论作为美国人的价值

设a（x，t）=aS（xBt，t）/Bt；然后a是美国索赔的贴现支付，用贴现价格X的单位表示。作为一个激励性的例子，考虑一个恒定利率r和一个美国看跌期权（在S上）的情况。然后我们有Bt=ert，aS（s，t）=（KS- s） +和a（x，t）=（KSe-rt- x） +。除了股票和纯贴现债券，这套交易证券还包括股票上的欧罗佩看涨期权。特别是，有可能购买或出售行使权为KST且到期日为t的S的看涨期权- KS）+用于价格CS（KS，t），用于下文所述的一系列交易履约和到期日。根据债券计分法，这相当于可以在X买入或卖出一个行使K=KS/bt的看涨期权，到期时间t为C（K，t）=CS（KBt，t）。从今以后，我们将专门处理折扣价格和折扣买入价。此外，我们将省略折扣的条件，而不是讨论价格X和C。我们期望在任何价格下，X=（Xt）是一个鞅。在本节中，我们将假设时间是离散的，并且时间参数被限制在一个集合T={T=0，T<…<tN=T}中。此外，我们还将假设期权只能在τ日行使∈ T=T\\{0}={T，…，tN}。稍后，我们将扩展我们的分析，以允许价格过程的时间参数和美国期权的行使时间取T=[0，T]的值，尽管我们仍将假设交易期权的性质集是有限的。此外，我们认为，对于每种自然状态∈ T K的集合，其中K={x，x，…xJ}和0<x<xxJ。因为持有一个零敲打的看涨期权相当于持有股票，而且股票是交易的，所以将0视为交易的敲打是有用的。

（对于任何到期日，没有优势参数意味着零击调用的价格必须等于X=s。）设X={0，X，X，…xJ}。在本节中，我们将用一组价格过程X的水平来确定X，并构建在晶格X×T上的过程（至少在时间零点之后）。这一限制将在以后的章节中放宽。使用一系列特定打击的一个理由是，这是“真实”的威胁。然而，如果在整个到期期间，对S的期权进行罢工是常见的，那么在切换到贴现变量之后，情况就不再是这样了。我们对一系列罢工的理解主要是教育学的：这种设置提供了最简单的情况，在这种情况下，可以陈述和证明主要结果，并说明本文的信息，也就是说，美式期权的价值在于，他们可以让代理人利用模型的不确定性，并遵循利用资产自然过滤中不包含的信息的策略。我们认为欧洲期权是看涨期权。我们可以和puts一样工作。在我们的模型中，一个代理可以做空资产，从而持有看涨期权。因此，在使用欧洲计算机和调用之间切换是很简单的。当然，美式期权不存在看跌期权平价。假设1。时间是离散的，取有限集合T中的值。美国选项只能在tn时间行使∈ 并且必须通过tN=T进行练习。价格过程X=（Xt）t∈t在X中为t>0取值。支付函数a:X×T 7→ R为正。假设a为正，且期权必须行使，这是无害的，因为如果不是，我们可以简单地将a的正部分取为0≤ J≤ J和1≤ N≤ N写cj，了解通话安全支付（Xtn）的价格- xj）+在时间tn.设置c0时，n=s。

我们的假设是，对于这些价格，看涨期权可以在时间零点进行买卖。假设2。1.看涨期权价格集具有以下属性：o对于1≤ N≤ N，s=c0，N≥ c1，n≥ c2，n≥ · · · ≥ cJ，n≥ 0.o对于1≤ N≤ N，1≥c0，n-c1，nx≥c1，n-c2，nx-十、≥ · · · ≥cJ-1，n-cJ，nxJ-xJ-1.o对于1≤ N≤ N- 1和0≤ J≤ J、 cj，n+1≥ cj，n.2。此外，cJ，N=0。Carr和Madan[9]以及Davis和Hobson[14，定理3.1]对一组看涨期权设定了必要且有效的条件，以确保无风险。在我们的设置中，这些条件简化为第一组声明。另外一个假设是cJ，N=0（然后也是cJ，N=0）对所有1≤ N≤ N意味着在与这些期权价格一致的任何模型中，期权价格超过xJis的概率为零。这一简化假设将在第4节中放宽。设C为元素为cj，N的（J+1）×N矩阵。通过其条目pj，N定义（J+1）×N矩阵P，其中为1≤ N≤ Npj，n=1.-s-c1，nxj=0；cj-1，n-cj，nxj-xj-1.-cj，n-cj+1，nxj+1-xj1≤ j<j；cJ-1，n-cJ，nxJ-xJ-1j=J.（1）方程组（1）是Breeden和Litzenberger[5]公式的空间版本，该公式将风险中性密度与期权价格的第二个变量联系起来。一个模型，其中P（Xtn=xj）=pj，n集合j和n具有E[（Xn）的性质- xj）+]=cj，n。还有许多其他的边际分布族也可以提供这些期权价格，但这是唯一一组概率定律，如果质量被限制在集合X中，则与每个期权的买入价格一致。2.2一致的定价模型定义1。MX，T=MX，T（C）是一组模型（即过滤F=（F，Ft，…FtN）和支持随机过程x=（Xtn）0的概率度量P）≤N≤在X）中输入值，使X=s，和1。

过程X与C在E[（Xtn）的意义上是一致的- xj）+]=cj，或相当于P（Xtn=xj）=pj，n；2.X是a（P，F）-鞅。我们说，这样的模型与观察到的买入价格C一致。上标X，T在M上不是指模型与为X中的罢工和T中的到期而定义的买入价格一致，而是指过程是根据时间参数集T定义的，并且价格过程取X中的值。MX中的M元素不仅定义了一个与C一致的过程，还定义了一个定价模型；timet交易证券的模型价格是其在M下的条件预期收益。特别是M为美式期权定义了基于模型的价格：φ（M）=φa（M）=supτEM[a（Xτ，τ）]。定义2。MX，T（C）是MX，T（C）的子集，即1。X是马尔可夫的，所以P（Xtn+1=xk | Ftn）=P（Xtn+1=xk | Xtn）。我们说这样的模型是一致的马尔可夫模型。提议1。假设C满足假设2。那么MX，T（C）i不是空的。此外，由股票、债券和看涨期权（以C价交易）组成的市场是无套利的。证据一个人≤ N≤ N让uN用质量pj、nat xj表示原子量度，并让u表示s处的点质量。C上的条件确保调用价格在x上是凸的（对于fixedn），在N上是增加的（对于fixed x）。这些是存在uN到uN+1鞅传输的充分条件。可以选择该鞅输运，使得从xjt到xkdepend sonunandun+1的概率质量。

因此，存在一个离散时间鞅（关于其自然过滤），它与C中的价格一致，并且显示了马尔可夫性质。arb-itrage的意义源自于一个鞅的存在，在该鞅下，未定权益的价格等于其报酬的预期值（Harrison and Kreps[16]）。请注意，在定义MX时，我们不认为F是X的自然过滤。过滤可能比这更丰富，概率空间可能支持X之外的其他随机过程。我们希望F支持（至少）第二个随机过程，表示为.在第3节中，我们将扩展该问题，以允许离散时间价格过程采用R+（因此模型空间为MR+，T（C）-注意，尽管我们允许价格过程采用任何非负值，但我们将假设一组有限的罢工），然后是连续时间过程。在连续时间的情况下，我们坚持认为价格过程是一个正确的连续鞅。2.3半静态套期保值策略我们想讨论问题的各个方面。我们的设置包括这样一个概念，即我们可以获得有限的香草欧式看涨期权价格。那么，除了允许投资股票，我们还希望允许投资看涨期权。然而，尽管目前已知看涨期权的价格，但我们不想对其随时间的演变做出假设（除非它们将遵守假设2第一部分中的无套利限制）。因此，尽管我们希望能够在交易买入期权中买入并持有头寸，但我们不能期望能够随着时间的推移调整这些投资组合——我们无法确定这种调整可能需要多少成本。定义3。

（X，T）上的A（路径和执行依赖）半静态交易策略（B，Θ=（Θ，Θ））由1组成。Arrow Debreu风格的欧式选项，如果X在时间tn（1小时）处于状态，则带有Payoff（bj，n）≤ N≤ N）。随着证券的成熟，它们被持有在债券中。这种策略的回报是GBT=X1≤N≤NX0≤J≤Jbj，nI{Xtn=xj}和成本isP1≤N≤NP0≤J≤Jbj，npj，n.2。在时间tnfor1创建的Θtn股动态对冲头寸≤ N≤ N- 1.此处，如果期权尚未行使，则为Θtn=Θ（xt，…xtn），如果期权与j一起行使，则为Θtn=Θ（xt，…xtn，tj）≤ n、 该头寸通过借贷融资，并在+1时清算。如果运动发生在ρ∈ 那么这种策略在价格路径（s=x，xt，…xtN）上的收益是gΘT=N（ρ）-1Xn=1Θtn（xt，…，xtn）（xtn+1-xtn）+N-1Xn=N（ρ）Θtn（xt，…，xtn，ρ）（xtn+1-其中N（ρ）=min{N:tn≥ ρ}. 成本为零。沿aprice路径（xt，…xtN）的半静态交易头寸的时间T支付=GB，ΘT为GT（xt，…xtN，ρ）=GBT+GΘT，总成本为HC（B，Θ）=H（B）=P1≤N≤NP0≤J≤Jbj，npj，n.人们可能还需要在时间段（0，t）的基础上指定一个位置，即包括θ（s）。这是没有必要的，因为任何必要的支付都可以归入欧洲支付bj，1。在模型独立定价文献中，通常考虑半静态策略，其中动态元素为Θtn=Θtn（x，…，xtn），即股票中的头寸是价格路径的函数。在我们的美国期权定价环境中，我们必须允许套期保值比率也取决于期权是否已行使（然后自然希望它取决于何时行使）。因此我们需要允许Θtn=Θtn（x。

，xtn，ρ）表示tn≥ ρ其中ρ∈ T是锻炼时间。原则上，在一个给定的模型中，半静态套期保值策略的空间将取决于该模型，并且可能更加丰富。但是，期权的套期保值者需要能够定义收益，而不考虑模型。然后，他必须使用半静态策略，其中动态成分仅是价格历史和行使时间的函数，如定义3所示。定义4。一种半静态交易策略（B，Θ=（Θ，Θ））超级复制了美国的主张，如果GT（xt，…xtN，ρ）≥ a（xσ，ρ）表示所有（xt，…xtN）和xtN∈ X和所有ρ。设S=SX，T（a）为超复制半静态策略集。S上的上标表示练习时间为T，超级复制发生在xt所在的路径上∈ X代表t∈ T确定与交易通话价格一致的模型中基于模型的最高价格：PX，T（a，C）=s upM∈MX，T（C）φa（M）。确定最便宜的超级复制半静态策略的成本HX，T（a，C）=inf（B，Θ）∈SX，T（a）HC（B，Θ）。提议2。弱对偶性：PX，T（a，C）≤ HX，T（a，C）。证据对于任何半静态超级对冲策略a（Xτ，τ）≤ GT（xt，…xtN，τ）。由于X在任何一致模型下都是鞅，如果τ是停止时间，那么em[GΘT]=0和[a（Xτ，τ）]≤ EMhGB，ΘTi=X1≤N≤NX0≤J≤Jbj，npj，n=HC（B，Θ）=HC（B）。弱二元性随之而来。2.4美式期权价格的界限回想一下，我们目前的设置是离散时间价格过程，取x值。有许多与欧洲电话市场价格一致的型号。原则上，人们可以在所有可能的模型中搜索，以找到美国索赔价格的上限。但模型空间的维度是巨大的。

从例1可以看出，不能将搜索限制在基于自然过滤的一组模型上。在本文中，搜索被限定为一小部分模型，并被表述为一个有限维线性规划。线性规划具有对偶性。事实证明，对于所选的特定模型子集，dualprogram可以解释为在一类有限的超级复制策略中寻找最便宜的超级复制策略。因此，存在一个价格，它既是超级复制战略的成本，也是美国对某一特定型号的索赔的模型价格。因此，某一类模型中的这对最优模型，以及某一类超边的最优超对冲，必须是所有一致性模型上的最优模型，以及所有超复制策略上的超对冲。对定价问题和复制问题的描述是很熟悉的。但有几点值得强调。首先，我们把定价问题写成原始问题，把复制问题写成对偶问题。这是因为与对冲策略家族相比，更容易激励模型家族的选择。其次，正是因为仔细选择了模型的子集，它的对偶才能被解释为寻找最便宜的超级应用策略。（如果子集不包括全局上确界，就不可能出现这种情况。）因此，考虑股票的马尔可夫模型是不够的，我们必须考虑一个由价格和制度组成的增强过程。第四，在双重问题中，我们不需要依赖于整个价格历史的动态套期保值策略，而是可以将股票中的头寸仅作为当前价格的函数，以及是否行使了期权。

这是一个可考虑的简化（并取决于美式期权的支付取决于当前股价，而不是路径历史）。模型子集的选择至关重要。它的成员必须具有一组有限且相当小的参数，以使搜索问题易于处理。模型必须能够包含所有交易证券的初始市场价值。最后，这些模型需要具备使美国人的主张特别有价值的特征。前两个考虑因素是我们考虑离散空间，马尔可夫跳跃过程。但第三个考虑因素（以例1为例）表明，这是不够的。如果持有者能够获得更多关于未来收益分配的信息，美国的索赔就变得更有价值。因此，请考虑以下扩展名MX、Tof MX、T.definition 5。MX，T=MX，T（C） MX，T（C）是一组模型（即a filtation F=（F，Ft，…FtN）支持二元离散随机过程（X，) = （Xtn，tn）0≤N≤n的Ntaking值inX×{1,2}≥ 1） 这样（X，) = （s，1）和1。（十），) 是关于价格的马尔可夫，所以P（Xtn+1=xk | Ftn）=P（Xtn+1=xk | Xtn，2。 是非递减的，带有tN=2.3。可能性tn+1=2，条件是tn=1仅取决于n和xtn+1。这一假设的最后一个要素，即 依赖Xtn+1保留评论。（更正常的情况是，在马尔可夫设置中，我们希望这些概率取决于Xtn。）通常，我们需要一定比例的qk，mof，这些路径到达Xtm=xkat，并且商标-1=1拥有tm=2。我们可以让这个比例取决于这些路径的起源（即Xtm）-1） 但最简单的解决办法是做出上述假设。见下文备注1b。我们指的是 随着政权的进程。

两者之间的关系 最优停止规则τ*结果表明，取τ是最佳的*= min{t∈ T:t=2}。一个过程（X，) 在MX中，TCA可以由一对（J+1）×（J+1）×（N）表示- 1） 矩阵G（带有条目Gδj，k，n）指定连续状态的连接概率（而不是条件概率）：Gδj，k，n=P（Xtn=xj，Xtn+1=xk，tn=δ）0≤ j、 k≤ J1.≤ N≤ N-1, δ ∈ {1，2}人们可能也希望指定gδj，k，0，但对于δ=2，这些概率必然为零，而对于δ=1，gj，k，0=pk，如果xj=0，则为零。由于这些概率不依赖于模型（假设模型与买入价格一致），我们认为它们是固定的。实际上，没有必要∈ K、 因此，可能无法定义gat n=0。根据定义，概率为正。此外，进入节点的质量必须等于节点处的质量，必须等于离开节点的质量。ThusX0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =pj，n=X0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）（2），其中左侧的等式定义为2≤ N≤ N和1右边的等式≤ N≤ N- 1.假设过程 是非递减的。引入一个辅助（J+1）×N矩阵F是很方便的，它记录了在N时刻到达节点（J，2）的概率，在N时刻已经处于状态1-1.设F=（fj，n）其中fj，n≥ 0由联合概率fj，n=P（Xtn=j，tn-1= 1, tn=2）。然后是FJ，n=P0≤K≤Jgj，k，1n=1P0≤K≤Jgj，k，n-P0≤我≤Jgi，j，n-1=P0≤我≤Jgi，j，n-1.-P0≤K≤Jgj，k，n1<n<Npj，n-P0≤我≤Jgi，j，N-1=P0≤我≤Jgi，j，N-1 N=N.（3）备注1。给定（X）的跃迁概率，) 很明显，我们可以计算G，Gand和F。相反，给定G，Gand和F，我们有P（Xn=j，Xn+1=k）=gj，k，n+gj，k，n，因此X的跃迁是特定的。此外，P（Xtn=j，Xtn+1=k，tn=1）=gj，k，n。