最优条件下可变年金担保的统一定价

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英文标题：
《A unified pricing of variable annuity guarantees under the optimal
  stochastic control framework》
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作者：
Pavel V. Shevchenko and Xiaolin Luo
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  In this paper, we review pricing of variable annuity living and death guarantees offered to retail investors in many countries. Investors purchase these products to take advantage of market growth and protect savings. We present pricing of these products via an optimal stochastic control framework, and review the existing numerical methods. For numerical valuation of these contracts, we develop a direct integration method based on Gauss-Hermite quadrature with a one-dimensional cubic spline for calculation of the expected contract value, and a bi-cubic spline interpolation for applying the jump conditions across the contract cashflow event times. This method is very efficient when compared to the partial differential equation methods if the transition density (or its moments) of the risky asset underlying the contract is known in closed form between the event times. We also present accurate numerical results for pricing of a Guaranteed Minimum Accumulation Benefit (GMAB) guarantee available on the market that can serve as a benchmark for practitioners and researchers developing pricing of variable annuity guarantees.
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中文摘要：
在本文中，我们回顾了许多国家向散户投资者提供的可变年金生前和死后担保的定价。投资者购买这些产品是为了利用市场增长和保护储蓄。我们通过最优随机控制框架给出了这些产品的定价，并回顾了现有的数值方法。对于这些合同的数值估值，我们开发了一种基于高斯-埃尔米特求积的直接积分方法，使用一维三次样条计算预期合同价值，并使用双三次样条插值在合同现金流事件时间内应用跳跃条件。与偏微分方程方法相比，如果在事件时间之间以闭合形式已知合同下风险资产的转移密度（或其矩），则该方法非常有效。我们还提供了市场上可用的最低累积保障（GMAB）担保定价的准确数值结果，可作为制定可变年金担保定价的从业者和研究人员的基准。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> A_unified_pricing_of_variable_annuity_guarantees_under_the_optimal_stochastic_co.pdf (801.3 KB)

2022-5-11 06:43:26 上传

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关键词：Differential Quantitative Practitioner accumulation Researchers

最佳随机控制框架下可变年金担保的统一定价Pavel V.Shevchenko和Xiaolin Loo论文草稿：2016年4月16日CSIRO Australia，电子邮件：Pavel。Shevchenko@csiro.auCSIRO澳大利亚，电子邮件：小林。Luo@csiro.auAbstractIn本文回顾了许多国家为零售投资者提供的可变年金生死攸关担保的定价。投资者购买这些产品是为了利用市场增长和保护储蓄。我们通过最优随机控制框架给出了这些产品的定价，并回顾了现有的数值方法。对于这些合同的数值评估，我们开发了一种基于高斯-埃尔米特求积的直接积分方法，使用一维三次样条计算预期合同价值，使用双三次样条插值在合同现金流事件时间内应用跳跃条件。与偏微分方程方法相比，如果在两个事件时间之间已知合同下风险资产的转移密度（orits矩），则该方法非常有效。我们还提供了市场上可用的最低累积收益担保（GMAB）定价的准确数值结果，可作为制定可变年金担保定价的从业者和研究人员的基准。关键词：可变年金、保证生死攸关福利、保证最小累积福利、最优随机控制、直接积分法。1简介世界各地的许多财富管理和保险公司都提供称为可变年金（VA）的投资产品，并提供一些生前和死亡福利保障，以帮助投资者管理退休前和退休后计划。

这些产品在利用市场增长的同时，为储蓄提供保护，防止市场衰退。保险公司从20世纪90年代开始在美国提供这些产品。后来，这些产品在欧洲、英国和日本很受欢迎，最近在澳大利亚也很受欢迎。投保人收到的VA合同现金流与投资组合选择和绩效（例如共同基金及其策略的选择）有关，而传统年金则提供预先定义的收入流，以换取一次性付款。根据LIMRA（人寿保险和市场研究协会）的报告，VA市场规模巨大：2011年VA在美国的销售额为1580亿美元，2012年为1470亿美元，2013年为1450亿美元。为投资组合提供的VA担保类型（在文献中称为VA附加条款）分为担保最低提取福利（GMWB）、担保最低累积福利（GMAB）、担保最低收入福利（GMIB）和担保最低死亡福利（GMDB）。这些担保一般被称为GMxB，提供了不同类型的保护，防止市场低迷和投保人死亡。无论合同期间的投资表现如何，GMWB允许从VA账户提取资金，最高限额为预先规定的限额；GMAB和GMIB都在合同到期时提供担保投资账户余额，可以分别作为一次性或标准年金。担保终身提取福利（GLWB）是GMWB的一种特殊类型，只要投保人活着，就可以按照合同规定的利率提取资金。如果投保人死亡，GMDB将提供特定的付款。

每种类型产品的精确规格可能因公司而异，有些产品可能包括这些保证的组合。Baueret等人（2008年）、Ledlie等人（2008年）和Kalberer and Ravindran（2009年）对VA产品及其市场发展进行了全面介绍。学术文献中已经有很多关于这些产品定价的论文。其中大多数都集中在为退保和退保中预先确定的（静态）投保人行为下的VA乘客定价。一些研究包括主动（动态）策略下的定价，即投保人在每个提款日期根据该日期的可用信息“最佳”决定提款金额。标准蒙特卡罗（MC）方法可以很容易地用于在预先定义的退出策略的情况下估计价格，但处理动态策略需要在时间上向后解决，这只能通过偏微分方程（PDE）、直接积分或回归型MC方法来完成。简言之，Milevsky和Salisbury（2006年）、Dai等人（2008年）以及Chen和Forsyth（2008年）都开发了基于PDE的静态和动态退出策略下的定价。Bauer等人（2008年）开发了一种通过MCA和直接积分方法进行数值估计的统一方法。直接积分法在卢奥和舍甫琴科（2015a，b）中进一步发展，使用高斯-埃尔米特求积和三次插值。Bacinello等人（2011年）考虑了在随机利率和随机波动下，如果投保人按照预先确定的合同利率提款或完全放弃合同，许多VA附加条款。它们的定价由普通MC或最小二乘MC来完成，以考虑最优放弃。

通常情况下，VA骑手的定价是在合同下风险资产的几何布朗运动假设下考虑的，尽管一些论文研究了随机利率和/或随机波动性等扩展，如Forsyth和Vetzal（2014）、Luo和Shevchenko（2016）、Bacinello等人（2011）、Huang和Kwok（2015）。Azimzadeh和Forsyth（2014）证明了GLWBcontract存在一个最优的bang-bang控制，当合同持有人只能通过执行不撤销、以合同利率撤销或完全放弃来最大化合同作者的损失时。然而，他们也证明了相关的GMWB合同不满足bang-bang原则，除了确定退化案例。Huang和Kwok（2015）开发了一种基于回归的MC方法，用于在随机波动的情况下，根据bang-bang策略对GLWB进行定价。Luo和Shevchenko（2015c）研究了bang-bang策略下的GMWB定价。应用Longsta ff和Schwartz（2001）中引入的众所周知的最小二乘法MC为最佳策略下的VA乘客定价存在困难，这是因为基本VA财富账户的路径受到取款的影响。原则上，我们可以应用扩展最小二乘MC的控制随机化方法来处理带有受控马尔可夫过程的最优随机控制问题，这是Kharroubi等人（2014）最近开发的，但尚未研究该方法对VA乘客定价的准确性和鲁棒性。上述文献中的一个常见观察结果是，最优策略下的定价通常会导致价格显著高于市场上观察到的价格。

这些研究依赖于定量金融中的期权定价风险中性方法来确定公平的费用。这里的基本思想是确定动态自我融资复制投资组合的成本，该投资组合旨在提供至少等于合同支付金额的金额。建立这种对冲策略的成本是合同的无套利价格。这是在合同持有人采取最优策略（使合同货币价值最大化的行使策略）的假设下进行的。如果买方遵循任何其他行使策略，如果进行持续套期保值，合同编写人将产生保证利润。当然，这种意义上的最优策略与投保人的情况无关。在担保定价时，考虑有关投资者提款策略的其他假设是合理的。这是因为投资者可能会遵循看似次优的策略，而该策略不会使期权的货币价值最大化。这可能是由于流动性需求、税收和其他个人情况等原因造成的。此外，合同发行人通过向许多人出售许多合同，而投保人却无法做到这一点，从而分散了风险。此外，VAs可能没有流动的二级市场，在该市场上，保单可以按公允价值出售（或回购）。投保人可能会根据自己的偏好和情况采取最佳行动，但这可能不同于使合同货币价值最大化的最佳策略。在这种情况下，我们计算将扣除的公平费用，以便在特定行使策略的假设下，为嵌入合同中的担保（期权）的动态复制投资组合融资。

复制投资组合将提供充足的资金，以满足因签订合同而产生的任何未来支出。然而，在投资者以最佳方式实现担保价值最大化的假设下获得的公平费用并不提供一个重要的基准，因为这是合同撰写人最糟糕的情况。此外，正如Hilpert等人（2014年）所指出的，二级市场与外汇挂钩的保险产品（投保人可以在这里出售其合同）正在增长。因此，第三方可以通过对冲策略，从未在最优退出策略假设下定价的金融产品（如VA骑手）中潜在地产生担保利润。Knoller等人（2015年）提到几家公司最近因退保率增加而蒙受了巨大损失，这表明要么收取的费用不够大，要么对冲计划没有按预期执行。分析VA持有人的退出行为并评估这些产品的需求的一种方法是解决考虑消费、住房、遗赠等现实生活情况的生命周期效用模型。开发一个包含所有偏好和所需参数的完整生命周期模型是一项挑战，但已有几篇文章报道了这方面的一些有趣发现：Moenig（2012）；霍恩·弗夫等人（2015年）；高和乌尔姆（2012）；Steinoth和Mitchell（2015）。本文不考虑这个话题。

同样重要的是要注意Moenig和Bauer（2015）最近的一篇论文，该论文通过主观风险中性估值方法，考虑了在存在税收的情况下，最优策略下的定价。他们证明，含税对VA提款担保的价值有显著影响，产生与经验市场价格一致的结果。在本文中，我们回顾了VAs提供的生前和死亡福利担保的定价，并提出了一个统一的最优随机控制框架来为这些合同定价。主要思想已经形成，并以某种形式出现在其他一些论文中。然而，我们相信我们的演示更容易理解和实施。我们还提出了一种直接积分方法，该方法通过应用于三次样条插值的高阶高斯-厄米特积分求积，在向后的时间步中计算期望的合同值。当合同现金流事件日期或其时刻之间的基础资产转移密度以封闭形式已知时，可采用该方法。我们已将其用于为特定金融衍生品定价，以及洛伊和舍甫琴科（2014、2015a）的VA担保的一些简单版本。在这里，我们调整并扩展了该方法，以处理pricingVA车手的一般情况。作为一个数字示例，我们计算了GMAB的准确价格，并考虑了可能的年度棘轮（如果在周年日担保资本大于投资组合价值，则将担保资本重置为投资组合价值），并允许最佳提款。我们考虑的合同在规格上与在澳大利亚销售的真实产品非常相似，例如MLC（2014）和AMP（2014）。在为该品种定价时遇到的数字困难在其他VA担保中很常见，同时，该产品的综合数字定价结果在文献中不可用。

这些结果（报告的参数范围）可以作为制定VA车手数字定价的从业者和研究人员的基准。在下一节中，将给出VA骑手的一般规格。在第3节中，我们讨论了用于这些产品定价的随机模型。第4节为一些流行的VA骑手提供了精确的规格。在第5节中，我们概述了作为最优随机控制问题解决方案的公平价格和公平费用的计算。第6节介绍了VA乘客定价的数值方法和算法。在第7节中，我们给出了GMAB车手公平待遇的数值结果。第8.2节VA附加条款合同规范中给出了结论性意见。考虑到一份VA合同，该合同为一名X岁的个人在t=0时购买的生死攸关福利提供了一些担保，并在t时将预付保费投资于风险资产（如共同基金），表示为S（t）≥ 0.退伍军人协会附加条款包括退伍军人、棘轮（升级）、奖金（升级）、死亡抚恤金支付等事件发生的日期。这些事件的准确定义取决于合同，第4节将提供相应的示例。我们假设撤销只能发生在有序事件时间T={T，…，tN}的集合上，其中T=tN是合同到期日。此外，当棘轮可能发生时，保单周年纪念集被表示为Trand，并被假定为T的子集。为了简单起见，我们假设所有其他事件可能只发生在退出日期。在t时，有担保的VA合同的价值由三个主要状态变量决定财富账户W（t），与风险资产（t）相关的投资账户的价值，并被建模为随机过程担保账户A（t），在文献中也被称为收益基础。

事件时间之间没有变化，但根据合同特征，事件时间W（t）中的随机性可以是随机的离散状态变量∈ {1, 0, -1} 对应于投保人的状态是：在tn居住，在（tn）期间死亡-或在tn之前或在tn时死亡-1相应地。表示（tn）期间的死亡概率-1，tn]作为qn=Pr[In=0 | In-1=1]，即Pr[In=1 | In-1= 1] =1 - qn。请注意，QN取决于t=0时合同持有人的年龄，因此取决于t=0时的年龄x。如果利率和/或波动率是随机的，但在合同事件时间不受影响，通常不输入合同现金流公式，则需要其他状态变量；这些将不会被明确考虑。还需要额外的状态变量来跟踪atax自由基，以考虑税收；这将在第5.4节中考虑。原则上，VA中包含的不同担保可能有不同的基本状态变量。为了简单起见，同时从实际角度来看，我们假设VA中的所有担保都连接到同一福利基础账户。最初，W（0）和A（0）被设置为等于预付费。允许合同持有人在时间tn，n=1，N- 1.