多维匹配

精确地说，对于每一个y<y，出现以下情况之一：（a）X（y，k（y））与[0,1]×1/2}相交，X（y，k（y））与{1}×1/2,1]相交。（b） X（y，k（y））和X（y，k（y））都与[0，1]×{1/2}相交，p（y）<p（y）。（c） X（y，k（y））和X（y，k（y））都相交于{1}×[1/2,1]，并且X（y）<X（y）。这两个事实将暗示预期结果如下：1）将暗示xy（p）-xy（p）在p中减小，因为固定的y<y，因为该函数的导数是xy（p）- xy（p）=K（y）-K（y）p<0.05。这意味着如果两条种群分裂曲线相交，（即xy（`p）-在给定的域内，xy（`p）=0），然后对于所有的p>`p，xy（p）<xy（p）。这意味着边界交点满足以下条件之一：a）X（y，k（y））相交[0,1]×1/2}，X（y，k（y））相交{1}×[1/2,1]。b） X（y，k（y））和X（y，k（y））都与[0，1]×{1/2}相交，且p（y）>p（y）。c） X（y，k（y））和X（y，k（y））都相交于{1}×[1/2,1]，并且X（y）>X（y）。这显然与上述第2）点相矛盾，因此确立了预期结果。那么，要完成证明，只需验证第1）点和第2）点。我们首先考虑通过[0,1]×{1/2}的种群分裂曲线。在这种情况下，比例拆分条件是给定的NBYY- 0.5=Z0。5p（y）（\'x+y- 1） （x+y）- 1） dx=（\'x+y）- 1） p（y）[ln（1+y- 1) - ln（0.5+y）- 1） ]]=（y）- 0.5）p（y）ln（yy）- 0.5).这意味着p（y）=ln（yy-0.5). 一个简单的计算表明，该函数在y中增加。该函数也可以被反转为y（p）=ep2（ep）-1); 这告诉我们，人口分裂水平曲线正好通过y的[0,1]×{1/2}≤ y（1）=e2（e）-1). 对于这个区域中的y，p（y）的单调性意味着2）b）成立，我们注意到K（y）=y-1/2ln（yy）-1/2），也在增加，验证了该地区的情况。因此，对于y≥e2（e）-1） ，曲线X（y，k（y））与{1}×[1/2，1]相交。

本文件构成第2）a）部分；为了完成证明，只需证明x（y）和K（y）在[e2（e）上单调递增-1), 1].在这个区域，比例分裂条件给出：1-y=Zx（y）1-1（x（y）+y- 1） （x+y）- 1） dx=1- x（y）- （x（y）+y-1） [ln（1+y- 1) - ln（x（y）+y-1） 或者，等价地，x（y）是[0.5,1]中0=f（x，y）：=x的唯一解- y+（x+y）- 1） ln（yx+y）- 1). （39）含蓄地区分，我们有x（y）=-fyfx。（40）我们有，对于x<1fx=1+ln（yx+y- 1) -1=ln（yx+y）- 1） >0（如x<1，yx+y-1> 1).我们现在显示fy<0。我们有fy=-2+ln（yx+y）- 1） +x+y- 1y。（41）现在，作为x≤ 1.最后一个学期的满意度为esx+y- 1y≤ 1（42）（只有当x=1时才相等），第二个到最后一个项在y中递减，因此它小于y=e2（e）时的值-1） ：ln（yx+y- 1) ≤ln（e2（e）-1)) -ln（e2（e）-1） +x- 1) (43)≤ln（e2（e）-1)) -ln（e2（e）-1)-) （44）=1，（45），其中第二个不等式如下，如x≥. 注意，只有当y=e2（e）时，我们才有上面的等式-1） x=。现在请注意等式（42）或（45）中的一个总是严格的（即x<1或x>）。因此，导数（41）在相关范围内为负值。当fy<0和fx>0时，（40）告诉我们x（y）>0。最后，我们有k（y）=x（y）+y- 所以x（y）的单调性告诉我们K（y）在这个区域上也是严格递增的。最后，我们将注意力转向[0,1]和[0,1]的统一度量，以及第5.1.4节中公式（38）的证明。证明需要以下引理。引理23假设u在[0,1]上是一致的，而ν在[0,1]上是一致的。如果（p，x，y）支持最优匹配γ，且p>0，则≥还有y≥或者x≤还有y≤.证据注意s（p，1- x、 一,- y）- s（p，x，y）=2- 十、- y没有相互作用的术语。

因为度量在变换（p，x）下是对称的→ （p，1）-x） 还有y→ 1.-y、 （唯一）稳定匹配在变换（p，x，y）下是对称的→ （p，1）- x、 一,-y） 。现在，让（p，x，y）属于γ的支撑；那么，根据不变性，我们也必须有（p，1）- x、 一,- y） 支持γ。在这些点上应用2个相似性可使（p，x，y）+s（p，1-x、 一,-y）≥ s（p，1- x、 y）+s（p，x，1）-y） 。现在请注意，对于固定p，函数（x，y）7→ s（x，y，p）满足喷泥条件，s十、y=p>0。这意味着十、-(1 - 十）Y- (1 - y）= （2x）-1） （2年）- 1) ≥ 0相当于所述结果。我们现在证明第5.1.4节中的公式（38）。证据通过前面的引理，最优映射将区域[0,1]×[，1]映射到[，1]和[0,1]×[0，]映射到[0，]。第一区域的映射必须由G（p，x）=f（p，x）给出，第二区域的映射为G（p，x）=1- f（p，1- x） 对称性。附录B无聚束的证明我们证明了Rochet和Chon’e的筛选模型的竞争变体的无聚束结果，定理22。证据我们证明了X6=`x总是购买不同的商品。让y和y分别成为他们匹配的买家，并假设x和x都购买了商品z（分别来自y和y）。我们将证明这一点，即x=\'x。我们有z=yx=\'y\'x。由于（x，y）和（\'x，\'y）属于最优测度γ的支持，它们满足2-单调性条件：s（x，y）+s（\'x，\'y）≥ s（x，\'y）+s（\'x，y）现在，我们有了s（x，y）=x·z-2y | z |，s（\'x，\'y）=\'x·z-2’y | z |和s（x，’y）≥ x·z-2’y | z |，s（\'x，y）≥ \'x·z-2y | z |。代入上述方程得到：x·z-2y | z |+x·z-2“y|z|≥ s（x，\'y）+s（\'x，y）≥ x·z-2\'y|z |+\'x·z-2y | z |右手边和左手边是相同的，所以我们必须始终保持相等。

特别是，我们有（\'x，y）=\'x·z-2y | z |。这意味着z=y\'x（因为z最大化了y和\'x的联合盈余）。但我们也有上面的z=yx。因此，x=yx。取消y将得到所需的结果。附录C图0。5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.00.20.40.60.81.0yk图1a:K（y）0.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.50.60.70.80.91.0px图1b:y=6的等夫曲线7; :80.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0px图2a:y=：2的等夫曲线3; :4和：6；：7; :8.最佳匹配。具体地说，我们使用模型中嵌入的对称性来表示最优映射由以下公式给出：G（p，x）=F（p，x）如果x>1/2,1-F（p，1- x） 如果x<1/2，（38），其中F与前面的命题相同。此解决方案显示沿x=12线的连续性；每个收入x=12的妻子（p，12）在两个不同的丈夫之间存在差异，一个更富有（y=e1p2（e1p-1） ）和其他更穷的人（y=1）-e1p2（e1p-1） =e1p-22（e1p-1)). 虽然后一段婚姻产生的总盈余较小，但她所占的份额仍然不变。我们也用数值方法解决了这个问题；得到的解与我们的理论解一致，如下图所示。图2b：当男性收入、女性生育率和收入均匀分布时，数字生成的iso丈夫曲线。横轴和纵轴分别代表女性的生育率和收入。这些曲线是等夫曲线；即匹配函数F（p，x）的水平曲线。5.1.5例3：反相关边缘在这种情况下，解析解非常复杂，我们只提供了一个数值模拟。

对于 = 0数值解如下图所示；一个有趣的特征是，低收入男性（其等夫曲线位于绿色、黄色或橙色区域）在低生育率、高收入[0,12]×[34,1]和高生育率、低收入[12,1]×[12,34+],而收入最高的男性，其iso丈夫曲线位于暗红色区域，只与高生育率、低收入政权的妻子匹配。该模型不符合定理16的假设 = 0，因为X既不是连通的，也不是Lipschitz，但这个短消息可以通过 > 0任意小。图3：当女性的经济能力和收入呈反相关时，数字生成的等丈夫曲线。横轴和纵轴分别代表女性的生育率和收入。这些曲线是等夫曲线；也就是说，匹配函数F（p，x）的水平曲线。360 1 2 3 40.00.20.40.60.81.01.2ZP（Z）图4：定价计划参考[Ahmad，Kim&McCann（2011）]N.Ahmad，H.K.Kim和R.J.McCann。最佳运输、拓扑和唯一性。公牛数学Sci。，1:13–32, 2011.[Becker（1973）]G.S.Becker。婚姻理论。第一部分，J.政治经济学81:813–846（1973）。[Berry，Levinsohn&Pakes（1995）]Steven Berry，James Levinsohn，andAriel Pakes。汽车价格处于市场均衡状态。《计量经济学》，63（4）：841-8901995。[Berry，Levinsohn&Pakes（2004）]Steven Berry，James Levinsohn，andAriel Pakes。从微观和宏观数据的组合来看，不同的产品需求系统：新车市场。《政治经济学》，112（1）：68–103，2004年。[卡莱尔（2001）]纪尧姆·卡莱尔。具有逆向选择的主代理问题的一个普遍存在性结果。J.数学。经济。35 (2001) 129–150.[Chiappori，McCann&Nesheim（2010）]P-A.Chiappori，R.McCann和L.Nesheim。

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