最优条件下可变年金担保的统一定价

Forsythand Vetzal（2014）使用偏微分方程方法计算了随机制度转换波动率和利率情况下的VA骑手价格。在直接积分法下，期望值（28）计算为通过空间网格点上的求和近似的积分，参见Bauer等人（2008）。存在更有效的求积方法（需要更少的点来近似积分）。特别是，在风险资产的几何布朗运动过程中，使用Luo和Shevchenko（2014）中提出的高斯-埃尔米特求积以及Luo和Shevchenko（2015a）中的GMWB定价是非常有效的。第6.3节详细描述了VA乘客的一般定价方法。当基础资产在事件时间或其时刻之间的转移度以封闭形式已知时，可以应用该方法。它相对容易实现，计算速度也比PDE方法快，因为后者需要在事件时间之间有许多时间步长。在Luo和Shevchenko（2016）中，这种方法也被用于计算Vasicek模型下随机利率情况下的GMWB。在PDE和直接积分方法中，需要一些插值方案来实现跳跃条件（29），因为位于离散化空间网格点的状态变量在跳跃事件后不会出现在网格点上。这将在第6.4节中详细讨论。当然，如果潜在的随机过程比几何布朗运动（4）更复杂，并且不允许有效地计算传递度或其矩，则可以使用偏微分方程方法。在第7节GMAB定价的数值示例中，我们采用了一种直接积分方法，该方法基于应用于三次样条插值的高斯-埃尔米特积分求积，以下简称GHQC。

出于测试目的，我们还实施了CrankNicholson有限差分（FD）方案，用跳跃条件（29）求解PDE（36）。6.2总体算法描述PDE和直接积分数值方案都从t=t时合同值的最终条件开始-. 然后，使用（28）或求解t=t+N时合同价值的对应PDEgives解进行反向时间步进-1.将跳跃条件（29）应用于t=t+N时的解-1在t=t时给出解-N-1从中进一步向后，时间递归给出t的解。为简单起见，假设只有W（t）和A（t）状态变量。然后，数值算法将采取以下关键步骤。算法6.1（直接积分法或PDE法）o步骤1。生成一个辅助有限网格0=A<A<···<aj，以跟踪收益平衡A.o步骤2。将财富账户余额与空间离散为W<W<··<W，以生成计算预期的网格（28）。o第三步。在t=tN时，将最终条件应用于每个节点（Wm，Aj），j=1，2，J、 m=1，2，我要得到Qt-N（W，A）。o第四步。评估每个Aj的积分（28），j=0，J、 获得Qt+N-1（W，A）使用直接积分或求解偏微分方程。在直接积分法的情况下，这涉及W空间中的一维插值，以找到Qt的值-N（W，A）在不同于网格点的网格点处第五步。应用跳跃条件（29）以获得Qt-N-1（W，A）表示γN的所有可能值-1发现γN-1最大化Qt-N-1（W，A）。一般来说，这涉及（W，a）空间中的二维极化第六步。对t=tN重复步骤4和5-2，田纳西州-3.t、 o第7步。

在W=W（0）和A（0）时，评估从tto到获得解决方案Q（W，A）的向后时间步长的积分（28），或者如果计算某些对冲敏感性（如第6.5节中讨论的Delta和Gamma）需要这些积分，则可以在几个点上进行积分。在第7节中的数值例子中，我们实现了基于高斯-埃尔米特求积的直接积分法，我们使用了第4步中处理积分所需的一维三次样条插值和第5步中处理跳跃条件所需的双三次样条插值。如果模型中的其他随机状态变量（类似于W）在合同事件时间之间随机变化，如随机波动率和/或随机利率，则应生成这些额外维度的网格，且所需的积分或PDEto评估（28）将具有额外维度。此外，额外的辅助状态变量（类似于toA）在合同事件时间之间保持不变，如税基和/或额外福利基数，将需要在网格中增加额外维度，并在事件时间对跳跃条件进行插值。我们必须考虑由于退出和市场运动，W（t）变为零的可能性，因此必须使用下限W=0。上限Wm应设置为远离时间零点W（0）时的初始财富。一个好的边界选择可以基于S（T）分布的高分位数。例如，在几何布朗运动过程（5）的情况下，可以保守地设置wm=W（0）e | mean（ln（S（T）/S（0）））|+5×stdev（ln（S（T）/S（0））。通常，在ln W空间中使用等间距网格更有效。在这种情况下，Wc不能设置为零，而是应该设置为一个非常小的值（例如W=10）-10).

此外，对于someVA车手来说，在一个空间中使用等间距网格也更有效。6.3直接积分法为了计算Q（W（0），A（0）），我们必须评估递归（28）中的期望值。假设W（t）的条件概率密度-n） 给定W（t+n）-1） 以闭式epn（w | w（t+n）表示-1） ），所需的期望值（28）可以计算为qt+n-1.W（t+n）-1） ，A=Z+∞epn（w | w（t+n）-1） ）eQt-n（w，A）dw，（37）其中-n（w，A）=Bn-1，n(1 - qn）Qt-n（w，A）+qnDn（w，A）.可以使用各种数值积分（求积）方法估计上述积分。请注意，我们总是可以找到W（t-n） 作为标准正态随机变量Z asW（t）的变换-n） =ψ（Z）：=F-1n（Φ（Z）），其中Φ（·）是标准正态分布，Fn（·）和F-1n（·）是分布，是W（t）的倒数-n） 。然后，积分（37）可以重写为qt+n-1.W（t+n）-1） ，A=√2πZ+∞-∞E-泽克特-n（ψn（z），A）dz。（38）这类被积函数非常适合高斯-厄米求积，对于任意函数f（x），它给出了以下近似值Z+∞-∞E-xf（x）dx≈qXi=1λ（q）if（ξ（q）i）。（39）这里，q是埃尔米特多项式的阶数，ξ（q）i，i=1，2，q是厄米多项式Hq（x）的根，相关权重λ（q）i由λ（q）i=q给出-1q！√πq[Hq]-1（ξ（q）i）]。如果函数f（x）没有奇点，这种近似积分可以很好地工作，如果f（x）由一个2q次多项式表示，它可以精确地计算积分- 1或更少。注意Eqt（w，·）仅在网格点Wm，m=0，1，M和插值需要估计正交点处的Eqt（w，·）。

根据我们在pricingdi不同VA担保方面的经验，我们建议使用自然三次样条插值，该插值在一阶导数中光滑，在二阶导数中连续；二阶导数假设在上限以上的外推区域为零。当然，很难找到分布Fn（·）及其逆F-一般为1n（·）。在几何布朗运动过程（5）的情况下，跃迁密度epn（·|·）只是一个正态密度和w（t）-n） =ψn（Z）：=W（t+n-1） 经验（注册护士）- α -σn）dtn+σnpdtnZ.然后，高斯-厄米特求积在积分（37）计算中的直接应用给出了sqt+n-1.W（t+n）-1） ，A≈√πqXi=1λ（q）ieQt-Nψn(√2ξ（q）i），A, （40）应为每个网格点W（t+n）计算-1） =Wm，m=0，1，M.通常，要获得非常好的精度，需要最少数量的正交点；在下一节的数值示例中，我们使用q=9，但在q=5时也得到了非常好的结果。如果W（t+n）的跃迁密度函数-1） 到W（t）-n） 在封闭形式下是未知的，但一个人可以找到它的时刻，然后也可以通过匹配时刻的方法，以类似的效率和准确性进行积分，如罗和舍甫琴科（2014，2015a）所述。该方法在二维情况下也能很好地发挥作用，参见Luo和Shevchenko（2016），在随机利率的情况下，该方法被应用于GMWB定价。6.4跳跃条件应用在PDE或直接积分法中，必须在事件时间应用跳跃条件（29）以获得Qt-n（W，A）。对于最优策略，我们选择了一个值γn∈ 最大化价值Qt-n（W，A）。为了应用跳转条件，使用辅助有限网格0=A<A<···<AJ=wm来跟踪剩余的福利基本状态变量A。

对于每个Aj，我们使用（40）和插值关联一个连续解。一般来说，从（29）中可以看出，跳变条件使得确保跳变后的W和A值始终落在网格点上是不切实际的，如果不是不可能的话。因此，需要进行二维插值。在这项工作中，我们iW），（Njiwnaw） jAkA1灵魂jAWjAAA日本电报电话公司ntt W）、（AWQt）、（jitAWQ1）jAkA1kAiW 1iWmW 1mW），（njiAnAWhA） iW 1iW兆瓦1图1：跳跃条件的应用说明。t=t时的Qt（Wi，Aj）值-节点点（Wi，Aj）的nand等于t=t+nw且W=Wi时的Qt（W，A）- γnand A=Aj- C（γn）。点（W，A）位于由（Wm，Wm+1）和（Ak，Ak+1）限定的网格内。采用双三次样条插值以提高精度和效率。图1说明了跳转条件的应用。在a中形成一个统一的网格是很自然的，这样就可以在一个恒定增量δa=Aj+1上测试最佳退出策略-Aj，正如罗和舍甫琴科（2015a）在（8-9）规定的基本GMWB定价方面所做的那样。然而，大量的数值试验表明，如果使用a中的统一网格对带有棘轮和最优取款的GMAB进行定价（我们在第7节中的数值示例），那么a中的线性插值和三次插值都无法实现定价结果的高效收敛。在我们看到稳定的解决方案之前，必须使用非常细的网格，这可能需要几个小时才能获得合理的费用，这与基本GMWB形成鲜明对比，后者需要不到一分钟的计算机时间。另一方面，如果我们在Y=lna中使网格均匀，并使用基于变量Y的线性或三次插值，那么我们在一个中等精细的网格上获得了非常好的收敛性，并且公平费用的CPUtime约为30分钟（公平价格的几分钟）。

本研究中用于所有计算的CPU是Intel（R）Core（TM）i5-2400@3.1GHz。正如我们已经提到的，必须使用二维插值来应用跳跃条件。我们建议使用双线性插值或双三次样条插值，例如参见（Press et al.，1992，第3.6节），在这两种情况下，都应用于对数变换状态变量X=ln W和Y=ln a。对于本文中的数值示例，我们对所有数值结果采用了更精确的双三次样条插值。对于均匀网格，双三次样条的计算时间大约是一维三次样条的五倍。假设跳转条件需要位于网格内的点（W，A）处的值Q（W，A）：Wi≤ W≤ Wi+1和Aj≤ A.≤ Aj+1。等效地，点X=ln W和Y=ln A在网格内：ln Wi=xi≤ 十、≤ xi+1=ln Wi+1和ln Aj=yj≤ Y≤ yj+1=ln Aj+1。因为网格在X和Y变量中是一致的，所以二阶导数Q/桑德Q/Y可以通过三点中心差精确逼近，因此，对于任何一次插值，统一网格上的一维三次样条曲线只涉及四个相邻网格点。对于双立方线，我们可以首先在四个点Q（W，Aj）获得Q（·，·）-1） ，Q（W，Aj），Q（W，Aj+1），Q（W，Aj+2），通过对每个点在尺寸X=log W上应用一维三次样条，然后我们可以使用这四个值通过Y=log A的一维三次样条获得Q（W，A）。因此，单双三次样条插值需要五个一维三次样条插值，其中包括16个相邻（W，A）点的网格点。6.5根据风险中性概率度量Q计算（28）中的合同价格意味着可以找到复制VA担保的投资组合，即：。

进行对冲以消除财务风险。找到正确的套期保值取决于风险资产的基本随机模型。基本的套期保值是所谓的delta套期保值，消除了由于潜在风险资产S（t）的随机性而产生的随机性。在这里，我们将S（t）用作可交易资产，以对冲对财富账户W（t）的担保风险。你可以构建一个由货币市场账户和S（t）是S（t）的单位S（t）S（t）=W（t）W（t），其中W（t）是财富账户中被称为Delta的单位数。将VA担保的价值表示为Ut（W，A），这只是担保Qt（W，A）的合同价值与财富账户W的价值之间的差异，即Qt（W，A）=Ut（W，A）+W.（41）。然后，在delta对冲策略下，必须选择W（t）=Ut（W，A）W<=> S（t）=Ut（W，A）SWS表示合同事件时间之间的时间t。当然，如果模型中存在额外的随机性，如随机利率和/或随机波动性，则增量套期保值不会完全消除风险，需要使用额外资产进行套期保值，这是模型规范。参见。g、 Forsyth和Vetzal（2014），在制度转换随机波动率和利率的情况下构建套期保值。在存在额外随机因素的情况下，一种流行的主动对冲策略是最小方差对冲策略，其中选择W（t）是为了最小化投资组合瞬时变化的方差，例如，Huang和Kwok（2015）在随机波动率模型的情况下应用于HedgingLwm。从业人员还计算与利率和波动性（参考S Rho和V ega）有关的合同的其他敏感性（偏导数），甚至二次偏导数，如Gamma=Ut（W，A）/改进对冲策略。

在这里，我们建议读者参考金融衍生品定价领域的标准教科书，如Wilmott（2013）或Hull（2006）。合同敏感性的数值估算（称为希腊人）比合同价格的估算更困难。计算价格的一般标准方法是扰动相关参数并重新计算价格。然后可以使用两点中心差估计第一个导数，使用三点中心差估计第二个导数。总的来说，与蒙特卡罗方法相比，有限差分PDE（或直接积分）方法通常在计算希腊语时产生更高的精度（至少在低维情况下，当有限差分方法可行或可以直接积分时）。对于Delta和Gamma，有限差分法（或直接积分法）产生二阶精确值，而无需使用统一网格点上已计算的价格重新计算价格。使用以下所谓的似然法，可以实现对主要元素δ和γ的更精确计算。在反向归纳法中，在最后一个时间步（t，t）中作为积分（37）计算的tis合同价格。关于W（0）=W的差异（37），可以发现δ为Qt+（w，A）w=ZeQt-（w，A）ep（w | w）wdw=ZeQt-（s，A） ln ep（w | w）sep（w | w）dw=EQt+eQt-（W，A） ln ep（W | W）Ww、 A. （42）因此，可以使用与Q+t（s，A）相同的直接积分法，用系数计算 ln ep（W | W）/向被积函数走去。类似地，计算伽马所需的导数可以如下所示：Qt+（w，A）w=ZeQt-（w，A）W ln ep（w | w）wep（w | w）dw=ZeQt-（w，A） ln ep（w | w）W+ln ep（w | w）w#ep（w | w）dw=EQt+“EQt-（W，A） ln ep（w | w）W+ln ep（w | w）w#w、 A#。

（43）注意，Delta和Gamma的上述积分仅适用于（t，t）时间步长和单个网格点W（0）=W。此处，t应理解为当前合同估值时间，而不是合同启动时的时间。同样，对于使用有限差分法的偏微分方程方法，有时可以推导出希腊人的相应偏微分方程，并在最后一个时间步求解这些偏微分方程，参见Tavella和Randall（2000）。与蒙特卡罗方法类似，用于计算价格的模拟可用于计算（42）和（43）中预期的额外因子加权的德尔塔和伽马。说明了如何在基本Black-Scholes模型下推导套期保值组合。这里，我们假设基础风险资产S（t）遵循ds（t）=u（t）S（t）+σ（t）S（t）dBP（t），（44），其中BP（t）是物理（真实）概率测度下的标准布朗运动，u（t）是真实漂移。那么财富账户的演变是w（t）=（u（t）- α） W（t）+σ（t）W（t）dBP（t）。在这里，我们假设连续收取的费用与财富账户成比例，但处理离散收取费用的情况并不困难。为了对冲风险，担保书作者在S（t）的Sunits，即形成一个投资组合∏t=-Ut（W，A）+S×SBy伊藤引理，投资组合的变化（tn）-n=1，N平均∏t=-美国犹他州t+美国犹他州WdW+σS美国犹他州Wdt- SdS+αW dt，（45），其中最后一项αW dt是在dt上收取的费用金额。背景S=Ut（W，A）WWS=Qt（W，A）W- 1.WS（46）消除了（45）中的所有随机项，使投资组合局部无风险。这意味着投资组合以无风险利率r（t）收益，即d∏t=r∏tdt，导致PDE美国犹他州t+（r- α） W美国犹他州W+σS美国犹他州W- 车辙- αW=0。（47）替换为Ut（W，A）=Qt（W，A）-上文中的W给出了Qt（W，A）的PDE，即有担保合同的总价值，即。