高频数据的局部参数估计

（估计泊松过程的速率）假设统计学家观察任意资产中事件（如交易）数量的数据，并认为发生在0到t，Nt之间的事件数量遵循速率为λ的齐次泊松过程。参数速率θ*t:=λt假设遵循（21），如果同质性假设成立，则可能为零波动率σθt=0。由于计量经济学家无法获得原始数据，她无法直接观察每个事件的确切时间。相反，她只观察一段时间内发生的事件数量（例如10分钟的街区）[τi]-1，n，τi，n），也就是Ri，n=n-τi，n-Nτi-1，n.如果统计学家对同质性的假设为真，则回报率为IID。在非均匀性的情况下，Nt将是一个非均匀泊松过程，并且收益Ri，nw很可能既不相同分布，也不独立。我们需要介绍一些符号和定义。在给定的区块i=1，···，bn上，观察到的收益将被称为Ri，n，··，Rhni，n。形式上，它意味着Rji，n:=R（i-1） hn+j，对于任何j=1，··，hn。与Rji，n类似，我们在第i个块中引入了近似的returnsRi，n，··········Rhni。我们还介绍了相应的观测时间τji，n:=τ（i）-1） hn+j，nj=0，··，hn。注意τi，n=τhni-最后，对于j=1，··，我们定义了（j）之间的时间增量-1） 第i个块的第th个返回和第j个返回τji，n:=τji，n- τj-1i，n.我们提供了参数模型（62）的时变推广，以及近似收益的正规表达式。为了处理前者，我们假设在一般情况下，n:=FnUi，n，{θ*s} τi-1，n≤s≤τi，n.

（63）（63）中的时变参数模型是参数模型（62）的自然延伸，因为返回值Ri，ncan取决于前一个采样时间τi的参数过程路径-1，nto当前采样时间τi，n。作为Ri，与参数路径无关，允许Ui本身成为过程路径似乎很自然。例如，当参数等于波动过程θ时*t:=σt，我们假设Ui，nare等于基本的布朗运动路径（更多细节参见示例3）。此外，由于Ui是随机创新，它们应该独立于过去的参数过程路径，而不是当前的参数路径。在波动的情况下，这意味着我们考虑了杠杆效应。byRi，n:=Fn给出了（63）的一个简单特例Ui，n，θ*τi-1，n, （64）即，返回仅通过其初始值取决于参数路径。最后，近似的返回Ri，n将参数模型（62）与初始块参数值混合在一起。我们现在提供了我们直觉的正式定义。Weassume thatRji，n:=FnUji，n，{θ*s} τj-1i，n≤s≤τji，n, （65）~Rji，n:=Fn乌吉，n，Θi，n, （66）其中，随机新息Uji，ntake值在一个空间上可以是函数，它可以依赖于n，Uji，nare IID，但分布可以依赖于n，Fn（x，y）是一个非随机函数。请注意，（65）只是（63）使用不同符号的重新表达。对于任何区块i=1，···，bn和第i个区块的任何观测时间j=0，···，hn，我们定义了Iji，时间τji，n之前的过滤。十字轴是一个Borel空间，例如空间C[0，一维连续光路的τn]被时间t分解∈ [0，τn]。设Cp（R+）是由时间t参数化的p维连续路径的空间∈ R+，这是Borel空间。因此，Un×Cp（R+）也是一个Borel空间。

我们假设Fn（x，y）是Un×Cp（R+）上的一个联合可测实值函数。注意，建议读者会看到先验{θ*s} τj-1i，n≤s≤τji，定义于Cp[0，τn]（通过-τj-（65）中的i，n）和Θi是（66）中的向量，而根据定义，两者都应该在空间Cp（R+）上定义。我们通过将定义扩展为R+上的连续路径来匹配这些定义。形式上，如果θt∈ Cp[0，τn]，我们将其扩展为θt:=θτ，对于所有的t>τn∈ K、 我们将其扩展为θt:=θ，表示所有的t≥ 0.让我们(Ohm, F、 P）是一个概率空间。定义分类过滤{Ik，n}k≥对于任何非负整数k，我们可以分解为k=（i）- 1） 我在哪里∈ {1，··，Bn}和j∈ {0，···，hn}，Ik，n:=Iji，n。我们假设Ik，是一个（离散时间）过滤(Ohm, F、 P）。另外，我们假设{θ*s} 0≤s≤τji，nand-Uji，nare-Iji，n-可测。假设Uji，NHA独立于过去的过滤（尤其是RofΘi，n）。注意，我们不假设随机过程与参数过程{θ之间有任何独立性*s} τj-1i，n≤s≤τji，n.在这两个玩具示例中，我们直接提供了和Uji的定义。例3。（估计波动率）在这种情况下，Unis定义为空间C[0，由时间t参数化的连续路径的τn]∈ [0，τn]，Uji，n:={W[τj-1i，n，s]}τj-1i，n≤s≤τji，两个连续观测时间之间的布朗运动增量路径过程。我们假设（Wθt，Wt）是一个（可能是非标准的）二维布朗运动。因此，考虑到布朗运动的马尔可夫性质，随机创新Uji，nare确实独立于过去。我们还定义了Fn（ut，θt）：=Rτnθsdu。

因此，我们得出收益定义为Rji，n:=Rτji，nτj-1i，nσsdWsand近似的返回值Rji，n:=στi，nW[τj-1i，n，τji，n]在区块上保持波动常数时是相同的量。例4。（估计泊松过程的速率）我们假设（可能是非均匀的）泊松过程的速率是αnλt，其中α是一个非时变的非随机量，因此αnτn:=1。在这种情况下，我们假设R+上的递增路径的空间从0开始，取N中的值，且其跳跃等于1。我们还假设，对于Un中的任何路径，R+的任何紧集上的跳数。Uji，nca可定义为标准泊松过程{Ni，j，nt}t≥0，相互独立。我们还有Fn（ut，θt）：=uRτnαnθsdus。因此，如果我们让tji，n:=Rτji，nτj-1i，nαnλsds，返回值是时变泊松过程sRji，n=Ni，j，ntji，n，（67）~Rji，n=nαnτji，nλi，j，nτi，n.（68）一致性在本节的下文中，我们将使块大小hngo为单位→ ∞. （69）过去过滤是指截至时间τj-1i，nFurthermore，我们会让街区变长Ti，nvanish渐近。因为weassume观测在本节中是有规律的，所以可以用NN表示-1.→ 0.（70）我们可以重写bΘnasBnXi=1的一致性bΘi，n- Θi，nTi，nP→ 0.（71）关于BΘi的正式定义，NCA可在（75）中找到。为了显示（71），我们可以组合增量（bΘi，n-Θi，n）分为与错误指定的分布误差相关的部分，关于近似回报误差估计的部分，以及点参数误差bΘi，n的演变- Θi，n=bΘi，n-bΘi，n+bΘi，n- θ*钛-1，n(72)+θ*钛-1，n- Θi，n,其中，bΘi，n是（76）中正式定义的参数估值器，用于基础的未观测近似收益。

它不是一个可行的估计量，在（72）中出现只是为了阐明如何在证明中获得估计量的一致性。我们首先讨论（72）中的最后一个误差项，这是由于光斑参数θ的非恒定性*t、 注意bnxi=1Θi，n- Θi，nTi，n=BnXi=1θ*钛-1，nTi，n-ZTi，nTi-1，nθ*十二烷基硫酸钠（73）因此我们从黎曼近似推导出bnxi=1Θi，n- Θi，nTi，nP→ （74）为了处理（72）中的其他项，我们假设对于任何正整数k，实践者手头有一个估计量^θk，n:=^θk，n（r1，n；··；rk，n），这取决于Jacod和Shiryaev（2003）第51页中的命题4.44，即返回{r1，n；··；rk，n}。在每个块i=1，··，bn上，我们估计局部参数asbΘi，n:=^θhn，nRi，n；···；Rhni，n. （75）不可行估计BΘi被定义为以近似收益作为输入而非观察收益的同一参数估计BΘi，n:=^θhn，n~Ri，n；···；~Rhni，n. （76）请注意，（76）是不可行的，因为近似的回报率Rji，nar是不可观测的等式。例5。（估计波动率）估计器是标度的常规RV，即^θk，n（r1，n；·k，n）：=T-1k-1nPkj=1rj，n。注意，^θk，nca也可以被视为最大似然估计（见Mykland and Zhang（2012）第112-115页的讨论）。例6。（估计泊松过程的速率）要使用的估计器是返回平均值^θk，n（r1，n；··；rk，n）：=k-1Pkj=1rj，n.为了处理（72）中的第二项，我们假设，如果我们实际观察到来自参数模型的收益，则参数估计在模型参数θ中局部一致地L-收敛。这可以用以下条件表示。条件（C）。让一个块（V1，n，·，Vhn，n）的创新与分布一致。对于任意M>0，supθ∈KMEhθhn，n（Fn（V1，n，θ）；··；Fn（Vhn，n，θ））- θ我→ 0.备注8。

（实用性）在条件（C）下，正则条件分布的结果告诉我们，在估计潜在的非观测回归时所产生的误差趋于0，即BnXi=1bΘi，n-Θi，nTi，nP→ 0.（77）参见Leo Breiman（1992），更多细节参见第8节。这种证明技术是本文的主要思想。正则条件分布用于使用参数模型中的一致结果推导时变参数模型的结果。备注9。（一致性）注意，L-收敛比参数估计的简单一致性稍强。尽管如此，在大多数应用程序中，我们将同时拥有这两种功能。我们现在可以在这个非常简单的例子中总结一致性结果，在这个例子中，观测以等距的时间间隔发生，并且在参数模型下返回IID。在条件（C）下，假设bnxi=1（bΘi，n-bΘi，n）Ti，nP→ 0，（78）我们有（3）的一致性，即bΘnP→ Θ. （79）我们在两个玩具示例中获得了一致性。备注10。（LPE等于参数估值器）读者会注意到，在这两个例子中，LPE等于参数估值器。这是因为在这些非常基本的例子中，参数估计是线性的，即对于任何正整数k和l=1，··，k- 1^θk，n（r1，n；··；rk，n）=lk^θl，n（r1，n；··；rl，n）+k- lk^θk-l、 n（rl+1，n；··；rk，n）在更一般的例子中，这个方程将被打破，我们将得到两个扩张器。请参见第8节中的校对。1.初步考虑到我们对θ的假设*t、 我们可以遵循标准的本地化论点（例如，见第160页）-Mykland and Zhang（2012）的161），并假设K是一个紧空间。

如果θ*这是一个满足条件（P1）的半鞅，我们也可以在不损失一般性的情况下假设存在0≤ σ+对于任何本征值λtofσθt，我们有0≤ λt≤ σ+并且存在0≤ a+这样的| aθt|≤ a+。最后，我们添加了一些符号。在本文的下文中，我们将对任何常数C>0使用C，其中的值可以从一行更改到下一行。我们从第7节中介绍的简单模型中与一致性相关的证明开始。这提供了证明技术的概述，尽管在证明定理2（中心极限定理）时，技术将更加复杂，其中包括非正则观测。8.2条件证明（C）=>（77）充分证明条件（C）意味着≥0EhbΘi，n- θ*钛-1，ni=op（1）。（80）到（66）和（76）时，我们可以建立一个我们可以写作的系统bΘi，n- θ*钛-1，n= gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n），其中GNI是一个可联合测量的实值函数，因此gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n< ∞.我们有gn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n）= EEgn（Ui，n，·Uhni，n，θ）*钛-1，n）θ*钛-1，n= EZgn（u，θ）*钛-1，n）μω（du）其中，μω（du）是给定Θi，n的（Ui，n，··，Uhni，n）的正则条件分布（例如，见Breiman（1992））。从条件（C）中，我们得到了（80）。8.3示例1Let的显示条件（C）中的一致性证明。对于任何M>0，数量θhn，nFn（V1，n，θ）；···；Fn（Vhn，n，θ）- θ可以证明，作为TheoremI的直接结果，概率为0。Jacod和Shiryaev（2003年）第52页第4.47页。为了显示条件（78），有必要显示以下数量NH-1nETi-1，n“θ*钛-1，nW[Ti-1，n；[Ti，n]-ZTi，nTi-1，nθ*sdWs#（81）在i中统一为0。为了证明这一点，我们可以使用公式（a- b） =（a+b）（a）-b） ，以及条件Burkholder-Davis-Gundy不等式（BDG，见p。

8.4示例2条件（C）中的一致性证明可以很容易地显示出来。同样，条件（78）是（67）、（68）和（70）中定义的直接结果。8.5定理2的证明（具有非正则观测时间的中心极限定理）我们在这种一般情况下直接证明了中心极限定理。作为副产品，这意味着有规律观测的情况，即定理1。我们可以将pBNi=1分解bΘi，n- Θi，nTi，nasI+II+III+IV，（82）i=nBnXi=1bΘi，nTi，n-^ΘPi，n埃特皮，n,II=nBnXi=1^ΘPi，n- θ*钛-1，neTPi，n，III=nBnXi=1θ*钛-1，n埃特皮，n- Ti，n,IV=nBnXi=1θ*钛-1，n- Θi，nTi，n.很明显，IP→ 0乘（41）和IIIP→ Jacod和Protter（2011）中的引理2.2.10（第55页）以及θ*t在紧凑的集合中创建值。我们在接下来的IVP中证明了这一点→ 0和2→eZ，其中eZ遵循REM 2的定义。我们显示IVP→ 0我们首先考虑θ*tsatis fies状态（P2）。我们来介绍一下θ*钛-1，n- Θi，nTi，n.（83）充分证明PbNi=1 | ei，n | P→ 0，并且根据引理2.2.10（第55页）inJacod和Protter（2011年）得出pBNi=1ETi-1，n| 艾未未|P→ 0.我们计算Nxi=1ETi-1，n| 艾未未|= nBnXi=1ETi-1，新罕布什尔州ZTi，nTi-1，n（θ）*U- θ*钛-1，n）du我≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）| {z}Op（hnn）-1)ETi-1，n苏普蒂-1，n≤s≤Ti，nθ*s- θ*钛-1，n| {z}op（n）-)= op（1），其中我们使用条件柯西-施瓦兹（Conditional Cauchy-Schwarz）得到不等式，条件（T）和条件（P2）得到最后一个等式。我们推断IVP→ 在这种情况下也是0。现在我们考虑θ的情况*tsatis Fies状态（P1）和（26）保持不变。我们从分解ei开始，把它分解为它的偏倚和鞅部分。我们有，n=nZTi，nTi-1，nZsTi-1，naθuds |{z}e（b）i，n+nZTi，nTi-1，nZsTi-1，nσθudwudds |{z}e（m）i，n。我们将在下面的内容中展示pbni=1e（b）i，n=oP（1）和pbni=1e（m）i，n=oP（1）。韦斯特提出了第一个主张。

对于前一种情况，有必要证明PBNI=1ETi-1，n| e（b）i，n|P→ 0.当θ有界时，我们可以通过bNxi=1ETi来限定表达式-1，n| e（b）i，n|≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）.然后，使用条件（T）和（26），我们得出结论，这是oP（1）。我们现在证明pbni=1e（m）i，n=oP（1）。因为它是一个鞅，所以有必要证明pbni=1ETi-1，n| e（m）i，n|P→ 0.我们计算Nxi=1ETi-1，n| e（m）i，n|= nBnXi=1ETi-1，新罕布什尔州ZTi，nTi-1，nZsTi-1，nσθudWuds我≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）ETi-1，nhsupTi-1，n≤s≤Ti，nZsTi-1，nσθudWu我,≤ CnBnXi=1ETi-1，n(Ti，n）= op（1），其中我们在第一个等式中使用p=3/2和q=3的条件霍尔德不等式，在第二个等式中使用p=3的BDG，在最后一个等式中使用条件（T）和（26）。我们展示II→eZWe的目标是在Jacod（1997）中使用定理2-2（第242页）。在观测值为规则的情况下，定理3-2（第244页）进一步规定了条件。在定理3-2的证明之后，我们实际上可以通过选择过滤JTi，n来证明，当观测值不规则时，这种条件在更一般的情况下是成立的。需要注意的是，我们没有使用过滤Jτi，n。因此，我们的目标是展示Jacod（1997）中定理3-2（p.244）中的条件（3.10）-（3.14）。注意，（3.12）和（3.14）分别由（39）和（40）表示。偏差条件（3.10）满足（36）以及规则条件分布的应用。在这一步中，我们证明（3.11）是满足的。我们引入Ai，n:=n^ΘPi，n-θ*钛-1，neTPi，nandCi，n:=ETi-1，n哎，纳蒂，n- ETi-1，n哎呀ETi-1，n阿蒂，n.条件（3.11）可以表示为BNXi=1Ci，nP→ TZTVθ*sds。

（84）通过正则条件分布，（36）和（37），我们得到bnxi=1Ci，n=TBnXi=1ETi-1，nVθ*钛-1，n埃特皮，n+ 作品（1）。根据（42）、条件柯西-施瓦兹不等式和Vθ的有界性，我们得到bnxi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，neTPi，ni=BnXi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，nTi，ni+op（1）。利用Jacod和Protter（2011）的引理2.2.11、条件CauchySchwarz不等式（35）和Vθ的有界性，我们得到了bnxi=1ETi-1，nhVθ*钛-1，nTi，ni=TBnXi=1Vθ*钛-1，nTi，n+op（1）。现在我们可以应用Jacod和Shiryaev（2003）中的命题I.4.44（第51页），我们得到bNxi=1Vθ*钛-1，nTi，nP→ TZTVθ*sds。在这最后一步中，我们证明了林德伯格条件（3.13）是满足的。我们将在这一步中证明 > 0，BnXi=1ETi-1，n| 哎{|哎,哎|>}P→ 8.6定理3的证明（QMLE）我们想证明定理1的条件是满足的。我们从α>开始。关键结果是修（2010，第241页）中的定理6。我们选择P=（0，0）。我们展示了第一个条件（E）。我们可以很容易地从关键结果中看出，如果我们选择θ*t=6σt，则（37）满足。我们可以使用条件Cauchy-Schwarz不等式和以下事实来验证Lindeberg条件（38）^ΘP，θi，n- θ是有界的。至于偏差条件（36），我们可以看到，随着噪声收缩的速度超过返回到0的顺序，那么偏差趋向于（23）中定义的对角线元素之和减去单位（2010，第241页）。这等于0，因此（36）满足。结合噪声与XT无关的事实、上述定理以及第8.3节中的基本原理，满足条件（29）。我们现在证明（27）和（28）是满意的。实际上，我们可以证明（27）对于参考连续鞅Mt=0是成立的。