高频数据的局部参数估计

第二，我们想讨论在实践中对区块数量的选择。互补模拟结果可在Clinet和Potiron（2018b）中找到。5.2模型设计我们对M=1000天的高频观测进行蒙特卡罗模拟，其中相关的地平线时间设置为T=1/252（即年化）。一个工作日代表6.5小时的交易活动，也可以表示为23400秒。有关该模型的详细信息，可以在以前版本的手稿中找到，该手稿以“估计高频数据中局部参数模型的综合参数”为名分发。我们考虑三种高频采样频率场景：每秒、每隔一秒和每三秒。我们执行局部QMLE，块数从Bn=1（即全局QMLE情况）到Bn=20不等。在1秒采样频率的情况下，每个区块的相应观察次数从hn=1170到hn=23400不等；如果我们每隔一秒采样，则从hn=585到hn=11700不等；当每三秒进行二次采样时，则从hn=390到hn=7800不等。

请注意，考虑到全球QMLE的有限样本性能，每个区块的最小观测次数仍然合理（见秀（2010）中的数值研究）。我们提出了具有U型日内季节性成分和波动率跳跃的Heston模型，即dxt=bdt+σtdWt，σt=σt-,Uσt，SV，其中σt，U=C+Ae-at/T+De-c（1）-t/t）- βστ-,U{t≥τ} ，dσt，SV=α（°σ- σt，SV）dt+Δσt，SVd’Wt，其中参数设置为b=0.03，C=0.75，A=0.25，D=0.89，A=10，C=10，波动率跳跃大小参数β=0.5，波动率跳跃时间τ遵循[0，t]上的均匀分布，α=5，\'σ=0.1，δ=0.4，\'Wt是一个标准布朗运动，因此dhW，\'W it=φdt，φ=-0.75，σ0，sv从参数的伽马分布（2α′σ/δ，δ/2α）中取样，该分布对应于CIR过程的平稳分布。有关更多参考，请参见Clinet和Potiron（2018b）。该模型与Andersen等人（2012）的模型几乎相同。最后，假设噪声以零均值和常数方差v集正态分布，因此噪声与信号之比定义为ξ=aqTRTσudu（61）等于ξ=0.0001.5.3结果表1报告了局部拟最大似然波动率估值器的样本偏差、标准差和RMSE。块的数量从对应于全局QMLE的Bn=1到Bn=20不等。无论采样频率如何，数值实验结果都非常相似。样本偏差非常小（偏差与标准偏差之比大小约为0.03），随着块数的增加而增加，同时保持非常小的偏差，所有这些都表明在实践中不需要使用局部QMLE的偏差校正。标准偏差减小，然后保持（大致）稳定。

RMSE的图片是相同的，所有这些都非常符合这样一个事实，即在B=8块的情况下，几乎所有的理论增益都已经获得（参见Clinet和Potiron（2018b））。最后，当采样频率为1秒时，Bn=19个块，当采样频率为2秒时，Bn=8，当采样频率为3秒时，Bn=14个子采样观测值，表明采样频率越高，应使用的块数越大，从而获得最小的RMSE。当以最频繁的频率进行采样时，RMSE的收益几乎达到10%，而在其他情况下，收益不到5%。6结论在本文中，我们引入了一个一般框架，为建立时变参数模型中收敛速度n1/2的中心极限定理提供了理论工具。我们已经成功地将该方法应用于研究波动率的估计（交易信息下的可能性）、波动率的高次幂、具有不确定性区域的模型的时变参数和MA（1）。这使我们能够获得针对时变量的估计器、更有效的和/或新的量估计器（例如在波动性更高的情况下）。随后，我们相信，使用本文的框架可以解决许多其他例子，这是简单而自然的。这在我们的相关论文Potiron和Mykland（2017）以及Clinet和Potiron（2018a）中得到了成功实现。在这些情况下，正则条件分布技巧显著简化了证明工作。桑普。频率1秒。1秒。1秒。2秒。2秒。2秒。3秒。3秒。3秒。注意。块偏差s.d.RMSE偏差s.d.RMSE偏差s.d。

7.798 11.798 8 7.798 7 7.798 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7.7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7.9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 5896-3.396 7.695 7.702-4.918 10.502 10.514-2.213 11.610 11.6127-3.662 7.665 7.674-5.373 10.523 10.537 -2.919 11.567 11.5718 -3.561 7.636 7.645 -5.561 10.474 10.489 -3.388 11.601 11.6069 -4.225 7.636 7.648 -6.344 10.557 10.576 -3.372 11.571 11.57610 -4.029 7.657 7.668 -6.646 10.536 10.557 -4.400 11.613 11.62111 -4.503 7.593 7.607 -6.876 10.526 10.548 -5.072 11.638 11.64912 -4.558 7.634 7.648 -7.495 10.522 10.549 -5.580 11.629 11.64213 -4.769 7.644 7.659 -8.045 10.548 10.578 -6.485 11.618 11.63614 -5.058 7.643 7.660 -8.340 10.495 10.529 -7.282 11.533 11.55515 -5.416 7.591 7.610 -8.394 10.498 10.531 -7.589 11.680 11.70416 -5.288 7.610 7.629 -8.752 10.491 10.527 -8.452 11.607 11.63817 -5.638 7.608 7.629 -8.856 10.457 10.494 -8.963 11.619 11.65318 -5.843 7.604 7.626 -10.093 10.517 10.564 -9.239 11.625 11.66119 -6.283 7.568 7.594 -10.270 10.499 10.549 -10.611 11.658 11.70620-6.109 7.644 7.668-10.488 10.568 10.620-10.644 11.603 11.652表1：在该表中，我们报告了局部QMLE的样本偏差（×10）、标准偏差（×10）和RMSE（×10），块数范围从Bn=1（即全局QMLE情况）到Bn=20。一个工作日的秒数是23400。蒙特卡罗模拟的数量是1000。考虑了三种采样频率：每秒、每隔一秒和每三秒。参考文献[1]A"it-Sahalia，Y.，J.Fan，R.Laeven，C.D.Wang和X.Yang（2017）。对连续和不连续杠杆效应的估计。《美国统计协会杂志》，1-15[2]A"it-Sahalia，Y.，J.Fan和D。

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此外，我们假设观测值是正则的，因此τi，n=inT。假设参数模型非常简单，尤其是收益率没有过去依赖性。它假设存在一个参数θ*∈ K这样的thatRi，是θ的独立同分布（IID）随机函数*. 如果我们引入U依赖于n的分布U的随机变量的Ui，n序列，我们可以将收益表示为ri，n:=FnUi，n，θ*, （62）其中Fn（x，y）是非随机函数。在（62）中，Ui、NCA可以被视为创新。自θ*在时变参数模型中，tcan实际上是时变的，Ri，ndo不一定遵循（62）。（62）的形式时变推广将在（65）中给出。总的来说，Ri，nare既不是同分布的，也不是独立的。在给定真参数过程θ的情况下，Ri，nare不一定是条件独立的*t、 正如我们在下面两个玩具示例中所看到的。例1。（估计波动率）考虑θ*t:=σt（因此假设波动率遵循（21）），以及Ri，n:=Rτi，nτi-1，nσsdWs，其中wt是标准的一维布朗运动。在这种情况下，参数空间是K:=R+*. 参数模型假设θ*:= σ，收益的分布是Ri，n:=σWτi，n，在哪里Wτi，n:=Wτi，n-Wτi-1，nis是（i）之间布朗运动的增量-1） 观察时间和第i个观察时间，σ为固定波动率。在这种假设下，回报率是IID。在时变参数模型下，Ri、Nareclayer不一定是IID，考虑到整个波动过程σtif，如果存在杠杆效应，它们也不一定是条件独立的。例2。