用局部神经网络检测功能时间序列的结构变化

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英文标题：
《Detecting a Structural Change in Functional Time Series Using Local
  Wilcoxon Statistic》
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作者：
Daniel Kosiorowski, Jerzy P. Rydlewski, Ma{\\l}gorzata Snarska
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Functional data analysis (FDA) is a part of modern multivariate statistics that analyses data providing information about curves, surfaces or anything else varying over a certain continuum. In economics and empirical finance we often have to deal with time series of functional data, where we cannot easily decide, whether they are to be considered as homogeneous or heterogeneous. At present a discussion on adequate tests of homogenity for functional data is carried. We propose a novel statistic for detetecting a structural change in functional time series based on a local Wilcoxon statistic induced by a local depth function proposed by Paindaveine and Van Bever (2013).
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中文摘要：
功能数据分析（FDA）是现代多元统计的一部分，它分析数据，提供有关曲线、曲面或在特定连续统中变化的任何其他信息。在经济学和实证金融学中，我们经常需要处理函数数据的时间序列，而在这些时间序列中，我们很难决定它们是同质的还是异质的。目前，对函数数据同质性的充分检验进行了讨论。基于Paindaveine和Van Bever（2013）提出的局部深度函数诱导的局部Wilcoxon统计量，我们提出了一种新的统计量来检测函数时间序列的结构变化。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Methodology        方法论
分类描述：Design, Surveys, Model Selection, Multiple Testing, Multivariate Methods, Signal and Image Processing, Time Series, Smoothing, Spatial Statistics, Survival Analysis, Nonparametric and Semiparametric Methods
设计，调查，模型选择，多重检验，多元方法，信号和图像处理，时间序列，平滑，空间统计，生存分析，非参数和半参数方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
--> Detecting_a_Structural_Change_in_Functional_Time_Series_Using_Local_Wilcoxon_Statistic.pdf (3.03 MB)

2022-5-11 05:22:53 上传

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关键词：结构变化 时间序列 神经网络 神经网 Multivariate

Stat Papers（2019）60:16771698最终出版物可在链接上获得。斯普林格。使用当地Wilcoxon统计数据检测功能时间序列的结构变化丹尼尔·科西奥洛夫斯基·杰里·P·莱德莱夫斯基·马·lgorzata SNARSKARReceived:2016年5月10日/修订：2017年2月9日/在线出版：2017年2月28日/出版：2019年10月11日摘要功能数据分析（FDA）（拉姆齐等人（2009年）；Ramsay and Silverman（2005））是现代多元统计的一部分，它分析数据，提供关于曲线、曲面或在特定连续统上变化的任何其他信息。在经济学和实证金融中，我们经常需要处理函数数据的时间序列，在这些时间序列中，我们很难决定它们是同质的还是异质的。目前，对功能数据同质性的四分之一测试进行了讨论（见Flores等人（2015））。基于PainDaveine和Van Bever（2013）中提出的局部深度函数诱导的局部Wilcoxon统计，我们提出了一种新的统计方法，用于检测功能时间序列中的结构变化。功能数据分析·局部深度·功能深度·探测结构变化·异质性·Wilcoxon测试数学学科分类（2000）62G30·62-07·62G35·62P201简介经济学中有许多对象是以某种连续体函数的形式出现的。这里我们指的是效用曲线、产量曲线、电力需求轨迹丹尼尔·科西奥洛夫斯基统计系，克拉科夫经济大学，克拉科夫，波兰德邮件：丹尼尔。kosiorowski@uek.krakow.plJerzyP.Rydlewski（通讯作者）AGH科技大学应用数学学院，al.A。

米奇维奇30号，30-059克拉科夫，波兰德邮件：ry@agh.edu.pltel：（+48）12 617 31 68，传真：（+48）12 617 31 65Ma lgorzata Snarska克拉科夫经济大学金融市场系，克拉科夫，波兰德，邮件：malgorzata。snarska@uek.krakow.pl2Daniel Kosiorowski等。白天和晚上，大气中危险颗粒物浓度的时间序列，一天内的互联网传输强度（见图1和图2）。很多经济现象是通过一定数量的非同质成分观察到的，即它们表现出多模态。全球的现象似乎相似，但局部差异显著。使用流行的中心性指标（即平均值或平均值）进行总体比较（视觉、推理、描述性）的全球方法可能会产生误导。当数据集中存在函数异常值（例如，关于函数箱线图的定义）时，会出现进一步的问题。由于缺乏用于描述经济现象的数据生成过程的可靠经济理论，对众所周知的统计程序（如ANOVA）进行功能概括是不够的（见Horv\'ath和Kokoszka（2012））。假设一段时间内，一个经济系统在每个时期都由一定数量的功能（例如个人需求和供给曲线或投资策略）描述。这种动态系统的特征被视为一个多区域函数时间序列，其中异质性与所考虑的函数空间上概率分布的变化有关。我们的目标是在两个或多个研究阶段（如金融危机前后）检测与群体之间或群体特征之间的局部差异相关的结构变化。在一维情况下，我们知道Wilcoxon秩和检验能够正确地检测出富裕人群的位置差异（Wilcox，2014）。

请注意，通过某些曲线（例如屈服曲线、效用曲线、大气浓度曲线中的危险颗粒）描述的许多经济现象，结构变化测试对每条曲线采用参数形式，并依赖于对曲线的参数进行独立测试。本文提出了一种新的经济系统结构变化的非参数稳健检验方法，即对两个函数样本进行Wilcoxon检验的局部扩展。测试可以有效地用于检测功能时间序列中的结构变化。其基本思想是比较不同地区级别的人口，这可能被解释为数据分辨率。在我们的提案中，局部Wilcoxon检验统计是由修正的修正带深度（欧佩兹-Pintado andRomo，2007）和（Paindaveine和Van Bever，2013）提出的局部性概念得出的。论文的其余部分组织如下。在第二部分中，我们简要介绍了函数时间序列背景下同质性双样本检验的基本概念。接下来，我们将介绍两个样本局部Wilcoxon检验统计量，用于检测函数时间序列中的结构变化。我们在第4节中通过数值模拟讨论了该程序的性质，并在实证示例（即互联网用户活动和收益率曲线监测）上测试了所提出方法的适用性。在第五部分中，我们将进行一个简短的敏感性分析。最后第6节包含一个简短的总结。2同质功能数据的概念Flores等人（2015年）的文献中对功能数据同质性的充分测试进行了激烈的讨论（见其中的论文和参考文献）。弗洛雷斯等人。

（2015）讨论了基于最大深度元素比较的选定两个样本同质性测试。由于篇幅过长，标题被抑制3函数时间序列通常根据在Banach或Hilbert空间中具有值的函数随机过程来定义（Bosq，2000；Horv\'ath和Kokoszka，2012）。在（Bosq，2000）中，我们解释了函数随机变量的概率分布F确实存在。我们看随机曲线X={X（t），t∈ [0，T]}作为空间L=L（[0，T]）的随机元素，带有Borelσ-代数Lis是一个内积小于x，y>=Rx（t）y（t）dt的可分希尔伯特空间。我们考虑了一个曲线样本，但在实践中，每条曲线都是在离散和有限的点上观察到的。使用各种技术将离散数据转换为曲线，包括非参数平滑（见Ramsay et al.（2009））。在Horv\'ath和Kokoszka（2012）的书中，他们证明了函数估计的许多性质，其中包括，在某些正则条件下，均值和方差是无偏且均方误差一致的估计。Horv\'ath等人（2014年）对功能性时间序列背景下的平稳性假设进行了形式化，并提出了几个测试平稳性空假设的程序，这些程序反过来可用于检测FTS（功能性时间序列）设置中的结构变化。此外，Horv’ath等人（2014年）指出，非平稳函数时间序列的谱分析尚未发展到可以轻易导出可用扩展的程度，因此他们开发了一种通用方法来测试假设，即建模的函数时间序列确实是平稳的，并分析了在几个交替条件下的测试行为，即改变点替代方案。

作者开发的测试与任何其他严重偏离平稳性和弱依赖性的测试是一致的。他们警告说，在函数设置中，有一个全新的方面，即长期方差的标量估计的收敛性必须被长期协方差函数的特征值和特征函数的收敛性所取代。他们指出，他们的方法计算量极大。在功能数据中很难获得明显的增加/减少趋势。Fraiman等人（2014年）考虑了功能时间序列，其中预计会出现趋势。他们定义了不同类型的趋势，然后展示了能够检测它们的测试。作者对一系列功能数据的增长趋势进行了非参数检验，并建立了多时间系列功能数据的结果。让我们提出假设。如果F和G分别表示第一个和第二个总体的概率分布，我们可以制定零假设和替代假设：H:F=G vs.H:F 6=G。（1）我们的第一个目标是根据两个样本处理的替代方案检验零假设。在这种情况下，我们的第一组假设表明，两个样本来自同一分布，而另一组假设则相反。我们使用当地的Wilcoxon统计数据来处理这个问题。我们的第二个目标是使用局部Wilcoxon统计来检测函数时间序列中的结构变化。换句话说，我们打算测试以下一组假设：H:FX=FX=…=FXNvs。H:FX=…=FXk6=FXk+1=。。。

=FXN（2）4 Daniel Kosiorowski等对某些k∈ {1，2，…，N}，其中fxi是函数随机变量Xi的概率分布。为此，我们使用移动的局部Wilcoxon统计。3.我们的提议在下一节中，我们将介绍一个关于同质性的两样本局部Wilcoxon检验，即关于一组假设。3.1深度函数引起的等级考虑FDA设置，其中每个观察值都是R中一个公共区间上定义的真实函数。为了引入基于等级的统计来比较功能数据样本，我们关注功能对象的统计深度函数。它使我们能够根据一个物体与一个中心（即功能中位数）的偏离程度对这些物体进行排序。数据深度概念最初是作为将顺序统计的概念推广到多元情况的一种方式引入的（见Mosler（2013）），但目前被视为一种非常强大的数据分析工具，能够表达基础分布的各种特征。深度函数通过深度区域产生关于分布的扩散、形状和不对称性的信息（见：Liu等人（1999年）；Mosler（2013）及其引用）。在深度概念中，可以提出位置和尺度差异测试的有效方法（见Li和Liu（2004））。经典深度函数与任何对称中心都有一个最大深度值。再加上从任何最深处开始的任何水平面深度都会减少，这导致了嵌套的星形（在大多数情况下是凸的）深度区域，无论底层分布可能是非凸的（Zou andSer-fling（2000））。然而，在许多经济应用中（混合模型、多区域时间序列或通过聚类程序解决的问题），都存在多峰分布或非凸分布。

这些事实促使几位作者扩展了深度的概念，使其足够灵活地处理此类分布。这种扩展在文献中以local Deepth的名字出现。在本文中，我们使用PainDaveine和Van Bever（2013）提出的局部深度概念，并在Kosiorowski和Zawadzki（2014）中实施。深度概念的全面介绍可以在中找到（Zou和Ser Fling，2000年；Mosler，2013年；Nieto Reyes和Battey，2016年）。近年来，人们提出了一些关于功能数据深度的定义。Fraiman和Muniz（2001）认为深度的概念是基于单变量深度的综合图，L’opez Pintado和J¨ornsten（2007）引入了功能深度，并考虑了所考虑的曲线形状。Nieto Reyes和Battey（2016）提供了一个非常有用的理论考虑，涉及功能深度的定义和几种功能深度的比较研究。我们认为，由函数深度导出的统计数据可以有效地用于函数时间序列某些属性的非参数和稳健监测。在这种情况下，我们建议使用一种由OBUST泛函分析提供的新工具来测试两组给定功能序列的相等分布的合理假设。考虑一种情况，由于长度过长，weTitle受到抑制55 10 15 200 50000 100000 200000 250000 300000 Hourusers_serv_1Fig。1白天和夜间服务用户数量的功能方框图。5 10 15 200 50000 100000 150000小时服务费。2白天和夜间服务用户数量的功能方框图2。想比较两个功能序列{Xi}n-mi=1和{Yi}mi=1。我们建议按以下方式进行。

使用校正广义频带深度的概念（见（欧佩兹·平塔多和约恩斯坦，2007）），我们将原始观测从最接近功能中值的观测到最远的观测进行排序。然后进行Wilcoxon测试或其他等级测试（参见（H\'ajek and^Sid\'ak，1967）了解替代等级测试），让我们详细检查我们的程序。首先，我们结合两个样本{Xi}n-mi=1和{Yi}mi=1。现在，X={X，…，xn}表示紧区间T上定义的连续曲线的组合样本。设λ表示勒贝格测度，设a（i，i）={t∈ T：xi- xi≥ 0}，其中xiand xiare带定界对象。设Li，i=λ（a（i，i））λ（T）。曲线x相对于样本x的修正广义能带深度为（参见（欧佩兹-平塔多和约恩斯坦，2007；欧佩兹-平塔多和罗莫，2007）]）cGBD（x | x）=n（n- 1） X1≤我<我≤nλ（Ac（x；xi，xi））λ（T）（3），其中c（x；xi，xi）={T∈ a（i，i）：xi（t）≤ x（t）≤ xi（t）}，如果李，我≥andAc（x；xi，xi）={t∈ a（i，i）：xi（t）≤ x（t）≤ xi（t）}，如果Li，i>。因此，对频带深度进行了修改，以便仅考虑区域的比例，其中定界曲线定义了具有非零宽度的连续区域。为了进行构造，我们评估了cGBD的α级深度区域，即Rα（P）={x:cGBD（x，P）≥ α}.对于任何深度函数D（x，P），深度区域Rα（P）={x∈ L（[0，T]）：D（x，P）≥ α} 最重要的是，它们揭示了概率分布P的多样性特征：位置、分散性、依赖结构（很明显，这些区域是嵌套的，内部区域包含更大的深度）。在确定局部深度时，遵循Paindaveine和Van Bever（2013）的概念，6 Daniel Kosiorowski等人将更适合通过概率内容对{Rα（P）}族进行索引。

因此，对于任何β∈ （0,1]我们定义了P概率等于或大于βasRβ（P）=\\α的最小深度区域∈A（β）Rα（P），其中A（β）={α≥ 0:P（Rα（P））≥ β}. 深度区域Rα（P）或Rβ（P）仅提供最深点的邻域。然而，我们可以用它的对称化版本Px=Px+P2x来代替P-十、我们将设定一个定义。设d（·，P）为深度函数。局部水平β对应的样本局部深度函数∈ （0，1]是LDβ（x，P（n））=D（x，Pxβ（n）），其中Pβ（n）xdenotes与属于Rβx（P（n））的数据点的经验度量。Rβx（P（n））是最小的样本深度区域，至少包含2n个随机函数x。。。，xn，2x-十、2x-xn。深度总是被很好地定义的——它与原始深度没有明显差异。对于β=1，我们获得全局深度，而对于β\'0，我们获得极端局部化。正如在人口的情况下，我们的样本局部深度将需要考虑，对于任何x∈ 五十、 对称分布Pnx是与x…相关的经验分布，xn，2x- 十、2x- xn。当地版本深度的样本属性来自于（Zo和Ser Fling，2000）中的一般发现。多种深度的本地版本的实现，包括投影深度、学生深度、单纯形深度、Lpdepth深度、回归深度和修改带深度，可以在free R package DepthProc中找到（见Kosiorowski和Zawadzki（2014））。在选择局部参数β时，我们建议使用与优化相关的交叉验证，以及特定的价值标准（分辨率适用于根据聚集的局部形状差异比较现象，这取决于我们对所考虑的现象的了解）。3.2局部Wilcoxon检验检验同质性。我们考虑两个样本，X={X，X，…，xn}={Xi}N-mi=1∪ {Yi}mi=1。