最优条件下可变年金担保的统一定价

假设投保人在（tn）期间死亡-1，tn]，则在tn支付一笔金额Dn（·），其中一些常见的死亡福利类型为：Dn（W（t-n） ，A（t）-n） )=麦克斯（A（t）-n） ，W（t）-n） 死亡福利类型0，W（0），死亡福利类型1，最大（W（0），W（t-n） ），死亡福利类型2，W（t-n） ，死亡福利类型3。（20） 一些保险公司调整了死亡抚恤金的初始保费W（0）。对于某些保单，死亡抚恤金的类型可能会在某个年龄发生变化，例如死亡抚恤金类型1或类型2可能会变为类型0，从而使死亡抚恤金在某个年龄到期（例如75岁）。死亡抚恤金可以在其他一些担保的基础上提供，合同可以提供配偶续约选项，允许尚存配偶续约。合同可能有累积阶段，死亡福利可能会增加，以及延续阶段，死亡福利保持不变。Milevsky和Posner（2001）、B’elanger等人（2009）、Luo和Shevchenko（2015b）等都考虑了GMDB的定价。5公平定价——退出前时间tn的状态向量为Xn=（W（t-n） ，A（t）-n） ，In）和X=（X，…，XN）。给定退出策略γ=（γ，…，γN-1） ，有担保的VA合同的总体支付现值是状态向量（X，γ）=B0，NHN（XN）+N的函数-1Xn=1B0，nfn（Xn，γn）。（21）这里，HN（XN）=PTW（T）-), A（T）-)×1In=1+DNW（T）-), A（T）-)×1In=0（22）是合同到期时的现金流，fn（Xn，γn）=efn（W（t-n） ，A（t）-n） ，γn）×1In=1+DnW（t）-n） ，A（t）-n）×1In=0（23）是时间tn的现金流。此外，Bi，jis是tjto tiBi的贴现系数，j=exp-Ztjtir（t）dt, tj>ti。（24）5.1定价为随机控制问题设Qt（W，A）是在时间t，当W（t）=W，A（t）=A且投保人活着时，有担保的VA合同的价格。

为了简单起见，如果投保人还活着，则在函数参数中使用wedrop DETARITY state变量In=1。假设金融风险可以通过持续对冲来消除。还假设通过向许多同龄人出售合同，死亡风险完全分散，即L个投保人的合同报酬（X，γ）的平均值收敛到EIt[H（X，γ）]作为L→ ∞, 其中I是与死亡过程I，I。。然后，给定退出策略γ下的合同价格可以计算为q（W（0），A（0））=EQ，It[H（X，γ）]。（25）这里，EQ，It[·]表示对状态向量X的期望，以时间t的可用信息为条件，即关于风险中性概率测度Q下的金融风险资产过程，以及关于真实概率测度i下的死亡过程。那么，VA担保收取的α的公平费用值对应于Q（W（0），A（0））=W（0）。也就是说，一旦给定α的Q（W（0），a（0））的定价被开发出来，那么就需要一个数字根搜索算法来确定公平费用。退出策略γ可以取决于时间和状态变量，并假设在（25）中计算合同价格时开始。退出策略分为静态、最优和次优静态策略。在该策略下，保单持有人的决策在合同开始时确定，不取决于财富和福利基础账户的演变。例如，投保人仅在合同期限内退保最佳策略。在最优取款策略下，取款金额γ的决定取决于时间tn的可用信息，即取决于状态变量Xn。

最优策略计算为γ*（十） =argsupγ∈AEQ，It[H（X，γ）]，（26），其中上确界接管所有容许策略γ。与γ不同的任何其他策略γ（X）*（十） 被称为次优。假设状态变量X=（X，…，XN）是一个马尔可夫过程，合同支付由通式（21）表示，在最优退出策略（26）下计算合同价值（25）是一个标准的受控马尔可夫过程最优随机控制问题。注意，控制变量γ影响潜在财富W（t）过程从t到t的转变规律-nto t-n+1，因此过程受到控制。关于金融中随机控制问题的良好教科书处理，请参见B–auerle和Rieder（2011）。这类问题可以递归解决，以在n=n时，在tnwhenXn=x处找到合同价值Qtn（x）- 1.通过反向感应贝尔曼方程qtn（x）=supγn得到0∈一fn（x，γn）+Bn，n+1ZQtn+1（x）Ktn（dx | x，γn）, （27）从最终条件QT（x）=HN（x）开始。这里，Ktn（dx | x，γn）是随机核，表示在时间tn+1时，如果退出（行动）γ在时间tn的状态x中应用，则在dx中达到状态的概率。显然，在静态策略γ的情况下，上述反向归纳也可用于计算公平合同价格；在这种情况下，允许策略的空间只包含一个预先定义的值，而sup（·）变得多余。为清楚起见，请表示Qt-n（·）和Qt+n（·）分别是事件时间之前和之后的合同值。

然后，在计算了与+1in（27）中的死亡率状态变量相关的期望值之后，所需的反向递归可以显式地重写为qt+n（W，A）=（1）- qn+1）EQt+nBn，n+1Qt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1）|W、 A+qn+1EQt+nBn，n+1Dn+1W（t）-n+1），A（t-n+1）|W、 A（28）带着跳跃-n（W，A）=最大γn∈一efn（W，A，γn）+Qt+nhWn（W，A，γn），hAn（W，A，γn）. （29）该递归在n=n时求解- 1，N- 2.0，从到期日开始-N（W，A）=PT（W，A）。5.2替代解决方案假设死亡率和金融资产过程是独立的，并且提取决策不影响死亡率过程，可以计算与死亡率过程相关的支付（21）的预期值，eH（W，A）=EIt[H（X，γ）]，然后计算最优策略supγEQt[eH（W，A）]或给定策略EQt[eH（W，A）]下的价格。很容易发现eh（W，A）=B0，NpNPTW（T）-), A（T）-)+ qNpN-1DNW（T）-), A（T）-)+N-1Xn=1B0，npnefn（W（t）-n） ，A（t）-n） ，γn）+pn-1qnDnW（t）-n） ，A（t）-n）, （30）式中pn=Pr[τ>tn |τ>t]和qnpn-1=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>t]表示随机死亡时间τ，即pn=pn-1(1 - qn）。请注意，之前我们定义了qn=Pr[tn-1< τ ≤ tn |τ>tn-1].付款人（30）的一般形式与付款人（21）相同。因此，最优随机控制问题ψt（W（0），A（0））=supγEQt[eH（W，A）]可以使用贝尔曼方程（27）求解，从而得到以下显式递归ψt+n（W，A）=EQt+nhBn，n+1ψt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1）|W、 Ai，（31）ψt-n（W，A）=最大γn∈一pnefn（W，A，γn）+pn-1qnDn（W，A）+ψt+nhWn（W，A，γn），hAn（W，A，γn）, （32）对于n=n- 1，N- 2.

，0，从ψt开始-N（W，A）=pNPT（W，A）+pN-1qNDN（W，A）。很容易验证这种递归导致的解ψt（W，A）=Qt（W，A）与从递归（28–29）中获得的γ的最优策略相同，注意到ψt-n（W，A）=pnQt-n（W，A）+pn-1qnDn（W，A）。结果有些明显，因为upγEQ，It[H（X，γ）]=supγEQtEIt[H（X，γ）]. （33）注意，supγEQ，It[H（X，γ）]6=EItsupγEQt[H（X，γ）]. 也就是说，我们无法在以死亡时间为条件的最优策略下找到价格，然后在随机死亡时间上求平均值，这将导致结果大于Qt（W，A），参见Luo和Shevchenko（2015b）。5.3关于退出策略的评论基于最优保单持有人退出的担保费用是发行人最糟糕的情况，也就是说，如果对担保进行了对冲，那么该费用将确保发行人不会遭受损失（换句话说，针对投保人策略和市场不确定性的全面保护）。当然，这是在给定的基础风险资产随机模型假设下进行的。如果发行人持续进行套期保值，但投资者偏离最优策略，则发行人将获得保证利润。任何不同于最优策略的策略都是超优策略，并将导致较小的公平费用。当然，这种意义上的最优策略与投保人的情况无关。政策持有者可能会根据自己的偏好和情况采取最佳行动，但这可能不同于（29）中计算的最佳策略。另一方面，正如Hilpertet al.（2014）所指出的，与股票挂钩的保险产品的二级市场（保单持有人可以在那里出售其合同）正在增长。

因此，金融第三方可以通过对冲策略，从未根据最优退出策略的最坏情况假设定价的金融产品（如VA骑手）中获得潜在的担保利润。因此，为VA车手开发二级市场将导致发行公司收取的费用增加。Knoller等人（2015年）对日本VA市场中的投保人行为进行了实证研究，结果表明，担保的货币性对退保率具有最大的解释力。引入合理的次优取款模型的一种方法是假设保单持有人遵循默认策略，在每次事件发生时提取合同金额，除非最优取款的额外值大于θ×Gn，θ≥ 0.设置θ=0对应于最佳策略，而θ 1导致以合同价格撤资的策略。这是福赛斯和维特扎尔（2014）以及切尼等人（2008）所考虑的方法。更复杂的方法是指定一个生命周期效用模型，根据投保人的情况和偏好确定最优策略，这是Moenig（2012）研究的方法；霍恩·弗夫等人（2015年）；高和乌尔姆（2012）；Stein和Mitchell（2015）。在任何情况下，一旦战略被指定（根据经验或其他模型估计），人们可以使用（29）计算公平价格和公平费用，且可接受的战略空间仅限于指定的战略。5.4税收考虑从VA类型合同中撤回可能会引起国家和个别特定ZF税收。Moenig和Bauer（2015）证明，含税对退伍军人保障的价值有显著影响。他们开发了一种主观风险中性估值方法，并得出了与经验市场价格一致的结果。

紧随toMoenig和Bauer（2015）之后，我们引入了一个额外的状态变量R（t）来表示税基，即仍然可以免税提取的金额，并假设所有事件时间∈ 给保单周年纪念日涂上皮重。初始保费假定为税后保费，税费适用于未来投资收益（而非初始投资）。将边际所得税税率表示为eκ，将VA合同之外的投资产生的边际资本利得税表示为κ。假设从VA获得的收入被视为普通收入，提款按后进先出的方式征税。因此，如果财富账户W（t-n） 超过税基R（t-n） ，任何提款不超过W（t-n）- R（t）-n） 将在eκ税率征税，且不会影响税基；较大规模的提款将不纳税，但将减少税基。具体而言，税基将在提款时间tnasR（t+n）=R（t）改变-n）- 最大值γt- 最大值（W（t）-n）- R（t）-n） ，0），0.投保人收到的现金流将减少taxestax=eκminefn（W（t）-n） ，A（t）-n） ，γn），最大（W（t-n）- R（t）-n） ，0）,i、 e.必须对第4efn（W（t）节中列出的合同规范进行以下更改-n） ，A（t）-n） ，γn）→efn（W（t）-n） ，A（t）-n） ，γn）- 税Moenig和Bauer（2015）通过使用参数复制tn的税前现金流和tn+1的税后现金流，表明Qt+n（W，A，R）不应被视为直接预期（28），而应被视为以下非线性方程的解Qt+n（W，A，R）=EQt+nV（t）-n+1）| W，A，R+κ1 - κEQt+n最大值V（t）-n+1）- Bn，n+1Qt+n（W，A，R），0W、 A，R, （34）其中v（t）-n+1）=（1）- qn+1）Bn，n+1Qt-n+1W（t）-n+1），A（t-n+1），R（t）-n+1）+qn+10亿，n+1亿+1W（t）-n+1），A（t-n+1），R（t）-n+1）.

（35）从投保人的角度来看，这被称为主观估值，取决于投资者当前的状况（包括可能的税收责任）和税率。Moenig和Bauer（2015）中的数字样本表明，以上述方式计算税费的VA担保价格低于忽略税费的VA担保价格（这并不奇怪，因为它会导致次优策略），使得价格总体上更符合市场观察到的价格。6 VA骑手的数值估值对于具有离散事件（如棘轮和最优取款）的真实VA骑手，不存在封闭形式的解决方案，即使在风险资产的简单几何布朗运动过程中，公平价格也必须进行数值计算。一般来说，可以使用偏微分方程、直接积分或回归类型的MC方法，其中向后递归（28–29）是数值求解的。当然，如果退出策略已知，那么我们可以使用标准MC来模拟状态变量，直到合同到期或保单持有人死亡，并对许多独立变现的现金流进行平均。该标准程序众所周知，无需进一步讨论。在本节中，我们简要回顾了可用于评估VA车手的不同数值方法。然后，我们提供了直接积分方法的详细描述，当底层资产的转移密度或事件时间之间的时刻以闭合形式已知时，该方法可以非常高效且易于实现。

最后，在第6.5节中，我们介绍了对冲参数的计算（在文献中称为希腊人）。6.1数值算法Longsta off和Schwartz（2001）中介绍的基于模拟的最小二乘MC方法是针对不受控马尔可夫过程问题设计的，可用于解释合同提前退保，如Bacinello等人（2011）中所述。然而，如果涉及最佳退出策略，则不能使用该策略。这是因为动态取款会影响基础财富账户的路径，因此无法进行反向归纳中后续回归所需的正向模拟步骤。然而，正如最近在Kharroubiet al.（2014）中开发的那样，应该可以应用扩展最小二乘MC的控制随机化方法来处理带有受控马尔可夫过程的最优随机控制问题。其想法是首先模拟控制（取款）和状态变量，并在时间上向前，其中控制是独立于其他变量进行模拟的。然后，对模拟的状态变量和控制进行回归，以估计期望值（28），并使用（29）确定最佳提取。然而，尚未研究这种方法对收益型产品定价的准确性和稳健性。通常，所需回归步骤的基函数的选择将对性能产生重大影响。

我们还注意到，在退出策略容许空间的一些简单情况下，例如bang-bang（不退出、按合同利率退出或完全放弃），可以对最小二乘法MC进行其他修改，如Huang和Kwok（2015）中对GLWB附加条款的定价。预期值（28）也可以使用PDE或直接积分方法计算。在这两种情况下，建模者将状态变量的空间离散化，然后计算每个网格点的合同值。在假设风险中性过程下，计算风险资产S（t）的预期值（28）的偏微分方程（PDE）很容易用Feynman-Kactheorem推导出来；关于这一主题的良好教科书处理方法，参见例如比约克（2004）。然而，在高维情况下，得到的偏微分方程可能难以求解，甚至不实用。特别是，在风险资产（4）的几何布朗运动过程中，事件时间之间的控制PDE是一维Black-Scholes PDE，每个事件时间的跳跃条件将相邻时间段的价格联系起来。由于收益基本状态变量A（t）在区间（ti）内保持不变-1，ti），i=1，2，N、 合同价值Qt（W，A）满足以下PDE，且不明显依赖于A，Qt+σWQW+（r- α） WQW- rQ=0。（36）该偏微分方程可以使用Crank-Nicholson有限差分格式，在合同事件时间应用跳跃条件（29）进行数值求解。例如，Dai等人（2008年）和Chen and Forsyth（2008年）就离散最优取款对GMWB进行了定价。当然，如果波动率或/和利率是随机的，那么PDE将增加额外的维度，使其更难求解。