最优做市商

对价格风险和非执行风险组合的风险厌恶程度越高，买卖价差就越大，因为做市商希望避免持有大量库存（绝对值）。就倾斜而言，只有第二个影响是重要的。等式（4.9）证实了这一点，我们看到绝对值的偏差随着γ和ξ=γ的增加而增加。比较静力学对于理解模型中不同参数所起的作用总是很有趣的。在这里，我们对几乎闭式近似和闭式近似进行了比较静力学，而不是对原始的最优买卖报价进行了比较静力学，这些报价只能通过数值计算。我们将在第6节中看到实际临时报价和询价报价与本节中提出的近似值之间的差异。5多资产做市策略在大多数关于做市的学术文献中，只有单一资产做市策略被归类。然而，在实践中，做市商通常负责一本包含多个资产的书。另一个例子是公司债券，因为同一家公司通常发行几十种债券，而同一个做市商负责所有这些债券。因此，特定债券的最佳报价不应取决于做市商在该债券中的库存，而应取决于整个债券组合相对于发行人的风险收益。特别是，当做市商在一项资产中拥有较短的库存，而在另一项资产中拥有几乎相当长的库存，且与第一项资产高度相关时，他可能没有理由扭曲这两项资产的报价，这与单一资产做市模型的建议相反。在本节中，我们将我们的做市商模型推广到多资产情况。

特别地，我们得到了多资产做市商最优报价的闭式近似。特别是，在指数强度的情况下，实际的买卖价差并不独立于q.5.1建模框架和符号。我们认为是负责d资产的做市商。因为我∈ {1，…，d}，资产i的参考价格由两个过程（Sit）建模，其中（Wt，…，Wdt）是一个与过滤（Ft）t相适应的d维布朗运动∈R+，具有非奇异相关矩阵。我们用∑=（ρi，jσiσj）1表示≤i、 j≤d、 与过程（St）t=（St，…，Sdt）t相关的方差协方差矩阵。该做市商提出买入和卖出d资产的买入和卖出报价。这些bid和askquotes由2d随机过程建模，分别表示为（S1，bt）t，（Sd，bt）和（S1，at）t，（Sd，at）t。在单一资产的情况下，我们用（Ni，bt）和（Ni，at）t来表示每个i∈ {1，…，d}，这两个点过程分别为资产i的出价和出价交易数量建模。我们假设资产i是交易的路过尤尼斯。因此，由d维过程（qt）t=（qt，…，qdt）t建模的做市商库存具有以下动态：我∈ {1，…，d}，dqit=英国电信idNi- idNi，at，qigive。（5.2）我们假设过程（N1，bt，…，Nd，bt）和（N1，at，…，Nd，at）皮重与布朗运动（Wt，…，Wdt）t无关∈ {1，…，d}，我们分别用（Ni，bt）和（Ni，at）t的（λi，bt）和（λi，at）t强度过程来表示。

我们假设（λi，bt）和（λi，at）t检验λi，bt=λi，b（δi，bt）1qit-<qindλi，at=λi，a（δi，at）1qit->-Qi，（5.3）式中δi，bt=Sit- Si，bt和δi，at=Si，at- 其中∧i，带∧i，a是满足以下假设的两个函数：o带∧i，带∧i，a是两次连续可微的，o带∧i，带∧i，a是递减的，带δ ∈ R、 ∧i，b（δ）<0和∧i，a（δ）<0，olimδ→+∞λi，b（δ）=limδ→+∞Δi，a（δ）=0，osupΔi，b（δ）i，b（δ）（Δi，b（δ））<2和supΔi，a（δ）i，a（δ）（Δi，a（δ））<2。最后，对做市商的现金账户进行建模的过程（Xt）在艾德尼，在- 是的，英国电信idNi，bt=dXi=1（Sit+δi，at）艾德尼，在- （坐下- δi，bt）idNi，bt.（5.4）在模型A的d维推广中，问题在于最大化“- 经验-γXT+dXi=1qiTSiT- `d（qT，…，qdT），（模型A）超过（δ1，bt，…，δd，bt）t∈ Adand（δ1，at，…，δd，at）t∈ Ad，其中\'dis是一个惩罚函数。在模型B的d维推广中，问题在于最大化XT+dXi=1qiTSiT- `d（qT，…，qdT）-γZTdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqitqjdt, （模型B）在（δ1，bt，…，δd，bt）t上∈ Adand（δ1，at，…，δd，bt）t∈ Ad.5.2对于普通微分方程的一般系统，为了解决模型a和模型B的两个随机最优控制问题，我们使用了与第3节类似的变量变化。特别是，我们表明，在这两个模型中找到价值函数（以及最优报价和询价）归结为求解一个常微分方程组，并且，与单一资产情况一样，与模型a和模型B相关的方程属于同一个常微分方程组。与模型A相关的HJB方程由0=-图（t，x，q，S）-dXi=1dXj=1ρi，jσiσj西斯朱（t，x，q，S）（5.5）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）u（t，x）- iSi+iδi，b，q+iei，S）- u（t，x，q，S）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）u（t，x+iSi+iδi，a，q- iei，S）- u（t，x，q，S）,对于我∈ {1, . . .

，d}，齐∈ 齐={-气，-齐+我气- i、 Qi}，和（t，S，x）∈ [0，T]×Rd×R，终端条件u（T，x，q，S）=- 经验-γx+dXi=1qiSi- `d（q，…，qd）！！。（5.6）如果一个人使用Ansazi（t，x，q，S）=- 经验-γx+dXi=1qiSi+θ（t，q）！！，（5.7）然后等式（5.5）变成0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.8）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）γ1.- 经验-γiδi，b+θ（t，q+iei）- θ（t，q）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）γ1.- 经验-γiδi，a+θ（t，q）- iei）- θ（t，q）,我们用（e，…，ed）表示Rd的规范基我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件（5.6）变成θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。与模型B相关的HJB方程由0=-tu（t，x，q，S）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.9）-dXi=1dXj=1ρi，jσiσjSiSju（t，x，q，S）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）u（t，x）- iSi+iδi，b，q+iei，S）- u（t，x，q，S）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）u（t，x+iSi+iδi，a，q- iei，S）- u（t，x，q，S）,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 钱德（t、S、x）∈ [0，T]×Rd×R，终端条件u（T，x，q，S）=x+dXi=1qiSi- `d（q，…，qd）。（5.10）如果使用Ansazi（t，x，q，S）=x+dXi=1qiSi+θ（t，q），（5.11），则等式（5.9）变为0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.12）-dXi=1qi<Qisupδi，b∧i，b（δi，b）iδi，b+θ（t，q+iei）- θ（t，q）-dXi=1qi>-Qisupδi，a∧i，a（δi，a）iδi，a+θ（t，q）- iei）- θ（t，q）,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件（5.10）变成θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。与单一资产的情况一样，Eqs。（5.8）和（5.12）实际上是属于同一家族的两种颂歌体系。

让我们引入ξ>0的函数shi，bξ（p）=supΔ∧i，b（δ）ξ1.- 经验-ξi（δ）- p）andHi，aξ（p）=supΔ∧i，a（δ）ξ1.- 经验-ξi（δ）- p）,极限函数（ξ=0）Hi，b（p）=isupΔ∧i，b（δ）（δ- p） ，andHi，a（p）=isupΔ∧i，a（δ）（δ- p） 。然后，我们可以考虑一般方程0=-tθ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj（5.13）-dXi=1qi<QiHi，bξθ（t，q）- θ（t，q+iei）我-dXi=1qi>-嗨，aξθ（t，q）- θ（t，q）- iei）我,对于我∈ {1，…，d}，齐∈ 齐和t∈ [0，T]，终端条件θ（T，q）=-`d（q，…，qd）。（5.14）对于ξ=γ，等式（5.8）对应于等式（5.13），而对于ξ=0.5.3，等式（5.12）对应于等式（5.13）。做市问题的解决方案为了描述我们的多资产做市模型中的最优报价，我们按照单资产的情况进行。特别是，我们首先证明存在等式（5.13）的解和终端条件（5.14）。定理5.1。存在唯一的函数θ：[0，T]×Qdi=1Qi→ R、 Cin时间，等式（5.13）的解与终端条件（5.14）。证据带有终端条件（5.14）的等式（5.13）是一个反向柯西问题。因为函数shi，bξ和Hi，aξ是所有i类的函数∈ {1，…，d}，柯西-利普希茨理论适用，并且存在τ∈ [0，T）和函数θ：（τ，T]×Qdi=1Qi→ R、 Cin时间，等式（5.13）在（τ，T）上的解，终端条件（5.14）。Q∈Qdi=1Qi，函数t∈ （τ，T]7→ θ（t，q）+γPdi=1Pdj=1ρi，jσiσjqiqj（t-t） 是一个递减函数。因此，在[0，T]上没有全局解决方案的唯一原因是因为UPQ∈Qdi=1Qiθ（t，q）在τ>0时爆炸。

然而，通过使用类似于引理3.2的比较原理，我们很容易看到这一点∈Qdi=1Qiθ（t，q）≤dXi=1（Hi，bξ（0）+Hi，aξ（0））（T- t） 。因此，supq∈Qdi=1Qiθ（t，q）不能在有限时间内爆炸，而θ实际上是在[0，t]×Qdi=1Qi上定义的。柯西-利普希茨定理的唯一性由此而来。我们现在准备陈述模型A和模型B中描述最优报价的两个定理。这些结果的证明基于验证参数，并且（经过修改）与单一资产情况下的结果相同。让我们从模型A开始。定理5.2。让我们考虑等式（5.13）的解θ，终端条件（5.14）为ξ=γ。然后，u：（t，x，q，S）7→ - 经验(-γ（x+Pdi=1qiSi+θ（t，q）））定义等式（5.5）的一个解，其终端条件为（5.6），且u（t，x，q，S）=sup（δ1，bs，…，δd，bs）S≥t、 （δ1，as，…，δd，as）s≥T∈A（t）dE“- 经验- γXt，x，δb，δaT+dXi=1qi，t，qi，δb，δaTSi，t，SiT-`d（q1，t，q，δb，δaT，…，qd，t，qd，δb，δaT），哪里我∈ {1，…，d}，dSi，t，Sis=σidWis，Si，t，Sit=Si，dXt，x，δb，δas=dXi=1（Sis+δi，as）idNi，as- （姐姐- δi，bs）idNi，bs，Xt，x，δb，δat=x，我∈ {1，…，d}，dqi，t，qi，δb，δas=艾德尼，英国学士- idNi，as，qi，t，qi，δb，δat=qi，其中我∈ {1，…，d}，点处理Ni，带Ni，a have随机强度（λi，bs）和（λi，as）由λi驱动，bs=λi，b（δi，bs）1qis-<qindλi，as=λi，a（δi，as）1qis->-气。因为我∈ {1，…，d}，最佳出价和询问报价Si，bt=Sit- δi，b*t（代表qit）-< Qi）和Si，at=Sit+δi，a*t（代表qit）-> -Qi）的特征是δi，b*t=δi，b*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ iei）我δi，a*t=δi，a*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- iei）我,（5.15）其中函数δi，b*γ（·）和δi，a*γ（·）由△i，b定义*γ（p）=∧i，b-1γHi，bγ（p）-嗨，bγ（p）我δi，a*γ（p）=∧i，a-1γHi，aγ（p）-嗨，aγ（p）我对于模型B，结果如下：定理5.3。让我们考虑方程的解θ。

（5.13），终端条件（5.14）为ξ=0。然后，u：（t，x，q，S）7→ x+Pdi=1qiSi+θ（t，q）定义了等式（5.9）的一个解，其终端条件为（5.10），u（t，x，q，S）=sup（δ1，bs，…，δd，bs）S≥t、 （δ1，as，…，δd，as）s≥T∈A（t）dE“Xt，x，δb，δaT+dXi=1qi，t，qi，δb，δaTSi，t，SiT-`d（q1，t，q，δb，δaT，…，qd，t，qd，δb，δaT）-γZTdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqi，t，qi，δb，δatqj，t，qj，δb，δatdt#，其中：我∈ {1，…，d}，dSi，t，Sis=σidWis，Si，t，Sit=Si，dXt，x，δb，δas=dXi=1（Sis+δi，as）idNi，as- （姐姐- δi，bs）idNi，bs，Xt，x，δb，δat=x，我∈ {1，…，d}，dqi，t，qi，δb，δas=艾德尼，英国学士- idNi，as，qi，t，qi，δb，δat=qi，其中我∈ {1，…，d}，点处理Ni，带Ni，a have随机强度（λi，bs）和（λi，as）由λi驱动，bs=λi，b（δi，bs）1qis-<qindλi，as=λi，a（δi，as）1qis->-气。因为我∈ {1，…，d}，最佳出价和询问报价Si，bt=Sit- δi，b*t（代表qit）-< Qi）和Si，at=Sit+δi，a*t（代表qit）-> -Qi）的特征是δi，b*t=δi，b*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ iei）我δi，a*t=δi，a*θ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- iei）我,（5.16）其中函数δi，b*（·）和δi，a*（·）定义为△i，b*（p） =λi，b-1.-嗨，b（p）我δi，a*（p） =λi，a-1.-嗨，a（p）我5.4关于闭式近似在单一资产的情况下，在∧b=∧a=：和Hξ（0）>0的特殊情况下，在第4节中获得了闭式近似。在多资产的情况下，如果我们假设我∈ {1，…，d}，λi，b=λi，a=：λi，和Hiξ（0）>0，那么很自然地想知道是否可以使用相同的技术来获得闭式近似。事实上，用于推导封闭形式近似值的变量的变化在高于1维的情况下通常不起作用。然而，将等式（5.13）转换为等式（4.1）的多维等价物的想法能够在不使用Hopf-Cole变换的情况下获得结果，即不依赖等式的多维等价物。

(4.2).按照与第4节相同的推理，我们确实可以引入PDE0=-t~θ（t，q）+γdXi=1dXj=1ρi，jσiσjqiqj- 2dXi=1Hiξ（0）-dXi=1Hiξ（0）(qi∧θ（t，q））+iHiξ（0）qiqiθ（t，q），（5.17）与最终条件θ（t，q，…，qd）=-`d（q，…，qd）。在`d（q，…，qd）=Pdi=1Pdj=1ai，jqiqjj和（ai，j）i，ja对称正矩阵的情况下，很容易看出，方程（5.17）可以通过使用ansatzθ（t，q）=θ（t）以闭合形式求解- qθ（t）q，其中θ（t）是d×d对称矩阵（见附文[9]）。特别是，我们在[9]中展示了θ（t）检验：θ（t）→T→+∞rγΓ，最近，在非对称强度的情况下也发现了闭合形式近似——见[9]。式中Γ=D-D∑DD-, D=Hξ（0）0。00小时ξ（0）。0............0 0 . . . Hdξ（0）.因此，我们可以考虑近似θ（t，q）- θ（t，q+iei）我是γΓii2qi+i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqj和θ（t，q）- θ（t，q）- iei）我很高兴-rγΓii2qi- i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqj.这些近似值可以插入等式中。（5.15）和（5.16）以获得一般近似公式δi，b*t’δi，b*大约（夸脱）-) :=~δi*ξrγΓii2qit-+ i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqjt-（5.18）和δi，a*t’δi，a*大约（夸脱）-) :=~δi*ξ-rγΓii2qit-- i+X1≤J≤d、 j6=iΓijqjt-, （5.19）式中△i*ξ（p）=∧i-1ξHiξ（p）-Hiξ（p）我（5.20）这些近似公式很有趣，因为我们看到了矩阵Γ的非对角项产生的交叉效应。6应用：两个信用指标的情况在本节中，我们将我们的单资产和多资产做市模型，以及相关的闭式近似，应用于两个信用（或CDS）指数的情况：投资等级（IG）指数CDX。娜娜。IG和高产（HY）指数CDX。娜娜。嗨。

我们考虑的是负责为这两个指数提出报价和询价的做市商，在本节中，我们将假设该做市商只关心利差风险，而不关心违约风险——这一假设总是由做市商固定收益和信贷工具的从业者提出的。在不深入这些指数的细节的情况下，我们需要详细说明它们的主要财务特征。基本上，对于IG指数，保护买家每季度（在固定日期以便于补偿）支付一张对应于100个基点的年化利率的息票，并预付一笔金额（正或负），对应于市场确定的预付利率（正或负）。在实践中，对于做市商来说，预付利率是theSee www.markit。com获取更多详细信息。相关变量，因为指数上的往返导致PnL对应于预付利率之间的差异（乘以交易的名义价值）。然而，在实践中，这个指数是在价差中引用的——这个价差是使用基本的CDS模型计算的。对于HY指数，保护买方每季度（在固定日期）支付一张与500个基点的年利率相对应的息票，并预付一笔与市场确定的预付利率（正或负）相对应的金额（正或负）。与IG指数不同，HYindex是以预付费率报价的，或者更准确地说是100（1）- 预付费用）。值得注意的是，在实践中，购买IG指数意味着购买保护，而购买HY指数意味着出售保护。为了简化展览，我们将考虑购买总是意味着购买保护，指数报价是预付价格。

使用basicCDS模型可以轻松地将我们的数值结果转换为市场标准报价。为了将我们的模型应用于这些信用指数，我们首先需要估计不同参数的值。这要归功于法国巴黎银行提供的数据，该数据是欧洲金融研究所资助的研究计划“新移民向失地移民的流动性问题”的框架。为了估算波动性和相关参数σIG、σHY和ρ，考虑了中间价格（此处的价格为预付价格）。对于强度函数，考虑了指数强度，并使用经典的似然最大化技术，使用银行公布的实际报价以及银行与其他市场参与者之间发生的交易，估计了参数AIG、kIG、AHY和KHY。如果我们认为这两种理论资产分别对应于每个指数的1美元，那么参数值如下（四舍五入）：IG指数HY指数σ（$.s-) σIG=5.83·10-6σHY=2.15·10-5ρρ=0.9A（s-1） AIG=9.10·10-4AHY=1.06·10-3k($-1） kIG=1.79·10kHY=5.47·10关于订单大小，我们考虑订单大小IG=IG指数为5000万美元，订单规模为HY=HY指数1000万美元。就风险规避而言，我们考虑参考值γ=6·10-5$-1.关于风险限额，我们认为IG=QHYHY=4。最后，我们总是考虑最终时间T=7200秒，相当于2小时。我们将在下面的例子中看到，在不到两个小时的时间内，很快就达到了渐近状态。首先，我们可以单独考虑IG指数的情况。