论作为美国人的价值

差异χ（A）- ζ（A）可以使用传统建模假设作为美国保费的大小。目的是将该量与φ（A）进行比较- ζ（A），当我们搜索与交易期权数据一致的所有模型时，它是最大美国溢价的大小。注：我们使用ζ（A）而不是ζ（T，A）作为欧式期权的基准，因为在某些情况下（高息率和高出击率），在虚拟模型下，美国即时行使货币内看跌期权是最佳选择。使用ζ（T，A）作为基准表明，期权的美式特征价值很大，尽管在几乎所有情况下，最佳策略都是立即行使。我们假设交易期权集有（行使权、到期日）对inK×T。当我们计算带付息a的美式看跌期权的无模型boun d时，我们可以等价地使用付息a=aX，tn≤ t<tn+1，xj≤ x<xj+1a（x，t）=xj+1- xxj+1- xja（xj，tn）+x- xjxj+1- xja（xj+1，tn）。特别是φ（a）=φ（a）。然而，在计算χ时，Payoff函数的这种变化会影响值，通常我们有χ（a）>χ（a）。例如，假设我能用100次击键，使a（x，t）=（e-rt100-x） +。假设T={1/4,1/2,3/4,1}和K={70,80,90,100,110,120,130,140}。然后χ（a）=6.09，而χ（a）=6.74。相比之下，φ（a）=φ（a）=7.66。因此，成熟度的最低-最高区间φ（a）χ（a）ζ（a）%premuum2 100-7.917.807.7722.4270 140 10 7.797.206.8935.3470 140 10 7.666.746.3529.1470 140 2.527.656.576.1329.012 70 140 10 7.556.426.0026 70 140 10 7.516.345.9126.8图3：该表显示了在s trike 100和到期日后的货币p ut的价值。假设欧洲期权的进口波动率为20%。

表格中的行对应不同的网格，随着我们向下移动表格，网格变得更清晰，价格更低。m模型独立溢价与Black Scholespriceφ（a）之间的差异- χ（a）=1.57,6.74- 6.09=0.65归因于Mesh的影响，0.92归因于Black Scholes模型的建模假设。我们还发现ζ（a）=6.35。根据布莱克-斯科尔斯模型，美国特征对索赔人的价值为6.74- 6.35=0.38，而所有模型的上限均为φ（a）- ζ（a）=7.66- 6.35 = 1.31. 因此，布莱克-斯科尔斯对美国保险费的估计仅为美国最大保险费的29%。图3显示了更改网格大小的效果。前四列描述了交易的欧洲期权家族。到期日平均为{1/N，2/N，…，1}。标题“最低”和“最高”指的是最低和最高的罢工，而“间隔”指的是罢工之间的间隔，因此，除第一行和第四行外，K={70、80、90、100、110、120、130、140}。接下来的三列给出了线性化期权的各种价格：美国价格模型的上确界、布莱克-斯科尔斯美国价格和欧洲价格。最后一列给出了比率[χ（a）- ζ（a）]/[φ（a）- ζ（a）]表示为百分比。随着网格变得更细，ζ（a）、φ（a）和χ（a）的值都会下降。然而，布莱克-斯科尔斯估值所反映的美国溢价比例大致保持不变，约为ird的四分之一。在下一个表中，图4我们在一个网格上进行了固定，并考虑了改变期权货币性的影响。我们每季度使用一次网格，每10个单元攻击一次。

主要结论是，Black-Scholes模型未能捕捉到美国溢价的全部价值，这一点在货币外看跌期权中最为明显，并且Black-Scholes模型捕捉到的美国特征的最大可能价值始终不到一半。本节得出的结论是，Black Scholes模型下的定价可能会大大低估期权的美式特征以及期权持有人应对模型不确定性解决方案的能力。走向φ（a）χ（a）ζ（a）%溢价80 1.00 0.92 0.91 15.590 3.25 2.89 2.79 20.6100 7.66 6.74 6.35 29.1110 14.09 12.81 11.73 45.8120 22.02 20.89 20.15 39.6图4：货币性对期权价值的影响。到期日为{1/4,1/2,3/4,1}和K={70,80,90，…，140}。5.2筛选的选择本节旨在说明筛选的选择如何对美式期权的可能价格产生巨大影响。限制对基于自然过滤的模型的关注会导致低估美式期权的价值。在本节中，我们将考虑以下非常简单的示例。时间范围T={0,1,2}。在t=0时，我们有X=2，在t=1时，X取{1,3}中的值，在t=2时，X取{0,2,4}中的值。martin gale性质，再加上状态空间如此简单的事实，意味着如果我们在时间2时得到一个Arrow-Debreu证券的价格，那么X的边际定律是完全特定的。我们假设有一种证券f或价格2/5支付1期（2，4）。然后，在任何一致模型下，Xhas关于{1,3}的统一定律，以及Xhas关于{0,2,4}的定律{2/5,1/5,2/5}。我们想对美国期权进行估值，该期权在州（1，1）和8分期付款（2，4）支付s1，否则支付0。

参见图5。（4,2,8）（2,2,0）（0,2,0）（2,0,0）（3,1,0）（1,1,1）图5：可能路径的空间和美式期权的收益。图中节点处的标签由三个元素组成，三个元素分别是价格水平、时间和美国行动的支付。分别用（p，q，r）表示从（1，1）到（（4，2），（2），（0，2））的转移概率，用（s，t，u）表示从（3，1）到（（4，2），（2），（0，2））的转移概率。（p，q，r）是鞅概率的事实给出了0≤ P≤ 1/4和（q，r）=（1-4p，+p）。同样，1/2≤ s≤ 3/4和（t，u）=（3-4s，s-). 最后，在t=2时对X定律的约束给出了p+s=4/5。有0的任意选项（p，s）≤ P≤ 1/4, 1/2 ≤ s≤ 3/4和（p+s）=4/5导致一致的模型。假设X=1。如果（1，1）的条件转移概率为（p，q，r），那么（1，1）处的即时运动值为1，持续值为8p，因此，如果p≥ 1/8. 通常情况下，在（3,1）处继续是最佳的，其值为8s。美国期权的预期收益为[8（p+s）+（1- 8p）+]=16/5+(- 4p）+。通过将p取得尽可能小，即p=1/20，以给出基于模型的最佳价格7/2，这是最大化的。相比之下，在各州（4,2）、（2,2）、（0,2））支付（8,0,0）的欧式期权的价格为16/5，因此美式期权的溢价为3/10。然而，这并不是一致性模型中最高的模型价格。考虑一对模型^M和^M.S，它们的特征是六元组（^p，^q，^r，^S，^t，^u）=（1/4,0,3/4,3/4,0,1/4）和（~p，~q，~r，~S，~t，~u）=（0,1/2,3/4,0,1/4）。请注意，这两个模型都是m artin gale模型，尽管两个模型都不满足约束p+s=4/5，但混合m=^m+~m确实具有X匹配调用价格的适当性。

我们假设期权持有人在被要求决定是否行使期权之前，了解了t=1时世界是由^M还是^M描述的。我们将证明，美式期权的价格在m模型下是最大一致的。在^m下，在t=2时行使美式期权是最佳的，期权的价值是4。在M下，以（1,1）行使是最佳选择，美式期权的价值为7/2。证明模型不确定性通过t=1解决，混合模型下的价格为18/5，美式保险费为2/5。特别是，在假设过滤是价格过程的自然过滤的情况下，在我们考虑所有模型时，美国保费相对于模型的最大值仅为美国保费最大值的3/4。（此外，如果Arrow Debreu证券在（2，4）的价格上升到7/16，那么欧洲的价格上升到7/2，但在模型中，转换概率在时间零点由（p，q，r，s，t，u）指定，美国期权价格在7/2不变。基于模型的最高价格基于mixtur emodel M=^M+~M，其中美式期权价格为15/4。在马尔可夫模型中，美式保险费为零——在t=2时行使美式期权始终是最佳选择——在混合模型中，美式保险费为1/4。将注意力限制在马尔可夫模型上表明美国没有溢价，但事实并非如此。）现在，我们认为18/5的价格是可能的最高模型价格，因为它展示了一种成本为18/5的半静态超级应用策略。从18/5开始，购买4个Arrow Debreu证券，支付1个州（4，2），总成本为8/5，剩余现金2。

此外，在时间段[0,1]内持有一个单位的资产，如果在t=1时未行使美式期权，则继续持有单位长期头寸，直到t=2；否则在[1,2]上持有股票的零头寸。在t=0时，现金持有量为2。在t=1时，现金持有量为3（3,1）和1（1,1）。这足以弥补行使美式期权的成本（请注意，到期日t=2的Ar row Debreu证券的持有量均为非负，因此没有剩余负债）。如果在t=1时未行使美式期权，如果X=3，则包括Arrow Debreu证券的支付，在t=2时，该策略分别在州（4,2）、（2,2）、（0,2））实现（8,2,0）。如果在t=1时未行使期权，如果X=1，则在t=2时，该策略在状态（（4,2）、（2,2）、（0,2））中再次实现（8,2,0）。因此，给定的策略是一种超级复制策略。上述描述与本文其余部分的注释不太一致。为了了解这个例子如何融入到这个结构中，假设X={0,1,2,3,4}和T={1,2}。将p1,1==p3,1与p0,2=2/5、p2,2=1/5和p4,2=2/5一起设置。所有其他的pj都是零。我们有a·，1=（0，1，0，0，0）和a·，2=（0，0，0，8），尽管a1，1，a3，1，a0，2，a2，2和a4，2只返回相关条目。用ej定义（E、E、D、D、V），2=ej，1=0表示0≤ J≤ 4 ande·，1=（0,1,2,3,4）e·，2=（0,0,0，-2.-4） d·，1=（1,1,1,1,1）d·，1=（0,0,2,2）v·，1=（0,1,2,5,8）v·，2=（0,0,0,4,8）我们立即得到了vj，n≥ aj，n和j，所以（5）成立。此外，如果∧是具有条目λj的矩阵，k=（k-j） 那么ej，1+λj，k=ek，1≥ -ek，2和（6）保持不变。

最后，如果∧是矩阵λj，k=2（k- j） I{j=3,4}然后vj，1-ej，1+λj，k=vj，2+ej，2+λj，k≤ vk，2+ek，2（7）保持不变。因此，（E，E，D，D，V）超级复制中隐含的策略，在成本8×+(-4） ×+3×+1×=.5.3期权价格的双连续统前面章节的方法转移到连续时间设置，我们将通过示例演示。然而，不断的环境带来了新的挑战，我们在本文中不会试图克服这些挑战。相反，本节仅旨在展示这些想法如何扩展到这个更一般的框架。我们假设我们得到了期权价格的双连续统（在行使和成熟度上），目标是找到美式期权价格的无模型上界。一个问题是，为了确定半静态战略，有必要确定每一个可接受价格路径上的可接受动态战略带来的贸易收益。在这个例子中，我们选择了一类非常普遍的可接受价格路径——如果期权支付更复杂，我们不太可能使用这一组路径。假设8。可能的价格路径集是从x开始的具有左极限的右连续函数集Dx（[0，T]）。请注意，要确定交易收益，需要在价格路径上具有一定的规律性，但我们不假设存在（路径）二次变化或价格路径y beyondy的任何其他规律性∈ Dx（[0，T]）。引理6。假设z={z（t）；0≤ T≤ T}∈ D（[0，T]）。那么对于所有0≤ s≤T≤ TZ（s，t]dz（u）I{z（u）-)≥0}≤ z（t）+- z（s）+（14）证明。我们可以写（s，t）∩ I{y（u）-)≥假设（lα，rα）是一个这样的区间，s<lα<rα<t。我们有z（lα，rα）dz（u）I{z（u-)≥0}=z（rα）- z（lα）≤ 0自z（rα）≤ 0≤ z（lα）。

或者，如果区间的形式为[lα，rα]和lα≤ 那么我们必须有z（lα）-) = 0和r[lα，rα]dz（u）I{z（u）-)≥0}=z（rα）≤ 0.（14）右侧的非零表达式来自于考虑跨越s和t的间隔（如有）。考虑一个美式选项，其payoff a（x，t）=|x-x |+b（t），其中b是一个递减可微分函数，使得b（0）- b（T）<x.设x是一个贴现股票价格，x=x.假设我们得到一个买入价格{c（k，T）}0的双连续统（在走向k和到期T中）≤k<∞,0≤T≤对于k，t=0≥ 2xandc（k，t）=（x- k） +RtdsRxx-kdy（k+y）- x） q（y，s）k<xRtdsRxk-xdy（x+y）- k） q（y，s）x≤ k<2x。（15） 这里q:[0，x]×[0，T]是R+×[0，T]上的密度，即q≥ 0和rtdtrxdyq（y，t）=1。这些看涨期权价格与一类模型一致，在这类模型中，除了在随机时间∑发生跳跃外，价格过程是恒定的。跳跃大小和跳跃时间的联合定律具有密度q，并且在时间σ处跳跃大小y的条件下，跳跃概率为1/2向上，概率为1/2向下。我们可以写Xt=x+zyi{t≥∑}其中（Y，∑）具有密度qand Z是{±1}上的均匀随机变量，它与Y和∑无关。请注意，这仍然是一类模型，因为我们还没有具体说明关于这对（Y，∑）的信息何时被披露。可能是（Y，∑，Z）在时间∑时被揭示（“适应”模型），也可能是（Y，∑）在时间0+时被揭示，在时间∑时被揭示（“预知”模型）。然而，还有许多其他模型（过滤概率空间支持amartingale价格过程）与（15）中的买入价格一致。

例如，可以定义一个广义局部波动率模型，该模型的买入价格由（15）给出——广义的意义是，在X时刻有一个原子tof SizertDSRxDyq（y，s），但在X之外，该过程就像一个鞅扩散。我们的主张是，根据（15）中的买入价格数据，美式期权基于模型的最高定价来自“取证”模型。在这个模型中，Y和∑的值显示在t=0+时。一旦知道它们，就可以立即运动（Payoff b（0+）=b（0）），或者在∑下运动，Payoff Y+b（∑），最好选择这些运动时间中产生最高回报的时间。基于模型的pr-ice是φ=ZTdsZxdyq（y，s）max{b（0），y+b（s）}=b（0）+ZTdsZxdyq（y，s）（y+b（s）-b（0））+。该模型隐含了一个区域过程，如果Y+b（σ）<b（0），则在t=0时跳到2，否则在时间∑时跳到2。如果我们能展示出一种成本为φ的超级复制策略，那么模型的最优性就会随之而来。考虑以下（连续时间）半静态策略（假设价格路径为x∈ Dx（[0，T]），并在ρ下锻炼）o购买一种密度（在时间和空间上）的Arrow-Debreu风格的欧洲支付方式，这种支付方式-˙b（s）I{124; x-x |>b（0）-b（s）}如果Xt=x加上购买时间T终端支付b（0）+[|x-x|-（b（0）-b（T））]+；o如果是xs，则做空资产-> x+b（0）- b（T）和s≥ ρ和x时的沿位置-< 十、- b（0）+b（T）和s≥ ρ.观察在一致的模型下，在x±y（远离x）isRtq（s，y）ds处，价格过程定律的时间t密度。然后，对冲策略的成本是ztdszxdy |˙b（t）| I{y>（b（0）-b（t））}Ztq（s，y）ds+ZTdsZxdyq（y，s）{b（0）+[y- （b（0）- b（T））]+}=b（0）+ZTdsZxdyq（y，s）[y]- （b（0）- b（T））]+-ZTsdt˙b（t）I{y>b（0）-b（t）}= b（0）+ztdszdyq（y，s）[y- （b（0）- b（s））]+=φ这仍然需要证明该策略是超级复制的。

为了你∈ Dx（[0，T]）让GT（y，ρ）表示半静态策略的最终收益。然后，使用z（s）=y（s）+b（s）- （x+b（0）），z（s）=b（s）- y(s)- （b（0）- x） 引理6，GT（y，ρ）=b（0）+[|y（T）- x|- （b（0）- b（T））]++ZT |˙b（s）|I{124; y（s）-x |>b（0）-b（s）}ds-Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)>x+b（0）-b（s）}+Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)<十、-b（0）+b（s）}≥ b（0）+[y（T）- x|- （b（0）- b（T））]+-Z（ρ，T）˙b（s）I{y（s）-)-x |>b（0）-b（s）}ds-Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)>x+b（0）-b（s）}+Z（ρ，T]dy（s）I{y（s）-)<十、-b（0）+b（s）}=b（0）+z（T）+z（T）+-Z（ρ，T]dz（s）I{Z（s）-)>0}-Z（ρ，T]dz（s）I{Z（s）-)>0}≥ b（0）+z（ρ）++z（ρ）+=b（0）+[|y（ρ）- x|- （b（0）- b（ρ））]+≥ |y（ρ）- x |+b（ρ）=a（y（ρ），ρ），其中我们使用z（t）++z（t）+=[|y（t）-x|-（b（0）-b（t））]+。因此，半静态策略是超级复制的。我们已经证明，存在一个一致的模型和一个半静态的超级复制策略，模型价格和超级复制策略的成本是一致的。因此，我们找到了最高的型号价格和最便宜的超级应用策略。6结论为了深入了解美国索赔在一系列密切相关的对冲工具（欧洲期权）存在下的潜在价值，本文开发了一种计算索赔最大可能价值的方法。本文的主要信息是，美式期权的大部分价值来自模型的不确定性，以及美式期权持有人在不确定性得到解决时调整其策略的能力，这是欧洲期权持有人所不具备的可能性。在过滤是价格过程的自然过滤的模型中，不可能捕捉到关于未来回报分布的信念的演变，为了捕捉美式期权的全部价值，有必要与更一般的公关机构合作。