最优做市商

（2.2）我们假设过程（Nbt）和（Nat）皮重与布朗运动（Wt）无关。我们分别用（λbt）和（λat）表示（Nbt）和（Nat）皮重的强度过程。与经典的Avellaneda-Stoikov模型（见[1]）一样，我们假设强度过程是参考价格和做市商报价之间差异的函数。此外，我们假设做市商在其仓位高于（分别低于）给定阈值Q（分别低于）时停止提出出价（分别询问）报价-Q） 。形式上，我们假设（λbt）和（λat）t检验λbt=λb（δbt）1qt-<Qandλat=λa（δat）1qt->-Q、 （2.3）式中δbt=St- Sbtandδat=Sat- 其中∧带∧aare是满足以下假设的两个函数：o两次连续可微的∧带∧aare，o减少的∧带∧aareδ ∈ R、 ∧b（δ）<0和∧a（δ）<0，olimδ→+∞λb（δ）=limδ→+∞λa（δ）=0，osupΔ∧b（δ）∧b（δ）（λb（δ））<2和supΔ∧a（δ）∧a00（δ）（λa（δ））<2。最后，该流程（Xt）对做市商的现金账户进行建模。考虑到我们的建模框架，（Xt）thas the dynamicsdXt=Sat德纳特- SbtdNbt=（St+δat）德纳特- （圣- δbt）dNbt。（2.4）假设Q是.前三个假设是自然的。第四个更具技术性。它特别确保函数πb：δ7→ Δ∧b（δ）和πa:δ7→ Δ∧a（δ）与每侧关联的瞬时（预期）MtM Pn有关，在R上达到最大值（实际上是在R+）。

为了看到这一点（我们关注投标方，但投标方的价格与ask类似），让我们注意到πb（δ）=0<==> δ+λb（δ）λb（δ）=0。但是Γb：δ7→ δ+λb（δ）∧b（δ）是一个严格递增函数，infδΓb（δ）=2- supΔ∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）> 因此，方程Γb（δ）=0有一个唯一的解，它对应于πb的唯一最大化子。2.2在上述两个经典优化问题中，我们定义了大多数造市模型的三个核心过程：参考价格过程（St）t、库存过程（qt）t，我们现在需要明确做市商面临的问题。按照Avellaneda和Stoikov在[1]中提出的模型，我们可以考虑，如[13]中所述，做市商将CARA效用函数（风险规避参数γ>0）的预期值最大化，该函数应用于给定日期T的投资组合MtM值。时间T的MtM值基本上为YXT+qTST或XT+qTST- `（|qT |）如果我们为剩余库存（无论其符号是什么）增加流动性溢价，则`是从R+到R+的一个非减损凸函数。在这个总体框架中，做市商的目标是最大化[- 经验(-γ（XT+qTST）- `（|qT |）]），（模型A）在（δbt）t上∈ A和（δat）t∈ A、 其中，可容许控制集A只是从下方限定的可预测过程集。或者，可以考虑做市商在T日最大化投资组合的TMTM价值的预期值，但持有存货在时间间隔[0，T]内会受到惩罚。这通常是Cartea、Jaimungal和他们的合著者所做的（关于几个例子，见最近的书[7]）。

在这种模型中，做市商的目标是最大化形式“XT+qTST”的表达- `（|qT |）-γσZTqtdt#，δbt上的（模型B）∈ A和（δat）t∈ A.3对于描述最优报价的普通微分方程的单一系统，模型A和模型B都可以使用随机最优控制的经典工具进行求解。特别是，我们表明，在这两个模型中，找到值函数（以及最优的买卖报价）归结为求解一个三对角的普通微分方程组（ODE），与模型a和模型B相关的方程是ODE的一部分。3.1问题的维度：从4降到2与模型a相关的HJB方程由0=-图（t，x，q，S）-σSSu（t，x，q，S）（3.1）-1q<Qsupδb∧b（δb）u（t，x）- S+δb，q+, （S）- u（t，x，q，S）-1q>-Qsupδa∧a（δa）[u（t，x+S+δa，q- , （S）- u（t，x，q，S）]，代表q∈ Q={-Q-Q+, . . . , Q-, Q} ，和（t，S，x）∈ [0，T]×R，终端条件u（T，x，q，S）=- 经验(-γ（x+qS）- `（|q |）。（3.2）如果一个人使用Ansazi（t，x，q，S）=- 经验(-γ（x+qS+θ（t，q）），（3.3）然后等式（3.1）变成0=-tθ（t，q）+γσq（3.4）-1q<Qsupδb∧b（δb）γ1.- 经验-γδb+θ（t，q+) - θ（t，q）-1q>-Qsupδa∧a（δa）γ（1）- 经验(-γ (δa+θ（t，q）- ) - θ（t，q））），对于q∈ Q、 和t∈ [0，T]，终端条件（3.2）变成θ（T，q）=-`（|q |）。与模型B相关的HJB方程由0=-tu（t，x，q，S）+γσq-σSSu（t，x，q，S）（3.5）-1q<Qsupδb∧b（δb）u（t，x）- S+δb，q+, （S）- u（t，x，q，S）-1q>-Qsupδa∧a（δa）[u（t，x+S+δa，q- , （S）- u（t，x，q，S）]，代表q∈ Q、 和（t，S，x）∈ [0，T]×R，终端条件u（T，x，q，S）=x+qS- `（|q |）。（3.6）如果使用ansazi（t，x，q，S）=x+qS+θ（t，q），（3.7），则等式。

（3.5）变成0=-tθ（t，q）+γσq（3.8）-1q<Qsupδb∧b（δb）δb+θ（t，q+) - θ（t，q）-1q>-Qsupδa∧a（δa）(δa+θ（t，q）- ) - θ（t，q）），对于q∈ Q、 和t∈ [0，T]，终端条件（3.6）变成θ（T，q）=-`（|q |）。Eqs。（3.4）和（3.8）实际上是属于同一家族的两种颂歌体系。如果为ξ>0引入函数shbξ（p）=supΔ∧b（δ）ξ（1- 经验(-ξ (δ - p） ）和haξ（p）=supΔ∧a（δ）ξ（1）- 经验(-ξ (δ - p） ）和极限函数（ξ=0）Hb（p）= supΔ∧b（δ）（δ- p） 安达（p）= supΔ∧a（δ）（δ- p） ，那么我们可以考虑一般方程0=-tθ（t，q）+γσq（3.9）-1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- ),问∈ Q、 和t∈ [0，T]，终端条件θ（T，q）=-`（|q |）。（3.10）对于ξ=γ，等式（3.4）对应于等式（3.9），而对于ξ=0.3.2，等式（3.8）对应于等式（3.9）。在下面的段落中，我们证明，对于所有ξ≥ 存在唯一解θtoEq。（3.9）具有终端条件（3.10）。让我们从Hbξ和Haξ的引理开始。引理3.1。ξ ≥ 0，Hbξ和Haξ是C类的两个递减函数。Hbξ（p）的定义的上确界在唯一的δb处达到*ξ（p）的特征为p=＠δb*ξ（p）-ξ日志1.- ξ∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）, 如果ξ>0，则p=＠δb*ξ（p）+∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）, 如果ξ=0，或等效于△b*ξ（p）=∧b-1ξHbξ（p）-Hbξ（p）!. （3.11）类似地，Haξ（p）的定义的上确界在唯一的δa处达到*ξ（p）的特征为p=△a*ξ（p）-ξ日志1.- ξλa△a*ξ（p）λa△a*ξ（p）, 如果ξ>0，则p=＠δa*ξ（p）+∧a△a*ξ（p）λa△a*ξ（p）, 如果ξ=0，或等效为δa*ξ（p）=∧a-1ξHaξ（p）-Haξ（p）!. （3.12）此外，功能P7→△b*ξ（p）和p7→△a*ξ（p）呈上升趋势。证据我们为投标方证明结果。

ask方面的证据类似。让我们从ξ>0开始。P∈ R、 让我们定义gp：δ7→∧b（δ）ξ（1）- 经验(-ξ (δ - p） ））。gp是C类的函数，δ为正∈ （p+∞) 否则就不积极了。因为Egp（p）=0和limδ→+∞gp（δ）=0，gp的上确界至少达到一个点δb*ξ（p）∈ （p+∞). 刻画gpis∧b（δ）ξ（1）上确界的一阶条件- 经验(-ξ (δ - p） ）+λb（δ）exp(-ξ (δ - p） ）=0。通过重新排列这些项，我们得到p=δ-ξ日志1.- ξ∧b（δ）∧b（δ）.因为∧b（δ）∧b（δ）<2∧b（δ）, 函数j：δ7→ δ -ξ日志1.- ξ∧b（δ）∧b（δ）是递增的，因此有一个唯一的最大值△b*gp的ξ（p），特征为p=~δb*ξ（p）-ξ日志1.- ξ∧b△b*ξ（p）∧b△b*ξ（p）.此外，通过隐函数定理，P7→△b*ξ（p）是类C的函数，其验证为δb*ξ（p）=j△b*ξ（p）=1.- ξ∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））2-∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））- ξ∧b（∧δb）*ξ（p））λb（∧δb）*ξ（p））>0。尤其是第7页→△b*ξ（p）在增加。此外，函数Hbξ属于C类，其中Hbξ（p）=-∧b（∧δb）*ξ（p）） 经验-ξ△b*ξ（p）- P和hbξ（p）=-△b*（p） ∧b（∧δb）*ξ（p））+ξ∧b（∧δb）*ξ（p））△b*ξ（p）- 1. 经验-ξ△b*ξ（p）- P.尤其是Hbξ在下降。我们得到了指数j（δ）=1+1-∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）1- ξ∧b（δ）∧b（δ）=2-∧b（δ）∧b（δ）∧b（δ）- ξ∧b（δ）∧b（δ）1- ξ∧b（δ）∧b（δ）>0。我们还发现，通过使用Hbξ的定义，δb*ξ（p）=∧b-1ξHbξ（p）-Hbξ（p）!.在ξ=0的情况下，我们定义P∈ R、 hp：δ7→ ∧b（δ）（δ）- p） 。Hp是C类的函数，δ为正∈ （p+∞) 否则就不积极了。

通过使用与脚注11相同的推理，我们可以看到有一个唯一的最大化子δb*（p） 对于hp，其特征为p=~δb*（p） +b∧△b*（p）∧b△b*（p）.如上所述，通过隐函数定理，P7→ δb*（p） 是C类的函数，其验证δb*（p） =2-∧b（∧δb）*（p） )∧b（)δb*（p） )∧b（)δb*（p） ）>0。尤其是第7页→△b*（p） 越来越多。此外，函数HB是C类的，其中HB（p）=-∧b（∧δb）*（p） ）和Hb（p）=-△b*（p） ∧b（∧δb）*（p） ）。特别是，HBs在下降，我们有△b*（p） =λb-1.-血红蛋白（p）!.这证明了引理。我们现在证明等式（3.9）的一个比较原理，它给出了一个先验界，使我们能够证明等式（3.9）在终端条件（3.10）下解的存在性。引理3.2。

让τ∈ [0，T）。设θ：[τ，T]×Q→ R是关于满足次解析性质的时间的C函数，即。，Q∈ Q、 θ（T，Q）≤ -`（|q |）和（t，q）∈ [τ，T）×Q，-tθ（t，q）+γσq- 1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )≤ 0.设θ：[τ，T]×Q→ R是关于满足上解性质的时间的C函数，即。，Q∈ Q、 θ（T，Q）≥ -`（|q |）和（t，q）∈ [τ，T）×Q，-tθ（t，q）+γσq- 1q<QHbξθ（t，q）- θ（t，q+)- 1q>-QHaξθ（t，q）- θ（t，q）- )≥ 0.那么θ≥ θ.证据设ε>0。让我们考虑一对（t）*ε、 q*ε） 这样θ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε) - ε（T）- T*ε） =sup（t，q）∈[τ，T]×Qθ（T，Q）- θ（t，q）- ε（T）- t） 。如果没有*ε6=T，那么tθ（t*ε、 q*ε) - tθ（t*ε、 q*ε) + ε ≤ 现在，通过定义函数θ和θ，上述不等式*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )+ 1q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε- )-1q*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- 1q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε- )≤ -ε.但是，根据（t）的定义*ε、 q*ε） 因为Hbξ和Haξ是递减函数，所以我们有q*ε<QHbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- Hbξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )≥ 0和Q*ε>-QHaξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )- Haξθ（t）*ε、 q*ε) - θ（t）*ε、 q*ε+ )≥ 0.这导致0≤ -ε. 矛盾的是，我们一定没有*ε=T。因此，sup（t，q）∈[τ，T]×Qθ（T，Q）- θ（t，q）- ε（T）- t） =θ（t，q）*ε) - θ（T，q）*ε) ≤ 0.因此，（t，q）∈ [τ，T）×Q，θ（T，Q）- θ（t，q）≤ εT。通过将ε发送到0，我们得到θ≤ θ.现在让我们来讨论等式（3.9）在终端条件（3.10）下解的存在性和唯一性。定理3.1。存在唯一的函数θ：[0，T]×Q→ R、 Cin时间，解决方案ofEq。（3.9）具有终端条件（3.10）。证据具有终端条件（3.10）的等式（3.9）可被视为向后柯西问题。

由于Hbξ和Haξ是C类函数，Cauchy-Lipschitz认为存在τ∈ [0，T）和函数θ：（τ，T]×Q→ R、 Cin时间，等式（3.9）在（τ，T）上的解，终端条件（3.10）。很容易验证这一点Q∈ Q、 t∈ （τ，T]7→ θ（t，q）+γσq（t）- t） 是一个递减函数。因此，在[0，T]上没有全局解决方案的唯一原因是因为UPQ∈Qθ（t，Q）在τ>0时爆炸。然而，通过引理3.2，我们知道θ（t，q）=（Hbξ（0）+Haξ（0））（t- t） 定义等式（3.9）的上解和终端条件（3.10），因此supq∈Qθ（t，Q）≤（Hbξ（0）+Haξ（0））（T- t） 不能在限定时间内爆炸。结论是θ实际上是定义在[0，T]×Q上的。因此，柯西利普希茨定理具有唯一性。具有终端条件（3.10）的等式（3.9）的函数θ解的存在性（和唯一性）使我们能够找到与模型a或模型B相关的HJB方程的解。我们将在下一小节中使用验证参数，以证明通过这种方式获得的HJB方程的解确实是随机最优控制问题的值函数考虑然而，在此之前，需要对θ和公式（3.9）进行注释，以说明指数强度的具体情况——在学术文献中经常（不是说几乎总是）使用。如果我们有∧b（δ）=a（δ）=Ae-kδ=：λ（δ），然后我们（通过简单的计算）得到Hξ（p）：=Hbξ（p）=Haξ（p）=AkCξexp(-kp），其中cξ=1 +ξK-kξ-1如果ξ>0e-1如果ξ=0。通过使用Eq。

函数v:（t，q）∈ [0，T]×Q 7→ vq（t）=expKθ（t，q）是线性常微分方程组的解Q∈ QT∈ [0，T]，-tvq（t）+2kγσqvq（t）- ACξ（1q<Qvq+（t） +1q>-Qvq-（t） ）=0，（3.13），具有终端条件Q∈ Q、 vq（T）=exp-K`（|q |）.3.3验证论证我们现在准备解决与模型A和模型B相关的随机最优控制问题。我们从模型A开始。定理3.2。让我们考虑等式（3.9）的解θ，终端条件（3.10）为ξ=γ。然后，u：（t，x，q，S）7→ - 经验(-γ（x+qS+θ（t，q））定义了等式（3.1）的一个解，其终端条件为（3.2），且u（t，x，q，S）=sup（δbs）S≥t、 （δas）s≥T∈A（t）呃- 经验-γXt，x，δb，δaT+qt，q，δb，δaTSt，ST- `（|qt，q，δb，δaT |）i、 式中，A（t）是[t，t]上的一组可预测过程，从下面开始有界，其中dst，Ss=σdWs，St，St=S，dXt，x，δb，δas=（Ss+δas）脱氧核糖核酸- （Ss）- δbs）dNbs，Xt，x，δb，δat=x，dqt，q，δb，δas=dNbs- dNas，qt，q，δb，δat=q，其中点处理Nb和Nahave随机强度（λbs）沙（λas），由λbs=λb（δbs）1qs驱动-<Qandλas=∧a（δas）1qs->-Q.最佳报价和询问报价Sbt=St- δb*t（代表qt-< Q） Sat=St+δa*t（代表qt-> -Q） 以δb为特征*t=δb*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-+ )δa*t=δa*γθ（t，qt）-) - θ（t，qt）-- ), （3.14）其中函数δb*γ（·）和δa*γ（·）在等式中定义。（3.11）和（3.12）。证据让我们考虑一下t∈ [0，T）和两个过程（δbs）s≥tand（δas）s≥锡A（t）。我们有u（T，Xt，x，δb，δaT-, qt，q，δb，δaT-, St，St）=u（t，x，q，S）+ZTttu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds（3.15）+σZTtSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）dWs+σZTtSSu（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）ds+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）dNbs+ZTtu（s，Xt，x，δb，δas）-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , （圣路易斯）- u（s，Xt，x，δb，δas）-, qt，q，δb，δas-, （圣路易斯）DNA。设C<0。

如果几乎可以肯定的话s∈ [t，t），δbs≥ -C、 中兴通讯苏s、 Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, 圣路易斯ds#≤ E“ZTtγqt，q，δb，δas-经验-2γXt，x，δb，δas-+ qt，q，δb，δas-St，Ss+θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）×E“ZTtexp-2γx+qS+ZstδbudNbu+ZstδaudNau+Zstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×E“ZTtexp-6γZstδbudNbuds#E“ZTtexp-6γZstδaudNauds#×E“ZTtexp-6γZstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×E经验6γC（NbT）- （Nbt）（T）- （t）E[exp（6γC（NaT- Nat）T- t） ]×ZTtE经验-6γZstσqt，q，δb，δau-dWu- 18γZstσqt，q，δb，δau-杜ds！×exp6γ（T）- t） σQ≤ γQexp2γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-2γ（x+qS））×exp∧b(-C） （T）- t） （exp（6γC）- 1)exp（λa）(-C） （T）- t） （exp（6γC）- 1） ）（T- t） ×exp6γ（T）- t） σQ（T）- t） <+∞.我们还有“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<量子点#≤ ∧b(-C） 中兴通讯-γXt，x，δb，δas-+ qt，q，δb，δas-St，Ss+θ（s，qt，q，δb，δas）-)ds#≤ ∧b(-C） 经验γkθkL∞（[t，t]×Q）×E“ZTtexp-γx+qS+ZstδbudNbu+ZstδaudNau+Zstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ ∧b(-C） 经验γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-γ（x+qS）×E“ZTtexp-3γZstδbudNbuds#E“ZTtexp-3γZstδaudNauds#×E“ZTtexp-3γZstσqt，q，δb，δau-dWuds#≤ ∧b(-C） 经验γkθkL∞（[t，t]×Q）经验(-γ（x+qS））×exp∧b(-C） （T）- t） （exp（3γC）- 1)exp（λa）(-C） （T）- t） （exp（3γC）- 1） ）（T- t） ×expγ（T）- t） σQ（T）- t） <+∞.类似地，“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-- 圣，圣+δbs，qt，q，δb，δas-+ , St，Ss）|∧b（δbs）1qt，q，δb，δas-<Qds#+∞,E“ZTt | u（s，Xt，x，δb，δas-, qt，q，δb，δas-, St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qds#+∞,andE“ZTt|u（s，Xt，x，δb，δas-+ 圣，圣+δas，qt，q，δb，δas-- , St，Ss）|∧a（δas）1qt，q，δb，δas->-Qds#+∞.通过在情商中设定期望值。