论作为美国人的价值

根据命题6，第四和第五项是非负的。因此它遵循GT（y，…，yN）≥a（yτ，τ），因此对于[0，xJ]N中的任何y可能路径，以及每个可能的时间τ∈ 这一策略是重复的。因此，对于这个设置，有一个类似于定理1的例子，但在下一节的末尾，我们将以一个稍微更一般的形式对其进行阐述。3.2 R+×t价格过程的超级对冲在我们当前的假设下，s trikes xJtrade在零价格下的看涨期权，因此在任何与C一致的模型中，价格过程永远不会超过xJ。我们对超级重复应用的证明考虑了与此界有关的路径。尽管如此，理想情况下，我们希望我们的超级复制策略能够对价格过程的所有场景进行超级对冲，而不仅仅是Xtn≤ xJ。在本节中，我们将介绍一种适用于所有路径的SuperEdge，其成本与前一节中最便宜的super hedge相同。这一策略涉及到最初购买s trike XJN的通话，这些通话可以零价格提供。假设4。时间是离散的，取有限集T中的值。价格过程X=（Xt）T∈t以R+表示值。美式期权报酬a:R+×T 7→ R是这样的，除了在其第一个论点中是正的和凸的外，它最多也有线性增长：limx↑∞a（x，tn）/x<R∈ T当价格以R+而不仅仅是X表示时，我们在半静态策略的定义中增加了Θ和Θ有界的要求。然后弱二元性仍然成立。设SR+，T（a）是一组超级复制半静态策略，该策略在所有行使时间和xtn的所有价格路径上超级复制∈ R+。定义7。

除了五倍（E、E、D、D、V）中隐含的投资组合持有/策略，以及定义6中描述的投资组合持有/策略，以及提案6之前的观察中扩展的投资组合持有/策略之外，还应添加≤N≤NβJ，N（Xtn- xJ）+通过添加βJ，n具有成熟度tn的nCall，每个n的走向为xJ。这里βJ，n=I{2≤N≤N} \"inf0≤十、≤xJdn-1（x）-+inf0≤十、≤xJdn-1（x）+R-#+I{1≤N≤N-1}dJ，n+dJ，n+R.这些在货币中到期的额外期权的收益将一直持有到到期日。额外的支付是无成本的，因为cJ，n=0表示所有n。给定[0，xJ]上定义的（\'E，\'E，\'D，\'D，\'V），将定义扩展到R+，通过\'Eδn（y）=\'Eδn（y）Dδn（y）=DδJ，n\'vn（y）=vn（xJ）+R（y）- xJ）对于y>xJ，1≤ N≤ N和δ=1，2。提议8。如果五元组（E、E、D、D、V）对LX是可行的，那么定义7中的交易策略超级复制了xtn在所有路径上的美国主张∈ R+1≤ N≤ N.证据。如果价格过程采用ym值（s，y，…，yN）∈ R+和ifτ∈ {t，…tN}我们发现终端支付GT=GT（y，…，yN）由GT=NXn=1（`en（yN）+`en（yN））+`vN（yN）+R（yN）给出- xJ）++N（τ）-1X（yn+1- yn）~dn（yn）+N-1XN（τ）（yn+1）- yn）~dn（yn）+N-1X英寸dJ，n（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）-（yn+1）- xJ）+#+N-1X英寸（dJ，n+R）（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（yn+1）- xJ）+#≥ e（y）+eN（yN）+{vN（τ）（yτ）- a（yτ，τ）}+N（τ）-1Xn¨en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1- yn）~dn（yn）+dJ，n（yn）- xJ）++inf0≤十、≤xJdn（x）-（yn+1）- xJ）++N-1XN（τ）n′en（yn）+en+1（yn+1）+（yn+1）- yn）~dn（yn）+[dJ，n+R]（yn）- xJ）+-\'vn（yn）+\'vn+1（yn+1）+inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（yn+1）- xJ）++a（yτ，τ）。我们发现GT≥ a（yτ，τ）对于所有时间τ和所有路径，证明这两个系统中的项都是非负的。我们考虑第二个问题。写出n+1=y和yn=x，并考虑Υ=\'en（x）+\'en+1（y）+（y- x） ~dn（x）+[dJ，n+R]（x）- xJ）+- \'vn（x）+\'vn+1（y）+inf0≤十、≤xJdn（x）+R-（y）- xJ）+根据x或y位于xJ之下或之上，我们可以考虑四种情况。

如果x，y≤ xjΥ的非负性遵循命题6。如果xJ<x，y，Υ=\'en（xJ）+\'en+1（yJ）- \'vn（xJ）+\'vn+1（xJ）+（xJ- x） dJ，n- R（x）- xJ）+[dJ，n+R]（x）- xJ）+（y）- xJ）dJ，n+R（y）- xJ）+{inf0≤十、≤xJdn（x）+R}-（y）- xJ）+和Υ≥ 0，因为此表达式中的三行都是非负的。其他情况也类似。用PR+，T（a，C）表示美国期权的基于模型的最高p价格，该价格与T时的买入价格一致∈ T仅限于非负。然后PR+，T（a，C）=supM∈MR+，T（a，C）φ（M）。设SR+，T（a）表示半静态策略的空间，这些策略沿着价格路径超级复制美国的支付，以R+为单位，设HR+，T（a，C）=inf（B，Θ）∈SR+，T（a）H（B）表示最便宜的超级复制策略的成本。定理2。我们有ΦX，T（a，C）=PR+，T（a，C）=HR+，T（a，C）=ψX，T（a，C）。特别是，在与观察到的买入价格一致的模型中，最昂贵的基于模型的价格是通过价格/制度模型获得的，在该模型中，价格仅取X（MX，T（C）的一个元素）的值。同样，还有一种定义7中所述的超级复制策略，该策略针对所有练习时间进行超级对冲，并且在所有非负面路径上，该策略的成本在所有超级复制半静态策略中是最低的。弱对偶性的证明（命题2）没有使用价格过程取X中的值这一事实，因此适用于这种情况。那么我们有ΦX，T（a，C）=PX，T（a，C）≤ PR+，T（a，C）≤ HR+，T（a，C）=HX，T（a，C）=ψX，T（a，C），其中我们使用T heorem 1表示外部两个等式，即集合包含MX，T（C）MR+，T（C）表示第一个不等式，命题2表示第二个不等式，命题8表示HR+，T（a，C）=HX，T（a，C）。

但是，ΦX，T（a，C）=ψX，T（a，C），因为它们是一对双线性规划（命题4）的值。3.3不受限制的练习时间在前传中，我们假设价格过程由离散时间参数集T定义，收益由R×T定义，停止时间限制为T。现在，我们假设我们获得了一组特定到期日的期权价格∈ 但是我们想考虑更多的一般锻炼时间。首先，我们将允许的锻炼日期集合扩展为toT={0}∪ T然后我们扩展结果，以允许在任何时间进行运动τ∈ T=[0，T]在美国支付函数的单调性（时间）假设下。假设a:R+×是支付函数。定义cj，1=（s）- xj）+andcj，n=cj，n-1.然后满足假设2，分析继续进行。特别是，相应的原始问题和对偶问题有一个解，解是相等的，它们对应于最高的基于模型的价格和最便宜的超级复制策略。现在考虑更有趣的情况，其中τ可以取[0，T]中的任何值。假设5。时间是连续的，取集合T=[0，T]中的值。价格过程X=（Xt）t∈t以R+表示值。美式期权报酬A:R+×T 7→ R在第一个参数中是正的，凸的，每个t的limxA（x，t）/x<R∈ [0，T]并在第二个参数中递减。我们假设我们得到了一组买入价C=cj，xj∈ X和到期日∈ T定义8。MR+，T（C）是一组连续时间模型（即a filtrationf=（Ft）0≤T≤Ta概率测度P与随机过程X=（Xt）0≤T≤t在R+）中设置值，使X=s，和1。过程X与C在E[（Xtn）的意义上是一致的- xj）+]=cj，适用于所有xj∈ X和所有t∈ T2.

X是右连续（P，F）-鞅。我们说这样的模型与C对M的买入价是一致的∈ MR+，Tde fineφA（M）=supτEM[A（Xτ，τ）]，其中τ取T中的值。如果价格过程定义为T=[0，T]，并且允许在任何时候行使，那么我们需要考虑比定义3中给出的更一般的动态对冲策略。特别是，允许的动态策略集必须允许股票中的分段恒定头寸在t时间重新平衡∈ T和运动时间ρ，其中时间T的位置大小取决于（xt∧TxtN∧t） （ρ之前）和（xt∧TxtN∧t、 xρ，ρ（运动后）。设N（t）=min{N:tn≥ t} 假设Θ是这种形式。那么动态套期保值策略的交易收益为gΘT=N（σ）-1Xn=1Θtn（xt，…，xtn）（xtn+1- xtn）+ρ（xt，…，xtn（ρ）-1，xρ，ρ）（xtN（ρ）- xσ）+N-1Xn=N（ρ）+1Θtn（x，…，xρ，…，xtn，σ）（xtn+1- xtn）（12）设SR+，T（A）表示超复制半静态策略的空间，如GT≥ A（xσ，σ）表示[0，T]上的所有非负价格路径，所有执行时间取[0，T]中的值。在连续时间内，我们假设可容许半静态策略的空间动态策略包括（12）中形式的交易收益。特别是，半静态策略的定义必须包括在行使时动态对冲再平衡的可能性。可接受策略的空间可能更大，但任何可接受策略都必须具有两个属性，即trad e GΘT=（Θ·x）的收益可以按路径定义，EM[GΘT]≤ 在任何模型下都为0。后者需要排除加倍策略。

如果是这样的话，我们的能力就弱了∈MR+，T（C）φA（M）≤ inf（B，Θ）∈命题2中的SR+，T（A）H（B）。以下定理背后的直觉是，欧式期权价格决定连续到期之间的价格变动范围-1和TN，但他们没有说明这些价格变动将在何时发生。由于支付函数在t中递减，因此美式期权价格在模型中最高，在模型中，价格变动发生在每个区间（tn）的开始处-1，tn]。通过这种方式，期权持有人可以从A的凸性中获益，而不会因为时间的减少而损失。定理3。假设期权报酬由A（x，t）给出，其中A:R+×t7→R满足假设5。定义a（x，tk）=limt↓tk-1A（x，t）=A（x，tk-1+).假设动态策略空间上的条件是弱对偶成立的。那么ΦX，T（a，C）=supM∈MR+，T（C）φA（M）=inf（B，Θ）∈SR+，T（A）HC（B）=ψX，T（A，C）。特别是，美式期权价格的上确界与看涨期权价格C一致，并且最便宜的超级复制半静态策略的成本都等于ψX，T（A，C）。证据支付函数a在其第一个参数中是正的、凸的，并且limxA（x，t）/x<R。特别是，a满足了对支付函数的所有假设，这些假设要求上一个子部分的结果保持不变。我们将认为，我们可以为支付函数a找到一个超级复制策略，该策略与相关的su PER套期保值pr iceψ=ψ（a，C）相关，并且存在一系列与到期日t的买入价格C一致的模型∈ 对于T，美式期权的关联价格与收益A收敛于Φ（A，C）。

通过WeakDality，我们已经解决了原始问题和双重问题，上一段中概述的超级优势是无限制行使日期的美式期权的超级对冲。首先，我们展示了如何将超边缘策略的概念扩展到连续时间内的过程（和练习时间）。回忆定义3，假设我们得到三个（J+1）×N矩阵E、E和V以及两个（J+1）×N- 1） 矩阵和D.除了第3条中描述的交易策略要素（在第6条中使用DasDas），还应补充一点，即如果美国期权在一个时间τ行使∈ [0，T]以tm<τ<tm+1，且资产价格为Xτ，然后做空a′+（Xτ，tm+1）个股票单位（通过借贷融资），并在tm+1清算该头寸。请注意，因为ais是凸的，所以右导数a′+在任何地方都定义得很好。如果期权在时间τ内行使∈ 然后这个策略就完全照搬了。否则，该策略的这个附加元素的效果就是添加一个术语-a′+（Xτ，tn）（Xtm+1- Xτ），相对于第7位的表达式，它变成（我们加和减a（yτ，tm+1）和a（ytm+1，tm+1），而不是a（yτ，τ））GT=\'e（y）+eN（yN）+{vm+1（ytm+1）- a（ytm+1，tm+1）}+{a（ytm+1，tm+1）- a（yτ，tm+1）- a′+（yτ，tm+1）（ytm+1）- yτ）}+mXn\'en（yn）+\'en+1（yn+1）+（yn+1）- yn）~dn（yn）o+N-1Xm+1n’en（yn）+’en+1（yn+1）+（yn+1- yn）~dn（yn）- vn（yn）+vn+1（yn+1）o+a（yτ，tm+1）因为a是凸的，所以我们有a（ytm+1，tm+1）≥ a（yτ，tm+1）+a′+（yτ，tm+1）（ytm+1）-yτ）和GT≥ a（yτ，tm+1）=a（yτ，tm+）≥ A（yτ，τ），因为A在其第二个参数中是递减的。因此，我们有一系列超级复制策略；将此类策略的成本降至最低（B，Θ）∈SR+，T（A）H（B）≤ ψX，T（a，C）。现在我们转向定价问题。

假设min1≤N≤N{tn- tn-1} = .让（X，) 是一个时间参数设置为T的进程，取值于X×{1，2}，并且E[（Xtn- xj）+]=cj，n.本模型中带支付功能的美式期权基于模型的价格isPj，nA（xj，tn）fj，n.选择（X， ) = （Xa，C，a、 C）因此它是与线性规划1中的优化器有关的离散时间过程，用于支付。设Ftn=σ（Xtm，tm；M≤ n） ：通过设置Ft=∪n:tn≤tFtn。为了∈ （0，）定义F=（Ft）0≤T≤通过Ft=Ffor t<F，Ft=ftn+tn-1.≤ t<（+tn）和n<n和Ft=ftf表示+tn-1.≤ T≤T通过（Yt，Γt）定义一系列分段常数、右连续、连续时间、二元过程（Y，Γ）=（s，1）0≤ t<（Xtn，tn）+tn-1.≤ t<+tn（XT，T） +tN-1.≤ T≤ 当（Y，Γ）是从（X，) 通过将跳转时间从{t，t，…tn=t}改为，+t，+tN-1（通过使过程在这些跳跃时间之间保持恒定，将时域扩展到[0，T]）。此外，通过构造，我们在定律L（Ytn）=L（Xtn）中有一个恒等式，因此Y与交易看涨期权的价格一致（在交易最到期时）∈ T）。如果资产价格/制度对由（Y，Γ）描述（制度过程Γ跳到两个时，通过使用行使策略获得），则带支付A的美式期权的基于模型的价格为X1≤N≤NX0≤J≤JA（田纳西州xj）-1+）fj，N增加到toP1≤N≤NP0≤J≤Ja（xj，tn）fj，n=ΦX，T（a，C）as减为零。亨塞苏姆∈MR+，T（C）φA（M）≥ ΦX，T（a，C）。证明是完整的，因为ΦX，T（a，C）=ψX，T（a，C）。4个无界股票价格，且无零价格调用。在前几节中，我们解决了在相关通话价格为零的大罢工限制下，最昂贵的m模型和最便宜的超级复制策略。

我们在这一节中的目标是放松这个假设，在假设2的其他元素得到加强的情况下，使不等式变得严格。我们回到离散时间的情况，尽管结果可以精确地扩展到连续时间，如第3.3节所示。假设6。时间是离散的，取有限集合中的值，期权的行使时间限制为T。价格过程x=（Xt）t∈t以R+表示值。美式期权报酬a:R+×T 7→ 因此a在其第一个参数中是正的和凸的。它也有最直线的增长：limx↑∞每个tn的a（x，tn）/x<R∈ T同样，我们假设市场上有一个有限的看涨期权家族，每对K中的行权和T中的到期日各一个，我们再次将股票视为一个零行权的看涨期权。这些电话的价格以矩阵形式写为C。我们假设：假设7。期权价格集具有以下属性：o对于1≤ N≤ N、 s=c0，N>c1，N>c2，N>cJ，N>0.o一个人≤ N≤ N、 1>c0，N-c1，nx>c1，n-c2，nx-x> ··>cJ-1，n-cJ，nxJ-xJ-1> 0.o 一个人≤ N≤ N- 1人，1人≤ J≤ J、 cj，n+1>cj，n.回想一下pj，nin（1）的定义。通过^pj引入（J+2）×N矩阵^P，N=pj，n0≤ J≤ J和^pJ+1，n=cJ，n.观察p0≤J≤J^pj，n=1<P0≤J≤J+1^pj，n.进一步，给定一个向量（h，h，…hJ）和一个最终元素hJ+1，定义扩展线性插值¨h:R+7→ R/h×h（x）=hjx=xj∈ Xx-xjxj+1-xjhj+1+x-xjxj+1-xjhj+1x<xJ，xJ<x<xJ+1hJ+（x- xJ）hJ+1x>xJ。设h为向量h=（h，h，…，hJ，hJ+1），设h为h的扩展线性插值。我们可以将h（Xtn）视为具有成熟度tn.引理1的欧式期权的报酬。到期日为TN且付款为h（Xtn）的索赔成本为0≤J≤J+1hj^pj，n.证明。“\'h与X元素的扭结呈分段线性。

特别是，我们可以把“h”写为通话支付的形式：\'h（x）=h+h- hxx+X1≤J≤J-1.hj+1- hjxj+1- xj-hj- hj-1xj- xj-1.（十）- xj）++hJ+1-hJ- hJ-1xJ- xJ-1.（十）- xJ）+。该投资组合的成本为ish+h- hxs+X1≤J≤J-1.hj+1- hjxj+1- xj-hj- hj-1xj- xj-1.cj，n+hJ+1-hJ- hJ-1xJ- xJ-1.cJ，n=h1.-sx+c1，nx+X1≤J≤J-1hjcj-1，n- cj，nxj- xj-1.-cj，n- cj+1，nxj+1- xj+hJcJ-1，n- cJ，nxj- xj-1.+ hJ+1cJ+1，n=X0≤J≤J+1hj^pj，上述引理激励以下线性规划：线性规划3。对冲问题LX，∞,这是为了：找到三个（J+2）×N矩阵E、E和V以及两个（J+2）×N- 1） 使ψ=X0最小的矩阵和数据≤J≤J、 一,≤N≤N（ej，N+ej，N）^pj，N+X0≤J≤J+1vj，N^pj，N对象为V≥ 0和（i）vj，n≥ a（xj，tn）；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ NvJ+1，n≥ 利克斯↑∞a（x，tn）/x为1≤ N≤ N.（ii）ej，N+ek，N+1+（xk）- xj）dj，n≥ 0; 0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n- dJ+1，n≥ 0; 0≤ K≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+1+dj，n≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+eJ+1，n+1≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.（iii）ej，n+ek，n+1+（xk）-xj）dj，n-vj，n+vk，n+1≥ 0; 0≤ j、 k≤ J、 一,≤ N≤ N-1.eJ+1，n- dJ+1，n- vJ+1，n≥ 0; 0≤ K≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+1+dj，n+vJ+1，n+1≥ 0; 0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.eJ+1，n+eJ+1，n+1- vJ+1，n+vJ+1，n+1≥ 0; 1.≤ N≤ N- 1和ej，N=ej，1=0。让最佳值由ψX给出，∞,T=ψX，∞,T（a，C）。引理2。假设等式（E，E，D，D，V）满足线性规划3的可行性条件。对于固定n，设（ej，n）0的扩展线性插值≤J≤J+1，（ej，n）0≤J≤J+1和（vj，n）0≤J≤J+1，并设dδn（x）由（8）给出，表示0≤ 十、≤ xJand代表x>xJ，dn（x）=dn=min{dJ，n，eJ+1，n}dn（x）=dn=min{dJ，n，eJ+1，n- vJ+1，n}。定义“eN（x）=0=”e（y）。然后我们得到了vn（x）≥ a（x，tn）x≥ 0, 1 ≤ N≤ N’en（x）+’en+1（y）+（y）- x） ~dn（x）≥ 0 x，y≥ 0, 1 ≤ n<n\'en（x）+en+1（y）+（y）- x） ~dn（x）- \'vn（x）+\'vn+1（y）≥ 0 x，y≥ 0, 1 ≤ n<n.证据。v的不等式源自a的凸性。