多维匹配

买家和卖家都是价格接受者，考虑任何产品z的价格P（z）∈ Z如给定。特征向量为x的买方使公式u=u（x，z）的准线性效用最大化- P（z）而生产者y最大化利润∏=P（z）- c（y，z），其中c（y，z）是生产商y生产产品z的成本。备注10需要注意的是，生产商的利润取决于其特性、产品特性和价格，而不是买方的特性。这个“私人价值”方面对于我们下面讨论的二维逆向选择的关系至关重要。享乐平衡定义为产品集x×Y×Z上的度量α，其第一和第二边缘为u和ν，以及一个函数p，对于任何（\'x，\'Y，\'Z）∈ sptα，然后是z∈ arg maxz（u（x，z）- P（z））∩ arg maxz（P（z）-c（y，z））。参见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]，[Ekeland（2005）]和[Ekeland（2010）]。换句话说，α代表了买家和卖家对彼此和产品的分配，如果分配给x的产品（分别为y）使x的效用（y的利润）最大化，则达到了平衡。要查看与匹配模型的联系，请定义成对盈余函数（x，y）=supz∈祖（x，z）- c（y，z）。（20） 并考虑（X，Y，s）定义的匹配模型。

然后[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]证明了以下结果：o对于享乐模型的任何平衡，测量α在集合X×Y上的投影，以及函数su（X）=maxzu（X，z）- P（z）和V（y）=maxz（P（z）-c（y，z））形成稳定的匹配相反，对于解决匹配问题的任何γ，都存在满足的价格函数P∈Y{v（Y，z）+r（Y）}≥ P（z）≥ 好的∈X{u（X，z）- q（x）}（21）带α≡ （idX×idY×z）#γ，其中z=z（x，y）∈ arg maxzu（x，z）-c（y，z），任何这样的P都会形成一个平衡对（α，P）。2.2.4可测试性最后，让我们简单地考虑一下可测试性的重要问题：上面描述的一般匹配结构会产生哪些可测试的限制（如果有）？显然，答案取决于我们所观察到的。考虑最简单的情况，我们只观察匹配模式（“谁娶谁”）。从技术上讲，我们现在面临一个相反的问题：知道空间X和Y以及度量值γ，我们能找到一个γ稳定的剩余s吗？然而，这个问题应该稍微重新措辞，以排除去速率的解决方案；例如，对于退化剩余s（x，y）=0，anymeasure是稳定的x、 因此，我们考虑以下问题：给定两个空间x，y和x×y上的一些测度γ，总是可能找到一个剩余，使得γ是匹配问题（x，y，s）的唯一稳定匹配？第一点是，如果我们在模型中施加足够的“规律性”，答案是肯定的。具体地说，让我们考虑这样一种情况，即测度的支持是由某个函数F的图产生的，并且F是非退化的（在这个意义上，F的导数在整个空间上具有满秩）。然后我们总是可以找到一个剩余，其中γ是唯一的稳定匹配：我们只需要取s（x，y）=-|F（x）-y |/2。

实际上，γ显然最大化了原始的、最优的运输问题，这保证了稳定性；此外，剩余满足扭转条件，这保证了唯一性。相应的报酬是u（x）=0=v（y）。然而，非简并性对于这个结果的保持至关重要。对于onething，如果F退化，扭转条件不成立，而γ对于s（x，y）=-|F（x）- y |/2，这可能不是唯一的匹配。此外，虽然定理8暗示，对于非退化剩余，任何稳定匹配都集中在一组最大（m，n）的维度上，但有可能找到该维度集上支持的度量，这些度量对于任何C，非退化剩余都是不稳定的。要了解这一点，请考虑m=n=1的情况；设X=Y=（0,1） R.这里的非退化只是指s十、y6=0，这意味着s十、y> 0无处不在（因此s是超级模块化的）或s十、y<0（因此s是子模）。在这两种情况下，众所周知，稳定匹配分别集中在单调递增集和单调递减集上。因此，任何集中在一组尺寸max（m，n）=1（例如，平滑曲线）上的γ，既不是全局增加也不是减少（例如，曲线（y=4（x））上- 1/2），对于任何非退化盈余都不稳定。3.尺寸不等的匹配我们现在特别注意尺寸m≥ 市场双方的nof异质性是不平等的。在这种情况下，人们期望多对一而不是一对一的匹配。在一份公司出版物中，我们为这种情况发展了详细的数学理论，特别关注m>n=1的情况。

在这里，我们只讨论该理论的主要结论和一些基本思想，尽可能地压制技术细节，以便能够快速进行解释和应用。当我≥ n、 在平衡状态下，人们很自然地会认为-1（y） 十、 Rmof合伙人是y型男人∈ DomDvis与will不同，通常具有维度m- n、 或者等价地，余维数n。我们感兴趣的是指定这个微分集实际上是光滑子流形的条件。让我们探索这种情况，特别注意剩余函数s（x，y）与总体u和ν在熟悉的情况n=m中所起的不同作用，它将由一个（或多个）孤立点组成——如果s恰好扭曲，则为一个孤立点。确定这些差异集。3.1潜在差异设置对于任何平衡匹配γ和支付（u，v），我们已经看到了（x，y）∈ s∩ （X×DomDv）表示（8）。也就是说，所有合作伙伴类型∈ X代表丈夫y∈ DomDv位于mapx 7的同一水平集→ Dys（x，y）。如果我们知道Dv（y），我们可以精确地确定这个水平；它取决于μ和ν以及s。然而，在缺乏这方面知识的情况下，确定潜在差异集是有用的，因为∈ Y只是地图x的水平集∈ x7→ Dys（x，y）。我们可以通过（余切）向量k来参数化这些水平集∈ Rn:X（y，k）：={X∈ X | Dys（X，y）=k}，（22）或者我们可以想到y∈ Y表示在X的各个点之间建立等价关系，在此关系下X和‘X∈ 当且仅当ifDys（X，y）=Dys（`X，y）时，X是等价的。在这种等价关系下，等价类的形式为（22）。我们将这些等价类称为潜在差异集，因为它们代表一组伙伴类型∈ Dom Dv有可能在两者之间有所不同。

包含给定partnertype“x”的等价类∈ X也将被表示为‘X（y）=X（y，dy（‘X，y））={X∈ X | Dys（X，y）=Dys（\'X，y）}。（23）关于潜在差异集的一个关键观察是以下命题。定义11（剩余简并度）给定X 曼德·Y Rn，我们说s∈ C（X×Y）在（X，Y）处退化∈ X×Y如果秩（Dxys（\'X，\'Y））<min{m，n}。否则我们说s在（\'x，\'y）是非退化的。命题12（潜在差异集的结构）让我们∈对于某些r，Cr+1（X×Y）≥ 1，其中X 曼德·Y RNM≥ n、 如果s在（\'x，\'y）处不退化∈ X×Y，然后`X允许一个社区U rm使L\'x（\'y）∩ U与xcr与U证明的光滑余维n子流形的交集重合。自从∈ C、 剩余扩展到一个邻域U×Vof（\'x，\'y），在这个邻域上s继续是非退化的（通过秩的较低半连续性）。集合{x∈ U|Dys（x，y）=Dys（\'x，\'y）}根据前像定理[Guillemin&Pollack（1974），§1.4]形成U的余维n子流形。更具体地说，秩条件意味着为Rmyieldsdet选择合适的正交基[sxiyj（\'x，\'y）]1≤i、 j≤n6=0。在这些坐标中，潜在差异集被局部参数化为Crmapx下的反向图像∈ U 7→ （Dys（x，\'y），xn+1，一个子空间{Dys（\'x，\'y）}×Rn的xm）-m、 如果必要的话，将U和V取小，反函数定理就会显示L‘x（‘y）∩ 虽然我们已经用局部形式陈述了这个命题，但它意味着如果`k=Dys（`x，`y）是x的正则值∈ x7→ Dys（x，\'y）-意思是dxys（x，\'y）在整个L\'x（\'y\'）中有秩n-那么L\'x（\'y）=x（\'y，\'k）是x与m的交点- Rm的n维子流形。

然而，请注意，该命题并未说明SDE生成的点（\'x，\'y），这可能发生在sptγ中。3.2电位与实际差异集如上所述，电位差异集（22）和（23）由剩余函数s（x，y）确定，而不参考要匹配的总体u和ν。另一方面，差异集实际上是由每个y实现的∈ Y取决于u、ν和s之间的关系。这种依赖关系通常很复杂，如下例所示。例13考虑剩余函数：s（x，y）=xy+xy+xywhere x R、 Y R.针对任何k，给出了潜在差异集∈ R、 作者：X（y，k）：=十、∈ X | X+xy=kandx+xy=k. （24）这些是R中平行于向量的直线yy-1.. 因此，对于任何给定的y∈ R、 我们知道，与y匹配的配偶集（对应于丈夫y的差异集）将包含在一条直线中。然而，任何这样的线（通过任意选择k获得）都不是差异集曲线，这一点肯定是不正确的。对于给定的y，对应于y的差异集的精确方程由与特定y相关的特定向量k的值确定，这取决于度量值u和ν。然而，问题中有一种情况可以大大简化：多维到一维匹配的情况，即n=1。在这种情况下，假设Dxys（·，y）是非消失的（即。sy（·，y）只取正则值）。那么势差集X（y，k）是余维1in Rm；也就是说，它们是R中的曲线、R中的曲面和高维m中的超曲面≥ 4.

此外，当k穿过R时，这些潜在的差异集扫过了u的质量越来越多。每一天∈ Y有一些k的选择∈ R的{x | dy（x，y）的u度量≤ k} 完全符合的是(-∞, y] （假设这两个度量对于Lebesgue来说是绝对连续的，或者至少u没有质量集中在超曲面上，而ν没有原子）。在这种情况下，潜在差异集X（y，k）被认为在y处按比例分割人口，使其成为真正的差异集F的自然条件-1（y）与y匹配。在下一节中，我们将继续描述和对比这种期望产生的情况，并从那些没有产生这种期望的情况中得出一个完整的解决方案。4多维到一维匹配我们现在解释了一种针对特定类别模型的新方法，这在数学或经济学文献中基本上未被探索过，但通常可以通过以下概述的技术明确解决，并在[Chiapbori，McCann&Pass（预印本）]中得到更充分的发展。这些是多到一维的模型，其中市场一方的代理人（比如妻子）是二维的（或者可能是更高维的），而另一方的代理人（丈夫）是一维的。因此，我们在x=（x，…，xm）上匹配一个分布∈ 在y上有另一个吗∈ R.剩余的s是m+1实变量的函数s（x，…，xm，y），通常在每个参数中都会增加。关键的概念是，这种设置是一条等夫曲线，定义为给定丈夫y的差异集，即丈夫y在给定市场条件下表现出差异的妻子的子流形。正如我们将看到的，Iso-Hurst曲线在构建匹配/最优运输问题的显式解决方案中起着关键作用。

此外，这些曲线的一个关键特性是，它们原则上可以在经验上相同；详细讨论见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。事实上，有人认为，由于k=sy（x，y）可以从任何x中恢复，因此等夫曲线的理论性质可以提供最有力的匹配经验检验∈ X（y，k）和y，我们可以等价地说X在y处按比例分割人口，反之亦然。创新理论（例如参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（预印本）]）。目标是从数据（s，u，ν）构造一个匹配函数f:X-→ Y R、 谁的水平设定为F-1（y）构成等作物生长曲线。在上一节末尾，我们确定了该差异集的一个自然候选者：即潜在差异集，该差异集将u的质量除以y除以ν的比例；这些自然候选函数是否真的结合在一起形成函数的水平集取决于u，ν和之间的微妙相互作用。当他们这样做时，我们说模型是嵌套的，在这种情况下，我们展示了结果函数F:X-→ Y产生稳定的平衡匹配。从数学上讲，最简单的多到一维模型来自指数盈余，其经济动机源自[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。这些模型嵌套在分布的每一种选择上，如我们下面所示。此外，在下一节中，我们将讨论多维匹配理论的三个应用；其中的前两个明确处理多维到一维问题。第一个模型出现在婚姻市场，最近的研究表明，用教育和生育率来模拟女性和只使用收入的男性是合适的[Low（2014）][Low（预印本）]。

然后我们为集合x（y，k）中的每个x设置y:=F（x）。我们的第一个定理规定了结果匹配γ=（id×F）#u优化Kantorovich问题（MK）的条件；我们认为这是[Mirrlees（1971）][Becker（1973）]和[Spence（1973）]的正分类匹配结果从一维到多维到一维的自然推广。与他们的标准不同，他们的标准只依赖于s，我们的标准通过要求子级集合y将s与u和ν联系起来∈ Y 7→ 十、≤（y，k（y））由上述过程确定为单调依赖于y∈ R、 具有严格的包容性≤（y，k（y）） 当ν[（y，y）]>0时，X<（y，k（y））保持。我们说模型（s，u，ν）嵌套在这种情况下。我们的情况自然比她们更复杂，因为女性的类型没有明显的顺序，但通常有多种可能的顺序，取决于人口频率u和ν；Nestendness更确切地说，女性的偏好在某种程度上是相容的，从某种意义上说是[y，\'y] 有妻子吗∈ 分配给较高类型丈夫的X（\'y，k（\'y））比任何妻子更愿意为y类型丈夫（以及类似的y类型丈夫）的质量差异支付费用∈ X（y，k（y））分配给较低类型的丈夫。定理14（嵌套匹配的最优性）设X 曼迪 R应连接具有Borel概率测度u和ν的开放集。假设ν没有原子，u在每个表面上消失。使用s∈ C（X×Y）和sy=sY定义X≤, X<等，如（25）中所述，假设s在整个X×Y中是非简并的，|Dxsy | 6=0。然后每个y∈有一个最大间隔K（Y）=[K-（y） ，k+（y）]6=使得u[X≤（y，k）]=ν[(-∞, y） 【典型范例∈ K（y）。k+和-K-是上半连续的。假设两张地图都是y形的∈ Y 7→ 十、≤（y，k±（y））不是递减的，而且thatRyydν>0意味着X≤（y，k+（y））X<（y0-（y） ）。

那么k+=k-为每个x保持ν-a.e.设置F（x）=y∈ X（y，k+（y））定义了一个稳定的匹配F:X-→ Y[u-a.e.]。此外，γ=（id×F）#u在Γ（u，ν）上唯一地最大化（MK）。最后，如果sptν是连通的，那么F将继续延伸到X。非简并性意味着X（y，k）：=X≤（y，k）\\X<（y，k）是m-与Dxsy（X，y）正交的X的一维C子流形6=0。由于u和ν在超曲面上都消失，函数h（y，k）：=u[X≤（y，k）]- ν[(-∞, y） [26]是连续的，并且对于每个y∈ Y单调地从-ν[(-∞, y） ]到1- ν[(-∞, y） ]和k∈ R.这证明了k±（y）的存在，并证实了h（y，k）的零集是闭合的。因此k-是下半连续的，k+是上半连续的，根据中值定理[k]-（y） ，k+（y）]为非空。其余证明的主要策略是使用k+（y）通过解v0+（y）=k+（y）a.e.以及（14）中的u，来构造Lipschitz平衡支付函数v。可以证明（u，v）最小化对偶问题（MK）*) γ=（id×F）#u使规划问题（MK）最大化。详情和案件∈ C1,1，见[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]。注意，嵌套性是三元组（s，u，ν）的一个属性；也就是说，对于大多数剩余函数，模型可能依赖于也可能不依赖于所考虑的度量。然而，在某些情况下，剩余函数是这样的，即模型对所有度量（s，u，ν）进行嵌套。上述伪指数模型就是这种情况。实际上，假设盈余的形式为：s（x，x，y）=α（x，x）+σ（I（x，x，y）。（27）那么sy（x，y）=σy（I（x，x），y）通过一维指数I（x）仅依赖于（x，x）。因此，iso丈夫集由I（x）=k（y）型方程定义，该方程不依赖于y。