高频数据的局部参数估计

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英文标题：
《Local Parametric Estimation in High Frequency Data》
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作者：
Yoann Potiron, Per Mykland
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper, we give a general time-varying parameter model, where the multidimensional parameter possibly includes jumps. The quantity of interest is defined as the integrated value over time of the parameter process $\\Theta = T^{-1} \\int_0^T \\theta_t^* dt$. We provide a local parametric estimator (LPE) of $\\Theta$ and conditions under which we can show the central limit theorem. Roughly speaking those conditions correspond to some uniform limit theory in the parametric version of the problem. The framework is restricted to the specific convergence rate $n^{1/2}$. Several examples of LPE are studied: estimation of volatility, powers of volatility, volatility when incorporating trading information and time-varying MA(1).
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中文摘要：
本文给出了一个一般的时变参数模型，其中多维参数可能包含跳跃。兴趣量定义为参数process$\\Theta=T^{-1}\\int_0^T\\Theta_T^*dt$随时间的积分值。我们给出了$\\Theta$的局部参数估计（LPE）和证明中心极限定理的条件。粗略地说，这些条件对应于问题的参数化版本中的统一极限理论。该框架仅限于特定的收敛速度$n^{1/2}$。研究了LPE的几个例子：波动率的估计、波动率的幂、合并交易信息时的波动率和时变MA（1）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
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2022-5-11 01:25:14 上传

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关键词：参数估计 高频数据 Multivariate Econophysics Quantitative

高频数据中的局部参数估计*Yoann Potiron+和Per Mykland该版本：2018年8月22日摘要本文给出了一个通用的时变参数模型，其中多维参数可能包括跳跃。利息数量定义为参数过程Θ=T随时间变化的综合值-1RTθ*tdt。我们给出了Θ的局部参数估计（LPE）和证明中心极限定理的条件。粗略地说，这些条件对应于问题的参数化版本中的统一极限理论。该框架仅限于特定的收敛速度n1/2。研究了LPE的几个例子：波动率估计、波动率幂、合并交易信息时的波动率和时变MA（1）。关键词：综合波动率；市场微观结构噪声；波动的力量；拟极大似然估计*我们感谢Simon Clinet、Takaki Hayashi、Dacheng Xiu、柏林和东京研讨会以及大阪、富山会议、香港索菲年会、埃德蒙顿IPMS会议的与会者提出宝贵意见，这些意见有助于提高论文质量。+庆应大学工商学院。2-15-45日本东京弥敦谷三田，108-8345。电话：+81-3-5418-6571。电子邮件：potiron@fbc.keio.ac.jp网站：http://www.fbc.keio.ac.jp/~potiron——芝加哥大学统计系。伊利诺伊州芝加哥南大学大道5734号，60637。电话：+17737028044/8333。传真：+17737029810。电子邮件：mykland@pascal.uchicago.edu1简介建模动力学在金融、经济学、物理学、环境工程、地质学和社会学等各个领域都至关重要。时变参数模型可以处理动力学中的一个特定问题，即系统的时间演化。

关于时变参数模型和局部参数方法的大量文献包括但不限于Fan和Gijbels（1996）、Hastie和Tibshirani（1993）或Fan和Zhang（1999），当涉及回归和广义回归模型时，包括Dahlhaus（1997、2000）、Dahlhaus和Rao（2006）工作后的局部平稳过程，或任何其他时变参数模型，例如Stock and Watson（1998）和Kim and Nelson（2006）。在本文中，我们建议在高频统计的特定背景下，为一类广泛的问题指定局部参数方法。高频数据文献中广泛使用了局部方法，如Mykland和Zhang（2009年、2011年）、Kristensen（2010年）、Reiss（2011年）或Jacod和Rosenbaum（2013年）等。如果我们定义为水平时间，本专著中的（随机）目标量定义为综合参数Θ：=TZTθ*sds，（1）可以等于波动率、多个资产之间的协变量、微观结构噪声的方差、具有不确定性区域的模型的摩擦参数（更多细节见示例4.4）、MA（1）模型的时变参数等，以估计综合参数，我们通过对块内的观测值使用参数估计来估计每个块上的局部参数，并取局部参数估计的加权和，其中每个加权等于相应的块长度。我们将得到的估计称为局部参数估计（LPE）。在第3节中，我们研究了可以建立相关中心极限定理的条件，其收敛速度为n1/2，其中n是（可能预期的）观测数。该框架是这样的，即局部块的长度以同情的方式消失。

基本上，我们的目标是为统计学家提供一个透明且尽可能简单的设备，以解决基于中心极限理论的时变参数问题。证明的原始关键概率步骤，正式允许从随机参数切换到确定性参数，是使用正则条件分布理论（例如，见Breiman（1992））。付出的代价是参数极限理论结果的某种一致性，并表明参数模型和时变参数模型之间的某些偏差渐近消失。在第4节中，该技术用于五个不同的例子，以推导相关的中心极限定理。据作者所知，所有这些结果都是新的。根据所考虑的例子，LPE在以下一个或几个方面是有用的：稳健性：LPE对时变参数（例如，不确定区域模型的噪声方差η、MA（1）过程的参数）具有稳健性，这些参数通常假定为常数。除例4.3外，我们所有的例子都是这样。效率：事实证明，LPE比全局估计或现有并行方法更有效。例4.3就是这样。此外，除了例4.4之外，我们推测theLPE在我们所有的例子中都是有效的。新估计器的定义：估计器可能无法在全球范围内工作，但LPE提供了一个很好的候选者，如例4.2和例4.3所示。我们将在下文中描述五个示例。为了估计噪声观测下的综合挥发性，秀（2010）研究了A"it-Sahalia等人最初研究的准最大似然估计（QMLE）。

（2005），当噪声的方差固定时，展示了相应的交感理论，并获得了收敛的n1/4，这是最优的（见Gloter和Jacod（2001））。最近，A"it-Sahaliaa和Xiu（2016）证明了它对满足Op（1/n3/4）的收缩噪声具有鲁棒性，Da和Xiu（2017）获得了中心极限定理，其速率范围为n1/4到n1/2，取决于噪声的大小。假设它是Op（1）/√n） 我们证明了QMLE的LPE是最优的（速率为n1/2），并且对时变噪声方差具有鲁棒性。另一个重要问题可以追溯到Barndor ff-Nielsen和Shephard（2002年），那就是对更高波动率的估计。为此，我们定义了一个LPE，其中本地估计值是波动率QMLE的幂。在小噪声假设下Op（1/√n） 我们证明了该估计器是最优的，并且对时变噪声方差具有鲁棒性。这是一个全局方法不起作用的例子，因为QMLE仅在估计波动性时是一致的。最近的一个问题是在合并交易信息时对波动性的估计。为此，Li等人（2016）假设噪声是交易信息的一个参数函数，剩余的噪声分量为Op（1）/√n） 。他们的策略是首先估计噪声的参数部分，然后取预先估计的有效回报的平方和。他们还主张在价格预估后使用QMLE，尽管他们没有提供相关的极限理论。

我们证明，在考虑QMLE的LPE时，后一种方法是等时的，并且提供了比前一种方法更好的渐近方差（AVAR）。此外，如例2所示，对局部估计器的修改使我们能够估计更高的波动率。Robert和Rosenbaum（2011年，2012年）提出了一种对观测价格进行建模的并行超高频方法，他们引入了带有不确定性区域的半参数模型，其中η是一维摩擦参数，观测时间是内生的，观测价格位于刻度网格上。由于最有可能与波动性相关，自然会将ηtas视为一个时变参数。我们提供了一个形式模型扩展，并建立了他们工作中考虑的估计量的LPE的相应极限理论。此外，我们的经验说明似乎表明η确实是时变的。在最后一个例子中，我们考虑了时间序列中的一个应用，并引入了一个具有零均值的时变MA（1）模型。时间序列是在高频[0，T]和θ中观察到的*t与MA（1）过程的二维参数相关。我们证明了最大似然估计的LPE是最优的，并证明它在有限样本中优于全局最大似然估计和其他并行方法。本文的剩余部分组织如下。下一节将介绍LPM。中心极限理论的条件见第3节。我们将在第4节中给出示例。我们调查了局部波动率的有限样本表现，并将其与第5节中的全局方法进行了比较。我们在第6节中得出结论。

附录中收集了简单模型的一致性、证明、MA（1）模型的附加数值模拟以及带有不确定区的模型的经验说明。2局部参数模型（LPM）2.1数据生成机制我们假设我们观察d维向量Z0，n，·ZNn，n，其中Nn可以是随机的，观察时间满足τ0，n:=0<τ1，n<·ZNn，n≤ T观测值和观测时间都与潜参数θ有关*t、 例如，观测值可以满足Zτi，n，n=Xτi，n+i、 n，其中Xt=σtdwt代表有效价格，wt是标准布朗运动，i、 与市场微观结构噪音（将被限制为有序）相关i、 n=Op（1）/√n） 由于第3节中开发的技术的局限性，它是独立的、独立分布的（IID）和独立于Xt的，并且潜在参数与波动率相等，即θ*t=σt。我们假设参数过程θ*t取Rp的K，a（非必要紧）子集中的值。我们不假设θ之间有任何独立性*以及驱动观测的其他量，如有效价格过程的布朗运动。特别是，可能存在杠杆效应（参见Wang和Mykland（2014），A"it-Sahalia等人（2017））。此外，到达时间τi和参数θ*t可能是相关的，即采样时间存在（某种）内生性。2.2渐近性文献中通常有两种渐近性选择：高频渐近性（使观测数量在[0，T]上激增）和低频渐近性（使T趋于一致）。我们选择前者。

调查低频执行案例超出了本文的范围。如果我们像Dahlhaus（1997）的第3页那样建立渐近理论，我们猜想本文的结果将是正确的。2.3估计此处采用的方法在高频数据中很常见。我们将区块大小（即区块中的观测数量）定义为hn，将区块数量定义为Bn:=pNnh-1nq。对于i=1，··，bn我们将第i个块上的参数平均值定义为Θi，n:=RTi，nTi-1，nθ*十二烷基硫酸钠Ti，n，（2）式中，Ti，n:=min（τihn，T）及其相应的参数估计量asbΘi，n。然后，我们取bΘi的加权和，并获得积分点过程bΘn:=TBnXi=1bΘi，n的估计量Ti，n，（3）在哪里Ti，n=Ti，n- 钛-我们称（3）为局部参数估计（LPE）。Weassume than/n→ 0（4），这样当观测值为规则值时，块大小Ti，n:=T hn/n渐近消失。根据条件（T）和备注4，我们有类似的E[Ti，n]=O（hn/n）在观测值不规则时也变为0。3.中心极限理论我们在本节介绍了本文的一般技术。它主要基于Jacod（1997）中的定理2-2，或类似于Jacod和Shiryaev（2003）中的定理IX.7.3和定理IX.7.28，或Jacod和Protter（2011）中的定理2.2.15，以及规则条件分布技术（参见Breiman（1992）中的第4.3节（第77-80页））。更具体地说，在本文的特定背景下，我们为上述定理提供了充分条件。这些条件基于问题的参数化版本中的极限理论，我们假设这是统计学家预先获得的。请注意，本文中的局部方法与Giraitis等人（2014）的基于大T的方法和问题有关。以下方法适用于收敛速度n。

在形式上，我们需要找到T的极限分布-1BnXi=1bΘi，n- Θi，n具体来说，我们想证明（5）稳定收敛到极限分布。我们首先定义了稳定收敛。定义。（稳定收敛）一系列随机变量zn被称为稳定收敛于Z，其定义在扩展上(Ohm, F、 P）的(Ohm, F、 P），如果有∈ 对于任何连续有界函数，我们都有f（Zn）1E→ Ef（Z）1E.3.1常规观察情况我们首先考虑观察是常规的简单情况，即τi，n=iT/n和nn=n。我们假设JT是对(Ohm, F、 P）使得θ*它已经适应了。在本文的下文中，当使用条件期望eτ[Z]时，我们将参考已知Jτ的Z的条件期望。我们将过滤的离散时间版本定义为Ii，n=Jτi，n。最后，如果我们将观察结果的返回值表示为asRi，n=Zτi，n，n- Zτi-1，n，n，（6）我们假设收益可以表示为ri，n=Fn{Ps，n}0≤s≤τi-1，n，Ui，n，{θ*s} τi-1，n≤s≤τi，n, （7） 可以用一般的收敛速度来描述这个问题，但是本文中所有考虑的样本都是收敛速度为n1/2的。我们可以看看雷尼（1963年）、奥尔德斯和伊格尔森（1978年）、霍尔和海德（1980年）第3章（第56页）、罗茨恩（1980年）、雅科德和普罗特（1998年）第2节（第169-170页）中关于稳定收敛的定义，定义八。5.28在Jacod和Shiryaev（2003年）或定义1在Podolskij和Vetter（2010年）。相关的假设是τ是Jt停止时间。其中Fn（x，y，z）是一个三维非随机函数，随机变量i，nare IID（尽管其分布可能依赖于n）适应于Ii，与过去的信息Ii无关-1，n，Pt，nis是一个（可能是多维的）过程，适用于JT，代表模型中重要的过去。

我们进一步假设Pt，nis独立于θ*t、 关键的例子如下。我们假设观测值遵循加法模型Zτi，n，n=Xτi，n+i、 n，其中Xt=σtdwt是有效价格和i、 n（收缩）IID噪声与Xt无关，参数为θ*t=σt.在这种情况下，Ui，n=（{Ws}τi）-1，n≤s≤τi，n- Wτi-1，n，i、 n）和Ps，n=i、 nifτi，n≤ s<τi+1，n。函数fn的形式为fn=Zτi，nτi-1，nσsdWs+i、 n- 我-对表达式（8）至关重要的是，过去的依赖只通过过去的噪声我-1，n，即我们不需要知道Pt，n的整个过去，而只需要知道当前值。这将在接下来的工作中非常有用。我们现在提供该方法的概要。我们的目标是利用问题的参数化版本的先验极限结果来研究（5）的极限分布。高频统计证明中的一种常见方法是分解bΘi，n-Θi，n进入bΘi，n-^Θi，n+^Θi，n- θ*钛-1，n+θ*钛-1，n- Θi，n, （9） 式中，当我们在每个块上保持参数常数时，估计量的n阶。然后，我们通常可以处理第一项和第三项（最有可能是Burkholder-Davis-Gundy和Markov型不等式），并最终证明它们渐近消失。主要工作是在（9）中建立第二项的中心极限理论。典型的证明包括使用局部参数结果和一些黎曼和参数。但这可能很麻烦，因为我们假设Fn（x，y，z）是联合可测的，并且Pt，nis在Borel空间上取值。此外，我们假设对于任何（Ps，n，Ui，n，θ*s） 我们有E | Fn（Ps，n，Un，θ*s） |<∞建议读者会注意到，FN不是普通意义上的函数。我们仍然滥用它作为一种“功能”。每个块上的参数虽然是常量，但却是随机的。