动力学不能再被分割。显然，这类假设可以很容易地纳入AMM中，实施不同的参数化。为了简单起见，在本文中我们将忽略这种可能性。是时间t时，j–th分量对混合物密度的相对贡献，有条件地取决于过去的信息。值得注意的是，等式（15）与通常在核心驱动过程中发现的非常相似。事实上，如果J=1，我们分别用Creal等人（2013）和Harvey（2013）的单位标度矩阵恢复了广义自回归分数（GAS）和动态条件分数（DCS）模型。