高频数据的局部参数估计

相反，我们建议研究^Θi，n- θ*τi-1，n进入^Θi，n-^ΘPi，n+^ΘPi，n- θ*τi-1，n, 式中（10）^ΘPi，n:=^Θi，n|Ps，n}0≤s≤τi-1，n=P，（11），P是固定的非随机过去。在（8）的情况下，我们可以选择P=0。从这一新的分解中，我们可以相对容易地看出，第一项变为0，因此，将在分解的第二项上研究中心极限理论。通过（11）中一个特定过去的条件作用，我们消除了一些随机性，尽管参数仍然是随机的。在我们的证明中使用条件正则分布结果，我们实际上表明，我们也可以随机取参数。这种方法的代价是在显示极限结果时，在参数值中显示某种一致性，并且（10）中的第一项渐近消失。我们将介绍一些定义。对于i=1，··，bn我们定义了ITH区块Rji的收益率，n:=R（i-1） hn+j，nNj=1，····，hn，类似地，Uji，n，τji，n，Wji，nandji，n.Weassume，bΘi，n:=θhn，n（Ri，n；····；Rhni，n），（12）其中θhn，是Rdhn上的一个函数。近似回报和近似估计值定义为Arji，n:=Fn{Ps，n}0≤s≤τj-1i，n，Uji，n，θ*钛-1，n, （13） ^Θi，n:=^θhn，n（eRi，n；···；eRhni，n）。（14） 基本上，当我们保持参数常数等于其块初值θ时，这两个表达式可以分别看作（7）和（12）的悬垂式*钛-1，n.在关键示例（8）的情况下，我们得到的近似回报为形式ji，n=σTi-1，n（Wji，n- Wj-1i，n）+(ji，n- J-1i，n）。（15） 我们还介绍了条件参数化版本aseRj，Pi，n:=EeRji，n|{Uki，n}k≤j、 {Ps，n}0≤s≤钛-1，n=P, （16） ^ΘPi，n:=^θhn，n（eR1，Pi，n；·eRhn，Pi，n）。（17） 在这里，我们将过去与（16）中的P相等，这消除了与（13）相比的一些随机性。

在关键示例中，我们可以（任意）选择P=0，而这一过去只会“影响”块上返回值的第一个条件参数版本1，Pi，n=σTi-1，n（Wi，n）- Wi，n）+i、 n，（18）而对于j=2，···，hn，我们有erj，Pi，n=eRji，n。这个关键的例子是一个例子，模型是1-马尔可夫的，因为过去只影响区块的第一次回报值。这是一个相当温和的假设，我们将看到更复杂的模型，比如带有不确定性区域的模型，自然会表现出更长的时间依赖性。此外，当参数等于θ且过去固定为P时，我们引入了回报和估计的参数版本。相应地，随机性在以下表达式中进一步降低。这在条件（E）中是有用的。Rj，P，θi，n:=EeRji，n|{Uki，n}k≤j、 θ*钛-1，n=θ，{Ps，n}0≤s≤钛-1，n=P, （19） ^ΘP，θi，n:=^θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）。（20） 我们现在提供关于θ的假设*t、 第一个假设考虑了连续半鞅情形。条件（P1）。参数θ*它的形式是θ*t:=aθtdt+σθtdWθt，（21），其中aθ是适应局部有界的（维数p），σθ是适应局部有界的非负连续It^o-过程（维数p×p），Wθ是标准的p维布朗运动。我们为你介绍一个标准∈ Rpas | u |=p（u（1））+·u+（u（p））。下面的假设考虑了一个比半鞅更一般的过程。尽管如此，这个假设还是相当有限的，特别是因为HN没有出现在（22）的右边。在实践中，当考虑不能表示为“纯漂移”的平滑参数时，这是有用的。条件（P2）。θ*tsatis fies在i=1、··、BnthatETi中均匀分布-1，n苏普蒂-1，n≤s≤Ti，n |θ*s- θ*钛-1，n|= op（n）-1).

（22）由于在整个空间K上极限结果的一致性可能不可能得到，我们允许在紧致子空间KM上工作，它随着M的增加而增长到K。因此，我们假设θ*它在紧集Km上局部有界，在意义上存在τmP→ T使得对于任何m，存在满足θ的Mm>0*T∈ 任何国民党∈ [0，τm]。我们在下面的充分条件中提供了Jacod（1997）定理3-2中的偏差条件（3.10）、增量条件（3.11）和林德伯格条件（3.13）。（几乎）同等地，可以使用Jacodand Shiryaev（2003）中的定理IX.7.3和定理IX.7.28，或Jacod和Protter（2011）中的定理2.2.15。这些条件基于问题的参数化版本。条件（E）。对于任何（非随机）参数θ∈ K、 我们假设存在一个（非随机）协方差矩阵Vθ正定义，使得对于任何M>0，我们有Vθ有界于任何θ∈ k与θ一致∈ i=1，··，BnwehaveE中的k曼德^ΘP，θi，n- θ= o（n）-) （23）Var嗯^ΘP，θi，n- θ= VθT+o（1）（24）Ehn |^ΘP，θi，n- θ| 1{hnn-|^ΘP，θi，n- θ |> }= o（1）， > 0.（25）我们假设Bn（t）是t之前的块数，mb是所有有界鞅的集合。我们现在提供中心极限定理。定理1。（具有正则观测时间的中心极限定理）我们假设条件（E）。此外，我们假设条件（P1）和块大小Hn为suchthatn-hn=o（1）、（26）或条件（P2）。设mt为p维平方可积连续鞅。此外，我们假设∈ [0，T]我们没有-hnBn（t）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，nMTi，n- MTi公司-1，n提示→ 0，（27）n-hnBn（t）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，nNTi，n- NTi-1，n知识产权→ 0，（28）表示所有N∈ Mb（M）⊥), 其中Mb（M）⊥) 是MBM中与M正交的所有元素的类别（即M的所有成分）。最后，我们假设n-hnBnXi=1bΘi，n-^ΘPi，nP→ 0

（29）然后，在法律上稳定地→ ∞, 我们没有bΘn- Θ→eZ，（30）式中，heZ，eZit=T-1RtVθ*sds和heZ，Mit=0。特别是，我们没有bΘn- Θ→T-1ZTVθ*十二烷基硫酸钠N（0，1）。（31）备注1。（参数模型）注意，在时变参数模型等于参数等于θ的参数模型的情况下*, bΘ的渐近方差（AVAR）等于参数模型的方差，即nbΘn- Θ→ Vθ*N（0，1）。备注2。（估计渐近方差）如果统计学家手边没有（参数）方差估计量，并且她的参数估计量可以写成Mykland and Zhang（2017）中的那样，那么可以使用引用文件中的技术来获得方差估计。调查这些技术是否能在我们的环境中发挥作用超出了本文的范围。如果她有一个方差估计器^vhn，n，那么对于anyi=1，···，bn，她可以估计第i个块方差bvi，nasbVi，n:=^vhn，n（Ri，n；···；Rhni，n），渐近方差作为加权的sumbVn=T-1BnXi=1bVi，nTi，n.（32）在轻度均匀性假设下，该估计值将是一致的。备注3。（非零渐近偏差）如果我们进一步假设，在条件（27）的地方，存在一个非零连续过程GTN-hnBn（t）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，nMTi，n- MTi公司-1，n提示→ Gt，（33）然后（30）仍然成立，其中heZ，eZit=T-1RtVθ*sds和heZ，Mit=Gt，但（31）不再有。3.2非常规观察案例我们现在考虑的情况是，观察可能是随机的（甚至是内生的）。我们将时间增量定义为τi，n:=τi，n-τi-1、nand做出第一个自然假设。条件（T）。观察时间是如此之短Nn= O（n）、（34）sup1≤我≤NnEτi-1，n(τi，n）= Op（n）-3). （35）备注4。（区块长度）作为（35）的一个明显结果，我们得出区块长度满足Ti，n= O（hnn）-1).观测时间与θ有关*t、 回报也是如此。

我们假设（Ri，n，τi，n）满足（7），所有定义（12）-（20）如下。最后，我们确定eTPi，n=eτPhni，n- eτP（hn）-1） 我，南德TP，θi，n=τP，θhni，n- τP，θ（hn）-1） 在这种情况下，我们调整条件（E）。条件（E*）。对于任何（非随机）参数θ∈ K、 我们假设存在一个（非随机）协方差矩阵Vθ>0，使得对于任何M>0，Vθ对任何θ都有界∈ k与θ一致∈ 在i=1的情况下，我们有^ΘP，θi，n- θTP，θi，n= o（hnn）-), （36）Var嗯^ΘP，θi，n- θTP，θi，n= VθETP，θi，nT hnn-1（37）+o（hnn）-2） ，E新罕布什尔州-1n（AP，θi，n）{nAP，θi，n>}= o（1）， > 0，（38）式中，AP，θi，n=|^ΘP，θi，n- θ | 我们还采用了中心极限定理。定理2。（具有非正则观测时间的中心极限定理）我们假设条件（T）和条件（E*）。此外，我们假设条件（P1）和（26），或条件（P2）。设mt为p维平方可积连续鞅。此外，我们假设∈ [0，T]我们没有bn（T）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，n埃特皮，nMTi，n- MTi公司-1，n提示→ 0，（39）nBn（t）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，n埃特皮，nNTi，n- NTi-1，n知识产权→ 0，（40）表示所有N∈ Mb（M）⊥). 最后，我们假设nbnxi=1bΘi，nTi，n-^ΘPi，n埃特皮，nP→ 0，（41）nBnXi=1ETi-1，新罕布什尔州埃特皮，n- Ti，n知识产权→ 0，（42）在i=1，··，Bn中一致。然后，在法律上稳定为n→ ∞, 我们没有bΘn- Θ→eZ，（43）式中，heZ，eZit=T-1RtVθ*sds和heZ，Mit=0。特别是，我们没有bΘn- Θ→T-1ZTVθ*十二烷基硫酸钠N（0，1）。（44）备注5。

（非零渐近偏差）更一般地说，如果我们假设存在一个非零连续过程，那么∈ [0，T]我们没有bn（T）Xi=1ETi-1，新罕布什尔州^ΘPi，n- θ*τi-1，n埃特皮，nMTi，n- MTi公司-1，n提示→ Gt，（45）而不是（39），那么（43）仍然成立，其中heZ，eZit=T-1RtVθ*sds和heZ，Mit=Gt，但（44）不再成立。3.3偏差校正由于参数估计器必须满足偏差条件（36），因此在某些情况下，考虑偏差校正（BC）版本的参数估计器是有用的，它提供了对第i个区块BΘ（BC）i，n的估计。然后，BC LPE被构造为BΘ（BC）n=TBnXi=1bΘ（BC）i，nTi，n.4示例本节提供了第3节中介绍的理论的一些应用。本节提供的中心极限定理都是新的。我们选择了四个有规律观察的例子，在这些例子中，我们能够充分展示定理1的条件。我们进一步考虑了具有不确定性区域的模型，其中观察时间内存在内生性，这意味着我们必须用QMLE4验证第2.4.1条波动率估计的更一般条件。1.1中心极限理论我们假设噪声的形式为i、 n:=n-αvτi，nγτi，n，其中α≥ 1/2，噪声方差vt是时变的，γ-tare IID具有零均值和单位方差。换句话说，我们有i、 n=Op（1）/√n） 。参数过程定义为二维波动和噪声方差过程θ*t=（σt，vt）和tusΘ=T-1RTσtdt，T-1RTvtdt. 相应地，我们在本地使用了Xiu（2010年，第236页）中考虑的qmlecon，并引入了对应的lpebΘn=（bσn，bvn）的符号。我们还考虑了QMLEbΘ（BC）n的偏差修正版本，其中构造无偏估计量的程序在第4.1.2节中给出。

在现实框架下的数值模拟中，即使n值很小，也没有观察到这种偏差（参见Xiu（2010）中的第6节和Clinet and Potiron（2018b）中的第5节），因此在实践中使用bΘn=（bσn，bvn）是安全的。α的假设≥ 1/2是相当严格的，因为相关文献都是关于qmle的。不幸的是，在α<1/2的情况下，本文的技术不适用。Xiu（2010）展示了当VT为非时变且α=0时QMLE的CLT。在相同的设置下，Clinet和Potiron（2018b）表明，当使用Bn=B固定的LPE时，渐近方差可以更小，并记录了在单元示例中，LPE优于全局QMLE。A"it-Sahalia和Xiu（2016）实际证明，MLE对Op（1/n3/4）形式的噪声具有鲁棒性。Da和Xiu（2017）展示了中心极限理论，其收敛速度从n1/2到n1/4不等，取决于噪声的大小。然而，这些技术允许我们研究LPE在不同症状下的行为，即当噪声方差为Op（1）时/√n） 而且+∞. 此外，我们考虑了噪声方差的异方差性。最后，如果noisevariance以与收益方差相同的速度变为0，即α=1/2，我们还可以检索综合方差噪声。根据本文的设置，波动率和噪声的收敛速度均为n1/2。为了验证CLT的条件，我们大量使用Qmle的渐近结果（见秀（2010）中的定理6）和低频渐近中的MLE（见A"it-Sahalia等人（2005）第369页的命题1）。这个结果被正式地嵌入了下面的定理中。定理3。（QMLE）我们定义FXT Xt生成的过滤。（i） 我们假设α>。然后，FXT在定律中稳定为n→ ∞,Nbσn- T-1ZTσsds→6T-1ZTσsdsN（0，1）。

（46）（ii）当α=时，我们在n定律中有FXT稳定收敛bΘ（公元前）n- Θ均值和渐近方差均为零的非混合正态随机变量-1A-RTσs+2σsvs+4σsp4vs+σsdsoRT2vs+σsσs+2vs+σsp4vs+σsds！，（47）式中A=RT2σs+4σsp4vs+σsds。备注6。（用QMLE估计高频协方差）为了估计噪声观测和异步观测下的综合协方差，A"it-Sahaliaet al.（2010）引入了基于观测时间同步的QMLE。显然，它们的广义同步方法可以表示为LPM。鉴于他们在第1506页提出的估计器（2）与第4.1节中研究的QMLE之间的密切联系，我们的工作条件可以得到验证，因此作者的OREM 2（第1506页）可以在与第4.1节类似的框架中，即当噪声方差为O（n）时，使用LPE进行调整-1/2）和时变。4.1.2构造无偏估计量的算法我们在这里描述了获得bΘ（BC）n的算法。注意，只有当α=1/2.1时，才需要进行偏差校正。我们计算局部QMLEs。2.根据秀（2010）中的定理6（第241页），我们计算了相应的WandW。3.当使用上述定理中的公式（21）和（22）时，我们更改了矩阵的一些条目，以确保无偏估计。4.我们使用公式（21）和（22）以及校正矩阵计算无偏局部QMLE。5.偏差修正后的LPEbΘ（BC）值取局部偏差修正估计值的平均值。4.2挥发度幂的估计参数为θ*t=g（σt），其中g不是恒等式函数。我们关心的是波动率Θ=T的幂的估计-微观结构噪声方差为O（1）时的1RTg（σt）dt/√n） 与第4.1节中的设置相同。巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002）提出了这个问题。

他们发现，情况g（x）=xis与实际波动率的渐近方差有关。也可以咨询巴恩多夫-尼尔森等人（2006年）、Mykland and Zhang（2012年，提案2.17，第138页）和雷诺等人（2017年）了解相关发展。所有这些研究都假设没有微结构噪声。当存在微结构噪声时，Jacod等人（2010）使用预平均法。在四次性的特殊情况下，我们也可以看看Mancino和Sanfelici（2012）以及Andersen等人（2014）。关于Tricity，请参见Altmeyer和Bibinger（2015）。在没有微结构噪声的情况下，区块估计（Mykland and Zhang（2009，第4.1节，第1421-1426页））能够使所述的估计量大致或完全有效。要做到这一点，首先要局部估计波动率bσi，然后取g（bσi，n）的黎曼和。另请参见Jacod和Rosenbaum（2013），了解该方法在某些方面的扩展版本。在考虑微观结构噪声的情况下，本着同样的精神，我们建议局部使用估计g（bσi，n），其中bσi，是对ITH区块波动性的QMLE估计。正如Jacod和Rosenbaum（2013）所指出的，即使我们在局部使用双修正估计量bσ（BC）i，n, 我们将为使用函数gin front付出代价。特别是，在渐近极限理论中，会出现一个很难纠正的渐近偏差，如所引用的论文中的定理3.1所示。为了消除这种偏见的大部分内容，我们遵循citedwork第3.2节开头的想法，选择HN-1/2h3/2n→ ∞. （48）注意，这与其他条件（26）不兼容，即-1/2hn→ 0，这将在下文中假设。在（48）中，不存在偏差的部分增长到渐进爆炸的程度。

这导致我们考虑以下两个偏差修正估计量：bΘ（BC，1）n=b-1nBnXi=1g（bσi，n）-hnbσi，ng（bσi，n）. （49）bΘ（BC，2）n=b-1nBnXi=1gbσ（BC）i，n-（bσ（BC）i，n）+2（bσ（BC）i，n）q4bv（BC）i，n+（bσ（BC）i，n）hngbσ（BC）i，n!. （50）定理如下所示。该证明使用局部增量方法，然后遵循定理3的证明。定理4。（波动率的幂）设g为非负函数，使得| g（j）（x）|≤ K（1+| x | p）-j） ，j=0,1,2,3，（51）对于某些常数K>0，p≥ 3.（i）我们假设α>。然后，FXT在定律中稳定为n→ ∞,NbΘ（公元前1年）n- Θ→6T-1ZTg（σs）σsdsN（0，1）。（52）（ii）当α=时，我们有FXT稳定的定律bΘ（公元前2年）n- Θ→T-1ZTg（σs）2σs+4σsp4vs+σsdsN（0，1）。为了反映局部方法的有效性，读者可以注意到，当g与同一函数不同时，全局QMLE估计的量是错误的，但波动率恒定时除外。为了了解为什么会出现这种情况，我们考虑了四次性的估计（即g（x）=x），并且我们注意到，全局QMLE将估计g（RTσtdt），这是除了波动率常数不同于RTσtdt时。Andersen等人（2014）的大量实证研究也表明，这两个量在实践中非常不同。4.3结合交易信息的波动率和更高波动率的估计，以结合高频数据中的所有可用信息（例如，除交易价格外，我们还观察交易量、交易类型，即买方或卖方发起的交易，更一般地说，是限价订单簿中的买卖信息），Li等人（2016年）考虑通过参数函数Zτi，n，n=Xτi，n+部分观察到噪声的模型i、 n=Xτi，n+h（Ii，n，ν）+i、 n，式中，Ii，nis是时间τi，nand时的信息向量i、 这是原始噪音中嘈杂的部分吗i、 n。