论作为美国人的价值

然后p（Xtn=j，tn=1，Xtn+1=k，tn+1=2）=P(tn+1=2 | Xtn=j，Xtn+1=k，tn=1）gj，k，n=P(tn+1=2 | Xtn+1=k，tn=1）gj，k，n=qk，n+1gj，k，n在这里选择qk，n+1，使qj，n+1X0≤我≤Jgi，j，n=X0≤我≤JP（Xtn=i，tn=1，Xtn+1=j，tn+1=2）=fj，n+1。自fj起，n+1=P0≤我≤Jgi，j，n-P0≤K≤Jgj，k，n+1我们有qj，n+1∈ [0, 1]. 特别地，矩阵G，G（有或没有F）唯一地决定了（X，).另一个要求是过程X是鞅。这意味着0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1和δ∈ {1,2}X0≤K≤J（xk）- xj）gδj，k，n=0。（4） 对于与观察到的看涨期权价格一致的任何模型M，我们可以通过φa（M）=supτEM[a（Xτ，τ）]来定义美式期权的基于模型的价格，其中上确界在g次τ中被接管，而预期算子的s superscript指的是我们在模型M下接受预期的事实。除第3.3节外，我们通常会在φ. 我们的目标是找到PX，T（a，C）=supφ（M），它是M的上确界∈ MX，T（C），所有离散时间模型的空间，其中价格过程是一个鞅，取值于X，与看涨期权价格一致。本文的一个基本贡献是证明了MX，T（C）上的上确界等于更小的集MX，T（C）上的上确界上模型。此外，考虑到∈ MX，T（C）我们可以定义τ*= inf{t∈ T:t=2}，和φ*（M） =EM[a（Xτ）*, τ*)]. 那么，谢谢∈MX，T（C）φ*（M）≤ 苏普∈MX，T（C）φ（M）≤ 苏普∈MX，T（C）φ（M）=PX，T（a，C）。我们表明，在整个过程中都是平等的。我们的首要任务是找到supM∈MX，Tφ*（M） 。利用条件（2）和（4）以及（3），这个问题可以被转化为一个线性规划。我们称之为定价（原始）问题。线性规划1。

定价问题LX，tp的目的是：找到（J+1）×N矩阵F和两个（J+1）×（J+1）×N- 1） 矩阵和Gwhich最大值1≤N≤NX0≤J≤Ja（xj，tn）fj，NSObject to F≥ 0，克≥ 0，克≥ 0，和（a）P0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）=pj，n；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.（b）P0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =pj，n；0≤ J≤ J、 二,≤ N≤ N.（c）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.（d）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.（e）福建，1-P0≤K≤Jgj，k，1≤ 0fj，n-P0≤K≤Jgj，k，n+P0≤我≤Jgi，j，n-1.≤ 01<n<Nfj，n+P0≤K≤Jgi，j，N-1.≤ pj，NLet最佳值由ΦX给出，T=ΦX，T（a，C）。备注2。由（c）和（d）可知，对于k<J，我们必须有gδJ，k，n=0，因此对于任何可行模型，{xJ}是吸收的。（e）中的不等式实际上是等式，回想一下（3）。然而，由于目标函数中的系数是正的，并且由于我们寻求φ最大化，我们可以将它们写成不等式，我们将在最优解中获得等式。此外，通过将（e）写成一组不等式，我们最终将在d问题中得到更少的解释。严格不等式1≤N≤NX0≤J≤Jfj，n<X0≤J≤Jpj，N=1，在某些情况下未能行使美式期权。显然，这是最优的，除非对于某些j和n，a（xj，tn）=0。命题3。LX，tp是一个可行集不为空且目标函数有界的线性规划。存在一个最优解。证据LX，tp是一个线性程序，这一事实伴随着检查。为了证明可行集是非空的，我们需要构造一个MX，N的元素，但是MX，Nis是非空的。让Mbe将关联的模型与X关联的价格过程相关联，并让 是在1时刻切换注册表的过程，以便n=2表示n≥ 1.

我们有gj，k，n=0，0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ Ngj，k，n=PM（Xn=xj，Xn+1=xk）0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ Nfj，n=pj，10≤ J≤ J、 n=10.0≤ J≤ J、 1<n≤ Nand（X，) ∈ 显然，对于MX的一般元素，我们有F≤ P和φ*（M）≤P1≤N≤NP0≤J≤Ja（xj，tn）pj，n<∞. 最优解的存在性如下。2.5套期保值问题线性规划2。套期保值问题LX，这是为了：找到三个（J+1）×N矩阵E、ean和V以及两个（J+1）×N- 1） 矩阵和D的最小值为X0≤J≤J、 一,≤N≤N（ej，N+ej，N）pj，N+X0≤J≤Jvj、Npj、NSObject to V≥ 0和（i）表示0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ Nvj，n≥ a（xj，tn）；（5） （ii）0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N- 1ej，n+ek，n+1+（xk- xj）dj，n≥ 0; （6） （iii）0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N- 1，ej，n+ek，n+1+（xk- xj）dj，n- vj，n+vk，n+1≥ 0; （7） 和ej，N=ej，1=0。设最佳v值由ψX，T=ψX，T（a，C）给出。提议4。这是LX，TP的双重问题。此外，最优解LX，THexists和LX的值，这等于LX，TP的值。证据LX、th的约束（i）、（ii）和（iii）分别对应于变量F、Gand和Gin LX、t，而LX、t的约束（a）至（e）对应于变量e、e、D和V。这两个问题是对偶问题，LX，NP有一个最优解（命题3）。因此，根据强对偶定理（Vanderbei[27]），对偶的最优解存在，并且与原始问题的值相等。请注意，一般来说，我们不希望双重问题有一个唯一的优化。虽然我们将LX称为套期保值问题，但到目前为止，这是一份需要调整的命名声明。下一步是展示线性规划LX，TH可以被解释为寻找一组美国主张的超级复制策略中最便宜的成员。定义6。

给定三个（J+1）×N矩阵E、ean和V以及两个（J+1）×N- 1） 在矩阵D和D中，qu intuple（E、E、D、D、V）可以被解释为代理人在以下意义上的半静态交易策略：1。设bj，n=（ej，n+ej，n）为1≤ N≤ N- 1和bj，N=（ej，N+ej，N+vj，N）。设θtn（xt，…，xtn）=θtn（xtn）=dj，如果xtn=xj。3.设θtn（xt，…，xtn，σ）=θtn（xtn）=dj，如果xtn=xj。我们称这种形式的策略为马尔可夫半静态策略。提议5。如果五元组（E，E，D，D，V）对于LX，THandif xtn是可行的∈ X代表1≤ N≤ N然后，马尔可夫半静态交易策略定义6超级复制了美国的主张。证据对于h={e，e，d，d，v}中的每一个，写出hn（x）=P0≤J≤Jhj，nI{x=xj}。假设X沿着带有yi的路径（s，y，…，yN）∈ 十、定义3和6isGT=NXn=1（en（yN）+en（yN））+vN（yN）+N（τ）中所述的策略的终端payo ff=GT（y，…，yN，τ）-1X（yn+1-yn）dn（yn）+N-1XN（τ）（yn+1）-这可以重写为gt=e（y）+eN（yn）+{vN（τ）（yτ）- a（yτ，τ）}+N（τ）-1Xen（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1- yn）dn（yn）+N-1XN（τ）en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1- yn）dn（yn）- vn（yn）+vn+1（yn+1）+a（yτ，τ）前两个元素为零，由于五元组（E，E，D，D，V）的可攻击性，后三个元素为非负。由此得出GT（y，…，yN）≥a（yτ，τ），因此对于XN中的每个可能路径（y，…yN），以及每个可能的停止规则τ，定义6个超级重复中的策略。定理1。ΦX，T=PX，T（a，C）=HX，T（a，C）=ψX，T。特别是，在建模假设下∈ T价格过程仅取inX值，在与观察到的买入价格一致的模型中，最昂贵的基于模型的价格是通过价格/制度模型（mx，T的一个元素）获得的。

同样，存在一种超复制马尔可夫半静态策略，在所有超复制半静态策略中，该策略的成本最低。通过弱对偶性，（命题2）MX，T MX，事实上，第6版的策略超级复制了我们的ΦX，T≤PX，T（a，C）≤ HX，T（a，C）≤ ψX，T。但命题4意味着ΦX，T=ψX，因此始终存在等式。2.6示例下面的示例是示例1对当前设置的扩展和重新表述。这台电视机的当前价格是100美元。欧洲看涨期权交易的到期日为T={T，…，tN=T}，罢工时间为K={50,100,150}。LetX={0}∪ K.让（qm）1≤M≤Nbe一组概率之和为1。通过C=cj定义看涨期权价格集，其中N为1≤ N≤ Ncj，n=100 j=050 j=1Pni=1qij=20 j=3与期权价格一致的最简单模型是，在某个时间t∈ T价格从100跳到50或150。价格水平50和150正在上涨。跳跃发生在时间tnforn的概率∈ {1，2，…，N}是qn。鞅的考虑意味着，如果是跳跃，上升跳跃的概率（到150）等于下降跳跃的概率（到50）。现在考虑一个美国期权，其收益为a（x，tn）=（bn）- x） +where（bn）n∈N={1，…，N}是100<b<150的递减数列。期权必须在{t，…tN}日期之一行使。设置aj，n=a（xj，tn），使a0，n=bn，a1，n=（bn- 50）+，a2，n=（bn- 100）+和a3，n=0。德菲宁*= 马克斯≥1{n:（bn）- 50）>2（b）- 100)} .根据bn的单调性，我们有（bn- 50）>2（b）- 100）为了所有人≤ N*. 既然b<150，我们就必须有n*≥ 1.

我们认为bN≤ 2b- 150所以n*< N.对于原始定价问题定义和Gviag2,1，N=qn+1I{N≤N*-1} g2，2，n=n*Xn+2qig2,3，n=qn+1I{n≤N*-1} g1,1，n=Xm≤nqmg2,1，n=qn+1I{n≥N*}g2,2，n=NX（n*+1)∨（n+2）qmg2,3，n=qn+1I{n≥N*}g3,3，n=Xm≤NQM，所有其他条目均为零。因此，F的条目由f1给出，n=qnI{n≤N*}f2，n=NXn*+1qi！I{n=1}f3，n=qnI{n≤N*}满足线性规划1的可行性条件。对于这组转移概率，基于模型的Americancall价格（使用停止时间τ=inf{tm∈ T:tm=2}）是Φ=Xj，nfj，naj，n=（b- 100）NXn*+1qi+n*Xqn（bn）- 50）注意，在这个模型中，我们可以将jum p时间视为已知的时间1。如果跳跃时间等于或早于tn*运动被推迟到跳跃的时候；如果跳转时间在tn或tn之后*+因此，等待并非最佳选择，而是应立即行使美式期权。现在考虑双重对冲问题。设定D=0，E=0，定义V，D和Ebyv0，n=max{bn，3（b- 100）}v1，n=（bn- 50）I{n≤N*}+ 2（b）- 100）I{n>n*}v2，n=（b）- 100）v3，n=0（见图1）以及≤ n<n，ej，n=（vj，n- vj，n+1）和0≤ j<3，dj，n=（vj+1，n+1- vj，n+1）/50，带dJ，n=0。自从E≥ 因此（10）成立。

对于（11），注意ej，n+（xk-xj）dj，n+vk，n+1-vj，n=（ej，n+vj，n+1-vj，n）+（vk，n+1-vj，n+1-（xk）-xj）dj，n）≥ 0我们使用vj，n=ej，n+vj，n+1和¨vn+1是凸的，所以vk，n+1≥ vj，n+1+（xk- xj）dj、nas和dj一样长，处于“vn+1”的次区域。然后满足对偶问题的可行性条件。此外，ψ=Pj，n（ej，n+ej，n）Pj，n+Pjvj，Npj，由ψ=n给出*-1X（bn）- bn+1）Xm≤nqm+[（bn*- 50) - 2（b）- 100]Xm≤N*qm+（b）- 100）=n*-1XbnXm≤nqm-N*XbnXm≤N-1qm+（十亿）*- 50）Xm≤N*qm+（b）- 100）NXn*+1qm=n*X（bn）- 50）qn+（b）- 100）NXn*+1qm因此，正反问题和对偶问题的直截了当的ate解决方案对相应的线性规划产生相同的值，并且两者都必须是最优的。50 100 150（b）- 100）2（b）- 1000亿*- 500亿*-1.- 500亿*+10亿*bn*-10亿*图1：函数v作为走向和成熟度函数的曲线图，在走向之间呈线性交叉。随着成熟度的增加，颜色从红色变为红色（成熟度n*- 1） 蓝色（n）*) 绿色（n）*+ 1). 虚线还显示了立即行使美式期权的支付。3.本节中对R+×TOur目标过程的扩展是为了说明前一节中的假设，即价格过程被限制为取X中的值，而执行时间被限制为取T中的值，对于一般结果并不重要，类似的定价和对冲结果在更一般的框架下，在美国索赔支付的一些温和额外假设下成立。首先，我们展示了在更广泛的离散时间模型中，基于模型的最高价格仍然由ΦX，T给出，最便宜的超级套期保值仍然由ΦX，T和ΦX给出，T=ψX，Tas。

第二，我们可以将结果扩展到允许在任意时间进行锻炼∈ T、 不仅仅是时间∈ T在这个阶段，仍然有效的关键假设是cJ，N=0.3.1在[0，xJ]×tAsumption 3上处理。时间是离散的，取有限集T中的值。价格过程X=（Xt）T∈t在[0，xJ]中取值。a在[0，xJ]×Tand上定义为除正外，a在其第一个参数中是凸的。给定X上定义的函数h，我们可以通过h（X）=xJ+1定义h的[0，xJ]上的线性插值h- xxj+1- xjh（xj）+x- xjxj+1- xjh（xj+1）xj≤ 十、≤ xj+1；0≤ j<j.我们需要一个s秒类型的插值函数dδn∈{1,2}我们定义了混合插值?dδnby?dδn（x）=dδj，nFX∈ X和forx∈ （xj，xj+1）~dδn（x）=dδj，ndδj，n≤ uδj，ndδj+1，ndδj，n>uδj，与dδj+1，n≥ uδj，nuδj，ndδj+1，n<uδj，n<dδj，n（8），其中uj，n=（ej+1，n- ej，n）/（xj+1- xj）和uj，n=[（ej+1，n- vj+1，n）- （ej，n-vj，n）/（xj+1- xj）。请注意，对于所有x∈ [0，xJ]，~dδn（x）≥ min0≤J≤Jdδj，n（9）命题6。假设等式（E，E，D，D，V）满足线性规划2中套期保值问题的可行性条件。如果我们取（E，E，V）的线性插值（\'E，\'E，\'V）和（D，D）的混合插值（~D，~D），那么五元组（\'E，\'E，~D，~D，\'V）满足\'en（x）+\'en+1（y）+（y）- x） ~dn（x）≥ 0（10）英寸（x）+英寸+1（y）+（y）- x） ~dn（x）- \'vn（x）+\'vn+1（y）≥ 0（11）代表所有0≤ x、 y≤ xJ。证据我们认为（11），（10）是相似的，但更容易。我们假设ej，n+ek，n+1+（xk- xj）dj，n- vj，n+vk，n+1≥ 0代表所有人0≤ j、 k≤ J和1的固定值≤ N≤ N- 1并试图推断（11）适用于所有0≤ x、 y≤ xJ。定义h（xj，xk）=ej，n+ek，n+1+（xk- xj）dj，n- vj，n+vk，n+1和h（x，xk）=en（x）+ek，n+1+（xk- x） ~dn（x）- vn（x）+vk，n+1。首先假设是y∈ 十、如果x∈ 然后（11）自动跟随。

那么/∈ X并写入X=αxj+（1- α） 对于某些j和0<a<1，xj+1。那么，如果y=xind dj，n≤ uj，n=（ej+1，n-vj+1，n）-（ej，n-vj，n）xj+1-xj我们有dn（xj）=dj，nand\'h（x，y）-\'h（xj，y）=（1- α） [ej+1，n- ej，n- vj+1，n+vj，n- （xj+1）- xj）dj，n]=（1- α） （xj+1）- xj）[uj，n- dj，n]≥ 0.因此h（x，y）≥\'h（xj，y）≥ 0.同样，如果dj+1，n≥ uj，nwe fin d\'h（x，y）≥\'h（xj+1，y）≥ 0.剩下的情况是当dj+1，n<uj，n<dj，n时，如果y≤ xj′h（x，y）-\'h（xj，y）=（1- α） （y）- xj）（uj，n- dj，n）≥ 如果是的话≥ xj+1，`h（x，y）-\'h（xj+1，y）=（1- α） （y）- xj+1）（uj，n- dj+1，n）≥ 0.对于（10）中这些参数的图示，见图2。因此，h（x，y）≥ 0代表所有x∈ [0，xJ]还有所有的y∈ 十、我们想得出（11）适用于所有x，y∈ [0，xJ]。但是，f或固定x∈ （11）左侧的表达式是分段线性的，在点y处有扭结∈ 十、因此，如果它在X上是非负的，那么它在所有y上都是非负的∈ [0，xJ]。我们通过两种方式将定义3的交易策略扩展到当前环境。首先，我们考虑欧式期权报酬eδj，由具有kj的所有期权组成∈ 十、然后是一个投资组合的收益，该投资组合的价值为ej，nat xjis¨en（x）在x，为x∈ [0，xJ]。其次，我们使用[0，xJ]上定义的对冲比率dδ，而不是dδn。如果B表示定义3中的箭头-德布鲁式支付，那么如果bn是bj的线性插值，非[0，xJ]，那么我们必须能够写出‘bn（x）=b0，n+P0≤j<jβj，n（x-xj）+。这一策略的回报变成了1≤N≤NB（Xtn）和成本isP1≤N≤N（b0，N+P0≤J≤JβJ，ncj，n）。设H[0，xJ]，T（a）是一组超复制半静态策略，该策略在所有行使时间和所有价格路径下都是超复制的，且具有xtn∈ [0，xJ]。提议7。

如果五元组（E、E、D、D、V）对LX是可行的，那么定义3中的交易策略（如上所述扩展）将通过Xtn在所有路径上超级复制美国的主张∈ [0，xJ]用于1≤ N≤ N.证据。假设美国索赔在τ处行使∈ T，X=（Xtn）0≤N≤n用yi表示路径（s，y，…，yN）∈ [0，xJ]。术语inalx¨en（x）ej，nej+1，n（a）情况uj，n≥ dj，n.我们沿着坡度dj的d线滑行，向上穿过（xj，ej，n），直到穿过（x，’en（x））。x′en（x）ej，nej+1，n（b）情况dj+1，n<uj，n<dj，n。我们扩展了（xj，ej，n）与（xj+1，ej+1，n）的连接线。图2:y的（10）图形验证∈ 十、开放圆代表点（xk，-埃克，n+1）。我们想展示一条线穿过（x，\'en（x）），它位于（xk，-ek，n+1）对于所有k。在第一种情况下，面板（a）中，我们给出了一条带斜率dj的虚线e，其位于圆上方。由于（x，\'en（x））位于虚线上方，我们可以将虚线向上滑动，直到它成为倾斜的虚线，该虚线穿过（x，\'en（x））并位于开放圆上方。在第二种情况下，面板（b），我们将连接线（xj，ej，n）扩展为（xj+1，ej，n+1）。在xj的左侧，这条虚线位于带坡度dj的灰线上方，通过粗糙面（xj，ej，n），而粗糙面又位于圆上方。策略中的payoff GT=GT（y，…，yN）是GT=NXn=1（\'en（yN）+\'en（yN））+\'vN（yN）+N（τ）-1X（yn+1- yn）~dn（yn）+N-1XN（τ）（yn+1）- yn）~dn（yn）=e（y）+eN（yn）+{vN（τ）（yτ）- a（yτ，τ）}+N（τ）-1Xn¨en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1- yn）~dn（yn）o+N-1XN（τ）n′en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1）- yn）~dn（yn）- \'vn（yn）+\'vn+1（yn+1）o+a（yτ，τ）。第二个表达式中的前两个元素为零。第三个是非负的，因为它在X上是非负的，\'vn是X和a之间的线性插值，在第一个参数中是凸的。