论作为美国人的价值

对于另外两个不等式，x，y的情况≤ xJhas已在提案6中涵盖。因此，作为剩余分析的一个例子，考虑W=\'en（x）+\'en+1（y）+（y-x） ~dn（x）。为了你≤ xJ<x我们有w=eJ，n+（x- xJ）eJ+1，n+-en+1（y）+（y）- xJ+xJ- x） ）~dn（x）=（eJ，n++en+1（y）+（y- xJ）~dn）+（x- xJ）（eJ+1，n-~dn）≥ （eJ，n+-en+1（y）+（y）- xJ）dJ，n）≥ 0我们在哪里使用dn≤ dJ，nanddn≤ eJ+1，n代表x≤ 我们有w=\'en（x）+eJ，n+1+（y- xJ）eJ+1，n+1+（y）- xJ+xJ- x） ）~dn（x）=（en（x）+eJ，n+1+（xJ- x） ~dn（x））+（y- xJ）（eJ+1，n+1+~dn（x））≥ 0自eJ+1起，n+1+~dn≥ min0≤J≤J{eJ+1，n+1+dj，n}≥ 0.现在假设xJ<x≤ y，注意dn+eJ+1，n+1=min{dJ，n+eJ+1，n+1，eJ+1，n+eJ+1，n+1}≥ 0:W=eJ，n+（x）- xJ）eJ+1，n+eJ，n+1+（y）- x+x- xJ）eJ+1，n+1+（y）- x） ~dn（x）=（eJ，n+eJ，n+1）+（x- xJ）（eJ+1，n+eJ+1，n+1）+（y）- x） （eJ+1，n+1+~dn）≥ 0.最后f或xJ<y<x，并使用dn≤ eJ+1，n，W=eJ，n+[（y- xJ+x- y） [eJ+1，n+eJ，n+1+（y- xJ）eJ+1，n+1+（y）- x） ~dn（x）=（eJ，n+eJ，n+1）+（y）- xJ）（eJ+1，n+eJ+1，n+1）+（x- y） （eJ+1，n）-~dn）≥ 0.推论1。最佳值ψX，∞,T=ψX，∞,LX的T（a，C），∞,他们存在。这个问题可以解释为寻找（某一类）最便宜的半静态策略，该策略超级复制了美国对T中所有锻炼日期以及所有价格路径的主张。我们有inf（B，Θ）∈SR+，T（a）H（B）≤ ψX，∞,T（a，C）。证据引理2和命题7意味着任何可行的五元组都与一个超复制声明的策略相关联。设（E，E，D，D，V）由E=E=D=0和vj，n=m ax1给出≤N≤Nmax0≤J≤Ja（xj，tn）代表0≤ J≤ J、 vJ+1，n=R，dj，n=0表示0≤ J≤ J和dJ+1，n=-R

那么这五倍是可行的。还要注意的是，目标函数如下所示：任何策略都可以超级复制无界价格路径的声明，也可以超级复制约束在X中的路径的声明。双LX，∞,TP=LX，∞,套期保值线性规划LX的TP（C），∞,这是下面的线性规划。如果M=（F，G，G），我们可以定义φ*（M） =X0≤J≤JX1≤N≤Na（xj，tn）fj，n+X1≤N≤NfJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x（13）和LX的目标，∞,TPI将最大限度地减少*（M） 过于可行的模型。注意φ的定义*（M） 在（13）中，即使模型M不可行，也有意义。线性规划4。定价问题LX，∞,TPis to：找到（J+2）×N矩阵F和两个（J+2）×（J+2）×N- 1） 矩阵和Gwhich最大值x0≤J≤JX1≤N≤Na（xj，tn）fj，n+X1≤N≤NfJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x服从于F≥ 0，克≥ 0，克≥ 0，和（a）P0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）=^pj，n；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤J+1（gJ+1，k，n+gJ+1，k，n）=^pJ+1，n；1.≤ N≤ N- 1.（b）P0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =^pj，n；0≤ J≤ J、 二,≤ N≤ N.P0≤我≤J+1（gi，J+1，n-1+gi，J+1，n-1） =^pJ+1，n；2.≤ N≤ N.（c）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n+gj，J+1，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤JgJ+1，k，n=0；1.≤ N≤ N- 1.（d）P0≤K≤J（xk）- xj）gj，k，n+gj，J+1，n=0；0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N- 1.P0≤K≤JgJ+1，k，n=0；1.≤ N≤ N- 1.（e）福建，1-P0≤K≤Jgj，k，1≤ 0 0 ≤ J≤ JfJ+1,1-P0≤K≤J+1gJ+1，k，1≤ 0fj，n-P0≤K≤Jgj，k，n+P0≤我≤Jgi，j，n-1.≤ 0 0 ≤ J≤ J、 1<n<NfJ+1，n-P0≤K≤J+1gJ+1，k，n+P0≤我≤J+1gi，J+1，n-1.≤ 01<n<Nfj，n+P0≤我≤Jgi，j，N-1.≤ ^pj，N0≤ J≤ JfJ+1，N+P0≤我≤J+1gi，J+1，N-1.≤ ^pJ+1，N.设ΦX为最佳值，∞,T=ΦX，∞,T（a，C）。由于该程序是LX的双重功能，∞,我们得出的结论是ΦX，∞,T=ψX，∞,T.我们希望将该计划的最佳解决方案解释为MX，T（C）的适当修改中的Pricing模型。然而，没有一致的模型，模型价格等于ΦX，∞,T（a，C）。

相反，我们给出了一系列基于有限状态空间的一致性模型，基于模型的美式期权价格收敛于ΦX，∞,T.设ξ=max1≤N≤N（xJcJ）-1，n-xJ-1cJ，n）（cJ-1，n-cJ，n）>xJ。取ξ>ξ。我们的想法是，我们将考虑一个市场，在这个市场中，在额外的罢工ξ的呼吁被交易为零价格。设Kξ=K∪ {ξ} ，Xξ=X∪ {ξ} 设Cξ为CξJ，N=cj，n0给出的看涨期权价格的（J+2）×N矩阵≤ J≤ J和cξJ+1，n=0。要求ξ>ξ确保Cξ满足假设2的两部分，因此我们可以定义概率矩阵Pξ、空间MXξ、T（Cξ）及其相关子集MXξ、T（Cξ）以及定价和套期保值线性规划Xξ、TP（Cξ）和LXξ、TH（Cξ）。一个人≤ N≤ N我们有pξj，N=^pj，N=0≤ J≤ J- 1，pξJ，n=cJ-1，n- cJ，nxJ- xJ-1.-cJ，nξ- xJ=^pJ，n-^pJ+1，nξ- xJand pξJ+1，n=cJ，nξ-xJ=^pJ+1，nξ-xJ。设M=（F，G，G）对LX是可行的，∞,TP（C）。M没有定义X×T自0以来的模型≤J≤J^pj，nxj=s-cJ，n<s，因此M不能对应于鞅。（如果作为替代方案，我们希望（^pj，n）0≤J≤J+1定义边际定律，然后pj+1j=0^pj，n=1+cJ，n>1，集合（^pj，n）为0≤J≤J+1不是一组概率。）相反，我们的想法是使用M来定义Xξ×T上的模型Mξ，该模型与买入价格Cξ一致。

为此，用gδ，ξj，n=gδj，n0定义（G1，ξ，G2，ξ）≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N，δ=1，2加上gδ，ξj，j，N=gδj，j，N-gδj，j+1，nξ- xJ0≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξJ，J，N=gδJ，J，N-gδJ，J+1，nξ- xJ-gδJ+1，J+1，nξ- xJ1≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξj，j+1，N=gδj，j+1，Nξ- xJ0≤ J≤ J、 一,≤ N≤ N、 δ=1，2gδ，ξJ+1，J，N=gδJ+1，J，Nξ- xJ0≤ J≤ J+1,1≤ N≤ N、 δ=1,2，然后通过Fξj，N=fj，N确定Fξ≤ J≤ J- 1, 1 ≤ N≤ N加上fξJ，1=fJ，1-gJ+1，J+1,1ξ- xJfξJ，n=fJ，n-ξ - xJgJ+1，J+1，n- gJ，J+1，n-1.- gJ+1，J+1，n-1.2.≤ N≤ N-1fξJ，N=fJ，N+ξ- xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.- cJ，NfξJ+1，n=fJ+1，nξ- xJ1≤ N≤ N.注意，由（c）和（d）gδJ+1，k，N=0表示k≤ J.设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）。引理3。假设M=（F，G，G）满足可行性条件（a）到（e）F或LPX，∞,T（C）。设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）。然后，Mξ满足LPXξ，T（Cξ）的可攻击性条件（a）到（e）。证据我们想证明族（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）满足线性规划1中的有限元条件（a）到（e）（现在X={X，…，xJ，ξ}，sumsrange大于0）≤ i、 j，k≤ J+1，概率由矩阵Pξ=（PξJ，n）0给出≤J≤J+1,1≤N≤N） 。（a） 假设1≤ N≤ N- 1和δ∈ {1, 2}. 为了0≤ J≤ J- 1，X0≤K≤J+1gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1gδj，k，n+gδj，j，n-gδj，j+1，nξ- xJ+gδj，j+1，nξ- xJ=X0≤K≤Jgδj，k，nand-soX0≤K≤J+1（g1，ξJ，k，n+g2，ξJ，k，n）=X0≤K≤J（gj，k，n+gj，k，n）=^pj，n=pξJ，n≤K≤J+1gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1gδJ，k，n+gδJ，J，n-gδJ，J+1，nξ- xJ-gδJ+1，J+1，nξ- xJ+gδJ，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤JgδJ，k，n-gδJ+1，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤JgδJ，k，n-X0≤K≤J+1gδJ+1，k，nξ- xJ。然后≤K≤J+1（g1，ξJ，k，n+g2，ξJ，k，n）=^pJ，n-^pJ+1，nξ- xJ=pξj，n.对于j=j+1，X0≤K≤J+1gδ，ξJ+1，k，n=X0≤K≤J+1gδJ+1，k，nξ- xJ=^pJ+1，nξ- xJ=pξJ+1，n.（b）假设2≤ N≤ N代表0≤ J≤ J- 1，X0≤我≤J+1gδ，ξi，J，n-1=X0≤我≤Jgδi，j，n-1+gδJ+1，J，n-1ξ - xJ=X0≤我≤Jgδi，j，n-1自gδJ+1，J，n-1= 0.

然后≤我≤J+1（g1，ξi，J，n）-1+g2，ξi，j，n-1） =X0≤我≤J（gi，J，n-1+gi，j，n-1） =^pj，n=pξj，n.对于j=j，X0≤我≤J+1gδ，ξi，J，n-1=X0≤我≤J-1gδi，J，n-1.-gδi，J+1，n-1ξ - xJ+gδJ，J，n-1.-gδJ，J+1，n-1ξ - xJ-gδJ+1，J+1，n-1ξ - xJ+gδJ+1，J，n-1ξ - xJ=X0≤我≤Jgδi，J，n-1.-X0≤我≤J+1gδi，J+1，n-1ξ - xJThenP0≤我≤J+1（g1，ξi，J，n）-1+g2，ξi，J，n-1） =^pJ，n-^pJ+1，nξ-xJ=pξJ，n.对于J=J+1X0≤我≤J+1gδ，ξi，J+1，n-1=X0≤我≤J+1gδi，J+1，n-1ξ - xJand soX0≤我≤J+1（g1，ξi，J+1，n-1+g2，ξi，J+1，n-1) =ξ - xJX0≤我≤J+1（gi，J+1，n-1+gi，J+1，n-1） =^pJ+1，nξ- 对于鞅条件，现在xJ=pξJ+1，n.（c）和（d）。

修正1≤ N≤ N- 1和δ∈ {1, 2}.为了0≤ J≤ J- 1X0≤K≤J+1（xk- xj）gδ，ξj，k，n=X0≤K≤J-1（xk- xj）gδj，k，n+（xj）- xj）gδj，j，n-gδj，j+1，nξ- xJ+(ξ - xj）gδj，j+1，nξ- xJ=X0≤K≤J（xk）- xj）gδj，k，n+gδj，j+1，n=0。对于j=j，X0≤K≤J+1（xk- xJ）gδ，ξJ，k，n=X0≤K≤J-1（xk- xJ）gδj，k，n+（ξ）- xJ）gδJ，J+1，nξ- xJ=X0≤K≤J（xk）- xJ）gδj，k，n+gδj，j+1，n=0，对于j=j+1X0≤K≤J+1（xk- ξ） gδ，ξJ+1，k，n=X0≤K≤J（xk）- ξ） gδJ+1，k，n=0，因为和中的每个项都是零。（e） 为了0≤ J≤ J- 1，fξj，1-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，1=fj，1-X0≤K≤J-1gj，k，1-gj，J，1-gj，J+1,1ξ- xJ！-gj，J+1,1ξ- xJ=fj，1-X0≤K≤Jgj，k，1≤ 0.对于j=Jfξj，1-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，1=fj，1-gJ+1，J+1，1（ξ）- xJ）-X0≤K≤J-1gJ，k，1-gJ，J，1+（ξ）- xJ）（gJ，J+1,1+gJ+1，J+1,1）-gJ，J+1,1ξ- xJ=fJ，1-X0≤K≤JgJ，k，1≤ 0.对于j=j+1fξj+1,1-X0≤K≤J+1g2，ξJ+1，k，1=fJ+1,1ξ- xJ-P0≤K≤J+1gJ+1，k，1（ξ）- xJ）≤ 0.2美元≤ N≤ N- 1和0≤ J≤ J- 1，fξj，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，n-1=fj，n-X0≤K≤J-1gj，k，n+gj，J，n-gj，J+1，nξ- xJ+gj，J+1，nξ- xJ+X0≤我≤Jgi，j，n-1=fj，n-X0≤K≤Jgj，k，n+X0≤我≤Jgi，j，n-1.≤ 0.对于j=j，fξj，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，n-1=fJ，n-(ξ - xJ）（gJ+1，J+1，n- gJ，J+1，n-1.- gJ+1，J+1，n-1)-X0≤K≤J-1gJ，k，n- gJ，J，n+（ξ- xJ）（gJ、J+1、n+gJ+1、J+1、n）-gJ，J+1，nξ- xJ+X0≤我≤J-1gi，J，n-1+gJ，J，n-1.-gJ，J+1，n-1+gJ+1，J+1，n-1ξ - xJ=fJ，n-X0≤K≤JgJ，k，n+X0≤我≤Jgi，J，n-1.≤ 0.对于j=j+1，fξj+1，n-X0≤K≤J+1g2，ξJ+1，k，n+X0≤我≤J+1g2，ξi，J+1，n-1=ξ - xJfJ+1，n-X0≤K≤J+1gJ+1，k，n+X0≤我≤J+1gi，J+1，n-1.≤ 0.对于n=n，和0≤ J≤ J- 1，fξj，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，N-1=fj，N+X0≤我≤Jgi，j，N-1.≤ ^pj，N=pξj，N.对于j=j，fξj，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J，N-1=fJ，N+ξ- xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.- cJ，N+X0≤我≤J-1gi，J，N-1+gJ，J，N-1.-ξ - xJgJ，J+1，N-1+gJ+1，J+1，N-1.= fJ，N+X0≤我≤Jgi，J，N-1.-cJ，Nξ- xJ≤ ^pJ，N-cJ，Nξ- 对于J=J+1，fξJ+1，N+X0≤我≤J+1g2，ξi，J+1，N-1=fJ+1，N（ξ）- xJ）+X0≤我≤J+1gi，J+1，N-1ξ - xJ≤^pJ+1，Nξ- xJ=pξJ+1，N.推论2。假设M=（F，G，G）对LX是可行的，∞,TP（C）和定义φ*（M） via（13）。

设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）并设φ*（Mξ）=P0≤J≤J+1a（xj，tn）fξJ，其中xj+1=ξ。如果Υ=φ*（Mξ）- φ*（M） 那么Υ=X1≤N≤NfξJ+1，na（ξ，tn）- fJ+1，nlimx↑∞a（x，tn）x+X1≤N≤Na（田纳西州xJ）fξJ，n- fJ，n=X1≤N≤NfJ+1，na（ξ，tn）ξ- xJ- 利马（x，tn）x-a（xJ，tN）cJ，Nξ- xJ-ξ - xJX1≤N≤N-1[a（xJ，tn）- a（xJ，tn+1）]gJ+1，J+1，n+ξ- xJX2≤N≤Na（xJ，tn）gJ，J+1，n-1特别是φ*（Mξ）- φ*（M）≥ -Υξ-对于与ξ无关的常数Υ。证据Υ的计算很简单。对于最终报表，请注意如果Rn=limx↑∞a（x，tn）x既然a（·，tn）是凸的，我们就有a（x，tn）≥ 对于某些αn，αn+rnx，然后是a（ξ，tn）- (ξ - xJ）Rn≥ αn+RnxJ≥ αn，那么我们可以取Υ=a（xJ，tN）cJ，n+X1≤N≤N-1[a（xJ，tn）-a（xJ，tn+1）]gJ+1，J+1，n-X1≤N≤NfJ+1，nαn.给定一个可行的行程le（F，G，G），我们不能用amodel直接识别它。然而，如果我们取ξ>ξ，那么我们可以希望用MXξ，T（C）构造候选模型。但是，矩阵（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）可能不是非负的，因此候选模型Mξ可能不可行。为了避免这个问题，我们将这些候选模型与MR+，T（C）中的其他模型混合，对于这些模型，条目是非负的。我们表明，通过改变这种混合，我们可以找到一个一致的模型，其中美国期权的模型价格任意接近超级复制价格ψX，∞,我们从一个有用的引理开始。引理4。设ν和ν是离散集Y={Y，…，yM}上的概率测度，其中Y<…<嗯。假设ν在凸序中小于或等于ν。然后，e xi在Y×Y上有一个联合定律ρ，使得ρ的ithmarginal为νiandPk（yk- yj）ρ（{（yj，yk）}）=0f或全部j。进一步假设Eν[（Y）}-ym）+]>Eν[（Y-ym）+]适用于所有2个≤ M≤ M-对于i=1，2和所有1，νi（{ym}）>0≤ M≤ 然后，可以选择联合定律，使得ρ（{（yj，yk）}）>0f或全部2≤ J≤ M- 1和1≤ K≤ M.证明。

第一段中的存在性结果是经典的，并遵循Strassen[26]的结果。第二段中的存在性结果遵循了对一个非平凡初始定律的Skorokhod嵌入问题的井式科森解的可预见解释，见Hobson[19]。一种基于Y上的无跳鞅马尔可夫链在依赖于时间的情况下停止的解决方案，见Cox等人[11]。引理5。苏普∈MR+，T（C）φ（M）≥ ψX，∞,T（a，C）。证据给定>0，我们的目的是展示如何选择一个一致的模型，例如φ*（M） >ψX，∞,T（a，C）- . 缩写ψX，∞,T（a，C）到ψ。设M=（F，G，G）是线性规划4中的优化子，因此φ*（M） =ψ。对于ξ>ξ，设Mξ=（Fξ，G1，ξ，G2，ξ）是引理3之前定义的矩阵的三重。设置ξ=最大值ξ、 xJ+Υ. 然后，通过ξ>ξ的推论2，φ*（Mξ）≥ Ψ - /2.如果所有元素gδj，j，n（带j≤ J） 对于较大的ξ>ξ，Mξ=（Fξ，G1，ξ，G1，ξ）≥ 0，Mξ∈ MXξ，T（Cξ） MR+，T（C）是一个可行的模型，我们已经完成了。更一般地，对于某些0，我们可以有gδj，j，n=0≤ J≤ 对于任何ξ，J和Mξ都是不可行的。固定▽ξ>ξ。设X=Xξ=X∪ {ξ}并让（J+2）×N矩阵＠C由＠cj开始，N=cj，n0≤ J≤ J和▽cJ+1，n=0。因此，我们可以将矩阵P定义为1≤ N≤ N、 ~pj，N=pj，N（1≤ J≤ J- 1） ~pJ，n=pJ，n-cJ，nξ- xJpJ+1，n=cJ，nξ- xJ。让∧νdennote关于∧X的定律，这样∧νn（{xj}）=pj，n。然后，根据命题1 MX，T（~C）是非空的，根据引理4，存在一个模型M∈MX，T（~C），使得每个跃迁（除了那些远离吸收点的跃迁）的概率为正：即。

η>0，其中η=min1≤N≤N-1分钟≤我≤Jmin0≤J≤J+1P~M（Xtn=i，Xtn+1=J）。设置?gi，j，n=P?M（Xtn=i，Xtn+1=j）。定义M∈ M~X，T（~C）乘以~gi，j，n=~gi，j，nN- nN)gi，j，n=)gi，j，nnN)fj，n=)pj，nN注意)gδi，j，n≥ η/N.＠从＠mb获得的Mis，通过使用一个在{1，…，N}上不均匀分布且独立于价格过程的时间跳到状态2的区域过程来扩充价格过程。选择ζ<2ψ和ξ>max{ξ，ξ，xJ+N（1-ζ)ζη}. 设^X=Xξ，ξ=X∪{~ξ, ξ}. 我们构造了一个模型^M∈ 因此，M^X，T与X×Tand上的C一致，是MR+，T（C）的一个元素。设置xJ+1=＠ξ和xJ+2=ξ。对于δ=1,2,1≤ N≤ N和0≤ j、 k≤ J定义^gδJ，k，n=ζgδJ，k，n+（1- ζ） gδ，ξj，k，nand set也^gδj，j+1，n=ζ~gδj，j+1，n^gδj，j+2，n=（1- ζ） gδ，ξj，j+1，n^gδj+1，j+1，n=ζgδj+1，j+1，n^gδj+2，j+2，n=（1）- ζ） gδ，ξJ+1，J+1，n=0=gδJ+2，J+1，与^gδJ+1，J，n=0=gδJ+2，J，n=0≤ J≤ 由此可知，由于gδ，ξJ，J，n≥ -ξ-XJ0我们有≤ J≤ J^gδJ，J，n=ζ~gδj，j，n+（1- ζ） ζgδ，ξj，j，n≥ ζηN-(1 - ζ)ζξ- xJ≥ 0，概率^gδj，k，nde定义了一个模型^M。此外，该模型是两个模型的混合体，它们分别与C onX×T一致，因此^M与C和^M一致∈ MR+，T（C）。最后，φ*（^M）≥ (1 - ζ)φ*（Mξ）>1.-2ΨΨ -> Ψ - .定义PR+，T（a，C）=supM∈MR+，T（C）supτ∈TEM[a（Xτ，τ）]和HR+，T（a，C）=inf（B，Θ）∈SR+，T（a）HC（B）。定理4。我们有ΦX，∞,T（a，C）=PR+，T（a，C）=HR+，T（a，C）=ψX，∞,T（a，C）。特别是，有一系列MR+，T（C）元素，基于模型的价格收敛于ψX，∞,T、 还有一种定义3中描述的超级复制策略，其成本是所有半静态超级复制策略中最低的。证据

我们有PR+，T（a，C）≤ HR+，T（a，C）≤ ψX，∞,T=ΦX，∞,通过弱对偶，线性规划3中的优化器是一个超复制半静态策略，以及LX，∞,THand LX，∞,TP。但是引理是PR+，T（a，C）≥ ψX，∞,T（a，C）。因此，人人平等。5个进一步的例子：美国看跌期权、过滤期权和连续的看涨期权5。1.数字例子：美式推杆本节包含美式推杆的数字例子。这一部分有多个目的：阐明这一理论，证明在实践中界限的严密性，并说明早期运动前有多少可归因于各种特征。我们假设在整个过程中，无风险利率为5%，基础资产的初始固定价值（100），最大到期日T=1。此外，我们假设已交易的欧式期权的价格与年化波动率为20%的恒定波动率Black-Scholes模型一致。美式期权的贴现收益为e-rtaS（St，t）=e-rt（K）- St）=（e）-rtK- Xt）+=a（Xt，t），其中Xt=e-rtSt。我们的目标是为X上的美式期权定价，并支付a（Xt，t）。注意，在任何一致的定价测度下，X都是鞅。让χ（A）表示Black-Scholes模型下的美式期权的价格（波动率为20%）。设φ（A）=φ（A，C）表示同一美式期权A的基于模型的最高价格，其中模型与买入价格C的matirx一致∈ [0，T]设ζ（T，A）=supM∈MR+，T（C）EM[A（Xt，T）]表示到期日为T的相应欧洲价格（注意，模型的唯一相关特征是时间T时X的法律），且ζ（A）=max0≤T≤Tζ（T，A）。χ（A）和ζ（A）提供了两个基准，用于比较模型自由界φ（A）。