金融期限结构的克里格法

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英文标题：
《Kriging of financial term-structures》
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作者：
Areski Cousin (SAF), Hassan Maatouk (GdR MASCOT-NUM, LIMOS,
  DEMO-ENSMSE), Didier Rulli\\`ere (SAF)
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Due to the lack of reliable market information, building financial term-structures may be associated with a significant degree of uncertainty. In this paper, we propose a new term-structure interpolation method that extends classical spline techniques by additionally allowing for quantification of uncertainty. The proposed method is based on a generalization of kriging models with linear equality constraints (market-fit conditions) and shape-preserving conditions such as monotonicity or positivity (no-arbitrage conditions). We define the most likely curve and show how to build confidence bands. The Gaussian process covariance hyper-parameters under the construction constraints are estimated using cross-validation techniques. Based on observed market quotes at different dates, we demonstrate the efficiency of the method by building curves together with confidence intervals for term-structures of OIS discount rates, of zero-coupon swaps rates and of CDS implied default probabilities. We also show how to construct interest-rate surfaces or default probability surfaces by considering time (quotation dates) as an additional dimension.
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中文摘要：
由于缺乏可靠的市场信息，建立财务期限结构可能会带来很大程度的不确定性。在本文中，我们提出了一种新的术语结构插值方法，该方法扩展了经典的样条函数技术，增加了不确定性的量化。该方法基于克里格模型的推广，该模型具有线性等式约束（市场拟合条件）和形状保持条件，如单调性或正性（无套利条件）。我们定义了最可能的曲线，并展示了如何建立置信区间。利用交叉验证技术估计构造约束下的高斯过程协方差超参数。基于观察到的不同日期的市场报价，我们通过构建OIS贴现率、零息掉期利率和CDS隐含违约概率的期限结构曲线和置信区间，证明了该方法的有效性。我们还展示了如何通过将时间（报价日期）作为一个额外维度来构造利率曲面或违约概率曲面。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Kriging_of_financial_term-structures.pdf (1.36 MB)

2022-5-11 05:03:57 上传

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关键词：期限结构 克里格 Applications Construction Differential

金融期限结构的克里格法萨雷斯基表亲+1，哈桑·马图克+2和迪迪埃·鲁利埃+3（+）里昂大学，克劳德·伯纳德·里昂大学1，ISFA，法国实验室EA2429，50 av。Tony Garnier，法国里昂69366号（）法国圣埃蒂安矿业公司，法国圣埃蒂安42023号Cours Fauriel，由于缺乏可靠的市场信息，建立财务期限结构可能与很大程度的不确定性有关。在本文中，我们提出了一种新的项结构插值方法，通过额外考虑不确定性的量化，扩展了经典样条技术。所提出的方法基于具有线性等式约束（市场条件）和形状保持条件（如单调性或正性）的克里格模型的推广（无套利条件）。我们定义了最有可能的曲线，并展示了如何建立信心区间。利用交叉验证技术估计构造约束下的高斯过程协方差超参数。根据观察到的不同日期的市场报价，我们通过构建OIS贴现率、零息掉期利率和ofCDS隐含违约概率的期限结构曲线和密度区间来证明该方法的有效性。我们还展示了如何通过将时间（报价日期）作为额外维度来构造利率曲面或违约概率曲面。杰尔分类C63；E43；G12Keywords模型风险；利率曲线；收益率曲线；OIS贴现曲线；隐含违约分布；克里格法；无套利约束1介绍构建期限结构是资产定价和风险管理的核心。术语结构是一条曲线，描述了一些金融或经济量随时间范围的变化。

典型的例子包括无风险利率的期限结构、债券收益率或信用利差的期限结构、违约概率的期限结构或股票回报隐含波动率的期限结构。这些曲线通常不会在市场上直接观察到。因此，曲线构造基于一组或有金融工具的基准集，其价值明确取决于曲线的某些部分。在实践中，这些产品的市场报价只能提供有关期限结构的部分信息，因为它们只能被认为对一小部分流动到期日是可靠的。问题是如何将一小部分市场报价转换为代表theareski的连续值集。cousin@univ-里昂1。哈桑。maatouk@mines-斯蒂安。弗迪耶。rulliere@univ-里昂1。f潜在利息量相对于时间范围的演化。根据实际情况，假设该曲线属于一系列参数函数（尼尔森-西格尔函数Nelson和西格尔（1987）、多项式样条曲线、史密斯和威尔逊（2001）），其构造包括找到最能反映所有可用到期日观察到的市场报价的基本参数。在de Andrés sánchez和Gómez（2004）中，利率期限结构是使用模糊回归技术从标的工具的买卖价差估计的。Hagan和West（2006）回顾了曲线构造的不同插值技术。他们引入了一种单调凸方法，并假设了一系列质量标准，如满足市场报价的能力、无套利性、平滑性、插值方案的局部性、远期利率的稳定性和套期保值策略的一致性。Andersen（2007）分析了双曲张力样条曲线在利率期限结构构造中的应用。

基础优化允许用户控制fit精度相对于形状保持的相对重要性（曲线平滑度、振荡惩罚和过度凸凹）。同样，Chiu等人（2008年）表明，三次样条函数在不牺牲数据良好近似性的情况下最小化了曲线振荡。Iwa*****a（2013）对保持远期汇率稳定性的非局部样条插值技术进行了调查。其他论文，如Ametrano和Bianchetti（2009年）、Chibane等人（2009年）、Kenyon和Stamm（2012年）或Fries（2013年）都关注曲线构造方法在多曲线利率环境中的适应性。请注意，在插值方案中，对于所有情况下的特定最佳实践方法没有共识。此外，之前的方法没有考虑曲线构造过程中的不确定性。鉴于某些到期日的市场投入可能不可靠，甚至不存在，这可能是最重要的。这个问题与模型不确定性及其对风险管理影响的研究有关。自某个时期以来，人们一直在研究这个话题，在最近的金融危机之后，人们对这个话题特别感兴趣。Derman（1996年）、Eberlein和Jacod（1997年）、El Karoui等人（1998年）、Green和Figlewski（1999年）、Branger和Schlag（2004年）、Cont（2006年）、Davis和Hobson（2007年）、Hena ff（2010年）、Morini（2011年）等研究了模型风险对金融衍生品估值和套期保值的影响。在大多数论文中，模型风险问题仅限于衍生产品类别。

其中一个主要目标是量化模型的不确定性，例如，在给定有关标的证券的一些信息（例如其价格在某些特定时间范围内的边际分布）的情况下，获得一些衍生工具的无套利价值的界限。相比之下，无论涉及贴现曲线、零息票曲线、互换基准曲线、债券期限结构或CDS隐含生存曲线，边际分布或期限结构函数本身的构建中嵌入的模型风险问题尚未作为主要对象进行研究。从Kimeldorf和Wahba（1970年）以及Mardia等人（1996年）可知，样条拟合是克里格法的一个特例（另见Bay等人，2015年；Bay等人，2016年）。此外，克里金法还可以解释不确定性的量化。克里格法是在地质统计学中发展起来的，用于在相对较小的钻孔中估计地下某些矿产资源的密度，见克里格（1951）、马瑟隆（1963）、克雷西（1990）。其原理依赖于给定一组观测值的空间随机场的条件分布的确定。这种方法的主要优点是，它可以建立一个预测其他位置感兴趣的数量，以及依赖于这种预测的不确定性。克里格法现在广泛应用于水文学、空气污染、流行病学、天气预报等许多领域，根据不同位置的已知值，对一些感兴趣的数据进行插值。尽管克里格法很受欢迎，但在精算学或金融领域，关于克里格法的著作相对较少。这些领域的许多参考学术期刊对“克里格”一词只给出了很少甚至没有提及。然而，这种方法有时被称为使用术语“高斯过程”和“机器学习”。

在精算科学和金融领域使用克里金方法的一些现有工作涉及动态寿命调整（Debón等人，2010年）、可变年金估值（郭军，2013年；甘和谢尔顿·林，2015年）、预期短缺的嵌套模拟（刘和斯塔姆，2010年）、Vasicek模型校准（Sousa等人，2012年），股票市场联系（Asgharian等人，2013年）或信用评分（Fernandesand Artes，2015年）。其他使用空间技术的著作包括Kanevski等人（2008年）关于利率的著作，Benth（2015年）关于能源期货价格的著作。一些预印本或会议论文还提到了一些金融模型（Stutvoet，2007年）、空间保险（Paulson和Hart，2006年）、交易和对冲策略（Baysal等人，2008年）、百慕大期权估值（Ludkovski，2015年）。克里格方法自然依赖于对潜在随机场的一些假设，在构建克里格模型之前，必须仔细考虑所有必须满足的条件。在实践中，正在建设的期限结构必须满足几种类型的条件。最重要的条件之一是曲线与市场数据的兼容性，即，如果曲线用于对一组基准工具进行估值（根据特定的定价规则），则得出的值应尽可能接近观察到的市场报价。在许多经典情况下，市场条件转化为一个线性约束系统，可以很容易地纳入克里格技术。此外，克里金法还可以处理噪声观测的存在（使用所谓的金块效应）。这可能与由于缺乏流动性，市场报价不能被认为是可靠的情况有关。这样就有可能纳入与市场观察相关的额外不确定性水平（可信度）。

单调性约束在许多应用中似乎也很重要。例如，在无套利假设下，无违约零息债券（或无风险贴现因子）的价格是到期时间的非递增函数。CDS扩散项结构中的生存函数是[0,1]值的非递增函数。最近，一些作者研究了将单调性约束集成到高斯过程模拟器中的问题，例如Golchi等人（2015年）和Kleijnen和Van Beers（2012年）。然而，这些方法不能保证在整个域中的单调性约束。Abrahamsen和Benth（2001）一文还讨论了在高斯过程的某个位置引入约束。在Maatouk和Bay（2014b）中，经典克里格法已得到改进，以解决曲线值的单调性、正性约束或边界约束。在本文中，我们展示了如何使用“约束”克里格技术，通过额外量化曲线非流动部分的不确定性来扩展经典样条插值方法。论文的结构如下。第2节阐述了期限结构构建问题，并给出了市场条件和保形约束的具体示例。在第3节中，我们简要回顾了具有插值条件或更一般线性等式约束的高斯过程建模。在第4节中，我们介绍了Maatouk and Bay（2014b）中定义的模型，该模型将单调性约束纳入高斯过程模拟器。然后我们研究了相关的性质，如收敛到约束插值样条和协方差超参数的估计。

在第5节中，我们根据实际市场数据，为不同的金融期限结构（如OIS贴现曲线、零息掉期曲线和CDS隐含违约分布）构建曲线和置信区间。2期限结构构建问题期限结构函数构建的主要成分是一组金融产品，其价值取决于曲线的某些点。然后，观察这些产品的价格提供了曲线上的间接（和部分）信息。然后，第一步是确定这些产品的价值与不同时间段的曲线价值之间的关系。在本文中，我们将自己限制在这种关系是线性的情况下。正如我们将看到的那样，在许多实际情况下都是如此，例如构建公司或过度设计债券收益率曲线、构建OIS贴现曲线、构建基于固定利率与浮动利率互换的远期曲线，或者构建基于CDS利差的隐含违约率。2.1市场结构和形状保持条件目标是在某个报价日构建期限结构函数→ P（t，t），基于对一系列市场行情的观察S（t），Sn（t）对应于到期时间为t，Tn.在下文中，数量T表示时间长度（与日历日期相反），因此P（T，T）对应于时间范围T或日历日期T+T的曲线值。对时间t的市场行情的观察提供了一组时间范围或点sx=（τ，…，τm）曲线的部分信息，即在某些日历日期t+τ，t+τm通常对应于现金流的支付日期。如果向量P（t，X）：=（P（t，τ）。

，P（t，τm））>满足以下格式的线性系统：P（t，X）=bt，（1）其中Atis为n×m实值矩阵，bt为n维列向量。当然，A和B可能取决于市场报价S（t），Sn（t），关于产品现金流的特征，以及为评估这些产品在时间t时的价值而做出的假设。请注意，观察次数n通常小于点的数量m，因此系统（1）的解存在于维度为m的线性空间中- n、 在构建财务期限结构时，可以考虑一些关于曲线形状的附加信息。例如，函数T→ 已知P（t，t）相对于时间范围t变小，其值可能是有界的，并且属于区间[0，1]。当人们想要构造贴现因子曲线（无违约零息票债券价格）或隐含生存函数（CDS参考实体的生存概率）时，通常会出现这种情况。违反这类保形条件会导致术语结构函数通常不是无套利的。备注2.1。当时间（报价日期）的演变被添加为第二维度时，期限结构构建问题可以在二维设置中描述。在这种情况下，目标是构造一个曲面（t，t）→ P（t，t）基于一系列市场报价（t），在多个报价日期观察到的Sn（t）t=t，tN.请注意，这些产品的现金流特征可能取决于时间t。特别是，每次t的基本到期日可能不同。如果任何日期t=t，tN，市场条件转化为一个线性系统，那么这个条件可以通过每次t=t，Tnn系统如等式（1）所示。

保形条件可以表示为保形条件在时间t=t，在下文中，我们给出了一些例子，其中术语结构的构造涉及线性等式约束和形状保持条件（如单调性或正性）的组合。2.2术语结构的经典示例在下文中，t表示特定的报价日期，即观察到潜在系列或有产品的市场报价的日期。对于每一个例子，我们只考虑该家族中的一个金融产品，并提供其价值的线性关系。然后，这些关系对应于线性系统（1）的一个特定行。公司债券或主权债券收益率曲线设为观察到的公司债券或主权债券的市场价格，到期时间为T，票面利率为固定利率c。价格S和票面利率c以投资名义利率的百分比表示。息票支付日期的集合由（t+τ，…，t+τp）给出，其中τ<…<τp=T。年分数δkre表示时间长度τk- τk-1，k=1，这里τ=0。该债券的现值可以定义为一些无违约零息债券的线性组合，即cpXk=1δkPB（t，τk）+PB（t，τp）=S，（2）其中PB（t，τ）表示无违约零息债券在t时的价格，且时间为到期时间τ。请注意，即使表述（2）明显依赖于无违约假设，它通常被用作计算所谓债券到期收益率的中间步骤。在本例中，曲线T→ PB（t，t）将从一组类似于（2）的市场条件中推断出来，每个市场条件对应于特定的债务产品，但期限不同。