回购折价与经济资本：回购定价理论

单个资产的价格过程B（t）如下所示：，  （6） 其中σa是资产波动率，u是资产回报率，dWa（t）是布朗运动，dN（t）是强度为λ的泊松过程，Yja是表示第j跳幅度的随机变量。用dejd，Yj，j=1，2。。。，是一系列独立且同分布的双指数随机变量，其概率密度函数（pdf）fY（x）如下所示：           （7） 其中pu和qd是上跳和下跳概率，pu+qd=1。上跳大小以η>1的速率呈指数分布。类似地，θ>0是向下跳跃的速率。远期债券推动了回购协议的市场敞口，这取决于借款人的过错。在信用衍生品领域，简化模型已经成为主要的建模方法。公司信用利差表现出log-OU（Ornstein-Uhlenbeck）行为（Duffie 2011），该行为是积极的、均值回复的，并且具有高度弹性，因为它允许信用利差的大幅变动。在对数OU模型中，默认时间τ的默认强度λc（t）如下所示：，            （8） 其中k是平均回复率， 平均回归水平、σc信用价差波动率和dWc（t）是在适当的概率空间（Ω，，P）中定义的布朗运动。资产价格过程与强度相关，<dWc（t），dWa（t）>=ρdt，ρ相关系数。数据可以用因子形式书写，   , 其中dw独立于dWc（t）。

负相关意味着，当信贷恶化时，资产回报率也会下降，从而产生“错误方向风险”（WWR）的情况。log-OU动态扩散模型虽然在经验上得到了支持，但因缺乏分析可处理性而闻名。通常需要进行蒙特卡罗模拟。假设我们模拟了Wc（t）的路径，c={Wc（t），0≤T≤T} 。然后，它通向y（t）的路径，表示为yF（t）。条件onc，B（t）有一个改变的漂移项，但在其他方面仍然是一个DEJD过程，如下所列，           .          （9） 固定一个时间范围T，条件预期损失为  （10） 在哪里是条件违约概率，  .计算时间T超过b的尾部损失概率，Pb=Pr（L（T）≥b） ，我们再次求助于条件反射来达到，,（11） 在哪里  .相对损失是否以回购本金衡量  , 和Pr{}是Xt的累积密度函数（cdf）。回购式证券融资交易通过以下两种方式进行：（t） 持续或持续暴露在（t） B（t）是常数。后者对应于一个常数loanamount M，这是回购协议中的标准。前者是sec贷款或总回报掉期（TRS）融资交易的典型代表。由于我们的重点是回购，我们可以在等式（10）中，将损失标准化为贷款的百分比。因此，在剩下的文本中，我们假设mt=M=1，一个概念单位。2.3.

负线性VaR与剪发中的ES条件期望 在方程（10）中，通过逆位置变换（蔡、寇和刘，2014）进行了评估，对于方程（11）而言，XTF的cdf也是如此。就保证金账户而言，后者相当于使用相同的抵押品为保证金账户提供资金，保证金账户也可以通过现金或政府债务提供资金。当B的价格下降时，这会产生负面的杠杆效应。一些人可能会考虑引入价格下限，以限制某些高波动性资产类别的这种杠杆程度。在仿真模型中，这一点相对容易捕捉，并将留给未来的练习。通过对方程（11）进行蒙特卡罗（MC）模拟。EL类似地由模拟方程（10）获得。零相关性是一种特殊情况，在这种情况下，一旦默认概率为零，就可以在不需要运行MC模拟的情况下计算方程式（10和11）它是单独计算的。显然，PBH取决于h，最好写成. 修正剪发h，方程式（11）将无损耗分布Pb作为b的函数。我们在b中建立了一个损耗网格，步长Δb，b=0，b，b，…，bI，bI=iΔb。对于每个bI，Pb | h都是h的函数。特别是，对于b=0，无损耗概率P0 | h可以反转，以解决给定Pf的目标水平或给定的基于PD的评级等级。注意等式（11）在h和b中是平移的，这对实现是有用的，即：。， （12） 一个实现可以从h=0开始，选择Δb=Δh，计算在损失网格上。然后在理发网格上，h*=iΔh，i=0，1,2，…，i，直接使用方程（12）查找.对于固定的h，可以通过找到b来求解varlca，使得Pb | h=1-q，置信区间q的损失不超过b。

对于不同的发型h*，我们有  , 只要b*由（12）决定。这表明，如果b是VaR（h），那么b*是VaR（h*）。等式（12）给出               （12.b）当P≥q、 （12.b）可以改进， （12.c）因此，对于q和h的有意义组合，回购损失的非零VaR随着折减的增加而线性增加。这一点也不奇怪，因为剪发直接减少了损失，并具有截断损失分布的效果。类似地，在b固定的情况下，E[L（T）]可以作为h的函数计算，以根据定义求解理发（方程式3）。特别是，（有条件的）尾损失预期也有一个翻译公式， ,            (13).其中，我们将下标h添加到损失函数L中，以表示其与方程式（1）中定义的发型h的关联。将b设置为VaR（h）（以便  ) 导出了一个方便的公式，计算给定q-tile的ES，                 (14)将（12.c）插入（14）以达到，  （14.b）在（12.c）中看到的发型中的负线性项现在出现在预期短缺中。这种负线性关系不存在于无损失概率和预期损失中，这是另外两种常用的信用风险度量。因此，VaR和ES在REPO发型设计中具有独特的优势。要计算给定q和h*的ES，首先使用（12.c）得到,  hqfrom（14），,然后（14.b）获得ES。ES当然可以从方程（11）中获得的离散损失分布计算得出。

由于它取决于分布的尾部，其精度需要非常精细的损失网格bi，但等式（14.b）允许我们绕过这一点。蔡、寇和刘（2014）开发了一种具有离散化和截断误差控制的逆变换算法，以提高数值稳定性。这些控件分别计算cdf和选项。出于我们的目的，这种逆变换是按路径运行的，应用相同的变换设置来获得Xt的cdf将更有效。Lou（2017）对误差控制进行了修订，使相同的截断和离散化参数适用于cdf和PUT的反演。推导见附录A。选项。对美国主要股票指数、证券化产品和美国公司债券指数进行的十年期DEDJ模型估计显示了合理的模型稳定性和行为。上述模型在证券借贷交易的主要著作中进行了讨论。第二贷款人在价格变动的另一边有损失，也就是说，当MPP的价格升值超过担保借款人所持HBT的额外保证金时。证券交易委员会贷款的预期损失将和一个固定单位的抵押证券的看涨期权回报有关。这将留给未来的研究。3.预测回购折价A折价模型的主要应用是根据abank的证券融资业务模式和风险管理能力预测回购折价。如果银行将therepo视为银行账簿上的担保贷款，那么它需要设定在批发风险敞口上产生公司所需贷款状况的折减。

例如，假设该公司愿意向评级为“A”的批发客户提供无担保贷款，它可以与评级为“BB”的一方进行反向回购交易，前提是该交易有一个旨在使整体信用风险状况与评级为“A”的交易对手相匹配的折扣。3.1. 美国国债折价美国国债是回购市场上最主要的单一抵押品。表1显示了在2006年3月7日至2011年3月7日的五年期间（金融危机期间）以及在2020年5月结束的另一个五年期间（2020年第一季度冠状病毒席卷市场）采取的1天、5天和10天VaR和ES市场风险措施。活跃10年期债券和30年期债券的一日VaR基准利率分别为1.41%和2.60%。如果一个人采用5天的MPR，则notes理发为2.9%，债券为5.22%。这些数据驱动、基于VaR的折减可以通过参数化折减模型加以补充。当前10年期债券价格时间序列的估计DEJD（μ，σa，λu，λd，ηu，ηd）=（-0.014575，这些数字与典型的ISDA信用支持附件（CSA）估值百分比（适用于国债和债券）惊人地一致，分别为98%和95%，这意味着2%和5%的折减。0.071804,27.551,22.746,186.42,232.44），产生0.3507的偏度和6.1927的inkurtosis，而样本偏度为0.1532，峰度为6.4770。表1。

在2008年金融危机和当前冠状病毒市场困境的两个5年期间，VaR（99%的风险值）和ES（97.5%的预期缺口）。活动5y NotesActive 10y NotesActive 30y Bondsperiod/daysVaRESVaRESVaRES2008-1d0。890.911.411.452.602.682008-5d1。641.702.902.925.225.452008-10d2。062.113.693.677.797.422020-1d0。490.510.931.082.162.642020-5d1。061.082.142.264.975.472020-10d1。591.522.722.886.966.37图1显示了针对穆迪和标准普尔投资等级（IG）信用评级（即hELand hp）的预期抵押品折减。假设标准普尔“A”级及以上评级的目标折扣比相应的穆迪评级的目标折扣高出约1~2个百分点。然而，应当谨慎，这些违约率和损失率只是例子，不能直接相互比较。一家公司可以选择一种理发政策，例如，设计理发以匹配整体“AA”穆迪评级或一些内部信用评级标准，但要理解不同的评级标准确实会导致理发水平的一些变化，如图所示。我们还展示了hECor hES（asES用作EC），其产生的折减在穆迪和标准普尔评级折减的中间。图1所示的数字是抵押品折扣，即独立于交易对手的折扣。在货币市场基金家族的三方回购协议中，国库券折价的范围非常窄，约为2%（胡等人2019年的表9和表10），平均剩余期限为6.21年，票据平均占79%。前十名经销商的平均理发率在1.97%到2.10%之间，标准差在0.14%到0.52%之间。这些范围与上述基于1.4%和2.9%的1天和5天VaR的抵押品折减范围密切重叠。

这使得很难判断MMF是在对其国债回购使用抵押品折减，还是在较窄的范围内对回购折减定价，因为交易商的信用质量在较窄的范围内。我们将不得不关注更不稳定的抵押资产类别。图1。预测国债折价（MPR 5天），目标是假设的穆迪每比列斯基一年损失率（2008年）、标准普尔平均一年违约率（标准普尔2015年）和基于EC的折价。3.2. 股权回购折价下一步，我们考虑银行向评级为“a”的批发交易对手贷款，为期1年，以美国主要股票作为抵押品。资产模型的估计历史期为5年，从2008年1月2日到2013年1月2日。假设借款人的利差动态具有90个基点的初始和平均风险率水平、0.5的平均逆转速度和1.50的利差对数OU波动率，即k=0.5， =log（0.009），方程（6）中的σc=1.5，λ=0.009，因此其5年期CDS价格为125 bp。在不考虑借款人信用的情况下，针对穆迪“Aa2”的基于EL的折扣为15.53%（抵押品折扣），MPR为10天。考虑到借款人的违约概率，7.98%（表2）足以在信贷和资产相关性为零的情况下达到相同的“Aa2”状况。如果相关性被强调为-0.9，则表明价格回报率为负。请注意，违约率是1981年至2014年间全球企业违约经验的平均值，不一定与标准普尔的校准违约率和官方违约率相同。最近，除了对冲基金从其潜在经纪人和/或交易商银行获得股权融资需求外，主要股票指数回购协议（Repo）也越来越受欢迎。

彭博社报道，Soc Gen创建了一个新的股票回购策略，让投资者从股票指数回购利率的变动中获益，见https://finadium.com/bloomberg-socgen-marketing-quantequity-repo-index-strategy/.Currently评级为“A”的公司的平均5年期CDS约为125 bp。这一水平显然不适用于信贷紧缩周期。01234567AAA AA+AA AA-A+A-Haircut（%）评级机构的ES&PAC随着信用利差的恶化（因此，错误方向风险，WWR），Haircut只增加了1.13%。表的最后一列显示，当相关系数移动到0.9时，折减变化为负值，表明风险方向正确。表2。假设评级为“A”、“BBB”、“BB”和“B”的借款人的折扣。DEJD模型估计为2008-2013年数据（Est-1:（μ，σ，λ，p，ηu，ηd）=（0.1231，0.2399，79.7697，0.4596，169.96，128.36），Lou 2017），在假设股票回报率和信用利差以及压力市场流动性折扣之间的相关性下，目标等效批发信用评级为“Aa2”。借款人CDSRatinghaircut rho 0hc变更rho-0.9hc变更rho-0.9，G2%hc变更rho 0.9A7。981.131.78-1.27BBB9。431.111.75-1.25BB10。851.091.73-1.23B12。311.071.7-1.19由于折减截断损失敞口位于资产收益的尾部，预计资产动态的高斯成分不会产生重大影响，因此预计会产生中度相关性效应。例如，如果利差波动率翻倍，同时将CDS利差保持在250，那么BBB客户在-0.9相关性下的折减将增加0.38%。因此，一般的错向风险是有限的，这显然是由于短MPR和剪发提供的损失缓冲。如果借款人将其附属公司的债务工具发布为抵押，则可能会出现特定的错误方式风险。

资产收益率和信用利差之间的结构依赖性可能强于扩散相关性。事实上，最强的一个是借款人违约后的下跌幅度，这可以被建模为对g特定的WWR增加额外的清算折扣。借款人违约后资产增加2%的WWR进一步增加了1.78%的折减（表2中第五列）。从这个意义上说，特定的WWR非常严重，但实际的规模将取决于公司和产品，最好根据具体情况进行分析。从表2可以明显看出，对借款人而言，折减成为一种信用增级工具。例如，进入回购协议的“BB”评级客户可以额外进行1.42%（10.85%-9.43%）的减记，以使自己成为具有相同抵押品的“BBB”等价借款人，这两项交易都显示出相当于“Aa2”的最高信用风险。对于表中评级为“BBB”、“BB”和“B”的借款人，平均逆转速度和利差波动率保持不变，但初始风险率设定为2%、4.88%和14.3%，以分别产生250、500和1000个基点的5年期CDS利差。MMF在向交易商贷款时对交易对手不敏感（Krishnamurthy等人2014年和Hu等人2019年）这一典型事实很容易解释。注意到大多数交易银行通常属于“BBB”和“A”的评级范围，“A”和“BBB”评级的借款人之间的差距很小，大约为1.45%。这不足以让不成熟的MMF投资于其风险管理能力。