多维匹配

那么（7）就个人而言，特征投资的边际回报与社会回报（定义为投资对总盈余的贡献）完全相等。换言之，人们预计，对于某些均衡，这种投资将是有效的，尽管在匹配博弈之前是非合作的；它们对全球福利的影响通过匹配机制内部化，[Cole，Mailath&Postlewaite（2001）]和[Iyigun&Walsh（2007）]提出了这一点，并由[Noldeke&Samuelson（2015）]进行了推广。2.1.2变分解释：最优传输和对偶性识别稳定匹配的问题原来有一个变分公式，称为最优传输，或Monge Kantorovich，数学文献中的问题（例如参见[Villani（2009）]，[Santanbrogio（2015）]和[Galichon（2016）]）。这就是匹配度量u和ν以使总盈余最大化的问题；也就是说，在最大化[γ]的集合Γ（u，ν）中找到γ：=ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）。（MK）以下定理可以追溯到有限类型空间X和Y的[Shapley&Shubik（1971）]，以及更普遍的[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]。它断言（MK）和StableMatching之间是等价的。定理2匹配测度γ∈ Γ（u，ν）是稳定的当且仅当它最大化（MK）。作为凸集上线性泛函的最大化问题，问题（MK）有一个对偶问题，这对研究它的最大化子和阐明它与稳定匹配的关系都很有用。（MK）的对偶问题是最小化u[u]+ν[v]：=ZXu（x）du（x）+ZYv（y）dν（y）。（MK*)在功能中∈ L（u）和v∈ L（ν）满足稳定性条件（3）。众所周知，在温和的条件下，对偶性成立（例如，参见[Villani（2009）]），即：满足（1）s[γ]=min（u，v）满足（3）u[u]+ν[v].

（9） 注意，对于满足稳定性约束（3）和任何匹配γ的任何u和v∈ Γ（u，ν），边际条件意味着u[u]+ν[v]=ZX×Y（u（x）+v（Y））dγ（x，Y）≥ZX×Ys（x，y）dγ（x，y），当且仅当u（x）+v（y）=s（x，y）几乎处处保持γ时，我们可以有等式。然后根据对偶定理，γ是（MK）中的最大化子（因此是稳定匹配），u，v是对偶问题（MK）中的最小值*), 精确地说，当u（x）+v（y）=s（x，y）几乎在所有地方都保持γ时；换句话说，（MK）的解*) 与支付功能一致。一个直接推论如下：推论3设s和‘’s是两个剩余函数。假设存在两个函数f和g，分别将rm映射到R和rn映射到R，例如（x，y）=s（x，y）+f（x）+g（y）对于任何度量u和ν，s的任何稳定匹配都是s的稳定匹配，反之亦然。证据s的任何稳定测度γ都解决了剩余最大化问题：maxγ满足（1）ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）。（10） 这相当于：maxγ满足（1）ZX×Y′s（x，Y）dγ（x，Y）+ZXf（x）du（x）+ZYg（Y）dν（Y）。最后两个积分（由γ上的边界条件给出），所以解（10）的任何γ也解（11）：maxγ满足（1）ZX×Y′s（x，Y）dγ（x，Y）。（11） 这个结果的一个重要结果是，对匹配模式的观察最多只能识别x和y的两个加法函数。我们将在后面看到，一般来说，即使是两个这样的加法函数也无法识别s。问题（MK）在过去的25年里得到了广泛的研究，定理2允许将大量的理论应用于稳定匹配问题。特别是[Villani（2009）]中对导致（MK）溶液存在、唯一性和纯度的条件进行了详细的了解和调查。

这些性质可以用交叉差异简洁而优雅地表达，由[McCann（2014）]引入，并在（X×Y）上定义为：δ（X，Y，X，Y）=s（X，Y）+s（X，Y）-s（x，y）-s（x，y）交叉差异与问题（MK）的相关性将在下文中变得更加明显。目前，我们通过在一维m=n=1，交叉差异的积极性（x）来暗示它的作用- x） ·（y）- y） >0相当于s的超模性（Spence-Mirrlees条件）。对于更一般的X和Y，沿着对角线{（X，Y）=（X，Y）}和非负的长sptγ×sptγ的交叉差为零 （X×Y）对于任何稳定匹配γ。s on（sptγ）的这种非负性通常被称为sptγ的s-单调性，是一种更一般的条件s-循环单调性的特例，它表征了对最优匹配的支持。2.1.3稳定匹配的存在性、纯度和唯一性变分公式有助于建立稳定匹配的基本性质。例如，现在可以使用基本连续性和紧性参数来断言存在性，如下结果所述：定理4假设X 曼德·Y r有界与s∈ C（X×Y）。然后存在一个优化器γto（MK），因此存在一个stablematch。证据参见[Villani（2009）]或[Santanbrogio（2015）]我们现在考虑的是独特性和纯洁性。除了理论上的兴趣，最佳匹配γ的唯一性在计算中起着重要作用，因为在没有它的情况下，必须采用更复杂的技术。在实践中，在实证研究中，解决方案通常被认为是纯粹的。由于这一结论在一般情况下并不令人满意[McCann&Rifford（2016）]，因此需要了解s、u和ν的条件，以保证这一结论。

此外，在享乐语境中，纯度意味着没有“聚束”（即不同的代理消费相同的产品）；当我们研究匹配理论和契约理论之间的相互作用时，这一特性尤其重要。首先，请注意，一般情况下不保证唯一性。例如，当剩余函数采用加法形式s（x，y）=f（x）+g（y）时，泛函[γ]=ZX×Ys（x，y）dγ（x，y）=ZXf（x）du（x）+ZYg（y）dν（y）在可行匹配测度的集合Γ（u，ν）中是恒定的，因此任何匹配γ都是最优的，因此是稳定的。因此，很明显，确实需要特定的结构条件来确保纯度和唯一性。最佳匹配纯度的关键条件是Spence-Mirrles条件的非局部推广，称为twistcondition：定义函数s∈ C表示扭转条件，如果，对于每个固定的x∈ X和y6=y∈ 是的，地图∈ x7→ δ（x，y，x，y）（12）没有临界点。通过对δ相对于x的微分和重新排列，我们可以看到，对于所有x和不同的y6=y，这相当于Dxs（x，y）6=Dxs（x，y）（13）。因此，扭转条件相当于y7的注入能力→ Dxs（x，y），用于每个固定的x。这种注射量反过来意味着丈夫类型y是女性类型x∈ Dom Du唯一的决定因素是他通过一阶条件（7）为自己的品质买单的边际意愿Du（x）。例如，在一维语境（m=1=n）中，经典的斯宾塞-米尔莱斯条件s十、y> 0或s十、y<0除以X×y，这等于y7→sx（x，y）对于每个固定x是严格单调的（因此是内射的）。

正是在这个意义上，扭曲条件可以被视为斯宾塞-米尔莱斯条件的非局部推广。扭转条件足以保证纯度，如以下结果所述：定理6（[Gangbo（1995）]，[Levin（1999）]）假设μ相对于Lebesgue测度是绝对连续的，剩余的SSA满足扭转条件。那么（MK）的任何溶液γ都是纯的。证据设γ解（MK）为扭曲剩余s∈ C.根据定理1和定理2，在X上存在Lipschitz势u，在满足u（X）+v（y）的条件下存在v≥ s（x，y）代表所有（x，y）∈ X×Y，等式保持γ-a.e.是Lipschitz，u几乎在任何地方都是可微分的Lebesgue，因此u-a.e.，其中u表示γ的左边缘。Thusforu-a.e.x我们发现Du（x）=Dxs（x，y），如（5）所示。扭曲条件（12）意味着我们可以反转这个关系，写出y=F（x），其中F（x）=[Dxs（x，·）]-1（Du（x））。这表明γ是纯的。u的绝对连续性是一种技术条件，用于确保在一组完整的u测量值上区分公用设施；如果剩余是，则支付函数保证为Lipschitz，因此几乎所有地方都可以通过Rademacher的Theorem区分Lebesgue（但不是所有地方）。测量的条件可能会有所减弱，但需要一些规律性：作为一个简单的计数样本，如果u=δxis是狄拉克质量，但ν不是，那么最佳匹配（实际上，Γ（u，ν）中唯一的测量值）是乘积测量δx ν、 它将每个点y与x配对，这肯定不是纯的。在这一点上可以说三点。首先，如果s是两次连续可微的，Y的内部是非空的，则扭曲条件立即意味着n≤ m、 当它断言存在从RNRM的开放子集平滑注入（13）时。

第二，值得注意的是，在许多相关的情况下，扭转条件确实会失败；例如，如果我们用紧致光滑流形替换X和Y，它对任何光滑剩余函数s都是失败的。第三，扭曲条件对于纯度来说是不必要的。例如，[Kitagawa&Warren（2012）]提供了一个在没有扭曲的情况下保持纯洁的环境。我们可以很容易地看到，纯度意味着唯一性：推论7根据前面定理的结论，最佳匹配γ是唯一的。证据假设存在两个解γ和γto（MK）。问题的凸性表明，γ=（γ+γ）/2也是一个解。结论断言γ集中在映射F:X的图上-→ Y，然后消失在这个图之外。非负性确保γ和γ的情况必须相同。但是[Ahmad，Kim&McCann（2011）]中的γ=（F×id）#u=γbyLemma 3.1与这个推论相反是不正确的；i、 例如，人们很容易发现最佳匹配是唯一的，但不是纯粹的。确保最佳匹配唯一性而非纯粹性的其他条件可在[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]和[McCann&Rifford（2016）]中找到。2.1.4一个例子作为定理6的说明，我们考虑了一个在经验应用中广泛使用的特殊情况（[Galichon&Salani\'e（2012）]，[Dupuy&Galichon（2014）]，[Lindenlaub等等）。假设m=n，盈余的形式为：s（x，y）=fX（x）+gY（y）+nXk=1fk（xk）gk（yk）。可以对这种形式做两个注释。首先，在不失去普遍性的情况下，我们可以通过假设fX=gY=0来忽略前两个术语；稳定措施不会受到影响。

其次，这种形式对于交叉导数矩阵Dxys是必要且有效的=sxk伊尔斜交（由[Lindenlaub（2015）]调查的一个案例）。在这种情况下，对于任何y6=`y，我们有：Dxs（x，y）- Dxs（x，y）=f（x）（g（y）-g（\'y））。。。fn（xn）（gn（yn）-gn（`yn））特别是（假设所有fi都没有任何消失导数），只要gi是严格单调的，扭曲条件就满足。我们的结论是，在这种情况下，稳定匹配是唯一和纯粹的；也就是说，存在一个函数F将rm映射到自身，使得x与y=（F（x），…）相匹配。。。，Fm（x））。此外，[Lindenlaub（2015）]表明，如果f和g严格增加，那么对于所有i（她称之为多维正分类匹配的属性），FI在XI中严格增加。2.1.5最优匹配的局部结构在没有扭曲条件的情况下，或者在两个边缘都是单数的情况下，人们可能不会期望最优匹配的纯度。然而，在一个通用的非退化准则下，也就是Spence-Mirrlees条件的局部推广，仍然可以通过其支撑的局部几何结构来确定某些东西。对于固定（x，y），设H为函数（x，y）7的海森函数→ δ（x，y，x，y），在点（x，y）=（x，y）处计算。一个简单的计算得出H采用块形式：H=0 DxysDyxs 0其中dxys=(sxiyj）ij是混合二阶分部的m×n矩阵，左上角和右下角的0分别代表m×m和n×n消失块。用r表示Dxys的秩，我们有以下定理（见[McCann，Pass&Warren（2012）]和[Pass（2012a）]）。定理8存在（x，y）的邻域N，使得∩ S包含在维数为m+n的X×Y的Lipschitz子流形中- R

在S是可微的点上，在H（v，v）的意义上，它是类空间的≥ 对于与集合S相切的任何v，为0。特别是在特殊情况下，当m=n且H具有满秩r=n时，支持度最多为m=n维（局部）。当这些维数不同，且n×m矩阵的满秩r=min（n，m）时，维数为max（n，m），其余维数为min（n，m）[Pass（2012a）]。如果r=min（n，m），我们说s在（x，y）是非简并的。定理8的类空断言有助于确定最优匹配的理论方向，如下所示。例9当m=n=1时，假设Spence-Mirrlees条件s十、y> 定理告诉我们，解集中在一维Lipschitz曲线（x（t），y（t））上。只要曲线是可微的，类空条件就归结为x（t）s十、yy（t）≥ 0，orx（t）y（t）≥ 0，产生正的分类匹配。只有一个与此结构匹配的γ，可以通过度量u和ν显式计算（前提是u没有原子）；由F#u给出，其中F:X→ Y satis Fiesz(-∞,F（x））dν≤Zx-∞du≤Z(-∞,F（x）]dν换句话说：x与y=F（x）匹配，使得特征大于x的女性数量等于y以上的男性数量。2.1.6匹配函数的规律性（平滑度）当满足扭转条件时，最佳匹配因此是纯粹且唯一的，问映射F:x是否有趣→ Y生成匹配是连续的；从质量上来说，这就是x和x类型为“亲密”的女性是否必须嫁给特征相似的男性的问题。事实证明，情况通常并非如此，有关最佳运输的文献中有大量实例表明了这一点。

这种假设相当严格；在实践中，它要求具有不同特征和y但指数相同（即i（y）=i（y））的男性在匹配市场上完美替代任何潜在配偶x。正式而言，如果s是平滑的，则指数形式要求满足以下条件：xms/yks/伊尔= 0k、 l，m。这些条件表明，YK和yl之间的边际替代率（定义了与相应iso剩余曲线相切的斜率）不依赖于x；实际上，（18）意味着：s/yks/伊尔=我/yk我/伊尔。指数模型的主要实际意义在于，每当（18）满足时，匹配问题实际上是一维的；从技术上讲，人们可以用/Y=ImI替换空间Y和度量值ν R和（4）中定义的v到I的向前推|ν：=I#ν。特别是，当索引属性（18）满足时，匹配问题可归结为第4节中讨论的多维到一维问题。[Pass（2012b）]中观察到的指数模型的另一个显著特性是≤ n、 集合{Dys（y，x）|x的凸性∈ 十} ，以确保匹配函数是连续的，要求函数s的形式为s（X，y）=σ（X，I（y）），其中I:Rn→ Rm。特别是，当m=1时，s必须有一个indexform。因此，当n>m=1时，如果剩余函数s不是指数形式，则存在绝对连续的度量u和ν（具有平滑密度），其中匹配函数F是不连续的；我们将在下面看到一个例子。最后，在某些情况下，指数模型的概念可能会被轻描淡写。具体地说，我们通过假设存在三个函数α、I和σ来定义伪指数模型，分别映射RN到R、RN到R和RM+1到R，这样：s（x，y）=α（y）+σ（x，I（y））。

（19） 在这里，男性特征y通过两个一维指数α（y）和I（y）影响匹配功能。然而，关键的评论如下。假设Dxσ（x，i）在i中是内射的；这简单地要求σ/对于至少一个k，xk（x，i）在i中是严格单调的。然后：Dxs（x，y）=Dxσ（x，i（y））6=Dxσ（x，i（y））=Dxs（x，y）对于任何y，y如i（y）6=i（y）。从扭转定理的证明可以看出，稳定测度的支持是由实际困难的图形产生的，因为对于大多数实证应用，指数I事先未知，必须根据经验进行估计。有关详细讨论，请参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]。一个函数。尽管Rm×RN上的稳定匹配不是纯粹的（因为所有具有相同指数的男性都是完美的替代品），但对于由剩余函数σ（x，i）和度量值u和i#ν定义的Rm×R上的“简化”匹配问题，稳定匹配是纯粹的——即存在一个函数φ，使得任何女性x都与指数为i=φ（x）的男性匹配。特别是，在多维到一维的情况下（见下文第4节）得出的大多数结果仍然适用于这种情况。2.2.3与享乐模型的联系下，我们简要回顾了匹配模型和享乐模型之间的典型联系，这对我们的一些应用至关重要（尤其是竞争IO模型和竞争版Rochet Chon\'e）。一个享乐模型包括三组：一组X买家（被赋予测度u）、一组Y卖家（被赋予测度ν）和一组Z产品；直观地说，一个产品是由一个有限的特征向量定义的，买家在任何时期都会购买一个产品（最多），比如汽车或房子。