论作为美国人的价值

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英文标题：
《On the value of being American》
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作者：
David Hobson and Anthony Neuberger
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  The virtue of an American option is that it can be exercised at any time. This right is particularly valuable when there is model uncertainty. Yet almost all the extensive literature on American options assumes away model uncertainty. This paper quantifies the potential value of this flexibility by identifying the supremum on the price of an American option when no model is imposed on the data, but rather any model is required to be consistent with a family of European call prices. The bound is enforced by a hedging strategy involving these call options which is robust to model error.
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中文摘要：
美式期权的优点是它可以在任何时候行使。当存在模型不确定性时，这一权利尤其有价值。然而，几乎所有关于美式期权的广泛文献都假设模型不确定性。本文通过确定美式期权价格的上确界来量化这种灵活性的潜在价值，当数据上没有模型时，而是要求任何模型与欧洲看涨价格族一致。该界限由包含这些看涨期权的对冲策略强制执行，该策略对模型误差具有鲁棒性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> On_the_value_of_being_American.pdf (439.69 KB)

2022-5-11 05:07:22 上传

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关键词：人的价值 美国人 Mathematical Quantitative uncertainty

论身为美国人的价值霍布森·安东尼·纽伯格*2018年9月19日摘要：美式期权的优点是它可以在任何时候行使。当存在不确定性时，这项权利尤其有价值。然而，几乎所有关于美式期权的广泛文献都假设模型不确定性。本文通过确定美式期权价格的上确界来量化这种灵活性的潜在价值，前提是数据中没有模型，而是要求任何模型与一系列欧洲看涨价格一致。这一界限是由一种对冲策略来实现的，该策略涉及这些看涨期权，对模型误差具有鲁棒性。关键词：美式期权、无模型、稳健对冲、模型风险、理性边界数学主题分类：91G20、91B25JEL分类：G13、C611简介美式期权是有价值的，因为持有人可以自由地对信息做出反应，包括购得期权后获得的信息。然而，几乎所有关于美式期权的广泛文献都提出了一个极端（但经典）的假设，即驱动标的资产价格的过程从一开始就被完全了解。在这样一个世界里，持有者可以在一开始就确定最佳锻炼策略，并且可以毫无损失地承诺遵循该策略。标准估值方法不允许来自远期或期权市场的证据，或在购买期权后发生的现实世界中的事件可能导致持有人改变模型和行权策略。美国特色为模型风险提供了一些保护，而基于模型的估值无法体现其价值。本文通过观察对价格过程施加最小限制的估值，来研究这种额外价值的大小。

它特别关注美式期权价格的上限，仅考虑同一资产上欧洲期权的同期价格。边界由半静态套期保值策略执行，该策略已被识别。它避免了*这篇文章的早期版本[24]，由一位作者以“美国选择的边界”为题发行。困扰标准模型基础方法的模型规格错误问题。结果并非完全没有假设。忽略交易成本和其他摩擦；假设无风险利率和红利过程是非随机的。但本文没有对价格过程的一组可能路径施加限制（除了积极性，这是常规的，很容易理解）。在已知欧式期权价格的情况下，已有大量文献研究了exoticoption的模型独立界限。源于霍布森[18]对回望期权的研究，无模型或稳健的boun D已被识别为障碍期权（Brown、Hobs-on和Rogers[6]）、双重非接触期权（Cox和Obloj[13]）、篮子期权（霍布森、劳伦斯和王[20]）、方差掉期（霍布森和克里梅克[21]）、方差期权（Carr和Lee[8]）和远期启动期权（霍布森和纽伯格[22]）。Kahal\'e[23]描述了一种通过凸规划的一般方法，用于在存在欧式期权的情况下对欧式路径相关索赔进行定价和套期保值，其设置与本文的主要部分类似。Beiglb–ock、Henry Labord`ere和Penkner[3]以及Dolinsky和Soner[15]利用大众运输文献中的论点，在存在欧式期权价格的情况下，确定一般路径相关期权的界限；他们表明，双重问题可以被解释为一种稳健的对冲，Acciaio等人[1]也是如此。

Hobson[19]提供了一项调查，并将该问题与Korokhod嵌入问题联系起来。大多数现有文献都与欧洲Pathent索赔的定价有关。本文的贡献在于为美国的索赔界定了界限，这提出了重大的新挑战。欧洲路径相关权利主张的持有者是被动的，不能影响期权的支付。索赔的价值取决于模型分配给每条路径的概率，在寻找与欧洲期权数据一致且路径相关索赔价格最高的模型时，有必要限制对模型的关注，因为未来收益的分布仅取决于过去的收益。任何关于未来收益的额外信息都是无关紧要的，因为持有者没有回应的机制。在这种情况下，在不损失一般性的情况下，可以将分析限制在过滤为自然过滤的模型上。相比之下，新信息的到来会影响美国ican索赔的行使决策，从而影响价值。为了找到索赔价格的上限，必须在更广泛的模型中搜索，并考虑不同的信息流规格。正如下面的简单示例所示，有许多模型与给定的一组欧洲看涨期权价格一致（即使我们有一个完整的、履约和到期期权价格的双连续统），在这类模型中，当模型不确定性尽早得到解决时，美式期权的价值最大化。有一个模型，其中资产价格是马尔可夫的，只有Cox和Hoegger[12]的论文例外。

本文的目的是，考虑到共同到期的g欧洲看跌期权的价值，确定具有固定到期日的美式看跌期权系列价格的可能形状（作为行使的函数）的一致性条件。但这种模式低估了美国选择的价值。例1。考虑一个具有单一风险资产（股票）和无风险债券的连续时间世界。利率是零。有欧洲看涨期权交易的每一个罢工和到期日。因此，股票价格的边际分布（在任何非常一致的定价措施下）在每个水平上都是预先确定的；在本例中，分布为100倍的单个质量点，最多1年；超过1年，在50、100和150处有三个相等的质量点。与此一致的最简单模型是三项式。以2/3的概率，价格在一年内上涨；如果它跳起来，上升或下降50的可能性同样大；否则价格不变。股票有一系列模型，其中三项式是一种特殊情况，与数据一致。在每种模型中，股价都是恒定的，除了在1年内，股价可能会上涨或下跌50%。给定时间t的信息，在时间1跳转的条件概率是一个随机变量zt。Z=（Zt）0≤T≤1是一个鞅，Z=2/3。三项式是一种特殊情况，其中Zt=2/3表示0≤ t<1。任何依赖于Europeanpath的声明的时间零值对于该模型系列的所有成员都是相同的。考虑一个支付[132/（1.1）吨的永久性美国索赔- St]+如果在时间t行权（其中STI是t时的股价）。除立即或1年后之外的任何时间行使索赔都是次优的。在三项式模型下，持有者立即练习并获得32分。

（等待一年的预期值为70+20+0=30。）现在假设z是从2/3跳到0或在时间零点后立即跳到1的左连续鞅。这种模式的想法是，在购买美国索赔后，持有人立即了解价格是否会在一年内发生变化。如果Z0+=0，持有者立即练习，并接收（132-100）=32。如果Z0+=1，持有者在价格上涨后等待并行使，以相同的概率获得70或0。在本案中，美国索赔的价值是32+70=34，而不是32。对于欧洲索赔，索赔持有人是否在时间0后获得关于跳跃可能性的新信息无关紧要；他们对此无能为力。这就是为什么在寻找约束路径依赖型欧洲期权价格的模型和策略时，研究人员将自己与路径定义的流程和交易策略联系起来（Acciaio等人[1]中的定义1.1，以及Dolinsky和Son er[15]的第2.3节）。但是，美国的说法更微妙，因为新信息的到来可能会改变决定。本文的主要理论结果（定理4）是，在存在一组有限的欧式看涨期权的情况下，美国索赔的最高价值等于最便宜的超级复制策略的成本。一致性模型的空间和超级复制策略的空间在这种情况下，一致性定价度量是指股价为鞅且基于模型的看涨期权价格（即其预期值）与报价一致的任何度量。巨大的

因此，证据建立在证明在复制策略的特定子系列中寻找最便宜的策略（价格上限），以及在特定子系列模型中寻找美式期权价值最高的模型（美式期权的可行价格，不会产生套利机会）的基础上，是同一有限线性规划的一元和对偶，且具有相同的最优值。因此，最便宜的超级复制策略在于所选的子系列，而赋予美式选装件最高价值的m模型则来自给定的子系列车型。该方法提供了一种在实践中计算界的可行方法。这种形式的二元性结果是许多关于鲁棒套期保值的文献的目标。它们可以或多或少地明确和/或一般/抽象。对于特定的期权（如回望和障碍），有时可以利用支付的特征来描述基于模型的价格和超级对冲成本重合的模型和超级对冲，从而提供两者的最优性。对于一般的支付，有双重结果（例如，见Beiglb¨ock等人[3]、Bouchard和Nutz[4]以及Acciaio等人[1]），我们的双重结果可以被视为是Acciaio等人[1]从路径相关索赔到美国索赔的超级复制的延伸，尽管技术假设略有不同。关于路径依赖期权无模型定价的文献严重依赖于定价和套期保值之间的二元性。

这种二元性在数学金融的其他环境中被广泛使用，包括美国期权的定价。例如，安徒生和布罗迪[2]、罗杰斯[25]和德豪[17]利用定价的原始问题和对冲的双重问题之间的关系来约束美国索赔的价值。但应该强调的是，在这些论文中，二元性的使用是完全不同的。他们在一个明确的模型中评估美国的主张；在他们的模型中，Americanclaim有一个精确的价格。他们通过使用接近最优的执行策略，在给定的模型下寻找包含美国索赔真实价格的边界。在本文中，没有模型，美国的索赔也没有唯一的价格。我们的目标是确定不会导致arb itrage的Americanclaim的最高价格。Carr、Ellis和Gupta[7]以及Carr和Nadtochiy[10]都是关于稳健套期保值的一系列密切相关的文献，这些文献旨在为在各种模型中运行良好的奇异期权寻找享乐策略。这些策略确实要求对基础过程进行限制，例如隐含波动率表面的对称性，或要求瞬时波动率是价格水平的确定函数，这是广泛的标准模型所共有的。这种限制在本文提出的问题的上下文中是不具吸引力的，该问题的重点是美国索赔持有人应对意外情况的能力。本文的组织结构如下。第2节给出了在一个简单的假设下，在一个有边界的矩形格子上定义的价格过程的理论和主要结果，即存在一个最大的罢工，在该罢工时，callprice为零。主要结果是定价和套期保值问题之间的二元性。

在定价方面，我们证明了对一致性模型的搜索可以局限于特定简单类中的模型。这一类比一维马尔可夫模型的集合更广泛（对马尔可夫类的关注有限只会导致在琐碎的情况下基于模型的价格最高），但仍然相对简单，因为它是一类二元马尔可夫过程，第一维为p rice，第二维为在最佳行使时间切换的“制度”。在套期保值方面，我们展示了如何将对最便宜的超级复制策略的搜索限制在一个简单的超级套期保值家族上。第一个定理的最后一部分表明，不存在二元性差距：基于模型的最高价格等于最便宜的超级复制策略的成本。在第3节中，我们放松了在第2节中使用的一些晶格假设，即尽管我们继续假设我们获得了一系列欧式期权价格（在网格上有行权和到期日），但我们现在考虑连续时间的模型，价格过程取R+值，而不是离散集。在第4节中，我们放松了一个假设，即存在一个买入价格为零的罢工。我们的最终结果再次表明，我们可以找到基于模型的美国期权价格的一致性模型的上确界，这等于最便宜的超级复制策略的成本。在这种情况下，可能无法获得模型的上确界。在第5.1节中，我们认为本文的方法s不是纯理论的，而是提供了一种可行的方法来计算美式定价的独立于模型的界限。我们考虑美式看跌期权，并将Black-Scholes值与p-rice上的模型独立上界进行比较。

给定一组欧式期权价格，我们可以计算模型独立美式期权溢价。我们发现，Black-Scholes模型下的估值严重低估了美式特征的价值，因为它没有考虑到美式期权持有人在解决了不确定因素后改变策略的能力。在第5.2节中，我们举例说明了一个玩具示例，该示例限制了对模型的关注，在模型中，过滤是价格过程的自然过滤，也显著低估了期权的美国特征的价值。在第5.3节中，我们通过例子展示了如何将本文的思想应用于一个连续的环境中，在这个环境中，期权交易具有连续的自然性和冲击性。第6节结束。有界格上的2个过程。2.1背景这篇论文考虑了单一基础股票的美式索赔价格。时间由t表示，从当前时间t=0到某个确定的正地平线t。让S=（St）表示股票的价格。让sbe作为我们视为已知常数的资产的初始价格。我们假设S是非负的，并且不支付股息，如果一项资产按比例支付股息，则可以通过将S视为股息再投资后的股票价格而简化为这种情况。假设利率是非随机的，让B=（Bt）代表无风险债券（B=1）的价格。设X=（Xt）由Xt=St/Bt给出。那么X表示债券计价的资产价格。最后，假设不存在市场价格：不存在交易成本或税费，允许无限制卖空。美国索赔的特点是一个函数a，表示如果在时间t行使期权，那么期权持有人将收到a（St，t）。