金融期限结构的克里格法

本节的目的是解释如何构造既满足线性等式约束又满足单调性约束的过程。第一步是通过在一些简单的有限维线性不等式条件下单调的有限维变换来近似原始高斯过程Y。我们首先将输入区间D离散成一个规则的细分u<…<Unvthu=x，uN=x，网格δ为常数，因此uj=u+jδ，j=0，N.然后我们考虑一组相关的基函数φj，j=0，N定义为φj（x）=Zxxhj（u）du，x∈ D、 其中hj（x）：=max1.-|十、-uj |δ，0是一个以inputsubdivision的jthknot UJO为中心的hat函数。注意，基函数φj，j=0，N作为正函数的基元增加。然后，我们将Y在D上的有限维近似定义为过程yn，使得yn（x）=η+NXj=0ξjφj（x），x∈ D、 （15）式中，ξ=（η，ξ，…，ξN）>为零均值高斯向量。如果高斯过程Y几乎肯定有不同的路径，选择η=Y（u）和ξj=Y（uj），j=0，N保证了有限维过程几乎肯定会一致地收敛于D到Y，以达到统一（见Maatouk and Bay，2014b）。在这种情况下，协方差矩阵ΓNofξ被给出为ΓN=K（u，u）Kx（u，uj）Kx（用户界面，u）K十、x（用户界面，uj）0≤i、 j≤N、 （16）其中K是原始GP Y和uj的协方差矩阵，j=0，N是输入细分的节点。命题4.1（单调性）。方程（15）中定义的过程yn为非递增（或非递减）当且仅当所有系数ξj，j=0，N为非正（或非负）。证据如果ξj，j=0，N是非正的，因为φjare增加，所以y增加。对于相反的含义，让我们首先注意，基函数φj的导数，j=0。

，N等于φj（uk）=hj（uk）=1j=k=（1，如果j=k0，如果j6=kThus，则过程y的导数在任何节点uk，k=0，…，N为伊恩（uk）=NXj=0ξjφj（uk）=ξk，这是证明的结论。基函数φjand ofΓ的选择取决于形状保持约束的类型。其他类型的基函数可用于其他约束（有关更多详细信息，请参阅Maatouk和Bay，2014b）。为了构造与市场报价兼容的曲线，必须在某些点x（1），…，对过程y施加线性等式约束，如第3.2小节中给出的约束，那么，如果YN（x）=伊恩x（1）, . . . , 伊恩x（米）>表示曲线构造中涉及的值向量和给定的方程式（15），条件A·YN（X）=b转化为高斯向量ξ上的以下线性等式约束：A·Φ·ξ=b，（17），其中Φ是定义为Φi，j:=（i=1，…，m和j=1，φj）的m×（N+2）矩阵-2.x（一）对于i=1，m和j=2，N+2。注意，一般来说，ξ上的线性等式条件（17）只在N+2时允许解≥ n作为A·Φ是维数为n×（n+2）的矩阵。曲线模拟。同时满足单调性和线性等式约束的条件GP可以通过生成限制为：（B·ξ=B线性等式条件ξ）的截断高斯向量ξ进行采样∈ C单调性约束这里，B=A·Φ，例如C=nξ∈ RN+2:ξj≤ 0，j=0，不适用于非递增约束。然后，可以分两步对模拟路径进行采样。首先，给定B·ξ=B的向量ξ的条件分布仍然是均值（BΓN）>BΓNB>-1带协方差矩阵ΓN-BΓN>BΓNB>-1BΓN，因此可以非常有效地模拟。

然后，截断高斯矢量的模拟被限制为，例如，分量的负性（这里是ξ）∈ C） 可以通过使用改进的拒绝采样算法来实现，如Maatouk and Bay（2014a）和Robert（1995）中描述的算法。通过等式（15），我们得到满足这两个约束的样本路径。这些模拟可用于构造D中每个点x处曲线值的置信区间。最有可能的曲线。给定一个协方差核K及其估计参数，可以在线性和单调约束下确定条件高斯过程的最可能路径。该曲线最有可能对应于有限维截断高斯向量ξ的模式（关于模式的讨论，另见Abrahamsen和Benth，2001）。在贝叶斯统计中，它被称为最大后验概率（MAP）估计量（有关更多详细信息，请参见Maatouk和Bay，2014b）。其表达式为：MNK（x | A，b）=ν+NXj=0νjφj（x），（18），其中ν=（ν，ν，…，νN）>∈ RN+2是以下凸优化问题的解：ν=arg minc∈C∩I（A，b）c>ΓN-1c, （19） 其中Γ是（16）中定义的高斯向量ξ的协方差矩阵。向量ν可以看作是高斯向量ξ的模，仅限于C∩ I（A，b），其中C是满足单调性约束的向量集，I（A，b）=nξ∈ RN+2:A·Φ·ξ=boi是与线性等式约束相容的向量集。显然，这条曲线满足了这两个约束条件。此外，它不依赖于方差函数K的方差σ，因为σ是矩阵Γ中的一个乘法常数，因此不影响方程（19）中的arg min。在Bay et al.（2015）和Bay et al。

（2016），研究了建议的估计量（18）在N趋于一致时的收敛性，其极限对应于约束样条函数（取决于基础核函数）。通过这种方法，我们可以在获得置信区间的额外可能性下检索经典样条插值。概率密度函数的最大值。4.2二维情况如备注2.1所述，术语结构构造可在二维设置中说明。其目的是在曲线施工过程中纳入几个报价日期的市场信息。与上一节相反，输出现在是一个曲面，它可以表示参考数量相对于到期时间和报价日期的演变。更正式地说，我们考虑一个二维输入变量x=（x，t），它被假定属于R的矩形D=[x，x]×[t，t]。变量x可能代表到期时间，而变量t可能代表时间或报价日期的演变。为了简单起见，我们假设未知的二元实函数f仅相对于第一个输入变量xa是单调的，比如说非递增的≤ xb=> f（xb，t）≤ f（xa，t），对于所有t∈ [t，t]，xa，xb∈ [x，x]。（20） 在这种双变量环境中，可以考虑更一般的不平等条件（更多详细信息，请参见Maatoukand Bay，2014b）。本节的目的是解释如何构建一个同时满足一系列线性等式约束（每个考虑的报价日期一个）和单调性约束的过程，如（20）所述。与一维设置一样，我们从原始的二元高斯过程Y开始，均值为零，方差函数为K。其思想与第4.1节中介绍的一维情况相同。

我们首先在（Nx+1）×（Nt+1）网格中离散输入矩形D，为简单起见，假设该网格为规则网格。x轴的细分为u<…<ux=x，ux=x，常数网格δx，因此ui=u+iδx，i=0，Nx。y轴的细分isv<…<vNtwith v=t，vNt=t和常数网格δt，因此vj=v+jδt，j=0，新界。以下发展可以很容易地扩展到不规则网格。在一维情况下，我们考虑一个原始高斯过程Y和协方差函数K。然后，我们将Y的有限维近似定义为过程Yn，使得Yn（x，t）=NxXi=0NtXj=0ξi，jgi（x）hj（t），对于所有（x，t）∈ D、 （21）式中gi（x）=max1.-|十、-ui |δx，0hj（t）=max1.-|T-vj |δt，0对于i=0，…，hat函数是否集中在节点Ui和vj处，nx和j=0，n和ξ=（ξ0,0，ξ0,1，…，ξi，j，…，ξNx，Nt）>是一个零均值高斯向量，其分量（ξ）ρij=ξi，j，其中ρij=（Nt+1）i+j+1，i=0，nx和j=0，新界。设Ntot=（Nx+1）（Nt+1）为列向量ξ的大小。选择ξi，j=Y（ui，vj），i=0，nx和j=0，Nx和Nt趋于一致时，Nt保证了有限维过程几乎肯定会向Y收敛（见Maatouk和Bay，2014b）。在这种情况下，协方差矩阵ΓN∈ 高斯变换器ξ的RNtotof可以写成：ΓNρij，ρij=Cov（ξi，j，ξi，j）=K（（ui，vj），（ui，vj）），其中i，i=0，n和j，j=0，新界。如下一个命题所示，单调性约束（20）简化为向量ξ上的线性不等式条件。命题4.2（单调性）。方程（21）中定义的过程Y相对于第一个变量x是非递增（或非递减）的，当且仅当所有系数ξj，j=0，N是这样的ξi-1，j≤ ξi，j，（分别为ξi）-1，j≥ ξi，j）i=1，nx和j=0，新界。

（22）证据。该证明类似于命题4.2的证明。为了构造与时间t=t时观察到的市场报价相符的表面，tI，I必须对双变量过程YN施加不同的线性等式约束，如第3.2节中给出的约束。让我们考虑一下涉及m点x（1）的市场条件，x（m）对于任何报价时间t=t，tI。那么，如果YN（X，t）=伊恩x（1），t, . . . , 伊恩x（m），t>表示在时间t和给定等式（21）的曲线构造中涉及的值向量，条件at·YN（X，t）=bt转化为高斯向量ξ上的以下线性等式约束：at·Ht·ξ=bt（23），其中m×Ntotmatrix Hthas components（Ht）k，ρij=gix（k）hj（t），k=1，m和ρij=（Nt+1）i+j+1，i=0，nx和j=0，新界。每次t=t，…，前一个条件必须同时保持，tI，可总结为一条线性关系Tb·ξ=b，（24），其中nI×Ntotmatrix b（resp.b）是由t=t，…，在·Ht（resp.bt）处的矩阵垂直串联而成，tI。注意，一般来说，当Ntot时，这个线性系统允许解≥ 镍。表面模拟。与在一维环境中一样，对线性等式和单调性约束条件下的二元高斯过程的模拟减少为对高斯向量ξ的模拟，限制为（B·ξ=B线性等式条件ξ）∈ C单调性约束，例如，C=nξ∈ RNtot:ξi-1，j≤ ξi，jo表示非递增约束。模拟程序与第4.1节中给出的程序相同。这些模拟可用于构造D中每个点（x，t）的曲面值的置信区间。最可能的曲面。

该方法可以很容易地从第4.1.4.3节参数估计扩展。受约束过程（模式估计器）的最可能路径取决于基础高斯过程的选择，或等效地取决于其协方差函数K。在本节中，我们研究其参数的估计，即长度和方差超参数。在文献中，协方差函数超参数的估计通常使用两种类型的方法：Santner等人（2003）中的最大似然（ML）估计和Bachoc（2013）、Cressie（1993）和Roustant等人（2012）中的交叉验证（CV）方法。ML和CV两种方法都不适用于单调性约束。最近，Maatouk等人（2015）提出了一种自适应交叉验证（ACV）技术，用于在存在不等式约束的情况下估计高斯过程的协方差超参数。主要思想是考虑模式曲线（与平均曲线相反）作为交叉验证方法中使用的估计器。交叉验证的原理是选择一组参数，使观测值与其目标之间的距离最小化，同时连续忽略一些观测值。因此，交叉验证与回溯测试类似（见Kerkhof和Melenberg，2004），但省略的数据不必按时间顺序进行。长度参数。在经典克里格法中，通常的协方差长度参数θ的交叉验证估计量是根据所谓的遗漏（LOO）均方误差准则构造的。假设未知函数f取y，Y点x（1），x（n）（纯插值约束），交叉验证估计器^θCVofθ定义为^θCV=arg minθ∈ΘnXi=1易- ^yi，θ（y）-（一）, （25）y在哪里-i=（y，…，yi）-1，yi+1，yn）>和Θ是Rd的一个紧子集。

估计量^yi，θ（y）-i） =EY（x（i））Y（X）(-i） ）=y-我是通过在估算过程中去除观测值而获得的x（i）点的克里格平均值（见等式（8））。向量YX(-（一）是与Y（X）相同的系数，不含Y分量吗x（一）.由于经典的克里格均值估计不考虑单调性约束，所以在存在单调性约束的情况下不能使用上述准则。正如Maatouk等人（2015）所建议的，在纯插值约束下，可以使用第4.1节中定义的最有可能曲线（模式估计器）代替克里格平均值，因为前者满足单调性约束。然后，一个适用于单调约束的新LOO准则可以定义为：^θACV=arg minθ∈ΘnXi=1易- MNKx（一）在里面-1，y-我, （26）MNK在哪里x（一）在里面-1，y-我是yi的模式估计器（在等式（18）中定义），基于异观测，但yi。如第4.1节所述，后者不取决于方差σ。《黑客帝国》-1是维数为n的单位矩阵-1（与柱向量y的垂直尺寸相同-i） 。由于LOO标准（26）中的输出值在（17）中定义的线性等式约束下不可用，因此这种方法不能立即应用于我们的设置。为此，我们考虑以下标准公式：^θACV=arg minθ∈ΘnXi=1毕-A·MNK（X | A）-i、 b-（一）我, （27）如果下标i指第i个分量，则A-b区-I分别是矩阵和向量，不带ithrow。方差参数。在纯插值约束且无单调约束的情况下，可以使用几种经典准则来估计σ。例如，在Bachoc（2013）中，一个估值器^σcv被定义为参数σ，使得以下等式holdsnnxi=1易- ^yi，^θCV（y）-（一）EY（x（i））- ^yi，^θCV（y）-（一）Y（X）(-i） ）=y-我= 1.

（28）考虑到我们的线性等式条件和单调性约束，我们建议定义^σACVas参数σ，以便以下等式保持snnxi=1毕-A·MNK（X | A）-i、 b-（一）我E（AY（X）- AMNK（X | A）-i、 b-i） ）我Di= 1，（29）其中，Dii是整个域上的单调性约束集，以及不含ithone的附加线性约束集，即A-iY（X）(-i） ）=b-我在这儿-没有第i行的矩阵A。通过模拟估计期望值，用YN近似过程Y。5实证研究在本节中，第4节中开发的施工方法在不同的财务应用中进行了说明。基于在不同日期观察到的市场报价，我们结合OIS贴现率的期限结构、零息掉期利率的期限结构和CDS隐含违约概率的期限结构的置信区间构建曲线。使用第4.2节的双变量设置，我们还将时间（报价日期）作为额外维度，构建利率和违约概率曲面。5.1基于掉期与EuriborWe的利率曲线根据不同标准期限的固定利率掉期与浮动利率掉期的市场报价，运用克里格法构建零息掉期曲线。市场观察结果以掉期与欧元银行同业拆借利率600万欧元的票面利率给出。我们考虑表2中给出的10个报价日期。对于每个报价日，期限结构基于14个掉期利率，S与属于集合E的标准到期日相关：={1，…，10，15，20，30，40}>。如第2节所述，每个观察到的par率提供了曲线上的间接信息。该信息采用（3）中给出的线性关系的形式。对于每个标准到期日T∈ E、 该关系涉及时间范围k=1，…，时曲线的值P（t，k），T

因此，如果对于每个观测日期t，分解因子P（t，X）的向量=（P（t，1），…，则曲线与观测引号兼容，P（t，40））>满足以下格式的线性系统：P（t，X）=bt，（30），其中Atis是14×40实矩阵，bt=（1，…，1）>∈ R.在这种情况下，我们有n=14个乘积，其值取决于曲线的m=40点。我们认为，相关的贴现因子曲线P（t，X）是从1（P（t，0）=1）开始并满足线性条件（30）的递减空间过程的一种实现。第4节解释了如何构造和模拟具有单调性和线性等式约束的过程。这种构造涉及（15）中定义的高斯过程的有限维近似。后者取决于N+2维高斯向量ξ和一组基函数φ，这些基函数定义在输入域D=[0,40]的细分上。这里我们考虑一个正则细分uj=u+jδ，j=0，N、 其中u=0，N=50个子区间，δ=1。因为曲线T→ 已知P（t，t）从1开始，即P（t，0）=1，在（17）中定义的ξ的线性度条件可以重新表示为：1φ（0）。φN（0）At·Φ！ξ=bt！。（31）然后，有条件地模拟线性等式条件和非递增约束的GP等价于生成受限于等式（31）和非正分量的截断零均值高斯向量ξ。参数估计。我们首先考虑相关长度超参数θ。通过使用第4.3节所述的适用交叉验证（ACV）方法，对表2中的每个报价日期进行了估算。我们考虑形式为K（x，x）=σC（x）的协方差函数- x、 θ），我们讨论了两种可选核C，即高斯核和Matérn5/2核（见表1）。