动态自适应混合模型

然而，在我们的背景下，混合假设自然建议以一种方式来衡量分数贡献，即考虑到每个混合成分在时间t的相对重要性。有趣的是，Bazzi et al.（2014）在其随时间变化的隐马尔可夫模型中发现了类似的结果。此外，由于使用了条件分数，DAMM具有与经典分数驱动模型相同的“稳健性”特性，并且可以从该规范开始轻松开发，如Koopman等人（2015）。因此，DAMM嵌入了用于更新混合成分参数的随机学习机制。事实上，我们不需要强加任何武断的学习机制，比如Billio等人（2013）详述的学习机制，仅仅是因为对于DAMM来说，它是自然产生的。这种隐含的学习机制确保了数据中包含的新信息在混合成分之间按照其相对相关性的比例共享。事实上，如果我们确定已从混合物的特定组分中产生了新的观察结果，DAMM将更新该特定组分的参数，而其他组分的参数仅因缺乏相关信息而保持不变。我们认为这一点非常重要，尤其是对于具有动态依赖密度的Markow开关模型，这一点往往被忽略。例如，在哈斯的MS–GARCH（2006年）、费伊等人的MS–Copula（2013年）、贝尔纳迪和卡塔尼亚的SGASC（2015年）和克罗尔齐格的MS–VAR（1997年）等模型中，过去的观察结果在潜在的马尔科夫国被平等对待。两个显著的例外是Gray（1996）和Klaassen（2002）的MS–GARCH规范，其中，为了解决“路径依赖问题”，分别使用预测和过滤的状态概率对依赖于状态的GARCH规范进行缩放。

即使这些临时解决方案的开发范围不同，其结果也与DAMM自然暗示的结果非常相似。关于DAMM的估计，可以使用F.Blaskes、S.J.Koopman和A.Lucas的技术报告“广义自回归评分模型的最大似然估计”中详述的最大似然（ML）估计量轻松地进行athttp://papers.tinbergen.nl/14029.pdf，另见Blaskes等人（2015年）。然而，当采用混合分布时，通常会出现概率的多模态问题，因此需要良好的起始值和多次尝试。我们建议使用EM算法估计的静态混合模型的估计值来初始化算法，正如Yu（2012）在类似背景下所建议的那样。本文随附的补充材料报告了一项模拟研究，研究了DAMS类的ML估计量的有限样本特性。3.DAMM规范在本节中，我们报告了四种不同的DAMM规范，可用于实证工作。具体而言，我们报告了单变量高斯分布和Student–t分布的动态混合的两个单变量规范，以及多变量高斯分布和多变量Student–t分布的动态混合的两个规范及其相关连接。值得注意的是，混合物成分的更新与混合物成分的选择没有严格的关系，因此第2.1小节中给出的参数不考虑具体的模型参数形式。3.1.

单变量DAMM规格由于参数∧θj，t的每个重新参数化混合分量向量的动态更新方程仅取决于选择的映射函数∧j（·），以及混合分量分布的分数，我们只需要指定雅可比矩阵Jjθj，t分数向量呢pj（yt |θj，t），对于j=1，J、 充分描述方程式（15）中报告的更新方案。具体来说，如果我们假设单变量观测yt∈ < 是根据J高斯分布的混合条件分布的，即yt~JXj=1ωj，tpj（yt |θj，t），（17）式中θj，t=uj，t，σj，t包含第j个高斯密度pj的平均uj和方差σj，t，可以很容易地重新参数化向量θj，模板化映射函数∧j：=uj，t=uj，tσj，t=exp■σj，t（18） 这意味着雅可比矩阵uj，t，~σj，t=100经验■σj，t. （19） 最后，第j个高斯分量的得分向量如下所示：pjyt |uj，t，σj，t=（yt）- uj，t）/σj，t（yt）-uj，t）σj，t- 1./2σj，t, （20） 以及∧θj，t的动态更新方程=uj，t，~σj，t, 简单地说uj，t+1σj，t+1=κujκσj+βuj0βσjuj，t~σj，t（21）+ωj，tpjyt |uj，t，σj，tPJj=1ωj，tpj（yt |θj，t）αuj0ασj林俊杰uj，t，~σj，tpjyt |uj，t，σj，t, （22）如前所述，矩阵Aj和Bj采用对角线结构。如果我们认为高斯分布的混合不适用于可用的时间序列，我们可以考虑使用Student–t混合成分的DAMM规范。在这种情况下，我们可以假设Pjt是一个具有平均uj，t，标度ψj，和形状νj，t参数的Student–t分布，并定义向量θj，t=（uj，t，ψj，t，νj，t），这样∧jθj，t= θj，t。

在这种情况下，如果我们想要定义第一和第二条件矩，我们可以定义∧jequals到∧j：=uj，t=uj，tψj，t=expψj，t这意味着雅可比矩阵xjjuj，t，ψj，t，νj，t=100经验ψj，t0 exp（△νj，t）. （24）最后，第j–th Student–t分量的得分向量如下所示：pj（yt |uj，t，ψj，t，νj，t）=（νj，t+1）（yt）-uj，t）2ψj，t+（yt-uj，t）-ψj，t+（νj，t+1）（yt）-uj，t）νj，tψj，t+ψj，t（yt）-uj，t）h（yt，uj，t，ψj，t，νj，t）,式中h（yt，uj，t，ψj，t，νj，t）=$νj，t+1-$νj，t-π2νj，t-log1+（yt）- uj，t）νj，tψj，t+（νj，t+1）（yt）- uj，t）2νj，tψj，tνj，t+（yt- uj，t）,$（x）是digamma函数。值得注意的是，模型的动态特征应该根据所考虑的时间序列的统计特性进行调整。事实上，如果我们不认为数据需要如此丰富的参数化，可以对决定θj，tca更新的系数施加限制。例如，系数ανjandβνj，对于j=1，J、 可被限制为零，以避免混合物成分形状参数的时间变化。3.2. 多元DAMM规范——多元案例yt的扩展∈ <这很简单。假设ytis根据J个多元高斯分布的混合物进行条件分布，对于所有J=1，…，平均向量uJ，协方差矩阵∑J，t，J.使用协方差矩阵∑J，t=Dj，tRj，tDj，t，（25）其中Dj，t=diag（σJ，t）和σJ，t=（σJ，i，t，i=1，…，d），其中σJ，i，是yi，t在pj上的条件标准偏差。定义ρj，t=vechd（Rj，t），其中vechd（X）是向量算子，不考虑X的对角元素。

（2d+d（d- 1） /2）–第j个混合分量的时变参数的值向量为θj，t=uj，t，σj，t，ρj，t它的重新参数化版本由θj，t给出=uj，t，*σj，t，*ρj，t. 在这种参数化下，唯一困难的任务是定义一个映射函数，该函数映射∧ρj，tintoρj，tsuch，即Rj，t=vechd-1.ρj，t是一个对称的正定义相关矩阵，因为指数映射函数仍然可以用于∑j，t的分量。我们建议对相关矩阵Rj，t，j=1，J如Creal等人（2012年）和Jaeckeland Rebonato（1999年）所述。具体而言，我们定义了∧jρ：<d（d-1)/2→ Ohmρ、 使得∧jρρj，t= ρj，t，其中Ohmρ={（ρj，il，t，i=1，…，d，i<l<d）∈ [-1,1]d（d-1） /2 |<（x*Rj，tx）>0，对于Rj，t=vechb-1.ρj，t∧ 十、∈ Cd（d）-1)/2}. 映射函数∧jρ（·）定义了∧jρρj，t= 维克德Zρj，tZρj，t, （26）其中Zρj，t是一个d×d上三角矩阵，即Zρj，t=1 cj，12，tcj，13，t。cj，1d，t0 sj，12，tcj，23，tsj，13，t。cj，2d，tsj，1k，t0。cj，3d，tsj，2k，tsj，1k，T00。cj，4d，tsj，3k，tsj，2k，tsj，1k，t。。。。。。。。。。。。。。。0 cj，d-1，d，tQd-2l=1sj，ld，T00。量子点-1l=1sj，ld，t, 这里是x*表示x的共轭转置，其中cj，lk，t=cos（＠ρj，lk，t）和sj，lk，t=sin（＠ρj，lk，t），其中＠ρj，lk，是＠Rj，t=vechd的（l，k）–th元素-1.ρj，t. 因此，∧θj的映射函数由∧j给出：=uj，i，t=uj，i，t，i=1，dσj，i，t=exp（σj，i，t），i=1，dρj，t=∧jρρj，t,（28）这意味着雅可比矩阵等于toJjuj，t，*σj，t，*ρj，t=Idd0 00 D（∑j，t）00 Jjρρj，t, （29）式中，D（∑j，t）=diag（exp（∑j，i，t），i=1，d） 和Jjρρj，t定义见Creal等人。

(2012).第j组分混合分布的分数可以按pj（θj，t）=upj（θj，t），σpj（θj，t），ρpj（θj，t）, 哪里upj（θj，t）=uipj（θj，t），i=1，D, σpj（θj，t）=σipj（θj，t），i=1，D和ρpj（θj，t）=ρilpj（θj，t），i=1，d、 i<l<d和uipj（θj，t）=ιi∑-1j，tyt- uj，t(30)σipj（θj，t）=-σj，i，t-yt- uj，tKj，i，tyt- uj，t(31)ρilpj（θj，t）=vj，tR-1j、tUi、lR-1j，tvj，t- R-1（i，l），j，t，（32），其中Kj，i，t=-D-1j，tιiιiD-1j，tR-1j，tD-1j，t-D-1j，tR-1j，tD-1j，tιiιiD-1j，t，vj，t=D-1j，tyt- uj，t, ι是一个零向量，其第i个元素为1，Ui，lis是一个零矩阵，但其（i，l）第i个元素为1。在多变量背景下，联合分布隐含的尾部依赖性的作用至关重要，参见McNeil等人（2015）。多元Student–t分布通常用于处理尾依赖和厚尾，这通常是数据的特征，尤其是在金融文献中。在out框架中，我们可以假设ytis根据多元Student-t分布和Pj（yt |θj，t）=Γ给出的第j分量的混合条件分布ζj，t+dh1+ζj，tyt- uj，tΣ-1j，tyt- uj，t我-ζj，t+dΓζj，t（ζj，tπ）d |∑j，t | 1/2，（33）其中uj，是位置参数的向量，ζj，是形状参数，∑j，是适当的对称正定标度矩阵。对于多元高斯情形，可以方便地分解∑j，tin∑j，t=ψj，tRj，tψj，t，（34），其中ψj，t=diagψj，t是包含单个条件标度参数ψj，t=（ψj，i，t，i=1，…，d）和Rj的对角矩阵，是与第j个混合分量相关的相关矩阵。因此，时间t的参数j–th向量由θj，t给出=uj，t，ψj，t，ρj，t，ζj，t.

遵循多元高斯情况的相同参数，我们可以定义参数θj，t的重新参数化向量=§uj，t，§ψj，t，§ρj，t，§ζj，t, 以及映射函数∧j：=uj，i，t=uj，i，t，i=1，dψj，i，t=expψj，i，t, i=1，dρj，t=∧jρρj，tζj，t=expζj，t+ c、 c>0，（35），由jj给出相关的雅可比矩阵uj，t，ψj，t，ρj，t，ζj，t=Idd0 00 Dθj，t0 00 0 Jjρρj，t0经验ζj，t. （36）注意，标量c的选择可能会影响yt条件分布矩的存在，实际上，如果需要存在第二个条件矩，则应施加条件c>2。第j分量混合分布的分数可以在pj（θj，t）=upj（θj，t），σpj（θj，t），ρpj（θj，t），ζpj（θj，t）, 哪里upj（θj，t）=uipj（θj，t），i=1，D, σpj（θj，t）=σipj（θj，t），i=1，D和ρpj（θj，t）=ρilpj（θj，t），i=1，d、 i<l<d和uipj（θj，t）=zj，tιi∑-1j，tyt- uj，t(37)σipj（θj，t）=-σi，j，t-zj，tyt- uj，tKi，j，tyt- uj，t(38)ρilpj（θj，t）=zj，tvj，tR-1j、tUi、lR-1j，tvj，t- R-1（i，l），j，t（39）ζpj（θj，t）=$ζj，t+d-$ζj，t-d2ζj，t日志1+rj，tζj，t-（ζj，t+d）rj，t（ζj，t+rj，t）ζj，t, 式中，zj，t=ζj，t+d（1+rj，t），rj，t=yt- uj，tΣ-1j，tyt- uj，t, vj，t=ψ-1j，tyt- uj，t, Ki，j，t=-Ψ-1j，tιiιiψ-1j，tR-1j，tψ-1j，t- Ψ-1j，tR-1j，tψ-1j，tιiιiψ-1j，t，$（·）是digamma函数和ιi and Ui，在等式（30）下定义。由于当d增长时，多元DAMM规范的参数数量可能会变得非常大，从而导致更长的估计时间和更高的计算效率，我们可以决定对yt的条件分布使用copula规范，并利用Patton（2006）中详述的条件copula的两步估计程序。

在这里，我们展示了含有t-copula混合成分的DAMM规范，并将高斯copula规范的混合作为特例进行了恢复。设ut=（ui，t，i=1，…，d）是收集yi，t，i=1，…，的概率积分变换（PITs）的向量，d根据他们的边际分布Fyi，t |ηi，t, i=1，d、 在我们的背景下，边际分布是自由定义的，例如，每个FIC可以由一个适当的单变量DAMM规范表示。利用Sklar（1959）的定理，我们可以定义Yt的条件密度分布，即copula c（ut）的条件密度分布之间的乘积|t、 ζ）和条件边际密度分布。根据带有t–copula混合成分的DAMM规范，我们假设C（ut|t、 ζc）=JXj=1ωj，tcTut | Rj，t，ζcj, （41）在哪里t=vechd（Rj，t），j=1，J, ζc=ζcj，j=1，JcT（ut |·）是由cT给出的t-copula密度ut | Rj，t，ζcj=Γζcj+dΓζcjD-1.1+xj，tR-1j，txj，tζcj，t|Rj，t|1/2Γζc+1dQdi=11+xj，i，tζcj-ζcj+d，（42），其中xt=（xj，i，t，i=1，…，d）和xj，i，t=t-1ζcj（ui，t），其中tζcj（·）是具有ζcj自由度的标准学生分布的累积密度函数。值得注意的是，c（ut |·）是连接词的混合物，而连接词的混合物本身就是连接词，参见例如Durante和Sempi（2015）。与之前的多变量情况类似，我们可以定义ρj，t=vechd（Rj，t），并且由于参数的唯一混合成分时变向量是ρj，t，我们可以设置θj，t=ρj，并因此使用等式（26）中定义的映射函数∧ρj（·），以定义θj，t=∧ρjθj，t. 在这种情况下，雅可比矩阵由Jjρ给出ρj，t, 分数向量是ρpj（θj，t，ζj）=ρilpj（θj，t，ζj），i=1。

，d，i<l<d, 哪里ρilpj（θj，t，ζj）=ζj+dζj+xj，tR-1j，txj，txj，tR-1j、tUi、lR-1j，txj，t- R-1（i，l），j，t，（43），其中我们注意到，对于ζj→ ∞ 我们恢复了多元高斯情形。值得补充的是，对于该DAMM规范，不允许第j个混合物成分参数ζcj随时间变化，因为t-copula密度相对于ζcj的分数不可用，需要进行数值积分。该限制源于参数ζcj进入方程（42）中报告的条件t-copula密度函数的方式。模拟研究为了证明DAMM代表随机变量的均值、方差和相关性的复杂非线性动力学的灵活性，我们报告了四项模拟研究。在最初的实验中，我们关注DAMM近似前两个条件矩的能力，以及与Gerlach等人（2000）相似的DMM规格的条件分布。在第二个实验中，我们关注一个二元随机向量的相关动力学，该实验与Engle（2002）的研究类似，而在第三个实验中，我们关注DAMM适应条件混合物成分变化的能力。最后，在上一个实验中，我们重点讨论了各种DAMM规范中的误判成本，即过滤精度。4.1.

DAMMs作为随机DMMS的过滤器我们的目标是近似前两个条件矩以及模型生成的条件分布~ ω1，tNyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tNyt |u2，t，σ2，t（44）式中ω1，t=1+exp(-ωt），ω2，t=1- ω1，tandσj，t=exp■σj，t, 对于j=1，2，和▽ωt+1=-0.003+0.99Ωt+εωt+1，εωt+1id~ Nεωt+1 | 0,1.00u1，t+1=0.09+0.97u1，t+εut+1，εut+1id~ Nεut+1 | 0,0.02■σ1，t+1=-0.001+0.98σ1，t+εσt+1，εσt+1id~ Nεσt+1 | 0,0.04u2，t+1=-0.04+0.98u2，t+εut+1，εut+1ID~ Nεut+1 | 0,0.06■σ2，t+1=0.004+0.99■σ2，t+εσt+1，εσt+1id~ Nεσt+1 | 0,0.08, （45）所有的创新对于所有t都是相互独立的。我们将此模型命名为SDDM。根据（44）我们得到了条件均值E（yt |θt）和条件方差Var（yt |θt）＝ω1，tu1，t+ω2，tu2，tVar（yt |θt）＝ω1，tσ1，t+ω2，tu2，t- （ω1，tu1，t+ω2，tu2，t），（46）式中θt=ωj，t，uj，t，σj，t，j=1,2. 为了近似（44）的前两个条件矩，我们指定了一个具有J=2高斯分量的DAMM规格。形式上，（44）的近似模型是YT~ ω1，tNyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tNyt |u2，t，σ2，t, （47）式中ω1，t=1+exp(-ωt），ω2，t=1- ω1，t和σj，t=exp■σj，t, 对于j=1，2，和∧ωt+1=κω+αωexp(-ωt）（1+exp(-ωt）pyt |u1，t，σ1，t- Pyt |u2，t，σ2，tω1，tpyt |u1，t，σ1，t+ ω2，tpyt |u2，t，σ2，t+ βωωt（48），其中pjyt |uj，t，σj，t是平均值为uj，方差为σj，t的高斯随机变量的密度，j=1，2，在yt处计算。条件平均值和重新参数化条件方差的j–th动态如等式（21）所述，设置j=2。为了进行我们的实验，我们对θT从（45）开始模拟一条长度为T=10000的路径，然后，foreach T=1，T，我们根据（44）B=1000伪观测值进行模拟。最后，我们对伪观测序列y（b）进行了估计=y（b），y（b）T, 对于b=1。