金融期限结构的克里格法

我们用^θG（resp.^θM）表示高斯（resp.Matérn 5/2）协方差函数的估计长度参数。如表2所示，对于高斯和Matérn 5/2协方差函数，估计的长度参数^θ保持稳定（^θ的值约为25，^θM的值约为30）。还要注意，当使用高斯协方差函数时，LOO准则（27）中目标函数的最小值稍小。然而，如图2所示，高斯协方差函数的目标函数（交叉验证误差）达到0.12，而Matérn 5/2协方差函数的目标函数（交叉验证误差）从未超过0.02。此外，在Matérn 5/2情况下，更容易找到全局最小值。表2：使用ACV方法的参数估计（掉期与欧元银行同业拆借利率6M）。3.8 8 8.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.4 4 4 E-2007 2.3 3 3.3 3-0530/10 10 10 10 10/10 10 10 10/10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10.5/10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10/10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 2011年26.0 30.7 5.0e-07 2.8e-0630/12/2011年20.3 30.0 6.8e-06 3.6e-06一旦估算了长度参数θ，使用公式（29）估算了标准偏差参数σ。例如，在2011年12月30日的报价日，我们分别获得了高斯和Matérn 5/2协方差核^σG=2.89和^σM=0.93。单报价日的曲线构造。现在，我们在一维环境中演示第4.1节中描述的曲线构造方法。该构造基于0204060801000.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12塔加索人LOO准则0204060801000.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010Tamatérn 5/2 LOO准则图2：使用高斯（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）在LOO准则（27）中优化的函数。

2011年12月30日掉期对欧元银行同业拆借利率600万欧元。截至2011年12月30日的市场报价。对于这个特定日期，高斯核和Matérn 5/2核的估计长度参数如表2所示（^θG=20.3和^θM=30.0）。在这种情况下，使用第4.3节中描述的方法，对于高斯核，估计的方差参数等于^σG=2.89，对于5/2核，估计的方差参数等于^σM=0.93。图3使用相应的估计参数比较了高斯和Matérn 5/2协方差函数的贴现因子的样本路径。在这两种情况下，我们都会有条件地从模型（15）到线性等式约束（31）和非递增约束生成100条样本路径。请注意，模拟曲线（灰线）在整个域中没有增加。此外，黑色实线表示最可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束条件。黑色虚线表示通过模拟量化的95%逐点置信区间。图4和图5给出了相应的即期汇率和瞬时正向曲线。为了将我们的结果与大多数中央银行常用的一些模型进行比较，给出了所有数据以及相关的最佳拟合纳尔逊-西格尔曲线（见纳尔逊和西格尔，1987年）和相关的最佳拟合斯文森曲线（见斯文森，1994年）。通过最小化市场价格和模型价格之间的平方误差之和来估计参数。我们使用梯度下降算法，随机选择起始值，如Gilliet al.（2010）所述。最佳参数如表3所示。

贴现系数和远期利率由Nelson Siegel和Svensson收益率曲线推导得出。表3:Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型的参数估计（2011年12月30日Swapversus Euribor 6M）。λλββNelson-Siegel 7.4615-0.0189-0.0160 0.0487 Nelson-Siegel Svensson 4.0486 28.4285 0.1719-0.1590-0.1101-0.40930 10 20 30 400.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0折扣系数Monone GP95%置信区间模型Nelson-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0折扣系数NOTONE GP95%置信区间模型-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图3：使用高斯协方差函数和nugget等式10，从具有非递减约束和市场约束的条件GP中获得的模拟路径（灰线）-5（左）和无熔核的Matérn 5/2协方差函数（右）。截至2011年12月30日的掉期与欧元600万欧元的市场报价。0 10 20 30 400.010 0.015 0.020 0.025即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.015 0.020 0.025即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图4：从图3的样本路径获得的现货率，高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）。灰线代表-xlog YN（x）表示每个采样路径。

黑色实线是最有可能的即期汇率曲线-xlog MNK（x | A，b）.0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图5：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图3的样本路径获得的前向速率。灰线代表-每个采样路径的ddxlog YN（x）。黑色实线是最有可能的远期利率曲线-ddxlog MNK（x | A，b）.24.9 25.0 25.1 25.2 25.3 25.4 25.50 2000 4000 1000024.9 25.0 25.1 25.2 25.3 25.4 25.50 2000 4000 10000图6：根据高斯协方差函数（左）和材料协方差函数（右）下的贴现因子曲线的10万次独立模拟构建的定期年金到期现值直方图。从图3、图4和图5可以看出，Nelson-Siegel模型和Nelson-SiegelSvensson模型接近单调克里格模式，尤其是对于Vensson扩展。然而，这些模型并不总是满足给定的市场约束（尤其是纳尔逊-西格尔模型）。此外，它们不提供置信区间。备注5.1。如图5所示，在两个考虑的协方差核下，最可能的正向曲线（黑色实线）的形状不同。当使用高斯方差核时，对于超过30年的到期日，模式曲线具有一个额外的驼峰，而在Matérn 5/2的情况下，模式曲线略有增加，并遵循拟合的NelsonSiegel-Svensson曲线。

这种差异来自C∞与Matérn 5/2核生成的正向曲线相比，高斯核生成的正向曲线更不容易适应数据的局部趋势。此外，请注意，在高斯核情况下，由于有限可微性的限制，在没有金块效应的情况下反演协方差矩阵可能会涉及数值不稳定性。Golchi等人（2015年）也报道了这个问题，作者特别指出，“在常用的平方指数族上选择材料协方差函数（Sacks等人，1989年），通过消除不可分辨性的限制，避免了数值不稳定性，通常在反转协方差矩阵时观察到这种不稳定性。”。之前的模拟可用于估计其他金融资产的分布，其价值取决于曲线。例如，在图6中，我们绘制了现值"a（p）n=Ppn的直方图-1k=0pYN（k/p），使用100000个贴现因子样本路径模拟到期的定期年金，其中n=40，p=12（月付款）。请注意，尽管条件高斯过程的模拟样本路径具有可变性，但到期定期年金的现值保持稳定，使用高斯核的置信区间为95%，使用Matérn核的置信区间为[25.12,25.30]，使用Matérn核的置信区间为[25.07,25.41]。几个报价日期。现在，我们在第二维度中说明了构建过程，其中包含了在不同报价日期观察到的数据。然后，我们构建了一个表，展示贴现因子随到期时间和报价日期的变化。为此，我们使用第4.2节中描述的方法。在图7中，表面呈现了二维条件GP的模式估计。在表2所示的9个日期，施工解除了掉期报价。

我们选择Nx=40，Nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- 两个报价日期之间的t用样本两个极端日期之间长度的百分比表示。参数θ和θ分别为25和0.5。请注意，构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。0102030402010-06-022010-07-052010-08-032010-11-292010-12-302011-01-312011-05-102011-06-102011-12-300.40.60.81.0次-到-到期日。20.30.40.50.60.70.80.91.0图7：掉期与欧元银行同业拆借利率贴现系数，作为到期时间和报价日期的函数。5.2 OIS折扣曲线我们现在应用克里格法构建OIS折扣曲线。其目的是在不同的报价日期t构建折扣曲线t→ PD（t，t）基于与不同标准到期日相关的隔夜指数掉期的市场报价。我们考虑表4中给出的10个报价日期的OIS。对于每个报价日，期限结构由14个掉期利率构成，与集合E中的标准到期日相关：={1，…，10，15，20，30，40}>。对于每个标准到期日T∈ E、 在时间范围k=1，…，曲线的值P（t，k），T通过线性关系（3）连接。然后，如果贴现因子PD（t，X）的向量=（PD（t，1），…，则曲线与市场报价兼容，PD（t，40））>满足形式为·P（t，X）=bt，（32）的线性系统，其中Atis为14×40实矩阵，bt=（1，…，1）>∈ R.在这种情况下，我们有n=14个观测值，这取决于曲线的m=40个点。

请注意，市场融资条件的形式与第5.1小节中的前一示例完全相同。参数估计。在表4中，我们估计了分别与高斯和Matérn 5/2协方差函数相关的长度超参数^θ和^θ质量（见表1）。表4最后两列中的最佳值对应于（26）中定义的LOO标准的全局最佳值。请注意，估计参数^θ和^θM在考虑的报价日期内是不稳定的。此外，对于两个协方差函数，即使对于高斯协方差函数，它们稍微小一些，但得到的最佳值也很接近。图8显示了使用2010年6月3日的OIS数据在标准（26）中优化的功能。考虑到函数的形状，使用Matérn 5/2协方差函数的估计过程变得更加简单。如前所述，一旦估算出长度参数θ，标准偏差参数σ将使用方程（29）进行估算。表4：使用ACV方法的参数估计（OIS数据）。5.5.5 e-05 9.7-0515/055/054.7-0515/055 4.7-0515/0515/0515/0515/0515/0515/10/10 10/2010 27.8 8 20.8 8 8 8 8.8 8 8 8 8 8 8.8 8 8 8 8.8 8 8 8.8 8 8.6 1.6 1 1.6 1 1 1.6 1.6 1 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6 1.2 1.2 1.2 1.6 1.2 1.2 1.8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.6.6.6 1.6 1.8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.6.6.6.6.5 5 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 25.8 24.2 1.9e-05 7.6e-050 20 40 60 80 1000.000 0.005 0.010 0.015 0.0200.025 0.030泰高斯LOO标准0 20 40 60 80 1000.000 0.002 0.004 0.006 0.008塔玛特5/2 LOO标准配置图8：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）在LOO标准（27）中优化的函数。OIS数据于2010年6月3日发布。一个单一的报价日期。

在图9中，当使用高斯协方差函数（左图）和Matérn 5/2协方差函数（右图）时，我们选择N=50，并生成从模型（15）构建的贴现因子的100个样本路径。所有曲线都不随到期时间增加。此外，从2010年6月3日起，它们都与OIS数据完全兼容。高斯过程超参数已通过第4.3节中描述的ACV方法进行估计。当使用高斯协方差函数时，（θG，σG）=（26.2,4.24），当使用5/2协方差函数时，（θM，σM）=（19.1,0.24）给出估计的超参数。黑色实线表示最可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束。黑色虚线表示通过模拟量化的95%逐点置信区间。图10和图11给出了相应的即期汇率和远期曲线。同样，给出了所有图8、图10和图11以及相关的最佳拟合NelsonSiegel曲线（见Nelson和Siegel，1987）和相关的最佳拟合Svensson曲线（见Svensson，1994）。通过最小化市场价格和模型价格之间的平方误差之和来估计参数。我们使用梯度下降算法，随机选择起始值，如Gilli等人（2010）所述。

最佳参数如表5所示。表5:Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型的参数估计（OIS数据，2010年6月3日）。λλβNelson-Siegel 1.0890-0.0341-0.0171-0.0601 Nelson-Siegel-Svensson 1.0938 15.1891 0.0502-0.0164-0.1074-0.04940 10 20 30 400.4 0.6 0.8 1.0折扣系数Monone GP95%置信区间Nelson-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.4 0.6 0.8 1.0折扣系数NOTONE GP95%置信区间模型-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图9：OIS贴现因子曲线（灰线），作为条件GPA的模拟路径，使用高斯协方差函数（块金等于10）给出非递增约束-5（左）和无熔核的5/2协方差函数（右）。2010年6月3日的OIS数据。关于由两个考虑的协方差核构造的曲线的比较，备注5.1也适用于此处。0 10 20 30 400.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图10：利用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图9的样本路径获得的即期汇率。灰线代表-xlog YN（x）表示每个采样路径。

黑色实线是最有可能的即期汇率曲线-xlog MNK（x | A，b）.0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson0 10 20 30 400.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10X前进率样本路径95%置信区间模式-西格尔纳尔逊-西格尔-Svensson图11：使用高斯协方差函数（左）和Matérn 5/2协方差函数（右）从图9的样本路径获得的前向速率。灰线代表-每个采样路径的ddxlog YN（x）。黑色实线是最有可能的远期利率曲线-ddxlog-MNK（x | A，b）。Nelson-Siegel和Nelson-Siegel-Svensson模型似乎没有满足所有市场约束，这与提出的方法相反，该方法也给出了置信区间。几个报价日期。使用第4.2节中描述的二维方法，webuild在图12中绘制了一个代表OIS贴现因子的曲面，该贴现因子与到期时间和报价日期有关。施工依赖于表4给出的8个日期的OIS报价。该曲面对应于给定市场公平约束和到期时间方向非递增约束的条件GP模式。我们选择Nx=40，nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- t两个报价日期之间用样本两个极端日期之间长度的百分比表示。参数θ和θ分别固定为25和0.5。