最优做市商

（3.15），我们得到了ehu（T，Xt，x，δb，δaT）-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）+σSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）ds#+E“ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λb（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λa（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点.通过对u的定义，我们得到了u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTtu（S，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）-γtθ（s，qt，q，δb，δas）-) +γσqt，q，δb，δas-ds#+E“ZTt-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Q1.- 经验-γδbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Q1.- 经验-γδas+θ（s，qt，q，δb，δas-- ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#。通过定义θ，我们得到了不等式Ehu（T，Xt，x，δb，δaT，qt，q，δb，δaT，St，St）i=Ehu（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, 圣，圣）我≤ u（t，x，q，S），即- 经验-γ（Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）我≤ u（t，x，q，S）。此外，通过引理3.1，上述不等式if（δbs）s中存在等式≥tand（δas）s≥塔雷吉文（闭环）式（3.14）。因此，u实际上是值函数u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、 （δas）s≥T∈A（t）呃- 经验-γXt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）i、 最佳报价由等式（3.14）在闭环中给出。对于模型B，类似的结果也成立。定理3.3。让我们考虑等式（3.9）的解θ，终端条件（3.10）为ξ=0。然后，u：（t，x，q，S）7→ x+qS+θ（t，q）定义了方程的解。

（3.5）具有终端条件（3.6），且u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、 （δas）s≥T∈A（t）E“Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-γσZTtqt，q，δb，δasds#，其中A（t）是[t，t]上的一组可预测过程，从下面开始，其中dst，Ss=σdWs，St，St=S，dXt，x，δb，δas=（Ss+δas）脱氧核糖核酸- （Ss）- δbs）dNbs，Xt，x，δb，δat=x，dqt，q，δb，δas=dNbs- dNas，qt，q，δb，δat=q，其中点处理Nb和Nahave随机强度（λbs）沙（λas），由λbs=λb（δbs）1qs驱动-<Qandλas=∧a（δas）1qs->-Q.最佳报价和询问报价Sbt=St- δb*t（代表qt-< Q） Sat=St+δa*t（代表qt-> -Q） 由δb给出*t=δb*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ )δa*t=δa*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- ), （3.16）式中，函数δb*（·）和δa*（·）在等式中定义。（3.11）和（3.12）。证据让我们考虑一下t∈ [0，T）和两个过程（δbs）s≥tand（δas）s≥锡A（t）。我们有u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）=u（t，x，q，S）+ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds（3.17）+σZTtSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）dWs+σZTtSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）dNbs+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）DNA。如果几乎可以肯定的话s∈ [t，t），δbs≥ -C、 中兴通讯苏s、 Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, 圣路易斯ds#≤ E“ZTtqt，q，δb，δas-ds#≤ Q（T）- t） <+∞.我们还有“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<量子点≤ E“ZTt∧b（δbs）|δbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)|ds#≤ 2∧b(-C） kθkL∞（[t，t]×Q）（t）- t） +（T）- t） supδ>-C |δ|∧b（δ）≤ 2∧b(-C） kθkL∞（[t，t]×Q）（t）- t） +（t）- t） 麦克斯(C∧b(-C） ，Hb（0））<+∞.类似地，“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点< +∞.通过在情商中设定期望值。

（3.17），我们得到了ehu（T，Xt，x，δb，δaT）-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）+σSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）ds#+E“ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λb（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）-u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）λa（δas）1qt，q，δb，δas->-量子点.通过对u的定义，我们得到了u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）i=u（t，x，q，S）+E“ZTttθ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qδbs+θ（s，qt，q，δb，δas）-+ ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#+E“ZTt∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qδas+θ（s，qt，q，δb，δas-- ) - θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#。通过定义θ，我们得到了不等式Ehu（T，Xt，x，δb，δaT，qt，q，δb，δaT，St，St）i=Ehu（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, 圣，圣）我≤ u（t，x，q，S）+E“ZTtγσqt，q，δb，δas-ds#≤ u（t，x，q，S）+E“ZTtγσqt，q，δb，δasds#即E”Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-ZTtγσqt，q，δb，δasds#≤ u（t，x，q，S）。此外，通过引理3.1，上述不等式if（δbs）s中存在等式≥tand（δas）s≥塔雷吉文（闭环）式（3.16）。因此，u实际上是值函数u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、 （δas）s≥T∈A（t）E“Xt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）-ZTtγσqt，q，δb，δasds#，最优报价由等式（3.16）闭环给出。3.4对模型A和模型b的结果的评论，市场庄家面临的动态优化问题最初由一个汉密尔顿-雅可比-贝尔曼方程描述，该方程有4个变量：时间和3个状态变量（现金x、库存q和参考价格S）。计算四维HJB方程（如公式（3.1）或公式（3.5））的数值近似解总是很耗时。

因此，定理3.2和定理3.3中得到的结果非常有用：它们表明，a模型和B模型中做市商的最优报价实际上可以通过求解非线性微分方程的三对角系统来计算。这相当于将问题的维数从4降到2。此外，模型A和模型B的非线性常微分方程组是相似的：它们对应于等式（3.9）——终端条件（3.10）——模型A的ξ=γ，模型B的ξ=0。模型A和模型B的目标函数导致类似的方程，但理解两种建模方法之间的差异是有趣的。事实上，模型B中的惩罚项γσztqtdt导致了表征θ的ODS中的γσqin（当ξ=0时），由于做市商对价格风险的厌恶，该项也出现在与模型A相关的ODE中（当ξ=γ时）。然而，在模型A中，做市商不仅厌恶托普里斯风险，还厌恶没有找到交易对手的风险——这就是我们所说的非执行风险。确实有一个风险源来自过程（Wt）t，另一个风险源来自过程（Nbt）和（Nat）t，ModelA中的风险规避适用于这两种风险。换句话说，事情的运作就好像模型A的做市商厌恶这两种风险，而模型B的做市商只厌恶与价格变化相关的风险。

特别是，参数ξ可以被视为某种形式的风险规避参数，仅适用于非执行风险：在模型A的情况下，它等于γ，在模型B.4的情况下，它等于0。在[13]中，作者在∧B（δ）=∧A（δ）=Ae的特定情况下表明-kδ=：λ（δ）模型A中的最优报价存在一个远离T的渐近机制。换句话说，远离终端时间T，[13]中的最优报价由函数很好地近似，该函数只依赖于库存q，而不依赖于时间变量T。在实践中，在没有自然终端时间T的市场（如大多数交易商驱动的OTC市场）中，这一结果并不令人惊讶——甚至在某种程度上也令人放心——而且只应使用渐近公式。此外，[13]的作者提出了最优报价渐近值的闭式近似。在本节中，我们提出了新的近似公式，将[13]中获得的公式推广到更一般的强度函数集，以及模型a和模型B（在[13]中只考虑了模型a）。这些更一般的近似是基于启发式参数的，我们将在第6节的数值实验中看到它们是否令人满意。[13]的作者在这个案例中使用了线性常微分方程组（3.13） = 1和ξ=γ。4.1使用椭圆偏微分方程进行近似，以计算等式中给出的最佳报价。（3.14）和（3.16），第一步包括计算常微分方程组（3.9）的函数θ解，以及终端条件（3.10）。

为了近似最优报价，我们首先近似函数θ。为了进行我们的推理，我们假设强度函数∧带∧是相同的（等于∧），并且Hξ：=Hbξ=Haξ验证Hξ（0）>0。我们的启发式推理包括替换函数θ：[0，T]×Q→ R由函数θ[0，T]×R确定→ 并替换表征θ的常微分方程（3.9）系统，即0=-tθ（t，q）+γσq-1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )根据PDE0=-t~θ（t，q）+γσq- 2Hξ（0）-Hξ（0）(q~θ（t，q））+Hξ（0）qq~θ（t，q）。（4.1）此PDE来自 表达式0的-t~θ（t，q）+γσq-Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q+)!- Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q）- )!,适用于 = 1.我们已经确定了ξθ（t，q）-θ（t，q+)!+ Hξ∧θ（t，q）-θ（t，q）- )!= Hξ-q~θ（t，q）-qq~θ（t，q）+o()+ Hξq~θ（t，q）-qq~θ（t，q）+o()= 2Hξ（0）- Hξ（0）qq~θ（t，q）+Hξ（0）q~θ（t，q）+ o().通过考虑v（t，q）=exp-Hξ（0）Hξ（0）~θ（t，q）！，当ξ=0时，条件Hξ（0）>0总是得到验证（见引理3.1的证明）。一个有效的条件通常是δ ∈ R、 ξΛ(δ)Λ(δ)Λ(δ)< 1.例如，如果∧是凸的（指数强度进入该类别），则验证了该条件（通过使用引理3.1证明中的Hξ表达式获得）。我们在这里删除了与-另一种看待这种展开式的方法是考虑在 （在重新缩放Hξ后，阶数1的展开将对应于流体限制制度，其中非执行风险消失），并通过使用泰勒展开式的前三项（0）结合Hξ的近似值。非线性PDE（4.1）变为线性PDE0=t~v（t，q）-Hξ（0）Hξ（0）2Hξ（0）-γσq~v（t，q）- Hξ（0）qqv（t，q），（4.2），与我们的问题相关的终端条件是v（t，q）=expHξ（0）Hξ（0）`（|q |）！。情商。

（4.2）是线性偏微分方程，可以使用光谱理论的基本工具进行研究。我们的目标是研究当t趋于一致时v（t，q）的渐近行为，并使用在该渐近区域中获得的公式，以依次逼近v、θ、θ，并最终逼近最优报价（δb）*t） tand（δa）*t） t.4.2根据经典谱理论，对盖特·勒哈勒·费尔南德斯·塔皮亚公式的推广，我们知道＠v（t，q）~T→+∞（~v（T，·），~f）~f（q）exp（ν（T）- t） ），式中，ν和<<分别为函数<<f的最小值和最小值∈ {g∈ H（R），k)gkL（R）=1}7→Z∞-∞αxf（x）+ηf（x）dx，α=-Hξ（0）Hξ（0）γσ和η=-Hξ（0），其中（·，·）表示L（R）中的标量积。特别是，f（q）∝ 经验-rαηq.从＠v（t，q）~T→+∞C经验-rαηqexp（ν（T）- t） ，其中C是一个常数，与（t，q）无关，我们推导出：△θ（t，q）+Hξ（0）Hξ（0）ν（T）- （t）→T→+∞-Hξ（0）Hξ（0）日志（C）-rαηqi、 e.℃θ（t，q）+Hξ（0）Hξ（0）ν（T）- （t）→T→+∞-Hξ（0）Hξ（0）对数（C）-sγσ2Hξ（0）q！。可以通过等式（3.13）看到接近度。基本推理在于证明算子v 7→ -Hξ（0）Hξ（0）γσqv+Hξ（0）qq~v是一个带紧逆的正自伴随算子（详见[3]第6章）。因此，这个算子可以在正交基上对角化。通过使用[13]中的相同方法，可以证明其最小特征值是简单的。因此，我们考虑近似θ（t，q）- θ（t，q+)\'2q+sγσ2Hξ（0）和θ（t，q）- θ（t，q）- )\' -第二季度- sγσ2Hξ（0）。这些近似值与t和最终惩罚函数无关。它们可以插入Eqs。（3.14）和（3.16）以获得一般近似公式δb*t\'δb*大约（夸脱）-) :=~δ*ξ2qt-+ sγσ2Hξ（0）！（4.3）和δa*t’δa*大约（夸脱）-) :=~δ*ξ-2qt-- sγσ2Hξ（0）！，（4.4）式中√δ*ξ（p）=∧-1.ξHξ（p）-Hξ（p）.

（4.5）特别是，如果∧（δ）=Ae-kδ，然后∧δ*ξ（p）=p+ξ日志1 +ξK如果ξ>0p+kifξ=0，我们得到δb*大约（q）=ξ日志1 +ξK+第二季度+rγσ2AK1 +ξKkξ+如果ξ>0k+2q+qγσe2Akifξ=0，（4.6）和δa*大约（q）=ξ日志1 +ξK-第二季度-rγσ2AK1 +ξKkξ+1ifξ>0k-第二季度-qγσe2Akifξ=0。（4.7）特别是，我们在特殊情况下恢复 = 1和ξ=γ，业界常用的[13]和[15]的盖特-莱哈勒费尔南德斯-塔皮亚公式。4.3对近似值的评论上述获得的近似值值得几点评论。首先，在一般情况下（即，即使强度函数∧不是指数函数），近似几乎是接近形式的，因为它们只是参数和∧变换的函数。实际上，我们只需要计算∧-1，Hξ，Hξ和Hξ，以计算近似值（4.3）和（4.4）。其次，上述近似值能够更好地理解做市商的最优策略，以及不同参数所起的作用。特别是，它们能够更好地理解做市商面临的不同类型的风险。通过使用等式。（4.3）和（4.4），我们看到ddqδb*近似（q）=sγσ2Hξ（0）~δ*ξ2q+sγσ2Hξ（0）！>0和ddqδa*近似（q）=sγσ2Hξ（0）~δ*ξ-第二季度- sγσ2Hξ（0）！<0.这意味着做市商在其存货增加时，在出价和要价时提出更低的价格，反之，在其存货减少时，在出价和要价时提出更高的价格。

尤其是，库存为正或为负的做市商总是扭曲其出价和要价，以增加其回到当前仓位的机会。在指数强度的特殊情况下，值得注意的是，买卖价差的近似值与q无关，并且在q：δb中，偏斜是线性的*近似（q）+δa*大约（q）=ξ日志1 +ξK+ rγσ2AK1 +ξKkξ+1如果ξ>0k+qγσe2Akifξ=0，（4.8）δb*大约（q）- δa*大约（q）=2qrγσ2AK1 +ξKkξ+1如果ξ>02qqγσe2Akifξ=0。（4.9）就波动性而言，我们有dσδb*大约（q）=2q+sγ2Hξ（0）～δ*ξ2q+sγσ2Hξ（0）！和ddσδa*大约（q）=-第二季度- sγ2Hξ（0）～δ*ξ-第二季度- sγσ2Hξ（0）！。因此我们有三种情况：o如果q=0，那么ddσδb*近似值（q）=ddσδa*大约（q）>0。换句话说，波动率的增加导致买卖价差的增加，与参考价格对称（无偏斜）如果q≥ , 那么ddσδb*约（q）>0和ddσδa*约（q）<0。换句话说，不愿意程度的增加会导致更低的买入价和卖出价：它会增加绝对值的倾斜度，等等如果q≤ -, 那么ddσδb*大约（q）<0和ddσδa*大约（q）>0。换句话说，不愿意程度的增加会导致更高的买入价和卖出价：它会增加绝对值的偏差，等等。在指数强度的特殊情况下，值得注意的是，买卖价差近似于σ的一个函数，而偏差近似于σ的一个线性函数（见等式（4.8）和（4.9））。就流动性而言，如果我们将∧替换为β∧，对于β>0，那么我们可以看到Hξ被βHξ替换，而Δξ不变（见等式（4.5））。因此，我们从等式中看到。（4.3）和（4.4），用β∧替换∧相当于用σβ替换σ。

换句话说，流动性的增加相当于波动性的降低，相反，流动性的降低具有与波动性增加相同的效果。就风险规避而言，模型A和模型B之间的差异有助于明确γ所扮演的不同角色。在模型B的情况下，其中ξ=0，我们可以从等式中看到。（4.3）和（4.4），γ的增加等同于σ的增加。特别是，γ的增加会增加买卖价差，并增加绝对值的偏差。这是意料之中的，因为模型B中的γ会惩罚正库存和负库存。在模型A的情况下，情况有所不同，但变量ξ的引入有助于理解风险所在。如前所述，一切都好像ξ是非执行风险的风险规避参数，γ是价格风险的风险规避参数。为了分析不同的影响，我们考虑指数强度的特殊情况。我们在公式（4.8）中看到，买卖价差的近似值由两部分组成：1。ξ日志1 +ξK, 在ξ中是递减的。该术语与做市商面临的静态风险有关，仅与交易不确定性有关。当ξ=γ增加时，市场庄家降低其买卖价差，以降低交易的不确定性。2.rγσ2AK1 +ξKkξ+1，以γ为单位递增，ξ=γ。这个术语只出现在波动中，与做市商面临的动态风险有关。与价格变动的经典风险相比，这种风险是复杂且微妙的。实际上，ξ和γ都出现在公式中，因为做市商面临的风险实际上是价格反向波动的风险，而他无法足够快地平仓（因为交易不确定性）。