高频数据的局部参数估计

我们记得，我们“仅”显示了关于FXt的稳定收敛，现在我们显示了与稳定收敛相关的条件（28）。实际上，我们可以假设Nt=Xt，这意味着结果适用于任何N∈ Mb（M）⊥). 根据秀（2010）的定理6，我们得到了^ΘPi，n=ihn-1Xk=（i）-1） hnihn-1Xl=k+1ωk，l，n（Zτk+1，n，n- Zτk，n，n）（Zτl+1，n，n- Zτl，n，n）。我们可以发展（Zτk+1，n，n- Zτk，n，n）（Zτl+1，n，n- Zτl，n，n）=I+II+III+IV，其中I=（Xτk+1，n）- Xτk，n）（Xτl+1，n- Xτl，n），II=（Xτk+1，n- Xτk，n）(l+1，n- l、 n）三=(k+1，n- k、 n）（Xτl+1，n- Xτl，n）和IV=(k+1，n- k、 n）(l+1，n- l、 n）。因为Noise独立于Xt，所以很明显ETi-1，n二、* （XTi，n- XTi-1，n）= 0，ETi-1，n三、* （XTi，n- XTi-1，n）= 0和ETi-1，n四、* （XTi，n- XTi-1，n）= 至于我，我们可以表达*（XTi，n- XTi-1，n=I*ihn-1Xk=（i）-1） hn（Xτk+1，n- Xτk，n），从这个表达式直接计算得出-1，新罕布什尔州^ΘPi，n-Θi，nXTi，n- XTi-1，ni=0。我们现在考虑α=1/2的情况，即当噪声方差和返回率相同时。在这种情况下，我们需要使用偏差修正估计BΘ（BC）nso来验证定理1的条件。这里的关键结果是A"it-Sahalia等人（2005年）的命题1（第369页）及其证明（第391-393页）。偏差条件（36）是满足的，因为我们减少了估计量的偏差。事实上，估计器的去偏并不影响其余部分。此外，增量条件（37）和林德伯格条件（38）使用类似的证明技术得到满足。最后，条件（27）、（28）和（29）通过与前一个案例相同的推理得到满足。8.7定理4（波动性幂）的证明我们旨在证明我们可以验证定理1的条件。我们的想法是使用aTaylor展开，就像delta方法一样。

然后，在定理3的证明之后，部分满足条件。更具体地说，我们将对条件（E）的（23）和（24）进行证明，但不会明确说明（25）、（27）、（28）、（29）的证明，这些证明可以使用相同的思想进行证明。我们使用以下表示法：^ΘP，θi，n:=g（^Θσ2，P，σi，n）- Bi，n，（86），其中Bi，ncan对应于（49）和（50）中发现的两个偏差校正表达式之一。我们有^ΘP，θi，n- θ：=g（^^σ2，P，σi，n）- Bi，n- 对于某些σ，g（σ），（87）。利用泰勒展开式，我们得到：g（^σ2，P，σi，n）- g（σ）=（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（3）（η），（88），其中η介于σ和^^σ2，P，σi，n之间。结合（87）和（88）以及几个假设（包括g上的条件），我们得到：嗯^ΘP，θi，n- θ= （g（σ））Varhn（^^σ2，P，σi，n）- σ)+ o（1）。从这里，我们可以使用定理3的证明得出结论。对于偏置条件（23），结合（87）和（88）以及几个假设得出：^ΘP，θi，n- θ= E（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）+（^^σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）- 比恩+ o（n）-). 我们可以证明这一点（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）= o（n）-) （91）如定理3的证明。我们也可以证明这一点（σ2，P，σi，n）- σ） g（σ）- 比恩= o（n）-) （92）遵循与引理4证明中v=4的情况相同的推理路线。4在贾科德和罗森鲍姆（2013年，第1480页）。考虑到（90）、（91）和（92），我们可以展示偏差条件（23）。8.8定理5（E-（QMLE的LPE））的证明策略在于，证明ν中的估计误差不会渐近地影响QMLE的行为，因此我们可以直接应用定理3。为此，关键的结果将是李等人（2016）的定理3（i）（第37页）和秀（2010）的定理6（第241页）。我们记得bxτi，n=Zτi，n，n- g（Ii，n，^ν），我们定义了n维向量n=（bXτ1，n-bX，···，bXT-bXτn-1，n）。

我们还定义了Yn=（（Xτ1，n- 十） +（）1，n-~0，n），··，（XT）-Xτn-1，n）+（n）n、 n-~N-和δn=（g（I1，n，^ν）-g（I0，n，^ν））-（g（I1，n，ν）-g（I0，n，ν），g（In，n，^ν）- g（英寸）-1，n，^ν）- （g（In，n，ν）- g（英寸）-1，n，ν）。很明显，byn=Yn+δn.（93）最后，我们记得bΘ是QMLE在byn上的LPE，我们定义bΘ是QMLE在Yn上的LPE。考虑α<1/2的情况（α=1/2的情况是按照相同的理由进行的）。我们的目标是在分布1/2中稳定地显示这一点bΘn- Θ→6T-1ZTσsdsN（0，1）。（94）我们在（94）asn1/2（bΘn）中分解左手边项- Θ）=n1/2（eΘn- Θ）|{z}An+n1/2（bΘn）-eΘn）|{z}Bn。根据定理3，我们有一个→ （6T）-1RTσsds）N（0,1）。因此，如果我们能证明BnP→ 0，那么这意味着（94）。我们现在证明BnP→ 0.我们定义了实n×n矩阵集。根据秀（2010）的定理6（第241页），存在一个函数m:K→ Mn×Mnθ7→ （M（1）（θ），M（2）（θ））使得bΘi，n=bYnM（bΘi，n）bYnandΘi，n=YnM（Θi，n）Yn，其中我们定义了任何θ∈ 任意n维向量Y:YM（θ）Y=（YM（1）（θ）Y，YM（2）（θ）Y）。我们有bn=n1/2（bΘn-Θi，n），=n1/2（bYnM（bΘi，n）bYn- YnM（Θi，n）Yn），=n1/2（（Yn+δn）M（bΘi，n）（Yn+δn）- YnM（Θi，n）Yn），=n1/2（Yn（M（bΘi，n）- M（Θi，n）Yn+（δnM（bΘi，n）Yn+YnM（bΘi，n）δn+δnM（bΘi，n）δn）），=n1/2Yn（M（bΘi，n）- M（Θi，n））Yn+op（1），=op（1）。其中，我们在第三等式中使用了（93），在第五等式中使用了Liet al.（2016）中的假设A和定理3（i），在第六等式中使用了Xiu（2010）中的定理6和假设A，在Li et al.（2016）中使用了定理3（i）。8.9定理6（波动性幂）的证明该证明遵循定理5的证明以及定理4.8.10定理7（带不确定区的时变摩擦参数模型）的证明。为了证明该定理，我们将证明定理2的条件是满足的。

为此，我们设置P=（1，1）。首先，条件（T）与Robert and Rosenbaum（2012）中的推论4.4（第14页）完全一致。我们的目标是现在显示条件（E*）。我们从偏置条件（36）开始。为了避免更复杂的符号，我们保留第4.4节中介绍的符号来证明这一部分。我们回顾了ηasbηt，n:=mXk=1λt，k，nut，k，n的估计量的定义，其中λt，k，n:=n（a）t，k，n+n（c）t，k，nPmj=1N（a）t，j，N+N（c）α，t，j, （95）ut，k，n:=最大值0分钟1.KN（c）t，k，nN（a）t，k，N- 1.+ 1.. （96）可以很容易地从（96）中看出，ut，k，nar是η的一致估计量，其偏差满足条件（36）。此外，作为bηt，是ut、k、n的线性组合，它也是一个函数（36）。仍然需要证明的是，我们记得被定义为DRVT的波动率估值器，n=Nn（t）Xi=1（bXτi，n-bXτi-其中（97）bXτi，n=Zτi，n，n- αn（1/2）- bηt，n）符号（Ri，n），（98）也满足偏差条件。事实上，结合（97）和（98）以及Zτi，n，和Xτi之间的关键关系，可以在Robert andRosenbaum（2012）第5页的（2.3）中找到，我们可以推断（97）的偏差是bηt偏差的函数，满足条件（36）。我们现在证明条件（37）。我们设置了一个任意的M>0。考虑到采样次数（55）的形式，我们在θ中得到了一致的结果∈ i=1，··，BnthatVar中的KMand嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θTP，θi，n= 变量嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θETP，θi，n)+ op（hnn）-2） ，=Var嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θETP，θi，nTP，θi，n+op（hnn-2） ，=S（1）θ，nS（2）θ，nTP，θi，nT-hnn-1+op（hnn）-2） ，带（1）θ，n:=Var嗯θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θS（2）θ，n:=ETP，θi，nT-1小时-1nn。根据Robert和Rosenbaum（2012）第26页中的引理4.19，在波动率为常数的特殊情况下，我们得到了S（1）θ的存在性和值，使得S（1）θ，n→ S（1）θ。同样，p。

在Robert andRosenbaum（2012）的第14章中，存在S（2）θ，使得S（2）θ，n→ S（2）θ。如果我们定义Vθ=S（1）θS（2）θ，（37）是满足的。林德伯格条件（38）可以通过条件柯西-施瓦辛格等式以及以下事实获得：θhn，n（R1，P，θi，n；·Rhn，P，θi，n）- θ是有界的，条件（T）。我们现在证明条件（39）和（40）。在这里，我们再次选择referencemartingale Mt=0，因此我们得到了微不足道的结果（39）。显示（40），如果我们分解^ΘPi，n- θ*τi，n根据估计员的定义，eTPi，nashnXj=1（eτP（i-1） hn+j，n- eτP（i）-1） hn+j-1，n），安丹蒂，n- NTi-1，n=hnXj=1（NP（i-1） hn+j，n- NP（i）-1） hn+j-1，n），并发展这三个表达式的乘积，我们可以很容易地去除交叉项，其他项可以按照罗伯特·安德罗森鲍姆（Robert Andresenbaum，2012）中引理4.11（第20-21页）和引理4.14（第22-23页）的证明，显示为0。现在我们来看（41）和（42）。我们首先展示后一种情况。我们可以合成埃特皮，n- Ti，ninto埃特皮，n- TPi，n+TPi，n- Ti，n, （99）在哪里TPi，n与TPi，n的定义相同（即我们在区块上保持波动率不变），但过去的起点未设置为P，而是保持为随机过去的PTi-1，n，n.我们在（99）中处理第一个术语。我们可以看到，在参数模型下，过去的Pτi，n在空间{1，··，m}×上有一个离散的马尔可夫链{-1, 1}.按照Potiron和Mykland（2017）中引理14的证明的相同推理路线，我们可以很容易地证明Nbnxi=1ETi-1，新罕布什尔州埃特皮，n- TPi，n知识产权→ 现在我们来看（99）中的第二个术语。使用与Potiron和Mykland（2017）中引理11的证明相同的想法，我们推导出NbNxi=1ETi-1，新罕布什尔州TPi，n- Ti，n知识产权→ 因此，我们已经证明（42）成立。

同样的推理路线可以引导我们到（41）。8.11定理8（时变MA（1））的证明该证明的关键结果是MA（1）过程与第4.1节中描述的模型观测之间的联系，在α=1/2的情况下。从A"it-Sahalia等人（2005年）的命题I证明（第391-393页）可以看出这种联系。更具体地说，我们可以使用泰勒展开式将该估计量重新表示为第4.1节中的估计量，然后使用定理3（ii）得出结论。在定理4的证明中已经得到了类似的泰勒展开式，我们将不再进一步解释这种特殊情况下的细节。8.12不确定性区域模型中摩擦参数偏差和标准偏差的估计在本节中，我们提供了经验说明中使用的摩擦参数偏差和标准偏差的正式定义，以及一些理论推导。第4.4节和第10节的符号有效。我们估计标准偏差为bsn:=bsn（bηT，n），其中V（η）：=bsn（η）方差的形式表达式或估计器根据设置提供如下内容。我们还导出了bηT，n的偏差的表达式或估计量，我们称之为b（η）。它们都是在假设摩擦参数固定为η的情况下获得的。在我们的数值研究中，我们发现这一偏差非常接近于0，因此在统计参考中，假设它等于0是相对安全的。我们首先考虑绝对跳跃大小恒定等于ticksize的情况，即Li，n:=1，并且Nn（t）是非随机的。根据（57），我们有bηt，n:=min1，N（c）t，1，n2N（a）t，1，N.我们还定义了交替次数为N（a）t，1，N=Nn（t）- N（c）t，1，N.然后N（c）t，1，N~ Bin（Nn（t），2η2η+1），（100），其中Bin（n，p）是具有n个观测值和概率p的二项分布。

让~ Bin（Nn（t），2η2η+1）。我们可以定义偏差asB（η）：=E闵1，B2（Nn）- B）- η和方差asV（η）：=Var闵1，B2（Nn）- B）.在这种情况下，我们已经证明了B和V可以很容易地用数值计算。现在我们假设Nn（t）可以是随机的。我们可以在Nn（t）的条件下工作。由于采样时间是内生的，所以在这种情况下，（100）不是真的。尽管如此，如果观测数量很大，我们仍然可以用Bin（Nn（t），2η2η+1）来近似N（c）t，1，nb。现在我们来看一般情况，即当Li，ncan与1不同时。Fork=1，··，m我们定义epk:=2η+k-12η+k我们假设bk是一个独立的分布Bin序列（N（c）t，k，N+N（a）t，k，N，epk），ck:=max0分钟1.KBkN（a）t，k，n+n（c）t，k，n- Bk- 1.+ 1..bηt，nca的分布可以用mXi=1λt，k，nCk的分布来近似，我们可以估计偏差asbB（η）：=Pmi=1λt，i，nECk方差asbV（η）：=Pmi=1λα，t，iVarCk.9额外的数值研究：时变MA（1）案例9。1本研究的目标为了研究LPE的有限样本性能，我们考虑了第4.5节中引入的具有零均值的时变MA（1），其中相关的局部估计量是MLE。这项研究的目标有两个。首先，我们想研究与一些幼稚的并发方法相比，LPEP的性能如何。其次，我们要讨论在实践中调谐参数的选择。我们考虑以下简单的并行方法：MLE：当考虑参数不是时变的[0，T]时，全局MLE。拟合最近的观测值（FRO）：这种方法包括用较少的观测值（例如：。

在[TF，T]上，其中TF>0），因此该块上的参数大致不变。计算偏差修正估计量bΘ（BC）n=bΘi，n- b（bΘi，n，hn），在数值研究之前，我们可以计算并实现函数b（θ，h）或进行蒙特卡罗模拟，以计算任意（θ，h）的b（θ，h）。我们选择后一种选择，这也可以消除泰勒展开式中出现的比O（h）高阶的偏差项-2). 事实上，尽管这些术语逐渐消失，但它们可以在有限的样本环境中出现。更具体地说，我们首先计算参数值和块长度（θ，h）网格的样本平均值，比如参数模型的100000条蒙特卡罗路径。然后在每个块上，我们估计b（bΘi，n，hn）的偏差。我们在这里讨论我们从理论上对偏差修正的期望。鉴于分解（9），我们可以将BΘi的偏差，非第一近似分解为两项之和，即参数估计的偏差和由于参数是时变的事实而产生的偏差。前者可以通过以下方法进行校正：实际上，当h增加经济系数时，蒙特卡罗路径的数量可以显著减少，我们据此定义了偏差校正的局部估计BΘ（BC）i。相反，由于参数路径未知，我们无法纠正后者。这就是为什么我们必须处理（直到常数项）hn<n的原因之一。理论表明，在这种情况下，标准化后一偏差将渐近消失。相反，选择在当地与hn>N合作的计量经济学家很可能会获得她无法识别的显著后一种偏见，在这种情况下，纠正前一种偏见可能不会改善估计。9.2模型设计我们记得时变参数是θ*t=（βt，κt）。我们将T=1设置为一天（或一周、一个月）。

我们将观测的数量乘以n=10000。我们考虑一个玩具模型，其中参数围绕目标参数确定地移动。我们假设噪声参数遵循cos函数θ*t=ν+acos（2πtδt），其中ν=（β，κ）是参数，A=（A（β），A（κ））对应振幅，δ=（δ（β），δ（κ））代表[0，t]上的振荡次数。在这个模型中，我们设置Θ=（β，κ）。我们确定参数ν=（0.5,1）和振幅A=（0.2,0.4）。我们还选择了一个振荡次数较少的设置δ=（4,4）和一个振荡次数较多的设置δ=（10,10）。我们模拟了M=1000次蒙特卡罗重复。根据定理8和条件（P2），调谐参数hn应（直到常数项）满足n1/4<hn<n1/2。在我们的例子中，n1/4=10和n1/2=100。因此，我们设置hn=25100500100020005000。对于FRO方法，我们将TF设置为0.95，这意味着我们考虑最后500次观测，以确定MLE。9.3结果δ=（4,4）时的结果见表2，δ=（10,10）时的结果见表3。首先，请注意，两个值的结果相似。第二，正如理论所预期的那样，当选择hn=n=100时，LPE表现最佳，而偏差修正版本则要好得多。此外，它的性能优于两种并行方法。这种选择是任意的，但不同的值会产生类似的结果。在hn=25的情况下，我们可以检查当我们有观测很少的块时会发生什么。偏差修正估计器在估计κ时表现良好，但在某种程度上，对估计β的偏差修正并不能提供更好的估计。这很可能是因为我们对每个区块的观测不够。在有少量振荡的情况下，用hn=500进行的估计是非常合适的。偏差修正估计量实际上没有那么好。

这证实了当hn>>100时，偏差的主要来源是时变参数，而不是参数估计偏差本身。如果我们有更多的振荡，估计就不那么准确了。当使用更大的hn时，我们会看到相同的模式，并且估计的准确性会随着hn的增加而降低。全局最大似然估计在估计β方面表现相对较好，但在κ方面有很强的偏差。这表明，即使在围绕目标值振荡的简单确定性模型中，MLE也不可信。最后，FRO远大于标准差。备注11。（块大小）本文的条件提供了调谐参数hn的渐近顺序。因此，它提供了一个经验法则，可以在具体的例子中使用，但最终由从业者选择hn。如果参数估计器存在严重偏差，从业者应增加hn值。此外，如果参数看起来大致恒定，HN可以选择更大。在我们的模拟研究中，这个经验法则是可信的。在我们的实证说明中，我们可以看到，如果我们选择hn，估计的波动率对hn的价值是稳健的≈ N1/2n。Asn可以选择为n=Nn，这表明经验法则似乎也取决于我们实证研究中HN的实际选择。10带有不确定性区域的模型中的实证说明在本节中，我们在带有第4.4节中介绍的不确定性区域的模型中实施LPE。我们记得，感兴趣的参数定义为ξ*t=（σt，ηt）。我们关注的是2013年3月4日周一的onerandom日，在CAC 40上交易活跃的Orange（ORA.PA）股票价格。为了防止打开和关闭效应，我们使用β-κ-κ估计器块大小样本偏差s.d。