高频数据的局部参数估计

另见相关论文Chaker（2017）和Clinet and Potiron（2017、2018c、2018d）。这里再次假设观测时间是有规律的，即τi，n=iT/n。作者假设i、 平均值为0的nis，有限标准差和That Var[~i、 n]→ v、 这反过来意味着i、 n=Op（1）/√n） 。为了在我们的LPM框架中嵌入这种假设，假设i、 n=n-αvγτi，n，其中α≥ 1/2和γ皮重IID，具有零均值和单位方差。他们估计出了ν，而基础价格为bν=arg minνNnXi=1（（Zτi，n，n）- Zτi-1，n，n）- （h（Ii，n，ν）- h（Ii）-1，n，ν），bXτi，n=Zτi，n，n- h（Ii，n，^ν）。然后，作者估计综合波动率威瑟夫特=NnXi=1(bXτi，n）+2NnXi=2bXτi，nbXτi-1，n，在哪里bXτi，n=bXτi，n-bXτi-1，n，并显示相应的中心极限理论。在适当的假设下，他们得到了最优收敛速度n1/2和AVARwhen T=1:AV AR（ERV）=6Zσtdt+8vZσtdt+8v。他们还考虑了另一个估计器（他们称之为E-QMLE），该估计器使用了秀（2010）的QMLE，我们在例4中将其视为局部估计器。1，根据估计的观测值Bxτi，n。他们指出E-QMLE可能产生更大的AVAR（见第38页的讨论），并在数值研究中报告其有限样本性能与ERVext相当（见第41页的表2）。他们没有研究相应的中心极限理论。根据本文提供的理论，我们不能研究E-QMLE，而是研究E-（QMLE的LPE），即我们在bxτi，n上应用例4.1。为了保持本文的符号，我们表示波动率的bΘE-（QMLE的LPE）估计量和bΘ（BC）nitsbias校正版本（即E-（QMLE的BC-LPE））。定理5中得到的AVAR与定理3中的AVAR相同。这是因为ν的估计非常准确，以n为收敛速度，因此预估计不会影响AVAR。

ERVext的情况已经如此（见Li等人（2016年）第46-47页的定理证明）。回顾QMLE的LPE被认为比QMLE更有效，特别是这意味着e-（QMLE的LPE）也被认为比e-QMLE更有效。在图1中，我们可以看到，与ERVext相比，E-（QMLE的LPE）极大地改善了theAVAR。随着▄的噪音增大i、 九倍。当按照Li等人（2016）的数值研究设置波动性和噪声方差时，AVAR的比率等于0.7。当我们进一步假设波动率没有跳跃时，这个比率将达到0.2。选择较大的噪声方差1.44e时- 07仍然合理，该比率低于0.01。总体情况显然有利于E-（QMLE的LPE）。我们在下面给出了这个估计器的定理。定理5。（E-（QMLE的LPE））在Li等人（2016，第7页）的假设A下：（i）我们假设α>。然后，稳定地在lawas n→ ∞,NbΘn- T-1ZTσsds→6T-1ZTσsdsN（0，1）。（53）（ii）当α=时，我们在n定律中有稳定的收敛性bΘ（公元前）n- Θ→T-1ZT2σs+4σsp4v+σsdsN（0，1）。我们现在简要讨论如何估计波动率的更高幂，即θ*t=g（σt），其中g不是恒等式函数。我们考虑例子4.2中的估计量。与例4.2的不同之处在于，该估计器基于信息而非原始价格，用于估计价格Bxτi。下面给出了相关定理。定理6。Li等人（2016年，第7页）在假设A下：（i）我们假设α>。然后，在法律上稳定为n→ ∞,NbΘ（公元前1年）n- Θ→6T-1ZTg（σs）σsdsN（0，1）。（54）在这里和下面的陈述中，法律上的稳定趋同与Li等人考虑的过滤有关。

(2016).图1:eVerext的AVAR和E-（QMLE的LPE）作为噪声方差的函数，即√的方差i、 n.水平时间设置为T=1（相当于6.5小时的日内交易）。在左侧，我们严格遵循Li等人（2016）的数值研究设置，其中σt=0.000125，如果0.05≤ t<0.95且σt=15* 否则为0.000125。平均每秒有一次观测，相当于n=23400。在右边，设置是相同的，只是我们去掉了波动率的跳跃，并考虑σt=0.000125表示0≤ T≤ 1.（ii）当α=时，我们没有bΘ（公元前2年）n- Θ→T-1ZT（g（σs））2σs+4σsp4v+σsdsN（0，1）。4.4使用不确定区域模型估计波动率我们在Robert和Rosenbaum（2011）中引入了不确定区域模型的时变摩擦参数扩展。为了将微观结构噪声纳入模型，我们将α定义为蜱虫大小，相关的渐近性为αn→ 0.相应地，我们假设观察到的价格Zτi，n包含在厚度网格上的值（即尺寸αn的模）。我们首先讨论带有不确定性区域的模型的一个简单版本，该模型以到达时间为特征。在一个无摩擦的市场中，我们可以假设所有的收益（我们记得被定义为Ri，n=Zτi，n，n-Zτi-1，n，n）有一个精确的刻度大小，当价格上升（或Xτi，n）时，潜在价格过程与中间刻度值Xτi，n+α交叉时，下一笔交易将发生-（当价格下跌时）。我们在下面的内容中扩展了这个玩具模型。作者引入了离散变量Li，n，它代表下一次收益的绝对大小，以滴答数表示。换句话说，下一个观察价格的形式为Zτi+1，n，n=Zτi，n，n±αnLi，n。

他们还引入了一个连续的（可能是多维的）时变参数χt，并假设在过去的条件下，对于一些未知的正可微函数pk（χτi，n），对于pMk=1pk=1的有界导数函数，Li用pτi，n（Li，n=k）=pk（χτi，n）表示{1，·m}。此外，摩擦会导致交易不会在有效过程超过中间刻度值时发生。为此，在Robertand Rosenbaum（2012）的表示法中，让0<η<1为量化厌恶toprice变化的参数。无摩擦情况对应于η=0。相反，当η接近1时，代理人非常厌恶交易。如果我们将X（α）定义为X的近似倍数，则采样时间递归定义为τ0，n:=0，对于任何正整数i，采样时间定义为τi，n:=infnt>τi-1，n:Xt=X（αn）τi-1，n- αn锂-1，n-+ η（55）或Xt=X（αn）τi-1，n+αn锂-1，n-+ ηo、 相应地，我们假设观测价格等于四舍五入的效率价格Zτi，n，n:=X（αn）τi，n。在（55）的扩展中，当η是时变的，我们假设采样时间递归定义为τi，n:=0，对于任何正整数i为τi，n:=infnt>τi-1，n:Xt=X（αn）τi-1，n- αn李，n-+ ητi-1，n或Xt=X（αn）τi-1，n+αn李，n-+ ητi-1，no、 （56）带有不确定区的时变摩擦模型背后的想法是，我们在两个观测值之间保持参数ηt恒定。为了将带有不确定区的模型表示为LPM，我们考虑θ*t:=（σt，ηt，χt）。继Robert和Rosenbaum（2012）中的定义（第11页）之后，我们进一步引入了一个独立于所有其他量的布朗运动，并让Φ表示标准高斯随机变量的累积分布函数。我们详细说明了与Wtasgt相关的Li的定义，n=sup{τj，n:τj，n<t}，Lt=mXk=1k1ΦWt- Wgt，n√T- gt，n∈香港-1Xj=1pj（χt），kXj=1pj（χt）i,Li，n=Lτi，n。

如果我们将随机创新设置为二维过程Ui，n:=（（Wt-Wτi-1，n）t≥τi-1，n，（（重量）-Wτi-1，n）t≥τi-1，n），并且过去作为Pτi，n=（Li，n，sign（Ri，n）），我们可以在模型中推导Fn的形式。我们在下文中提供了估值器的定义。我们对直接估算χtand不感兴趣，因此我们考虑估算子参数Θ：=（RTσtdt，RTηtdt）。对于k=1，··，m，我们定义了（a）t，k，n=Nn（t）Xi=1{Ri，nRi-1，n<0，|Ri，n |=kαn}，n（c）t，k，n=Nn（t）Xi=1{Ri，nRi-1，n>0，|Ri，n |=kαn}分别作为k个记号的交替和连续的次数。通过k个记号的交替（延续），我们的意思是，返回量为k个记号，其方向与之前的返回方向相反（方向相同）。我们定义了建议的读者会注意到先验、符号（Ri，n）和η不是独立的，因此LPM的假设并不完全成立。这个问题可以避免，因为前者实际上是有条件地独立于后者的。ηasbηt，n:=mXk=1λt，k，nut，k，n，（57）带λt，k，n:=n（a）t，k，n+n（c）t，k，nPmj=1的估计量N（a）t，j，N+N（c）α，t，j,ut，k，n:=max0分钟1.KN（c）t，k，nN（a）t，k，N- 1.+ 1.,其中Nn（t）定义为满足ZτNn（t），n<t<ZτNn（t）+1，n的整数，我们假设C/0:=∞, 特别是当N（a）α，t，k=0时，uα，t，k=1。关键思想是uα，t，kareη的一致估计。基于摩擦参数估计，我们可以构造一个一致的潜在价格估计量asbXτi，n=Zτi，n，n- αn（1/2）- bηt，n）符号（Ri，n）。综合波动率的估计器是使用通常的已实现波动率估计器获得的，其估计价格定义为DRVT，n=Nn（t）Xi=1（bXτi，n-bXτi-1，n）。相关的局部估计sbΘi，n:=（bσi，n，bηi，n）由dRVt，n，bηt，n.定理7。（带不确定区的时变摩擦参数模型）设GT为Xt、χ和ηt生成的过滤。

在法律上被称为n→ ∞,α-1nbΘn- Θ→T-1ZTVθ*十二烷基硫酸钠N（0，1），（58），其中Vθ可以直接从Robert和Rosenbaum（2012）第26页中引理4.19的定义推断出来。实际上，这里考虑的估计器与Robertand Rosenbaum（2012）中的原始定义（第8页）略有不同，因为它提供了较小的理论最终样本偏差。渐近地，两个激励因子是等价的，因此Robert和Rosenbaum（2012）中提供的所有理论都可以用来证明定理7。备注7。（收敛速度）请注意，当n对应于预期的观测数量时，等价地，（58）中的收敛速度为nw。关于这方面的更多细节，可以参考Potiron和Mykland（2017）的Remark4。4.5时间序列中的应用：时变MA（1）我们首先指定一般一维时间序列的LPM。在这种情况下，我们假设观测时间是有规律的。我们进一步假设，对于时间序列观测，返回Ri，nstand。最后，我们假设时变时间序列可以表示为θ的插值*tviaRi，n=Fn{Ps，n}0≤s≤τi-1，n，Ui，n，θ*τi-1，n, （59）式中θ*它被认为独立于所有的创新。当θ*这是一个恒定的、多时间序列的形式（59）。我们现在讨论具体的MA（1）表示。几种时变扩展是可能的，我们选择使用时变参数模型ri，n=μτi-1，n+√κτi-1，nλi，n+βτi-1，n√κτi-1，nλi-1，n，其中λi，是标准正态分布白噪声误差项，κ是时变方差。三维参数定义为θ*t:=（ut，βt，κt）∈R×R+*. 我们将创新和过去都表示为白噪声Ui，n=λi，与Pτi，n，n=λi，n。因此，我们将MA（1）表示为LPM。我们将在下面讨论如何估计参数。为简单起见，我们假设ut=0。

因此，目标量等于Θ=（RTβtdt，RTκtdt）。局部估计是最大似然估计（见汉密尔顿（1994），第5.4节）。在每个区块（sizehn），MLE偏差为h级-1n（Tanaka（1984）），因此不满足偏差条件（23）。尽管如此，我们可以将偏差修正到O（h）级-2n）如下所示。我们定义了偏差校正估计器asbΘ（BC）i，n=bΘi，n- b（bΘi，n，hn），我们实际上可以证明任何状态空间形式的时间序列都可以用相应的函数来表示。其中，偏置函数b（θ，h）可以根据Tanaka（1984）中的技术导出。特别是，这意味着，如果选择n1/4=o（hn），则偏差修正估计器满足偏差条件。在实践中，这种偏差可以通过蒙特卡罗模拟获得（见我们的模拟研究）。在参数情况下，在低频渐近条件下→ ∞ 观测次数为0，, ··· , T=n 具有 > 0，已知结果（例如，见第391-393页命题I的证明（A"it-Sahalia等人（2005））表明，MLE的渐近方差为N1/2（bβ，bκ）- (β, κ)→1.- β0 2κ1/2N（0,1）。以下定理提供了渐近理论的时变版本。定理8。（时变MA（1））设Fθt由θ生成的过滤*t、 我们假设n1/4=o（hn）和条件（P2）。那么，FθT在定律中稳定为n→ ∞,NbΘ（公元前）n- Θ→T-1RT（1- βs）ds 0RT2κsds！！N（0，1）。4.6进一步的例子两个进一步的例子包括我们自己最近的工作。Potiron和Mykland（2017）引入了高频协方差的偏差修正Hayashi-Yoshida估计器（Hayashi和Yoshida（2005）），并显示了内生和异步观测下的相应CLT。

为了模拟持续时间数据，Clinet和Potiron（2018a）建立了一个时变的Hawkes自激过程，推导了偏差修正的MLE，并显示了相应LPE的CLT。4.7讨论我们在接下来的讨论中提供了本节中考虑的特定示例的效率和稳健性。后续技术也可能有助于从文献中收集其他示例。4.7.1效率在格洛特和贾科德（2001）的研究中，n1/2的比率是最优的，这方面存在许多问题，例如本节中考虑的所有示例。此外，如果参数估计器本身是有效的，技术的局部特征应该产生有效性。这是例4.1中的（47）、例4.2中的定理4（ii）、例4.3中的定理5（ii）和定理6（ii）、例4.5中的定理8的情况，其中参数估计器在局部实现了效率的Cramér-Rao界。在例4.1中（46）的情况下，即在假设噪声非常小的情况下估计波动率时i、 n=op（1）/√n） ，渐近方差等于6T-1RTσsds，而有效结合2T-1RTσsds由RV获得。这将使方差增加3倍，当对不包含微观结构的模型进行错误描述时，在最大似然估计上也可以观察到（假设波动率为常数）。4.7.2潜在价格过程中对漂移和跳跃的鲁棒性我们关注的是观察值与潜在连续价格模型相关的特定情况dXt=RtσudWu，如例4.1-4.4所示（例4.5考虑的是没有任何潜在价格过程的时间序列）。我们将讨论如何在这些示例中添加漂移和跳跃。我们首先展示如何添加漂移分量。根据Girsanov定理，结合局部参数（参见，例如，pp。

在Mykland and Zhang（2012）的158-161中，我们可以通过允许价格和波动率局部鞅假设遵循一个It^o过程（在波动率或波动率估计幂的情况下为维度2），使波动率矩阵局部有界，且局部有界远离0，且漂移也局部有界，从而削弱价格和波动率局部鞅假设。也很容易看出，我们可以在Xt中允许有限的活动跳跃。为此，我们假设BΘi是在一个紧凑的集合上取值。以Jn为例 {1，··，Bn}Xt中至少有一个跳转的块集。随着区块数的增加→ ∞,最大似然估计总是在紧集上进行的，因此在这种情况下，假设基本满足，这与示例4.1-4.3相对应。此外，例4.4中η的估计值受定义的约束，但应用该技术需要约束波动率估计值。JNI的基数最多是有限的，因此我们得到了Tnnxi=1eΘi，nTi，n≈TXi/∈JneΘi，n然后立即修改CLT的证明。另一方面，如果价格过程和参数实际上都可能出现跳跃，那么理论发展就超出了本文的范围。4.7.3对θ跳变的鲁棒性*t通过类似于在Xt中添加跳跃的推理，本文的技术对θ中的跳跃（有限活动）具有鲁棒性*我们所有的例子。4.7.4非常规观测时间我们还假设，对于属于LPM的观测时间类型，存在潜在价格过程和原因。我们首先考虑了邦多夫-尼尔森等人（2008年，第5.3节，第1505-1507页）的时间变形。为了将其设置表示为LPM，我们假设观测时间的形式为τi，n=Γi/（nT），（60），其中Γ是一个随机过程，满足Γt=RtΓudu，且Γta严格正LPM参数。

然后，我们可以构造一个（时间变化）过程，对于观测值是有规律的。根据Dambis-Dubins-Schwarz定理（例如，参见Revuz and Yor（1999）第181页上的定理1.6），我们得到了[X]T=[~X]ΓT。此外，在这种情况下，立即可以看到条件（T）和（42）成立。或者，我们可以假设时间的二次变化（例如，见Mykland and Zhang（2006）1939页的假设A）存在，并且观测时间与价格过程无关。在适当的假设下，我们也可以证明条件（T）和（42）成立。我们的设置实际上可以允许（某种）内生停止时间，就像示例4.4中详细说明的具有不确定性区域的模型一样。内生性的类型是，在相关的中心极限定理中没有渐近偏差。最后，该模型考虑了Potiron和Mykland（2017）引入的一般多维HBT模型中的内生观察时间。在这种情况下，中心极限定理具有渐近偏差。4.7.5估计θ的时变函数*关于这个理论的另一个很好的推论是，我们可以得到积分参数g（t，θ）幂的中心极限定理*t） 对于g，当使用局部估计g（Ti-1，n，bΘi，n）。从本质上讲，证明在每个blocka Taylor展开上使用delta方法。我们将该技术应用于局部QMLEin示例4.2和示例4.3中Li et al.（2016）的自适应估计器，以估计更高的波动率。5数值研究：用qmle5估计波动率。1本研究的目标为了调查LPE的有限样本性能，我们考虑了第4.1节中介绍的当地质量。这项研究的目标有两个。首先，我们要调查LPE与全球QMLE相比的表现。