金融期限结构的克里格法

观察构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。0102030402010-06-022010-07-052010-08-032010-11-292010-12-302011-01-312011-05-102011-06-100.40.60.81.0次-到-到期日。20.30.40.50.60.70.80.91.0图12:OIS贴现系数作为到期时间和报价日期的函数。5.3 CDS隐含默认分布我们现在应用克里格方法构建CDS隐含默认分布。事实上，CDScan可以被视为一种保险产品，如果某个债务发行人在某个保护期或到期日内违约，该产品可以覆盖该债务发行人的损失。这些产品的市场报价（CDS价差）提供了有关当前保护成本的信息，以及市场如何评估标的实体在不同时间段的违约概率的信息。我们的目标是在不同的报价日期t构建隐含的生存函数t→通过观察CDS利差的相应期限结构（保护期不断延长的CDS利差），得出特定债务发行人的Q（t，t）。数量Q（t，t）给出了时间t时标的债务发行人在时间范围t之前不违约的概率。在这个数字说明中，我们考虑了表6所示的10个报价日的俄罗斯主权债务CDS。每个报价日期对应7张CDS价差，S与集合E中的保护到期日（年）相关：={1,2,3,4,5,7,10}>。对于每个标准成熟度T∈ E、 在每个保费支付日τ<····<τn=T的生存概率值通过线性关系（7）联系起来。请注意，预付款日期之间用四分之一的时间段隔开，所有报价的CDS金额的这些日期都是一致的。

在我们的数字说明中，预期回收率R固定为40%，贴现系数PD（t，τk）由圣路易斯联邦储备银行（Federal Reserve Bank of St.Louis）给出的（所有考虑的报价日期）财政部固定到期利率的线性插值构建。然后，如果δ=1/4代表一个季度，如果生存概率向量Q（t，X）：=（Q（t，δ），Q（t，2δ），…，则隐含的违约分布与市场报价相一致，Q（t，10））>满足线性系统的格式·Q（t，X）=bt（33），其中Atis是一个7×40实矩阵，bt=（1- R1.- R） >∈ R.在这种情况下，我们有n=7个观测值，取决于曲线的m=40个点。参数估计。在表6中，我们比较了高斯核（^θG）和Matérn 5/2核（^θM）的长度超参数估计。已使用第4.3节所述的ACV方法进行估算。如图13所示，这两个协方差函数的Loo目标函数看起来很相似。表6：使用ACV方法估算长度参数（CDS数据）。4.6 10.5 6 6 6.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.5 5 5.0 e-0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6.5 5 6 6 6 9 9 9 9-0702/2006 4.9 9 9 9 9 9 9 9 9 5 5 5 5/02/02/2006 4.5 5 5 5 5 5 5 2.5 5 5 2.5 5 5 5 5 5 2.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2.5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 1.10.8.2e-06 1.5e-06如前所述，一旦估算出长度参数θ，则使用公式（29）估算出标准偏差参数σ。一个单一的报价日期。在图14中，我们选择N=50并生成100条CDS隐含生存曲线的样本路径，这些曲线是在使用高斯方差函数（左图）和Matérn 5/2协方差函数（右图）时根据模型（15）构建的。所有的曲线都不随时间的推移而增加。

此外，它们都完全符合2005年1月6日的CDS数据。高斯过程超参数已通过第4.3节所述的ACV方法模拟。当使用高斯协方差函数时，估计的超参数由（^θG，^σG）=（4.9,0.09）和（^θM，^σM）=（10.5,0.22）给出。黑色实线表示0.5 10 15 200.000 0.002 0.004 0.006 0.008 0.010 0.012塔加索人LOO标准0.5 10 15 200.000 0.004 0.008 0.012塔玛特5/2 LOO标准图13：在LOO标准（27）中使用高斯（左）和马特5/2（右）协方差函数进行优化的函数。自2005年1月6日起的CD报价。最有可能的曲线，即条件GP的模式。回想一下，通过构造，该曲线满足给定的约束条件。黑色虚线表示模拟量化的95%逐点密度区间。几个报价日期。使用第4.2节中描述的二维方法，webuild在图15中表示CDS隐含生存曲线的曲面，作为时间范围和报价日期的函数。该构造依赖于表6所示的8个日期的CDS报价价差。该曲面对应于给定市场质量约束和到期时间方向非递增约束的条件GP模式。我们选择Nx=40，Nt=20，我们考虑一个二维高斯核函数，它写为asK（x，x）=exp-（十）- x） 2θ-（t）- t） 2θ！，其中x=（x，t）和x=（x，t）。对于每个向量x=（x，t），第一个分量x代表到期时间，第二个分量t代表报价日期。在不损失一般性的情况下，距离t- t两个报价日期之间用样本两个极端日期之间的长度百分比表示。参数θ和θ分别为8和1.7。

请注意，构造的贴现因子曲面相对于到期时间是非递增的。同时考虑多个报价日期有利于增加数据集，以便更好地估计超参数，并在两个方向（时间范围和报价日期）上创建一致的插值程序。0 2 4 6 8 100.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00X生存概率指数GP95%置信区间0 2 4 6 8 100.70 0.80 0.90 0.951.00X生存概率指数GP95%置信区间模型图14：CDS隐含生存曲线（灰线），作为使用高斯协方差函数（左）或Matérn 5/2Coviance函数（右）的非递增约束条件下GP的模拟路径给出。0123456789102005-01-062006-02-022007-03-202008-04-042009-05-112010-06-212011-07-142012-08-230.70.80.91.0保护到期日0。650.700.750.800.850.900.951.00图15：CDS隐含生存概率作为到期时间和报价日期的函数。5.4单调克里金技术的需要在第4节开始时，我们通过一些无套利约束条件证明了本文中开发的单调克里金技术。一个自然的问题是，构造现实的术语结构是否需要单调条件。让我们强调一下，我们所考虑的构造问题依赖于一个由不适定方程组总结的市场信息，公式（X）=b，其中a不一定是一个平方矩阵。显然，这些约束不会导致Y（x（i）），i=1，m、 因此，即期汇率或隐含违约概率在x点（1）不直接可用，x（m）。

在没有套利机会的情况下，代表无违约零息票债券、贴现因子或隐含生存概率的过程Y应是单调的。因此，考虑使用约束插值技术来基于这些量构造曲线是很自然的。这里考虑之前的掉期曲线构造问题，但放松对无违约零息票债券过程的单调约束。如图16（左面板）所示，得到的克里格平均值不是递减函数。此外，即使平均曲线是单调的，一些样本曲线也显然不是单调的，这导致了很宽且不切实际的置信区间。在图16的右侧面板上，我们可以看到相应的点速率平均来说似乎合理，但忽略单调性约束会导致置信区间变宽。请注意，图16的目的只是说明在使用无约束技术时可能遇到的一些问题，因此这里不讨论在无约束设置中的其他核函数参数选择。0 10 20 30 400.2 0.4 0.6 0.8 1.0贴现因子约束GP95%置信区间模式无约束GP95%置信区间克里格法均值0 10 20 30 400.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 xUnconstrated即期汇率即期汇率样本路径95%置信区间即期汇率克里格法均值图16：使用标准克里格法插值某些贴现因子（左面板），无单调性限制。OIS数据，2010年6月3日，高斯核与金块10-7.右侧面板中给出了相应的即期汇率。仅在本图中，线性约束Ay（X）=b由逐点约束Y（X（i））=MNK（X（i）| A，b），i=1，m、 为了使用标准的无约束R包DiceKriging（见Roustant等人，2012年）。

该软件包的估计参数为（θ，σ）=（5.8,0.22）。如果想要避免使用单调插值技术，一个自然的想法是对从Y（x）推导出的一些不一定是单调的量进行插值。例如，我们可以研究从y（x）的每条路径以双射方式推导出的函数ζ（x）。例如，在金融环境中，如果Y（x）是贴现因子，那么函数ζ（x）可以表示贴现率ζ（x）=-xlog Y（x）或远期利率ζ（x）=-ddxlog Y（x）。显然，这些函数不受单调性约束，因此可以避免使用单调插值。在文献中，一些研究在不考虑任何单调约束的情况下插入利率。Steeley（2008）得出的结论是，直接插值即期汇率而不是贴现系数更好：“通过直接拟合收益率曲线而不是首先拟合贴现函数，可以获得更好的收益率曲线估计值”。一些作者还建议对一些非单调曲线使用克里格技术，如Benth（2015），他将克里格技术应用于能源期货价格的未来曲线。在Kanevski等人（2008年）中，空间统计学和机器学习的工具被用于在二维特征空间（成熟度、时间）中生成一些利率映射。然而，在这些研究中，需要插值的利率或价格必须直接观察。在我们的环境中，我们不一定观察即期汇率或甚至折扣因素，我们的目标是在非参数环境中拟合市场数据。我们可以对非单调推导量的插值提出一般性反对意见：o第一个反对意见是，即使ζ（x）不是单调的，它仍然受到约束：例如，在没有套利机会的情况下，贴现率或远期利率等量预计为正。

至于贴现率，插值即期汇率可能会导致局部负平均即期汇率，克里格法获得的置信区间可能会达到阈值0，这是不可取的：约束从单调性约束转化为正性约束，而经典克里格法无法处理这些约束第二个反对意见是，在我们的设置中，观测值是AY（X）=b，其中A不一定是平方和可逆矩阵。因此，我们无法用我们的数据直接观察即期汇率或远期汇率。即使在非常特殊的情况下，A是一个平方且不可变换的矩阵，即期汇率也可以从Y（X）中推导出来，但远期汇率不能：知道某个横坐标上的函数并不能直接限制其导数最后，使用克里格插值，即使忽略ζ（x）的正性，也会导致ζ（x）的非线性条件。我们已经看到，对于AY（X）=b，Y（X）仍然是一个高斯过程，但对于过程ζ（X），情况将不再是这样。即使在A是可逆的简单情况下，过程ζ（x）也必须是正的，并且给定y（x）=b，它不再是高斯的，因此仍然必须引入合适的插值技术。结论在本文中，我们展示了如何使用合适的克里格技术来量化嵌入在金融期限结构构建中的模型不确定性。我们认为，曲线的构造是满足线性等式约束和单调性质的条件（空间）高斯过程的不可观测路径。提出了一种合适的交叉验证方法来估计控制不确定性水平的高斯过程协方差参数。然后，我们在一维和二维的一些示例上研究了该方法的有效性。

生成的曲线都与市场行情兼容，并遵守无套利条件。条件高斯过程还允许推导金融期限结构和相关数量的置信区间。我们比较了不同数据集上的高斯和Matérn 5/2协方差核：掉期与欧元银行同业拆借利率、隔夜指数掉期、信用违约掉期。我们得出的结论是，对于这些应用，Matérn 5/2协方差核似乎更合适，因为与经拟合的Nelson-Siegel或Svensson模型相比，它生成了更真实的正向曲线。在这项工作中，我们没有充分调查曲线不确定性对相关产品评估及其对冲策略的影响。此外，在我们给出的示例中，我们认为市场信息是在没有不确定性的情况下观察到的。可能是由于缺乏流动性，市场报价不能被认为是可靠的。然后，我们提出的克里格技术可以适应噪音观测的存在（见第3.3节）。对拒绝抽样算法的改进也可能有用，尤其是对于维度2中的超参数估计，其中必须考虑大量报价日期。这些要点留待将来研究。致谢我们要感谢三位匿名评论者和编辑花时间写这篇文章并提供有用的建议。作者还感谢Xavier Bay（EMSE）和Nicolas Durrande（EMSE）的有益讨论。这项工作是在ReDice财团的框架内进行的，该财团聚集了工业界（CEA、EDF、IFPEN、IRSN、雷诺）和学术界（圣艾蒂安矿业学院、印度工业大学和伯尔尼大学）的合作伙伴，寻找先进的计算机实验方法。

它还得益于金融服务业的GRI和路易·巴塞利尔研究所的支持。一位作者还感谢ANRLolita研究项目和DAMI研究项目。参考Abrahamsen，P.（1997）。高斯随机场和相关函数综述。挪威中央/挪威计算中心。Abrahamsen，P.和Benth，F.E.（2001年）。带有不等式约束的克里格法。数学代数，33（6）：719-744。Ametrano，F.和Bianchetti，M.（2009）。引导流动性不足：市场一致性远期利率估计的多收益率曲线构造，第1章。风险书。安徒生，L.（2007）。使用张力样条曲线构造折扣曲线。衍生研究综述，10（3）：227-267。Asgharian，H.，Hess，W.，和Liu，L.（2013）。国际股票市场联系的空间分析。《银行与金融杂志》，37（12）：4738-4754。巴乔克，F.（2013）。具有模型误判的高斯过程超参数的交叉验证和最大似然估计。《计算统计与数据分析》，66（0）：55–69。Barzanti，L.和Corradi，C.（1999年）。关于单调样条直接项结构估计的注记。《社会经济科学》马泰马蒂卡海滨酒店，22:101–108。X州贝、L.格拉蒙特和H.马图克（2015年）。在Hilbert空间的凸子集中插值的一种新方法。哈尔01136466。X州贝、L.格拉蒙特和H.马图克（2016年）。约束插值的Kimeldorf-Wahba对应的推广。ArXiv电子指纹。Baysal，R.E.，Nelson，B.L.，和Staum，J.（2008）。模拟边缘和交易策略的响应面方法。在2008年的模拟会议上。WSC 2008。温特，第629-637页。IEEE。Benth，F.E.（2015）。克里格平滑曲线。能源风险，2月：64-69。Branger，N.和Schlag，C.（2004年）。模型风险：风险度量和对冲的概念框架。

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