多维匹配

目前，我们注意到两个一般性质：o丈夫y的女性iso丈夫集（p，x）由潜在差异曲线=1给出- y+K（y）p.在（p，x）平面上，当且仅当K（y）>0时，该曲线减小。它与常数p和x的直线以及西北角和东南角相交，因为另两个角与Y的端点相匹配，这意味着对于示例1和2中考虑的矩形区域，Z为空此外，虽然s十、y=p≥ 0（36）我们有sPy=x+y- 1.（37）如果x+y≥ 1，到（16）时，我们预计F的水平集在（x，p）平面上呈递减曲线（也就是说，我们预计K（y）>0），这意味着丈夫面临着收入与配偶生育率的权衡。在相反的情况下，x+y<1，这些等丈夫曲线可能会增加；我们将在第二个例子中看到一个例子。根据度量u和ν，问题可能会或可能不会产生封闭形式的解决方案。在下文中，我们考虑三个例子。首先，我们分别给出了[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上分布一致时的完整解析。作为第二个例子，我们考虑[0,1]×[0,1]和[0,1]上的均匀分布。最后，我们再次认为丈夫在[1/2,1]上是均匀分布的，但妻子在[1/2,1]×[1/2,3/4]上是均匀分布的∪[0, 1/2] ×[3/4, 1]. 选择这种分布是为了反映生育率和收入之间与年龄的反比关系。生育率当然与年龄负相关；另一方面，追求高等教育的女性往往在晚年进入婚姻市场，因此我们预期年龄和受教育程度呈现出正相关。5.1.3示例1：均匀和“大”收益我们从基准情况开始，其中分布u和ν分别在[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上均匀。

尽管盈余在x×y的一个角（p，x，y）=（0，，）处退化，命题21表明，从推论18来看，这个例子是嵌套的。此外，最优匹配函数F（x，p）几乎可以显式求解；我们得到了附录A中证明的以下结果：；回想一下，如果μ，y在（p，x）处按比例分割人口十、≤（y，sy（p，x，y））= u{（\'p，\'x）|s（p，x，y）Y≥s（\'p，\'x，y）y}= ν（[，y]）。命题21假设u和ν分别是[0,1]×[1/2,1]和[1/2,1]上的一致概率测度。对于每个（p，x）∈ [0,1]×[1]有一个唯一的y∈ [1]在（p，x）处按比例分割总体，最优映射的形式为F（p，x）=y。注意，通过证明这个命题，我们实际上可以导出最优映射的显式公式：F（p，x）：=supyny |uX<（y，sy（p，X，y））> ν（[，y]）o.我们可以更进一步，确定由一组点（p，x）组成的等夫曲线，这些点与固定的y相匹配；这正是正确的K（y）的潜在差异曲线（35）。从命题21的证明中可以看出∈ [，e2（e）-1） ]我们有，K（y）-Y- 1/2lnyy-1/2= 0.对于y∈ [e2（e）-1） ，1]，我们有K（y）=x+y-式中，x是方程x的区间[1/2,1]中的唯一解-y+（x+y）-1） ln（yx+y）-1) =0. 图1a中给出了K（y）的曲线图，而图1b给出了各种y值的等夫曲线。注意K（y）=x（y）+1发散，如端点y=1处的1/logy，其中等夫曲线的长度收缩为零；因此，Payoff v（y）在其二阶导数中表现出类似的奇异性。在此插入图1a和1b。1.4例2：统一的、较小的收入我们现在认为相同的盈余有不同的衡量标准；也就是说，在[0,1]×[0,1]和[0,1]上，这些边分别是一致的。

从主题的角度来看，这个案例提供了一个非嵌套设置的有趣说明。形式上，我们推导最优匹配的方法在这种情况下失败了；事实证明，对于某些选择（x，p），有不止一个y按比例分割人口。然而，我们能够使用论点的一个匹配项来获得明确的时间匹配。具体地说，我们使用模型中嵌入的对称性来表示最优映射由以下公式给出：G（p，x）=F（p，x）如果x>1/2,1-F（p，1- x） 如果x<1/2，（38），其中F与前面的命题相同。此解决方案显示沿x=线的连续性；两个不同的丈夫的收入x=不同的妻子（p），一个更富有（y=ep2）（ep-1） ）和其他更穷的人（y=1）-ep2（ep-1） =ep-22（ep）-1)). 虽然后一段婚姻产生的总盈余较小，但她所占的份额仍然不变。相应的等压曲线绘制在图2a上。我们也用数值方法解决了这个问题；得到的解与我们的理论解一致，如下图所示（图2b）。在此处插入图2a和2b。1.5例3：反相关边缘在这种情况下，解析解非常复杂，我们只提供了一个数值模拟。对于 = 0数值解如下图所示；一个有趣的特征是，低收入男性（其同夫曲线位于绿色、黄色或橙色区域）在低生育率、高收入体制[0，]×[，1]和高生育率、低收入地区[1]×[，+],而收入最高的男性，其iso丈夫曲线位于暗红色区域，只与高生育率、低收入政权的妻子匹配。

该模型不符合定理16的假设 = 0，因为X既不是连通的，也不是Lipschitz，但这个缺点可以通过 > 0任意小。在此插入图3。2应用2：竞争性Rochet Chon’emodel在我们的第二个例子中，由于[Rochet&Chon’e（1998）]，我们回顾了关于二维逆向选择的文献的一个开创性模型。因此，我们考虑一个享乐模型：o产品的n维空间：z=（z，…，zn）∈ Z Rn+；o买家的n维空间：x=（x，…，xn）∈ 十、 Rn+。根据概率度量，消费者分布在该空间中。每个消费者只会购买一种商品。它们以P（z）的价格购买产品z的效用由U（x，z）给出-其中u（x，z）=nXi=1xizi，o生产者的一维空间：y∈ Y R+。生产商根据概率测度ν进行分配。每个生产者只生产和销售一种商品。他们以P（z）的价格出售agood z的优势是P（z）- c（y，z），其中c（y，z）=2ynXi=1zi是生产者y生产z类商品的生产成本。我们注意到，这正是[Rochet&Chon\'e（1998）]的模型，还有一个额外的转折点，即垄断生产者被一组竞争性的异质生产者所取代（其生产率在y中增加）。然而，正如我们将看到的，引入竞争会带来严重的后果。特别是，有点令人惊讶的是，他们的新模型中没有出现集群：不同类型的消费者总是购买不同类型的商品。

插入y=F（x）=| x |+1到我们的方程中，v yieldsu（x）+v（F（x））=A+B++x |+|x |+|x |=A+B++x |。另一方面，s（x，F（x））=（|x |+1）|x |；将这些等同于A=-B.在下文中，我们假设A=B=0；这种解释是，生产成本最高（y=1）的企业的利润为零。我们现在将注意力转向均衡定价计划P（z）。继[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]之后，稳定性条件su（x）+v（y）≥ s（x，y）≥ U（x，z）- c（y，z）意味着fy（v（y）+c（y，z））≥ P（z）≥ supx（U（x，z）- u（x）或y- 1） +2ynXi=1zi！≥ P（z）≥ 好的nXi=1xizi-nXi=1xi-nXi=1xi！.解的形式为P（z）=P（z），其中z=|z |。注意，当代理y销售好的z时，我们必须有p（z）=（y）- 1） +2ynXi=1zi=（y）- 1） +2yZ。一阶条件意味着（y- 1） =2yZ，所以Z=y（y- 1). 然后我们可以用y来求解P（Z）；P=（y）- 1） +2yZ=（3y）- 1） （y）- 1) .注意Z=|Z |=y |x |=y（y- 1） 然后生成曲线的参数表示（Z，P（Z））：（Z，P（Z））=y（y）- 1） ，（3y）- 1） （y）- 1)如图4所示。在此插入图4，可以对该解决方案提出一些意见。首先，与theRochet Chon’e垄断案不同，没有排除；所有代理商都购买产品。这个特性很容易从匹配公式中理解；由于每个潜在匹配都会产生正盈余，盈余最大化意味着不会排除任何代理。然而，请注意，引入外部选项可能会推翻这一结论。更有趣（也更令人惊讶）的是第二个发现，即不存在任何类型的聚集：有效的分配是完全分离的，因此不同的代理商总是购买不同的商品。

这种无束结论不那么直观；先验地，它是否包含度量u和ν的一般选择，或者它是我们在本例中使用的特定度量的产物，尚不清楚。我们现在提出一个定理，它表明前面的解释是正确的。5.2.3一般情况——推导最佳匹配的方法在这里始终有效；由于盈余具有指数形式，因此不会出现水平集交叉的问题。特别令人感兴趣的是，无聚集结果是完全一般的，正如附录中证明的以下结果：定理22不同的消费者类型总是购买不同的商品。也就是说，如果x6=`x，z和`z分别代表他们选择的商品，那么z6=`z证明。参见附录可以强调的是，该定理中的度量没有限制。特别是，当u是R中单位平方上的均匀度量，而ν是y=1时的狄拉克质量时，它适用；这些条件提供了与Rochet Chon’e问题最接近的类比。不同之处在于，在这里，我们有一个同质生产商的连续统（每个都有相同的生产成本| z |用于良好的z）∈ R） 相互竞争，而不是垄断。换句话说，Rochet Chon’e解决方案中出现的聚束现象与消费者类型空间的多维性没有内在联系；相反，它们是由于垄断创造的市场效率。最后，值得注意的是，所考虑的框架始终可以被视为对手选择下的竞争模型；从这个意义上说，匹配方法为这种框架中的均衡提供了一个自然的定义。

然而，关键的一点是，这种模式的特点是其私人价值性质，排斥与垄断逻辑有关：通过排斥一些消费者，垄断可以增加从其他买家那里获得的租金。因为生产者的利益与购买其产品的消费者的身份没有直接关系（它只取决于产品的特征和价格）。这与普通价值设定形成鲜明对比，在普通价值设定中，买方的特征直接影响生产商的利益。例如，想想保险模式ala[Rothschild&Stiglitz（1976）]，在该模式中，同一份保险合同根据买方未观察到的特征（在这种情况下是她的风险）产生不同的利益。从技术上讲，生产者的成本函数C现在和以前一样依赖于y和z，但也依赖于x。关键是，在这样一个共同的价值背景下，匹配模型和享乐模型之间的等价性丧失了。特别是，总的来说，并不存在价格函数P（z），这样一个稳定的匹配就可以实现为享乐均衡。因此，我们的方法在匹配和最优运输的文献与不对称信息下的竞争之间架起了第一座桥梁；然而，这种关系是特定于私有价值模型的。在principalagent框架的非竞争性环境中，[Carlier（2001）]和[Figalli，Kim&McCann（2011）]中发现的类似联系已被证明是卓有成效的。5.3应用3：一个简单的享乐模型作为最后一个例子，我们考虑一个简单的享乐模型，在这个模型中，消费者对不同的产品有不同的口味，这些产品是由具有不同成本函数的公司生产的。

基本框架与之前的Rochet Chon\'e one类似，只是有一个特征：成本函数现在是：c（y，z）=nXi=1Zi2Yi，其中向量y=（y，…，yn）是生产者专用的。y的多维性反映了一个事实，即不同的生产者在生产某些特征时具有不同的比较优势，但在生产其他特征时没有；例如，生产商可能擅长生产快速汽车，但生产小型汽车的效率较低。请注意，与大多数经验IO文献（从[Berry，Levinsohn&Pakes（1995）]和[Berry，Levinsohn&Pakes（2004）]的开创性贡献开始）不同，我们特别保留了formPixizi的实用性，其中x=（x，…，xn）表示代理对产品特性的特殊评估。对于经验应用，x通常被视为一个随机向量。我们在此坚持每个企业生产一种商品的假设。如果生产函数在产量上是线性的（而在特性z上是二次的），这一点很容易放松，假设不完全竞争，我们的享乐框架假设生产者是价格接受者。从这个意义上说，我们的匹配框架可以被视为在差异化产品中模拟竞争的替代方法。平衡的表征遵循与之前相同的路径。剩余函数为：s（x，y）=maxz∈ZnXi=1西子-子怡.这里，当zi=xiyi时得到最大值，导致：s（x，y）=nXi=1xiyi，因为s是连续的，存在性来自定理4。此外，该表格是第2.4小节中研究的一般结构的特殊情况。因此，无论何时，扭转条件都是满足的∈ Rn+，我们在本小节中一直坚持这一假设。这保证了唯一性和纯度：存在一个函数F，比如x与y=F（x）匹配。

这些存在性和唯一性参数的简单性确实是匹配方法的一个重要优势。如上所述，纯度意味着不同的试剂与不同的生产商匹配。此外，由于zi=xiyi，Lindenlaub的一个结果意味着不同的代理商总是购买不同的产品；换句话说，在这个模型中没有聚束。显然，这些结论来自这样一个假设，即异质性的维度与个人和企业相同。如果这一假设被放宽（例如，假设n<m），那么不同买家从同一生产商购买的连续性，以及市场份额可以使用第3节中的结果进行分析。函数F的具体形式取决于个体和企业特征的分布。如前所述，我们通过为特定的度量选择明确地解决这个问题来说明我们的方法。设u为磁盘Pni=1（xi）上的均匀测量值（归一化为总质量1）- （人工智能）≤ 1，设ν为圆盘上的均匀度量（再标准化，总质量为1），pni=1（yi- bi）≤ 1实际上，x对正正切的限制不是必要的，因为扭曲条件适用于坐标超平面xi=0的补码中的所有x。后者形成了一组度量零，总是可以忽略，如[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]。ai，bi>1，i=1。。。，N

最后，我们强调了多维到一维框架与多维不对称信息下的竞争模型之间存在的深刻关系，至少在私有价值的情况下是如此。考虑到具有开创性意义的Rochet Chon’e（1998）问题的一个竞争变体，即商品可以由生产者的一维异质分布生产，而不是由单一的垄断者生产，我们提供了由此产生的均衡价格表的完整特征。特别是，我们表明，在我们的竞争框架中，与最初的垄断者环境相比，从来没有集群；也就是说，不同类型的消费者总是购买不同类型的商品。附录附录示例1和2的验证我们从命题21开始。证据我们验证每个（p，x）∈ （0,1）×（1/2,1），有唯一性∈ （1/2，1）在（p，x）处按比例分割人口；结果由推论18得出。按比例分割的水位曲线X（y，k（y））的形式为xy（p）=1- y+K（y）p，其中选择K（y）以满足人口分裂条件。现在考虑曲线X（y，k（y））与边界相交的方式；每一页7→ xy（p）在（0，1）上是连续的，单调递减（注意K（y）=（x+y）- 1） p≥ 它在唯一点（p，x）=（p（y），1/2）或在唯一点（p，x）=（1，x（y））中与另一个[0，1]×{1/2}相交。我们将证明以下两个性质：1。K（y）在y.2中单调递增。边界交点具有一定的单调性。