最优做市商

我们用隐式格式和牛顿法在每个时间步长上逼近常微分方程组（3.9）的解θ来处理非线性。然后我们得到了反馈控制函数（t，qIG）7→ （δIG，b（t，qIG），δIG，a（t，qIG））估计期为2016年上半年。当qIGt-= 秋。我们在图1中看到，在不到1小时的时间内就达到了渐近状态。图1:T7→ δIG，b（t，qIG）在模型A中表示不同的qIG值。在图2和图3中，我们绘制了IG指数的买入和卖出报价的初始值（即渐近值），当在独立基础上考虑时，使用模型A获得。我们看到做市商在出价时保守地报价，在卖空时积极地报价，反之，他在卖空时保守地报价，在出价时积极地报价。图2:qIG7→ δIG，b（0，qIG）（交叉）和通过公式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型A的情况下。事实上，参考价格和实际报价之间的差异，如本文其余部分所示。图3:qIG7→ δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.7）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型a的情况下。我们还发现闭合形式近似值对于较小的库存值（绝对值）是令人满意的，但对于较大的值更值得怀疑。

特别是，最优报价并不像封闭形式近似所表明的那样是库存的有效函数。图4和图5中还可以看到通过对常微分方程组的解进行数值近似而获得的实际值与封闭形式近似值之间的差异，它们代表了市场庄家最佳报价的买卖价差和偏差。买卖价差确实不是常数，在我们的例子中，偏差不是线性的。图4:qIG7→ δIG，b（0，qIG）+δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.8）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型a的情况下。图5:qIG7→ δIG，b（0，qIG）- δIG，a（0，qIG）（交叉）和通过等式（4.9）获得的相关封闭式近似值（线）——在模型a的情况下。然而，如果我们考虑波动性较小的市场条件，那么封闭式近似值要好得多——参见图6和图7，其中我们计算了σIG除以2的最优买入和卖出报价（在模型a中）。因此，近似值的质量在很大程度上取决于所考虑的市场和市场环境。为了在这两种方法之间做出选择，实践者必须深入理解准确性和计算时间之间的权衡（尤其是当有数百种资产时）。图6:qIG7→ δIG，b（0，qIG）（交叉）和由等式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（直线）——对于模型A，当σIGis减少一半时。图7:qIG7→ δIG，a（0，qIG）（交叉）和由等式（4.7）获得的相关闭合形式近似值（线）——对于模型a，当σIGis减少一半时。到目前为止，在本节中，我们只考虑了模型A中的最佳报价。我们在图8和图9中看到，两个模型之间的差异实际上非常小。

换句话说，尽管模型B忽略了部分风险（或者更准确地说是对部分风险的厌恶），但它构成了模型A非常有趣的简化。图8:qIG7→ δIG，b（0，qIG）在模型A（交叉）和qIG7中→ 模型b（圆）中的δIG，b（0，qIG）。图9:qIG7→ δIG，a（0，qIG）在模型a（交叉）和qIG7中→ 模型B（圆）中的δIG，a（0，qIG）。现在让我们来看看HY指数的情况。与IG指数一样，我们通过在每个时间步使用隐式格式和牛顿方法来处理非线性，来逼近常微分方程组（3.9）的解θ。然后我们得到了反馈控制函数（t，qHY）7→ （δHY，b（t，qHY），δHY，a（t，qHY）），当qHYt-= qHY。我们在图10中看到，在将近1小时后达到渐近状态。图10:T7→ 模型A中的δHY，b（t，qHY）表示不同的qHY值。在图11和图12中，我们绘制了HY指数的买入和卖出报价的初始值（即渐近值），当单独考虑时，使用模型A获得。综上所述，我们看到做市商在做市时报价保守，在做多时报价积极，反之，在做空时报价保守，在做空时报价积极。我们还发现，闭式近似仅适用于较小的库存值（绝对值）。图11:qHY7→ δHY，b（0，qHY）（交叉）和用等式（4.6）获得的相关闭合形式近似值（线）——在模型A的情况下。图12:qHY7→ δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过等式（4.7）获得的相关闭式近似值（线）——在模型a的情况下。实际值和闭式近似值之间的差异也可以在图13和图14中看到，图13和图14代表了做市商最优报价的买卖价差和偏差。

买卖价差确实不是常数，在我们的例子中，偏差不是线性的。图13:qHY7→ δHY，b（0，qHY）+δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过等式（4.8）获得的相关闭合形式近似（线）——在模型a的情况下。图14:qHY7→ δHY，b（0，qHY）- δHY，a（0，qHY）（交叉）和通过公式（4.9）获得的相关闭合形式近似（线）——在模型a的情况下。就模型a和模型B之间的比较而言，我们在图15和16中看到，两个模型之间的差异非常小，就像IG指数的情况一样。图15:qHY7→ 模型A（交叉）和qHY7中的δHY，b（0，qHY）→ 模型b（圆）中的δHY，b（0，qHY）。图16:qHY7→ 模型a（交叉）和qHY7中的δHY，a（0，qHY）→ 模型B（圆）中的δHY，a（0，qHY）。现在，我们可以将这两个指数放在一起考虑，同时考察相关性对多个资产市场形成的影响。我们用隐式格式和牛顿法在每个时间步逼近常微分方程组（5.13）的解θ来处理非线性。然后我们得到了反馈控制函数（t，qIG，qHY）7→ （δIG，b（t，qIG，qHY），δIG，a（t，qIG，qHY），δHY，b（t，qIG，qHY），δHY，a（t，qIG，qHY）），当qIGt-= 奇甘迪特-= qHY。在图17和图18中，我们绘制了这两个指数的最佳报价。我们发现做市商在两个指数上的库存都会影响他的报价。

因为相关系数是正的，（qIG，qHY）7→ δIG，b（0，qIG，qHY）和（qIG，qHY）7→ δHY，b（0，qIG，qHY）在qIGand和qHY中增加。图17：（qIG，qHY）7→ δIG，b（0，qIG，qHY）–在模型A的情况下。图18：（qIG，qHY）7→ δHY，b（0，qIG，qHY）–在模型A的情况下，结果与ask报价的结果相似，经过必要的修改后，不会显示。图19:qIG7→ δHY，b（0，qIG，0），对于不同的ρ值。ρ=0.9（十字）、ρ=0.6（圆）、ρ=0.3（星）和ρ=0（点）。为了了解相关性的影响，我们还计算了相关性参数ρ的四个值的最佳引号∈ {0, 0.3, 0.6, 0.9}. 图19表示，对于这些不同的ρ值，当与HY指数相关的存货等于0时，HY指数的投标报价δHY，b（0，qIG，0），以及与IG指数相关的存货的不同值。我们发现相关性系数对最优报价有很大的影响：两种资产的相关性越大，做市商在另一种资产中有长（短）存货时，报价就越保守（分别积极）。结论在本文中，我们考虑了一个具有一般强度函数的la Avellaneda Stoikov框架，并证明了对于文献中使用的不同优化标准，问题的维数可以除以2。我们还展示了如何找到最优报价的闭式近似，从而将盖特-莱哈勒-费尔南德斯塔皮亚公式（许多业内人士使用）推广到文献中使用的两种目标函数和几乎任何强度函数。我们还将我们的模型推广到多资产的情况，并说明了考虑资产之间相关性的重要性。

特别是，我们推导出了多资产市场制造商最优报价的闭式近似，这对于有时无法解决数十或数百个非线性常微分方程系统的从业者来说是一个重大突破。我们考虑的信用指数的简单应用证实了多资产框架的重要性。在重要的法国海萨姆大学卓越实验室工作人员国际会议（aétéréalisédans le Brancher du Laboratoroire d\'excellence ReFi portépar heSam Université，portant la rérence ANR-10-LABX-0095）上展示研究结果获得了财政支持。这是巴黎新大道重要的法国投资项目国家研究所顾问的工作，ANR-11-IDEX-0006-02。参考文献[1]M.阿维拉内达和S.斯托伊科夫。在限价指令簿中进行高频交易。量化金融，8（3）：217-2242008。[2] 贝拉克塔尔和卢德科夫斯基。在有控制强度的限制订单簿中进行清算。《数学金融》，24（4）：627–650，2014年。[3] H.Brezis泛函分析、Sobolev空间和偏微分方程。SpringerScience&Business Media，2010年。[4] 'A. Cartea，R.Donnelly和S.Jaimungal。具有模型不确定性的算法交易。可通过SSRN 23106452013获得。[5] 'A. Cartea和S.Jaimungal。风险度量和高频交易策略的微调。《数学金融》，25（3）：576-6112013。[6] 'A. Cartea、S.Jaimungal和J.Ricci。低买高卖：高频交易视角。暹罗金融数学杂志，5（1）：415–4442014。[7] 'A. Cartea、S.Jaimungal和J.Penalva。算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[8] R.唐纳利。算法和高频交易中的模糊厌恶。博士论文，2014年。[9] D.伊万杰利斯塔，O.盖恩特D.维埃拉。多资产做市中新的封闭形式近似。

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