金融期限结构的克里格法

因此，这一组条件可以很容易地在中表示。与到期时间T相关的债券收益率被定义为固定收益率Y（T，T），因此当所有涉及的ZC债券都具有该收益率时，现值关系（2）正好成立。方程（1）中线性系统的形式。此外，无默认假设意味着曲线T→ 如果套利机会被排除，则PB（t，t）会下降。基于隔夜指数掉期票面利率的贴现曲线根据标准抵押品协议的法律条款，构建贴现曲线的一种可能选择是使用OIS类工具的市场报价（有关更多详细信息，请参见Hull and White，2013）。设我们为到期日和固定分期付款日期τ<…<τp=T。年分数δkre表示时间长度τk- τk-1，k=1，其中τ=0。对于隔夜指数掉期，这个时间长度通常相当于一年。掉期均衡关系采用以下线性形式Spxk=1δkPD（t，τk）=1- PD（t，t），（3），其中PD（t，τ）是与时间范围τ相关的时间t的贴现因子。在前面的等式中，左手侧代表固定的腿部现值，而右手侧对应于弯曲的腿部现值。有关（3）推导的更多详细信息，请参阅Fujii et al.（2010）。在某些情况下，还可以从欧元银行同业拆借利率期限为3个月或6个月的固定对欧元银行同业拆借利率掉期的票面利率中提取贴现CUVE。例如，在可解性2审慎监管的LTGA框架中，使用欧元的基本无风险利率是从欧元掉期利率构建的，并对信用利差进行了少量调整（参见，例如，CFO Forum和CRO Forum，2010）。

由此产生的市场失灵状况与（3）的形式完全相同。请注意，在银行业中，贴现曲线现在被理解为基于OIS的曲线，参见例如Pallavicini和Tarenghi（2010）。下一个例子解释了如何从报价的OIS利率和欧元银行同业拆借利率掉期利率推断欧元银行同业拆借利率远期利率。基于OIS和固定利率与Ibor的远期曲线-浮动利率掉期让S是观察到的到期时间为T的利率掉期的票面利率，浮动支付与Libor或与期限j（通常，j=3个月或j=6个月）相关的欧元银行同业拆借利率挂钩。固定支腿付款方案由τ<·τp=T给出，浮动支腿付款方案由τ<·τq=T给出。对于大多数液体产品，固定支腿上的付款按年度频率进行，因此τk对应于从当前日期t开始的k年。年分数δk表示时间长度τk- τk-1，k=1，p（τ=0），而年分数△Ire表示时间长度△τi- ττi-1，i=1，q（τ=0）。请注意，浮动期间两个连续日期之间的时间长度应与伦敦银行同业拆借利率或欧洲银行同业拆借利率的期限相对应，即，根据具体情况，△i’3个月或△i’6个月。因此，给定OIS贴现曲线PD，掉期均衡关系可以以线性形式表示，与某些远期伦敦银行同业拆借利率或欧洲银行同业拆借利率有关，即SpXk=1δkPD（t，τk）=qXi=1PD（t，＠τi）＠iFj（t，＠τi），（4）其中PD（t，＠τ）是到期时间tτ和Fj（t，＠τi）：=F（t，＠τi）的无风险贴现因子-1，△τi）是远期伦敦银行同业拆借利率或欧洲银行同业拆借利率，定义为△τi时要兑换的固定利率，是△τi时确定的j期伦敦银行同业拆借利率或欧洲银行同业拆借利率-1因此，掉期在t时的价值为零。如前一示例所示，4的左侧代表固定的支腿现值，而右侧对应于浮动支腿现值。

有关更多细节，请参见Chibane等人（2009）。给定（预先构建的）贴现曲线Pd和一组掉期票面利率S=S，SNP对应于到期日为t=t的欧元银行同业拆借利率或Liborswap的time-t市场报价，Tn，前向曲线T→ 在建Fj（t，t）必须满足线性市场条件。该条件采用线性系统的形式，其每条直线由（4）给出。此外，我们可以要求远期利率为正，以便潜在的伪零息票价格形成时间范围的递减函数。这种特殊的保形属性（正性）也可以在我们将在下一节中描述的插值过程中强制执行。基于信用违约掉期的信用曲线应为信用违约掉期的公平价差，其保护期限为T，且保费支付日期为τ<···<τp=T。如果我们用R表示参考实体的预期回收率，用δk表示对应于时间长度τk的年分数- τk-1（τ=0），那么CDS掉期均衡关系可以表示为pxk=1δkPD（t，τk）Q（t，τk）=-(1 - R） ZTPD（t，τ）dQ（t，τ），（5）其中PD（t，τ）是时间范围τ在时间t的无风险贴现系数，其中Q（t，τ）是基本参考实体在时间范围τ之前未违约的概率（在时间t）。那么，Q（t，τ）是债券发行人在时间范围τ内的生存概率。（5）的左侧代表高级支腿的现值，而右侧对应于保护支腿（或默认支腿）的现值。我们在此隐含地假设复苏、违约和利率是随机独立的。

使用分部积分，可以直接证明生存概率Q（t，τ），0≤ τ ≤ T通过以下线性关系连接：SpXk=1δkPD（T，τk）Q（T，τk）+（1- R） PD（t，t）Q（t，t）+（1）- R） ZTfD（t，τ）PD（t，τ）Q（t，τ）dτ=1- R（6），其中fD（t，τ）是时间范围τ在时间t的瞬时正向速率。实际上，保护段现值表达式中涉及的积分在溢价时间网格τ<····<τn=T上进行了经典离散，因此连续线性条件（6）可以表示为P给出的离散条件-1Xk=1SδkPD（t，τk）+（1- R） （PD（t，τk）-1) - PD（t，τk））Q（t，τk）+SδpPD（t，t）+（1）- R） PD（t，τp）-1)Q（t，t）=1- R.（7）瞬时远期利率可以通过以下关系从贴现系数中推导出来：fD（t，τ）PD（t，τ）=-Pτ（t，τ）。在某个固定的报价日t，CDS保护通常适用于一组最成熟的流动资产，然后构造一个隐含的生存函数T→ Q（t，t）包括建立一个[0，1]值递减函数，该函数满足（7）的n个线性等式约束系统。3线性等式约束下的Kriging我们提出的术语结构构造方法依赖于Kriging对线性等式和保形约束的扩展。在这一节中，我们将在只考虑线性等式约束的情况下正式介绍这种插值技术。第4节解释说明当增加一些单调性约束时，这种技术可以推广。克里格或高斯过程回归是一种插值方法，其中插值由具有先验协方差函数的高斯过程（GP）建模。该方法广泛应用于空间分析和计算机实验领域（见Rasmussen和Williams，2005）。

更正式地说，我们考虑模型y=f（x），其中f是d维输入变量x的未知实值函数∈ Rd.如果f的计算昂贵且耗时，或者f仅在某些输入位置已知，则可以使用所谓的克里格技术来估计该函数。在这种情况下，f被视为高斯过程（GP）Y定义的asY（x）：=u（x）+Z（x）的实现，其中确定性函数u：x∈ 研发部-→ u（x）∈ R是Y的平均值，Z是具有协方差函数k：（x，x）的azero平均值GP∈ Rd×Rd-→ K（x，x）=Cov（Y（x，Y（x））∈ R.因此，数量K（x，x）是两个输入位置x和x处随机场Y值的协方差。我们假设协方差函数K使得随机场Y具有概率为1的连续和可微分样本路径，见Abrahamsen（1997）。图1（右）给出了一些高斯过程的示例路径。在第5节的数值说明中，我们考虑了d维协方差函数作为张量积给出的高斯过程，即x=（x，…，xd）和x=（x，…，xd）：K（x，x）=σdYi=1Ci（xi）- xi，θi），其中θ=（θ，…，θd）∈ Rd和σ分别称为长度和方差超参数。函数是依赖于长度参数θiandon xi的核相关函数- xi，i=1，d、 有关一些常用的内核相关函数，请参见表1。请注意，长度参数θ可以解释为相关参数，因为它控制着任意两点上高斯过程值之间的依赖程度。参数σ控制初始高斯过程方差。对于高斯协方差核，可以证明，对于任何n，增加θ会增加向量（Y（x）。

，Y（xn））关于超模序，这是一种众所周知的用于比较依赖程度的随机序。3.1经典克里金在经典克里金中，已知实函数f取一些值y，Y在一些尺寸设计点x（1），x（n），因此f（x）=y，其中设计点以n×d矩阵x的行给出=x（1），x（n）>∈ Rn×d，f（X）=f（x（1）），f（x（n））>∈ Rnand y=（y，…，yn）>∈ 注册护士。使用GP模拟器的一个优点是，对于观测数据y，条件过程y | y（X）=y仍然是GP。该过程的特征是其（边缘）平均η（x）=u（x）+k（x）>k-1（y）- u），x∈ Rd（8）及其协方差函数K由K（x，x）=K（x，x）给出- k（x）>k-1k（x），x，x∈ Rd（9），其中u=u（X）=u（x（1）），u（x（n））>∈ Rn是设计点的趋势向量，Kis是Y（X）和k（X）的协方差矩阵=Kx、 x（1）, . . . , Kx、 x（n）>是Y（x）和Y（x）之间的方差向量。给定观测数据y（x）=y的条件均值η（x）是y（x）的最佳线性无偏估计量（蓝色），称为克里金均值（见Jones et al.，1998）。一个显著的特性是，条件高斯过程的协方差函数不依赖于观测数据y。此外，克里格平均预测函数η的规律性继承自均值函数u的规律性和原始GP y的协方差函数K的规律性。然后，这个协方差函数的选择是至关重要的，因为它驱动了克里金元模型的平滑度。表1给出了一些常用的核相关函数，按平滑度递减排序。

图1显示了三种具有相关高斯过程样本路径的可选协方差函数。-1-0.50.0 0.5 1.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0协方差函数高斯函数Matérn 3/2函数指数函数0。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.-1 0 1 2xGaussien过程模拟GP带高斯核GP带Matérn 3/2带指数核GP图1：一些高斯过程协方差函数（左）和相关样本路径（右）。协方差参数固定为（θ，σ）=（0.3,1.0）。表1：一些流行的核相关函数C（x- x、 θ）用于克里格方法。名称表达式类-（十）-x） 2θC∞材料5/21 +√5 | x-x |θ+5（x-x） 3θ经验-√5 | x-x |θCMatérn 3/21 +√3 | x-x |θ经验-√3 | x-x |θCExponential exp-|十、-x |θC3。2线性等式约束的扩展通过考虑线性等式约束而不是纯插值约束，可以对之前的设置进行推广。如果想要构建与线性市场条件兼容的期限结构，这一点至关重要。我们所处的情况是，n种相关金融产品被认为构成了曲线，它们的市场报价提供了m点x（1），x（m）。然后，（未知）实函数f满足形式A·f（X）=b，（10）的一些线性约束，其中A是给定的维数为n×m，n，m的矩阵∈ N、 X=x（1），x（米）>∈ Rm×d，f（X）=f（x（1）），f（x（m））>∈ Rmand b∈ 注册护士。在这种情况下，条件过程Y | A·Y（X）=b仍然是平均η（X）=u（X）+（Ak（X））>又名>-1（b）- Au），x∈ Rd（11）和协方差函数K（x，x）=K（x，x）- （Ak（x））>又名>-1Ak（x），x，x∈ Rd（12），其中u=u（X）=u（x（1）），u（x（m））>∈ Rmi是设计点的趋势向量，Kis是Y（X）和k（X）的协方差矩阵=Kx、 x（1）, . . .

Kx、 x（米）>是Y（x）和Y（x）之间的方差向量。请注意，当A是平方单位矩阵时，线性约束成为插值约束。3.3存在噪声观测时的克里格法之前的框架可以进一步扩展到由于市场微观结构影响等原因，市场观测不能被认为完全可靠的情况。我们假设这种不确定性模糊了f上的市场信息，从而使之前的测量方程（10）受到加性误差项的影响 :b=A·f（X）+.我们认为，该误差项是协方差矩阵∑的独立零均值高斯噪声ε在rm中的一种实现。如果假设测量误差ε与高斯过程Y无关，则条件过程Y |b=A·Y（X）+ε仍然是平均η（X）=u（X）+（Ak（X））>AKA>+∑-1（b）- Au），x∈ Rd（13）和协方差函数K（x，x）=K（x，x）- （Ak（x））>AKA>+∑-1Ak（x），x，x∈ Rd（14），其中u=u（X）=u（x（1）），u（x（m））>∈ Rmi是设计点的趋势向量，Kis是Y（X）和k（X）的协方差矩阵=Kx、 x（1）, . . . , Kx、 x（米）>是Y（x）和Y（x）之间的方差向量。请注意，与无噪声克里格方程（11）和（12）相比，唯一的不同之处在于，每次出现时，协方差矩阵AKA>都会被波动矩阵AKA>+替换。此外，与krigingmean函数（13）相关的曲线不满足无噪音市场条件。处理噪音观测的可能性非常重要。测量误差和污染观测的存在可能会对产量曲线的动力学产生重要影响，如Laurini和Ohashi（2015）所述。前一个框架可用于在存在非流动性证券的情况下构造期限结构函数。

假设向量b代表在买卖价差较大的市场情况下一些参考产品的中间价格。例如，协方差矩阵∑可以这样选择：- ε） 主要集中在买卖间隔上。一种可能的方法是将∑定义为一个对角矩阵，其中每个正项是要价和中间价之间的平方差。此外，请注意，如果想要明确地在精度和曲线平滑度之间寻找有吸引力的折衷方案，这种扩展也很有用。事实上，考虑到观察到的信息是不确定的，这会削弱市场状况，进而有利于曲线的平滑。然后，我们的方法可以适用于噪音市场价格的最佳拟合，以及对一组液体工具构建精确的插值期限结构。4克里格在第2节中提到的附加单调性约束下，所研究的实函数f可能满足一些形状保持约束，例如单调性或正性。无套利约束导致了曲线构造中单调性的理论需要。例如，在无套利条件下，无违约零息债券的价格、贴现因子或隐含生存概率等数量应不随时间范围而增加。在本节中，我们建议将约束样条技术扩展到约束克里格，以构建术语结构函数。使用单调样条函数构造术语结构一直是文献中非常感兴趣的课题。Barzanti和Corradi（1999年）、Ramponi（2003年）、Chiu等人（2008年）等对此进行了调查。

形状和单调性限制与无套利条件的关系在最近的文献中有详细说明，例如，见Laurini andMoura（2010）和Fengler and Hin（2015）。使用单调约束的其他动机将在第5.4节中阐述。单调性约束下克里格法的一个自然扩展是考虑具有单调路径的条件高斯过程。然而，困难在于条件单调过程不再是高斯过程。我们在这里采用Maatouk和Bay（2014b）介绍的方法，其中高斯过程由有限维变化近似，因此可以在整个域中非常有效地检查单调性约束。在下文中，我们考虑第3.2节中描述的线性等式约束，并解释如何合并补充单调性约束。请注意，即使我们关注单调性约束，也可以使用类似的想法将其他形状保持约束合并（见Maatouk和Bay，2014b）。我们首先在一维情况下引入单调性约束，其中必须在给定的引用日期检索单调曲线（第4.1节）。然后，我们解释如何将一维克里格构造方法扩展到二维，其中可以联合使用多个报价日期的信息（第4.2节）。4.1一维情况在本节中，我们假设输入变量x属于Rand的区间D=[x，x]，我们考虑具有协方差函数K的原始高斯过程Y。为简单起见，我们假设Y是一个零均值GP。