多维匹配

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英文标题：
《Multidimensional matching》
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作者：
Pierre-Andr\\\'e Chiappori, Robert McCann, Brendan Pass
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We present a general analysis of multidimensional matching problems with transferable utility, paying particular attention to the case in which the dimensions of heterogeneity on the two sides of the market are unequal. A particular emphasis is put on problems where agents on one side of the market are multidimensional and agents on the other side are uni-dimensional, we describe a general approach to solve such problems. Lastly, we analyze several examples, including an hedonic model with differentiated products, a marriage market model where wives are differentiated in income and fertility, and a competitive variation of the Rochet-Chon\\\'e problem. In the latter example, we show that the bunching phenomena, observed by Rochet and Chon\\\'e in the monopoly context, do not occur in the competitive context
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中文摘要：
我们对具有可转移效用的多维匹配问题进行了一般性分析，特别关注了市场双方异质性的维度不相等的情况。特别强调的是，当市场一方的代理人是多维的，而另一方的代理人是一维的时，我们描述了解决此类问题的一般方法。最后，我们分析了几个例子，包括具有差异化产品的享乐模型、妻子在收入和生育率方面存在差异的婚姻市场模型，以及罗切特-琼问题的竞争性变化。在后一个例子中，我们展示了Rochet和Chonèe在垄断环境中观察到的聚束现象，在竞争环境中不会发生
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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2022-5-11 05:49:34 上传

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关键词：Quantitative Optimization Conservation Dimensional competitive

多维匹配*Pierre Andr’e Chiappori+，Robert McCann和BrendanPass§Abstracts我们对具有可转移效用的多维匹配问题进行了一般性分析，特别关注市场双方异质性的维度不平等的情况。特别强调的问题是，市场一方的代理人是多维的，另一方的代理人是一维的；我们描述了解决这些问题的一般方法。最后，我们分析了几个例子，包括具有差异化产品的享乐模型、妻子在收入和生育率方面存在差异的婚姻市场模型，以及罗切特-琼问题的竞争变量。在后一个例子中，我们展示了Rochet和Chon’e在垄断环境中观察到的聚束现象，在竞争环境中不会发生。1引言可转移效用下的匹配问题近年来在经济学理论中引起了广泛关注。总目标*作者感谢多伦多菲尔兹数学科学研究所在这项工作中的热情款待。他们承认加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering research Council of Canada）拨款217006-08和-15部分支持RJM的研究。Chiappori衷心感谢NSF的财政支持（奖励1124277）。

Pass很高兴地感谢加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering Research Council of Canada）4127792012拨款和艾伯塔大学创业基金的支持。C2016年4月21日+纽约哥伦比亚大学经济系，USApc2167@columbia.edu多伦多大学数学系，安大略省多伦多市，Canadamccann@math.toronto.edu§加拿大艾伯塔省埃德蒙顿艾伯塔大学数学和统计科学系pass@ualberta.ca.is了解“市场”双方（例如婚姻市场中的丈夫和妻子、劳动力市场中的CEO和企业、不同商品市场中的生产者和消费者等）的代理人分配之间匹配的稳定均衡，以及由此产生的合作伙伴之间的剩余分配。直到最近，大多数工作都集中在使用单一特征来区分每一侧的代理的设置上；例如，在婚姻市场中，有几个模型假设个人只因收入（或人力资本）而有所不同。这些模型的优点是易于分析，通常允许显式的闭式解。在经典的Spence-Mirrlees条件下，唯一的稳定匹配是正分类匹配，其性质（“谁娶谁”）直接由男性和女性特征的潜在分布决定。然而，这些一维模型在许多情况下并不令人满意，因为随意的经验主义和事实证据都表明，代理人往往在几个特征上匹配。

例如，在婚姻市场上，男女之间潜在婚姻的适合性通常取决于双方的几个特征，包括收入和教育，还取决于年龄、品味、民族背景、外貌吸引力等。因此，研究和理解多维度匹配问题很重要，在这种情况下，市场双方的代理人都会根据几个特征进行区分。近年来，由于这些模型具有更广泛的适用性和灵活性，它们的可见性不断提高，但它们的引入带来了严重的理论挑战。平衡匹配的本质更有趣，但也更复杂；与一维情况相比，它不再是由个体特征分布的唯一知识决定的，即使是在斯宾塞-米尔雷条件下。从更技术的角度来看，通常不可能得出封闭形式的解决方案；将匹配问题离散化会导致线性规划，当类型空间是多维的时，线性规划往往在数值上变得难以处理。本文的目的是从稳定匹配的存在性、唯一性和定性性质的角度，给出多维匹配模型的一般刻画。自从[Shapley&Shubik（1971）]和[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]在离散环境下的工作，以及[Gretsky，Ostroy&Zame（1992）]在连续统中的工作以来，人们已经理解，可转移效用匹配相当于一个变分问题；这个问题在数学文献中被称为Monge-Kantorovich最优运输问题。

我们的第一个目标是证明，关于多维最优传输的大量现有文献可以用来推导稳定匹配唯一且纯粹的条件，并了解它们的性质。我们特别强调了市场双方的异质性维度不相等（比如m>n）的情况。数学界对这类问题的关注相对较少，但在经济上是很自然的；这一维度基本上反映了用于区分代理商的属性数量，一般来说，没有令人信服的理由认为市场两个不同方面的代理商（比如消费者和生产商）的数量相同。这种情况下会出现一种典型的模式，因为对于市场的一方（维度较低的一方），相同的代理通常与不同的合作伙伴相匹配。我们探讨了由此定义的“差异集”的性质，并认为，由于这种差异集通常可以通过经验恢复，这些性质可以提供多维匹配理论的可测试结果。特别令人感兴趣的是所谓的“多到一维匹配问题”，即假设市场一侧的代理是多维的，而另一侧的代理是一维的。它们包括一类经济上重要的例子（例如，参见[Chiappori，Ore ffice&Quintana Domeque（2012）]和[Low（2014）]），对于这些例子，可以明确地获得稳定匹配。在此背景下，我们描述了一种旨在描述均衡匹配的通用方法。我们提供了一种强大的方法，允许在合适的条件下明确描述其解决方案。

我们讨论了独立集所表现出的一些有趣的特征，这些特征在纯一维问题中通常是不存在的。例如，最佳映射可能是不连续的，因此相似类型的女性可能会与不同类型的男性结婚。最后，我们考虑三个具体的例子来说明匹配模型的不同潜在应用。一种是一种标准的享乐模型，特别是在经验IO文献中。虽然这些模型通常假设不完全竞争，但我们展示了如何分析竞争版本。在标准条件下，存在，但也唯一性和纯度，自然获得。特别是，我们证明了纯度的数学概念在这一背景下具有“聚束”的自然解释。此外，通常可以使用匹配或优化运输技术，得出定价计划的封闭式解决方案；我们将说明如何使用特定的分布来实现这一点。有关一般调查，请参见[Villani（2009）]和[Santambrogio（2015）]。我们的第二个例子考虑了这样一种情况，即女性具有两个特征（社会经济地位，从现在起为SES，以及生育能力），而男性仅因其SES而有所不同——这是[Low（2014）]最近研究的一个案例。那么，中产阶级妇女的社会经济地位的微小变化（而她的生育率保持不变）可能会导致丈夫收入的巨大变化。同样，我们提供了解决方案的一般特征，并描述了它的一些定性特征。最后，多维到一维框架自然会导致研究多维不对称信息下匹配模型与主代理问题之间的关系。

虽然这个一般性问题仍然存在广泛的开放性（并且相当具有挑战性），但Weill通过考虑[Rochet&Chon\'e（1998）]的最终模型的竞争变体来说明我们的贡献，在该模型中，商品可以由一组具有竞争性的一维异质生产者生产，而不是由单一的垄断者生产。与原始的Rochet Chon’eframework不同，该模型相当于我们形式的匹配问题，可以通过上述方法显式求解。我们提供了由此产生的均衡价格表的完整特征。特别是，我们表明，在我们的竞争框架中，与最初的垄断者环境相比，从来没有聚集：不同类型的消费者总是购买具有不同特征的商品。换句话说，Rochet和Chon’edo强调的奇怪的聚束模式似乎与逆向选择问题的多维性没有内在联系；相反，它们是由于垄断生产者的存在所造成的扭曲。2可转移效用下的多维匹配：基本属性2。1总体框架和基本成果2。1.1我们考虑的模型集X 曼德·Y Rn，将市场两侧的试剂人口参数化。在接下来的内容中，我们将坚持婚姻市场解释（因此X和Y将分别表示潜在妻子和丈夫的集合），尽管其他解释显然是可能的。它们分别根据概率度量u在X上和ν在Y上分布。在可转移效用框架中，代理x的潜在匹配∈ X安迪∈ Y生成一个组合盈余s（x，Y），其中s:x×Y→ R.这笔盈余可以以任何方式在代理人x和安迪之间分配。

为简单起见，我们假设s及其导数是光滑且有界的，除非另有说明；我们描述的许多结果也可以扩展到平滑度较低的盈余，例如[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]和[Noldeke&Samuelson（2015）]。匹配的特征是乘积X×Y上的概率度量γ，其边缘为u和ν，即所有Borel A的γ（A×Y）=u（A）和γ（X×B）=ν（B）（1） 十、 B Y直观地说，匹配是将集合X和Y中的代理指派成对，γ（X，Y）与X与Y匹配的概率有关；特别是，（x，y）/∈ sptγ意味着试剂x和y不匹配。边际条件通常被称为市场清算标准。我们用Γ（u，ν）表示所有匹配的集合。可积函数u:X→ R和v:Y→ 如果R满足预算约束：u（x）+v（y），则称为与γ对应的payoff函数≤ s（x，y）（2）γ几乎无处不在——也就是说，对于与正概率匹配的任何一对代理。对于这样一对（x，y）∈ sptγ，函数u（x）和v（y）分别被解释为由试剂x和y的匹配衍生的间接效用；约束（2）确保两个代理收集的总间接效用u（x）+v（y）不会超过它们可用的总剩余s（x，y）。如果存在满足（2）和逆不等式u（x）+v（y）的支付函数u（x）和v（y），则匹配γ称为稳定的- s（x，y）≥ 0（3）代表所有（x，y）∈ X×Y。条件（3）表示匹配在以下意义上的稳定性；如果我们有u（x）+v（y）<s（x，y）作为任何一对（目前不匹配的）代理，那么他们中的每一个都应该离开他们当前的合作伙伴，一起匹配，除以多余的s（x，y）- u（x）- v（y）>0，从而增加对x和y的支付。

请注意，（2）和（3）一起确保几乎所有地方都有（x）+v（y）=s（x，y），γ：如果两个代理匹配正概率，那么它们将在它们之间分配产生的盈余。为简单起见，我们假设完全参与是有激励的，并且供给平衡需求（反映在这里的sptγ指γ的支持，即包含γ的完整质量的最小闭合集。u和ν具有相等的质量）；当这些假设被违反时，众所周知，它们可以通过增加市场的两侧，用一种代表剩余匹配的外部选项的有效类型来恢复（例如参见[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]）。给定一个稳定的匹配γ和相关的匹配函数u，v，theset={（x，y）∈ X×Y | u（X）+v（Y）=s（X，Y）}是特别有趣的；as-sptγ S、 它告诉我们哪些代理可以匹配在一起。如果S集中在图{（x，F（x））|x上∈ S} 函数F:X的性质-→ 稳定匹配被称为纯匹配，其解释是几乎所有类型x的代理都必须与相同类型Y=F（x）的代理匹配；特别是，纯度排除了随机化的存在，即一种试剂可以随机分配给不同的试剂。在这种情况下，分布ν与F下u的图像F#u一致，其分配质量（F#u）（V）：=u[F-1（V）]（4）对每个V Y更一般地说，理解S的几何结构是有趣且有用的。尽管u和v通常不会处处可微，但一些温和的正则性条件保证了几乎处处可微，如以下结果所述：引理1如果剩余函数S是Lipschitz，那么Payoff S u和v也是如此，并且具有相同的Lipschitz常数；如果是∈ C（X×Y），然后u和v有二阶泰勒展开式，几乎所有地方都有勒贝格展开式。证据

参见[Villani（2009）]或[Santambrogio（2015）]。当概率度量u和ν来自勒贝格密度时，这种几乎无处不在的差异对于许多分析目的都是有效的。我们使用domdu（分别是domdu）来表示那些x∈ 其中u具有一阶（分别为二阶）泰勒展开，而DomDiu：=十、∩ Dom Diu，其中X和xdenotes分别表示X的闭包和内部。S是非负函数（3）的零集这一事实至关重要。它特别意味着一阶和二阶条件（Du（x），Dv（y））=（Dxs（x，y），Dys（x，y））（5）也被称为推进F#u到F；参见例如[Ahmad，Kim&McCann（2011）]。和Du（x）00 Dv（y）≥Dxxs（x，y）Dxys（x，y）Dyxs（x，y）Dyys（x，y）（6） 对每个（x，y）都感到满意∈ s∩ （X×Y）存在导数问题；这里Xdenotes是X的内部，不等式（6）应该理解为这些（m+n）×（m+n）对称矩阵的差异是非负定义的。一阶条件du（x）=Dxs（x，y）（7）（例如）有一个有趣的经济解释。在可转让实用新型中，妻子的剩余份额u（x）是以牺牲丈夫y的份额为代价的。因此（7）表示他愿意为她的质量变化支付的边际意愿Du（x）=（x，…，xm）与夫妇为相同变化支付的边际剩余Dxs（x，y）相等。类似地，Dv（y）=Dys（x，y）（8）将她为其质量变化支付的边际意愿y=（y，…，yn）与他们为此类变化支付的边际盈余相等。这对于一些情况有着重要的影响，这些情况下的特征是不假思索地给出的，但却是由个人在游戏开始之前进行的一些投资（人力资本就是一个明显的例子）造成的。