多维匹配

一旦k（y）在y中是严格单调的，这样的曲线就不能相交。9,10在非嵌套的情况下，仍然可以使用临时方法解决问题。例如，在某些情况下，可以预先确定γ必须将X的某些子集与Y的某些子集耦合。然后，上述方法可能成功地应用于这些子集，即使它在应用于整个ofX和Y时失败。我们用一个例子来证明这一点（见下面的备注5.1.4）。在[Pass（2012b）]中开发了一个类似的方案，并且在边缘u和ν以及剩余s的强条件下，证明了这会产生最优解。在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中，我们证明了相反的事实：非退化剩余是伪指数，当且仅当（s，u，ν）为绝对连续人口密度u和ν的所有选择嵌套。4.2嵌套性的标准前面的定理说明了嵌套性的强大含义。对于合适的数据，下一个定理和推论给出了嵌套性的特征，在实践中通常更容易检查。这些都是基于对他们的丈夫集运动的描述，以响应丈夫类型的变化，这是使用水平集动力学理论获得的。同样，在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中可以找到更清晰的陈述和详细的证据。在这里，下列定理的结论也被证明是尖锐的，也就是说，只要等值线的面积设为F，dk/dy就会在Y的端点发散-1（y）缩小为零。由于我们打算在Lipschitz域上应用该定理，我们首先回顾了在该上下文中对翻译性的定义。定义15（横向性）回忆X（y，k（y））相交十、∈ 如果它们的法线在某个交点重合（或等价地，是彼此的倍数），则为Cnon。

如果X只是Lipschitz，如果X（y，k（y））的向内或向外法线是X的广义法线，则它们非横向相交十、 这意味着它可以表示为任意闭合点处向外法线的凸组合的极限X是可区分的。定理16（同族丈夫对丈夫类型的依赖）LetX 曼德·Y R是连接的Lipschitz域，配备有Borel概率测度du（x）=f（x）dx和dν（y）=g（y）dy，且总体密度满足对数f∈ C（X）和log g∈ Cloc（Y）。假设∈ 在X×Y范围内不退化。那么定理14的函数k±重合。此外，k:=k±∈ Cloc（Y\\Z）在相对封闭集Z之外：={Y∈ Y | X（Y，k（Y））相交X非横向}。（28）作为y∈ Y\\Z增加X的向外法向速度≤（y，k（y））atx∈ X（y，k（y））由（k）给出- syy）/|Dxsy |。证据的草图。根据理论中假设的额外规律性，我们在Y6处区分（26）∈ Z获得香港：=Hk=ZX（y，k）f（x）dHm-1（x）| Dxsy（x，y）|>0和hy:=Hy=-g（y）-ZX（y，k）f（x）syy（x，y）| Dxsy（x，y）| dHm-1（x），（29）其中-这是豪斯多夫- 1维（表面）测量。HK的公式是[Evans&Gariepy（1992）]中co面积公式的直接应用；它也可以看作是微积分基本定理的一个结果，将隐函数定理应用于sy（x，y）=k，得到| Dxsy|-1是X的向外法向速度≤（y，k）当k随着y固定而增加时。Hyd的相应公式（29）源自以下事实，即类似的Lipschitz速度由下式给出：-syy/| Dxsy |当k固定时y增加。注意，因为Y6∈ Z确定导数（29）一致的左右极限；我们不需要包括来自X（y，k）的对这些积分的任何额外贡献∩ X满足sy（X，y）=k。

[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]显示了HK和hyon（y，k）的持续依赖性，之后k∈ Cloccan通过将隐函数定理应用于h（y，k（y））=0而犯了错误。作为这一描述的结果，我们在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中获得了嵌套性的两个替代特征：定理16假设下的推论17（嵌套性的动态标准）：如果模型是嵌套的，那么k- 西伊≥ 0代表ally∈ Y\\Z和x∈ X（y，k（y）），严格不等式在每个y的某个X处成立。相反，如果Z= 严格的不平等适用于所有人∈ 扬·x∈ X（y，k（y）），则模型是嵌套的。推论18（嵌套的唯一分裂准则）满足定理16假设且Z= 是nestedif，并且每个x∈ X对应于唯一的y∈ Y按比例分割人口，即哪个满足ZX≤（y，sy（x，y））du=Zy-∞dν。（30）在这种情况下，稳定匹配由F（x）=y给出。第一个推论表明，当且仅当alliso-Hurst集随着y的增加向外移动时，模型是嵌套的。除了在下面的例子中证明有用之外，第二个推论表明嵌套性在方法上是必要的：没有嵌套性，F就无法很好地定义（除非比例种群分裂用一些进一步的标准来增加）。4.3支付和匹配的平滑度最后，我们能够解决匹配函数F:X的平滑度问题-→ 在嵌套的情况下为Y。总的来说，这是一个众所周知的微妙而富有挑战性的问题[Villani（2009）]。对于n=m>1，在[Ma，Trudinger&Wang（2005）]的工作之后，发展了一个相当令人满意的正则性理论。

但对于m>n=1，除了伪指数情况[Pass（2012b）]之外，已知的小值。假设横截性（Z=), 定理14和16给出了F连续且k=dv/dk的条件∈ Clocon是他们各自领域的内部。从（5）中回忆v（F（x））=sy（x，F（x）），微分率（k（F（x））- syy（x，F（x）））DF（x）=Dxsy（x，F（x））。（31）因此，我们立即看到，我们可以引导匹配函数F的连续差异∈ 连续性F∈ C、 正常速度k- x的iso丈夫集的syyof是严格正的。甚至假设∈ C∞, 为了从这个恒等式中得到F的更多平滑度，我们需要k的更多平滑度，或者等价于v∈ 对于任意整数r，Cr，1loc（Y）（即r次连续可微，具有Lipschitz导数）≥ [Chiappori，McCann&Pass（预印本）]提供1份。这里的总体策略是使用对r的归纳，从定理14和16提供的平滑度开始，从（26）中提取函数H的额外平滑度。由于h（y，k（y））=0，使用隐函数定理将此平滑度转换为k=dv/dy。为了区分像（29）这样的表达式，我们使用发散定理的一种适当的一般形式来重写MASHK=ZX≤（y，k）X·V dmx-ZX≤（y，k）∩XV·^nXdHm-1hy=-g（y）-ZX≤（y，k）X·（syyV）dmx+ZX≤（y，k）∩XsyyV·^nXdHm-其中V（x）=fsyyDxsy | Dxsy|y=F（x）。然后，它们的导数作为沿运动界面的积分给出，并按Orem 16及其证明中的法向速度加权。

这些反过来必须由适当的假设和精心构造的归纳假设来控制。最后，我们注意到，平滑度通常适用于一维丈夫的支付函数v（y），但不适用于多维妻子的支付函数u（x）或匹配函数F（x）[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]。4.4嵌套案例中的剩余识别假设我们可以在多个市场环境中观察到iso丈夫集；关于盈余，它告诉了我们什么？我们现在给这个问题一个精确的答案。如前所述，如果我们只观察匹配模式，那么剩余的s最多可以被识别为x的加法函数和y的加法函数。然而，这并不是我们定义s的唯一灵活性。要了解原因，请记住，具有形式为y=F（x）的方程的任意iso集位于水平集s（x，F（x））对于某个常数k=v（y），y=k。知道一对（u，ν）的映射F可以告诉dxsy沿着F的图形的方向（但不是大小）：假设（31）给出了足够的平滑度。为了得到这个数量，我们还需要知道丈夫的边际收益份额。虽然映射F通常不会存在于对（u，ν）的所有选择中（反例见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]），但如果我们知道映射F对应于（u，ν）的足够选择，那么通过适当的选择，我们可以使F的图通过我们选择的任何点（x，y）。下面的引理19表明，对于（31）来说，这可以具有足够的平滑度，并且在x附近的小球上取u均匀度不需要一般性。

通过这种方式，我们可以在全球范围内了解DXSY的方向和符号（但不是大小，除非我们也知道边际收益v）。如果我们也知道结果，我们可以将dxsy积分到结果s（x，y），直到任意的加法函数f（x）+g（y）（积分常数）。另一方面，在不知道支付函数的情况下，dxsy的方向足以确定每个y的sy（·，y）的水平集。现在，与agiven函数具有相同水平集的连续函数集正是该函数的单调变换集。换句话说，函数G（·）的水平集与sy（·，y）当且仅当：G（x）=Hs（x，y）Y对于一些单调的H，可能取决于y∈ Y，我们得出结论，如果s是生成给定iso丈夫集的剩余，那么另一个非退化剩余s生成相同的iso丈夫集，当且仅当存在一个Hz>0的函数H（z，Y）：s（x，Y）=s（x，Y）+Zyyyh\'s（x，t）y、 tdt。下面的引理暗示了这个结论。引理19（任何一对都可以平滑匹配）修复开放设置X Rm，Y R和s∈ Cr+1（X×Y）非简并≥ 1.给定（x，y）∈ X×Y和任意小邻域U的X和V的Y，我们可以在V上找到一个无原子的概率测度，比如稳定匹配F∈ Cr（U）在ν和统一度量u之间，在Usatis fies y=F（x）上，除此之外：（31）适用于所有x∈ U、 丈夫的报酬是Y上的二次函数。证据由于引理只涉及s在（x，y）附近的行为，因此假设x和y有界且s∈ Cr+1（X×Y）。假设v（y）是满足v（y）=const>max（x，y）的y的二次函数∈X×Ysyy（X，y）（32）和v（y）=sy（X，y）。然后每个x都显示出严格的凹度∈ 十、 u（X）=maxy∈Ys（x，y）-v（y）（33）是由某些y唯一获得的∈ Y，表示为Y=F（x）。

严格的凹度也表明ifsy（x，y）-v（y）=0（34）对于某些y∈ 然后Y=F（x）。特别是，y=F（x），注意（32），隐函数定理表明y（x）=F（x）是x的某个邻域U上的一个Crsolutionto（34）。微分（34）表明（31）保持U，因此s的非简并性意味着DF（x）是非零的。现在我们可以把U和V=F（U）取得尽可能小。我们声称F是均匀测量uonU与其图像ν：=F#u之间的稳定匹配，而上面的u和v是对应的payoff。定义（33）表明（u，v）是稳定的（3），因此将u（x）+v（F（x））=s（x，F（x））与u表示γ=（id×F）#在（9）中达到最大值，（u，v）达到最小值。最后，由于DF 6=0表示F，所以ν是无原子的-1（y）是U中的一个超曲面，因此可以通过隐函数定理再次忽略不计。备注20（任何一对具有强嵌套匹配）如果r≥在上面的引理中取2，如果必要的话，取较小的U，所以U与F的每个水平集横向相交（或至少相交）-1可以忽略的是，CO面积公式可以在[Chiappori，McCann&Pass（预印本）]中使用，以显示dν（y）=g（y）dy具有满足对数g的密度∈ Cloc（V）。将（X，Y）替换为（U，V），推论17显示模型是嵌套的，因为V（X）-syy（x，F（x））>0.5应用程序我们现在考虑我们框架的三个应用程序。5.1应用1：收入和肥力我们的第一个应用考虑了[Low（2014）]和[Low（预印本）]中引入的模型。主要问题涉及婚姻市场因素对女性接受高等教育（更准确地说是研究生学位）的影响。在人力资本和生育率（她称之为“生殖资本”）之间进行权衡。

通过从事研究生学习，女性增加了人力资本，这增加了她未来的收入（除其他外）。然而，在大多数情况下，研究生学位需要将孩子的出生推迟到她生命的后期，那时她的受精率可能会下降。在Low的模型中，丈夫对潜在配偶的收入和生育能力都感兴趣；这两种属性之间的相互作用，以及它们对婚姻模式的影响，正是Low所调查的。在接下来的内容中，我们从两个方向推广了Low的模型。首先，虽然Low假设生育率只有两个值（年轻女性为“高”，受过高等教育的老年女性为“低”），但我们允许这两个特征的一般分布；特别是，我们考虑了它们之间的各种相关模式（从独立到负相关）。第二，我们考虑的偏好比低偏好略为普遍，因为我们允许孩子在家庭贫困时减少效用；换句话说，这是一种节育技术要么缺失要么基本不完善的模式（发展中国家或西方社会的历史中显然可以找到几个例子）。第二个特征极大地改变了稳定匹配的定性特性；具体来说，模型是为某些度量嵌套的，而不是为其他度量嵌套的。

此外，对于特定的度量（在我们的例子中是统一的），嵌套的和未列出的case都可以显式求解，这使我们能够系统地比较它们。5.1.1男性和女性模型由子集Y参数化 R和X R、 分别在哪里∈ Y代表丈夫的收入，ox=p代表妻子的生育能力（有孩子的可能性）ox=x代表妻子的收入。所有有孩子的夫妇都会获得一次性福利B。QI表示个人i的私人支出，Q表示子女支出。如果一对夫妇有孩子，他们的偏好是公式（qm，Q）=qm（Q+1/2）uf（qf，Q）=qf（Q+1/2），而没有孩子，他们的偏好是ug（qg）=qg，g=m，f。假设男人和女人结婚（x，p）。然后，在概率p下，他们有一个孩子，并在预算约束下最大化他们的组合效用（qm+qf）（Q+1/2）：qm+qf+Q=x+y+b如果我们假设x+y≥ 1/2-B、 这个最大化问题的解决方案是q+1/2=qm+qf=x+y+B+1/2生成一个等于（x+y+B+1/2）/4的总效用。

概率为1- p、 他们没有孩子，而且um+uf=qm+qf=x+y。因此，总效用等于这两种可能结果的预期值：s（p，x，y）=p（x+y+B+1/2）+（1- p） （x+y）。接下来，为了简单起见，我们将参数B设置为1/2；因此，对于所有非负x和y，以及剩余iss（p，x，y）=p（x+y+1）+（1），定义了该解- p） （x+y）。该模型的一个特点是，如果父母足够穷（当x+y<1时，Q<1/2），他们对孩子的效用低于类似的例子，可以通过经济状况调查或退税而不是一次性付款来构建；唯一的区别是，随着夫妇收入的增加，他们的收益会减少或增加。没有——意味着没有有效的节育设备。通过假设x+y，可以简单地排除这种情况≥ 1对所有夫妇；或者，我们可以考虑一些夫妇“贫穷”（x+y<1），而另一些夫妇“富有”（x+y）≥ 1). 我们在例子1和2中分别考虑了这两种情况；有趣的是，在这两种情况下，数学性质完全不同，因为一个是嵌套的，而另一个不是。5.1.2解决方案对于该盈余，等式（15）变为：（x+y）- 1） p=K（y）。（35）式中K（y）=2[dv（y）dy- 1]. 特别要注意的是，如果某些y的K（\'y）=0，那么所有x=1的女性-“y结婚”y，与他们的p无关。在下面的明确示例中，我们将使用比例分割条件来确定K（y）。