限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

这使得我们可以使用[35]中的命题7.1来表明，对于任何可容许的（p，pb，\'p），过程Y，它是对yt的连续修改：=^Ja，（pb，\'p），pt=ess supτ∈TtEhZτtexp-Zstcαu（pu，pbu）du天然气（ps、pbs）ds+exp-Zτtcαu（pu，pbu）du\'pτFti是AFF FINE RBSDE的独特解决方案，-dYt=Ga，ptt（Yt，pbt）dt- ZtdWt+dKt0≤ T≤ T（32）Yt≥ (R)pt0≤ T≤ T、 ZT（Yt- \'pt）dKt=0（33）YT=\'pt，（34），其中Z是一个渐进可测的平方可积（多维）过程，K∈ Sis增加，满意度K=0。同样，文献[35]中的存在结果暗示-dYt=Gat（Yt，pbt）dt- ZtdWt+dKt0≤ T≤ T（35）Yt≥ (R)pt0≤ T≤ TZT（Yt- \'pt）dKt=0（36）YT=\'pt（37）具有唯一的解决方案（YT、Zt、Kt）。然后，文献[35]中的定理7.2暗示Y是Va的连续修正，pat=pat（Yt），τa=inf{s≥ 0:Ys=(R)ps}构成长代理的最佳控件。类似地，对于agiven容许（pa，(R)p），存在唯一的解决方案（Yt，Zt，Kt）来-dYt=Gbt（pat，Yt）dt- ZtdWt公司- dKt0≤ T≤ T（38）Yt≤ (R)pt0≤ T≤ T、 ZT（(R)pt- Yt）dKt=0（39）Yt=(R)pT，（40）Y是Vb的连续修改，pbt=pbt（Yt），τb=inf{s≥ 0：Ys=(R)ps}构成短代理的最佳控制。结果表明，由于两个代理不平衡的最佳停止时间必须相同，因此我们可以为Va和Vb建立一个方程组，而不带'p。为了正式说明这一结果，我们需要引入以下随机函数▄Gat（y，z）=Gat（y，Pbt（z））=-cαtPat（y），Pbt（z）y+gatPat（y），Pbt（z）, y、 z∈ R、 （41）~Gbt（y，z）=Gbt（Pat（y，z）=-cβtPat（y），Pbt（z）z+gbtPat（y），Pbt（z）, y、 z∈ R、 （42）式中，cα、Ga和Gb分别在（13）、（23）和（25）中定义，Pa和Pb由（28）和（29）给出。引理3。假设1-6成立。

对于两人博弈（定义5）中的任何均衡（pa，pb，τ，(R)p），代理的值函数，Va，Vb∈ S、 满足-dVat=~Gat（增值税、Vbt）dt- ZatdWt+dKat-dVbt=~Gbt（增值税、Vbt）dt- ZbtdWt公司- dKbtVat公司≥ Vbt公司T∈ [0，T]，RT（增值税- Vbt）d（Kat+Kbt）=0VaT=Vbt，（43），一些过程Ka，Kb增加∈ S、 从零开始，逐步可测平方可积（Za，Zb）。此外，（^pa，^pb，^τ，(R)p）也形成了平衡，具有相同的值函数，其中：^pat=pat（Vat），^pbt=pbt（Vbt）和^τ=inf{s≥ 0：Vas=Vbs}。相反，如果给出（43）的解，我们可以如上所述定义最优控制（^pa、^pb、^τ），并选择“p=（1- η） Va+ηVb，任何可逐步测量的过程η取（0，1）中的值，以获得平衡（^pa，^pb，^τ，(R)p）。证明：考虑平衡（pa，pb，τ，(R)p）。如前所述，BSDE的标准结果（参见[35]）意味着（Va、Za、Ka）解算（35）–（37），而（Vb、Zb、Kb）解算（38）–（40）（这两个系统被认为具有相同的“p”）。根据τ的最优性，通过标准理论，Vbτ=(R)pτ=Vaτ。考虑长期代理。很明显，如果我们在定义中用VBP代替“p”，则长期代理的目标不会增加（参见（22））。另一方面，τ是最优的，\'pτ=Vbτ，因此，如果我们在其定义中将\'p替换为Vb，则值函数的变化是相同的（参见（26））。因此，（Va、Za、Ka）求解（35）–（37），其中“p”替换为Vb。类似的论点也适用于短代理，并得出（Vb，Zb，Kb）解（38）–（40），其中“p”替换为“Va”。接下来，使用Pa的最优性和BSDE（32）的比较原则，我们很容易推断，对于a.e.（t，ω），每当λαt>0且Vat<sup supp（fαt），pat与^pat=pat（Vat）一致。

另一方面，假设6意味着，如果λαt=0或Vat≥ sup sup（fαt），则λβt=0或Vat≥ sup SUPFβt，以及Gbtpat，Vbt= Gbt公司^pat，Vbt.因此，我们得出结论，Vbsaties（38）–（40）由^pa替代。同样，我们得出结论，Vasatis（35）–（37）由pb替代。因此，（Va，Vb）满足（43）。接下来，考虑（43）的解决方案。选择引理陈述中所示的'p，我们得出结论，（Va，Za，Ka）解（35）–（37），其中pb替换为^pb。然后，标准结果（参考文献[35]）表明，给定^pband'p，Vais是长代理的值函数，她的最优控制由^paandinf{s给出≥ 0：Vas≤ \'\'ps}=inf{s≥ 0：Vas=Vbs}=^τ。类似的论点也适用于做空代理，完成了证明。3.2解决方案的存在在本小节中，我们讨论RBSDE解决方案的存在性问题（43）。分析中的主要区别（43）是非标准形式的反射：溶液的成分相互反射，与给定边界的反射相对。有关最佳切换问题中BSD上升的文献中分析了相关方程：参见，例如，【13】、【20】以及其中的参考文献。然而，（43）中反射的精确形式不同，其生成器不具有所需的单调性，因此无法使用最优切换文献中开发的方法证明（43）的解的存在性。在分析存在性之前，考虑唯一性问题是很方便的。请注意，解决方案有两个反映组件，但只有一个最小约束，这表明（43）的解决方案可能缺乏唯一性。引理3中任意选择η的可能性导致了相同的结论。

事实上，η的不同选择会产生不同的“p”，从而产生不同的一对值函数（Va，Vb），然而，它们必须求解相同的系统（43）。这个启发式观察结果是正确的，事实上，它允许我们构造（43）的解。考虑一个解决方案（Va、Vb、Ka、Kb、Za、Zb）到（43）。引入Kt=Kat+Kbt，我们注意到一定存在一个过程η，其值在[0，1]中，这样dkat=ηtdKt，dKbt=（1- ηt）dKt。然后，我们引入新的变量（▄Y，▄Y），s.t.▄Yt=增值税- VbtanddYt=（1- ηt）dVat+ηtdVbt，替换（Va，Vb）。假设变量的变化可以倒转，则可以得到（▄Y，▄Y）的RBSDE系统，其中只有第一个分量反映为零，并且▄YT=0。相反地，我们可以从规定η和▄Y的终端条件开始，求解（▄Y，▄Y）的相关RBSDE系统，然后通过上述公式从（▄Y，▄Y，η）恢复（Va，Vb）。自然，结果（Va、Vb）应满足（43）。这个方法似乎描述了（43）的所有解，然而，在这里，我们只对构造一个特定的解感兴趣。因此，我们选择η≡ 1/2和▄YT=0，以获得▄Y=Va- Vb和Y=2Y=Va+Vb，预计满足：-dYt=Gt（Yt，Yt）dt- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0-dYt=Gt（Yt，Yt）dt- ZtdWt，YT=0（44），其中Y，Y∈ S、 过程Z，Zare渐进可测且平方可积，K∈ Sis增加，满足K=0。此外，我们表示gt（y，y）=▄Gat（y+y）/2，（y- y） /2个-Gbt（y+y）/2，（y- y） /2个,Gt（y，y）=Gat（y+y）/2，（y- y） /2个+Gbt（y+y）/2，（y- y） /2个其中（41）和（42）中定义了▄Ga和▄G。下面的引理形式化了（44）和（43）之间的联系，其证明很容易直接验证。引理4。设（Y，Y，Z，Z，K）为（44）的解。

然后vA=Y+Y，Vb=Y-Y、 Za=Z+Z，Zb=Z-Z、 Ka=K，Kb=K将解形成（43）。请注意，η的具体选择≡ 1/2对应于选择一个相对于R中直线“Va=Vb”的过程反射角（Va，Vb）。选择获得（44）的特定角度意味着相对于该直线的正交反射，以及（44）在简单旋转后产生，该旋转将该直线变成水平轴。文献[24]分析了在一般凸域中具有正交反射的RBSDE系统。然而，latterresults不适用于本案，因为（44）的生成元缺乏全局Lipschitz性质。实际上，生成器可以写为gt（y，y）=-ct（y，y）y+ct（y，y）y+gt（y，y），（45）gt（y，y）=-ct（y，y）y- ct（y，y）y+gt（y，y），（46），其中ct（y，y）=cαt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个+cβt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个严格描述（43）的所有解是未来研究的一个有趣话题。ct（y，y）=cβt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个-cαt拍打（y+y）/2, Pbt公司（y）- y） /2个,gt（y，y）=gat拍打（y+y）/2, PB（y）- y） /2个- gbt公司帕（y+y）/2, PB（y）- y） /2个,gt（y，y）=gat拍打（y+y）/2, PB（y）- y） /2个+ gbt公司帕（y+y）/2, PB（y）- y） /2个,（13）、（28）、（29）、（23）和（25）中定义了cα、Pa、Pb、Ga和Gb。很容易看出，每个cit（·，·）和git（·，·）都是有界的全局Lipschitz，一致地在a.e.（t，ω）上。然而，由于乘法器yand和y的存在，Git（·，·）是无界的，不具有全局Lipschitz性质。此外，下面建立的存在唯一性结果（参见命题1）适用于（0，1）中常数η的任何选择，这反过来意味着“倾斜”（即。

（Va，Vb）对边界的非正交反射，并将结果系统置于【24】的范围之外。回想一下，具有线性增长且没有全局Lipschitz性质的BSDE的存在性结果只能在一维情况下建立，而当前方程是多维的。然而，我们可以利用（44）的生成元具有“正确”的渐近行为这一事实来证明解的存在性。特别是，由于本节前面的假设，当k（Yt，Yt）k变大时，发电机（Gt，Gt）将（Yt，Yt）推向最大| Yit |减小的方向。提案1。假设2-6成立。然后，存在（44）、s.t.及其分量的一个解，且该解可解地以常数为界。这样的解决方案是独一无二的。证明：步骤1：完全封顶系统的存在性。对于任何常数C>0，表示ψC（y）=(-C∨ y）∧ C、 显然，该函数是y中的1-Lipschitz函数，绝对有界于C。我们定义任意常数{Cji>0}，并考虑完全封顶系统：-dYt公司=-ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+gt（Yt，Yt）dt公司- ZtdWt+dKt-dYt公司=-ct（Yt，Yt）ψC（Yt）- ct（Yt，Yt）ψC（Yt）+gt（Yt，Yt）dt公司- ZtdWt（47）在这里，以及在后面的一些表达式中，我们省略了Kt的终端条件、屏障和最小条件，因为它们始终保持不变。假设2-6意味着ct（y，y）、ct（y，y）、gt（y，y）和gt（y，y）在（y，y）中是有界的且全局Lipschitz，在a.e.（t，ω）上是一致的。因此，（47）的生成元是（y，y）中的全局Lipschitz（且独立于（Z，Z）），LipschitzBSDEs的标准存在性结果（参见[49]中的定理2.2）得出（47）的解的存在性（和唯一性）。

表示该溶液的Y分量（Y1ct、Y2ct）。步骤2：通过部分取消覆盖对解决方案组件进行绑定。我们希望通过使用单个（R）BSDESCOMPING系统的控制停止解释，将解决方案的组件（Y1ct，Y2ct）绑定到CAPED系统。考虑Y的相关方程，给出y2ct：(-dYt公司=-ctYt，Y2ctYt+ctYt，Y2ctψCY2ct公司+ 燃气轮机Yt，Y2ctdt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0（48）注意，当ct，ct，gandψCare有界时，这个一维RBSDE有一个在Y中具有线性增长的连续生成器，例如，根据[49]中的定理4.1，它有一个解，我们表示为YT。接下来，对于上面构建的Yandy2C，我们介绍过程▄ct=ct（Yt，Y2ct），▄ct=ct（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt，Y2ct），▄gt=gt（Yt），▄ct=ct（Yt），▄ct=gt（Y2ct），▄gt=gt（Y2ct），▄gt=gt（Y2ct，Y2ct），并考虑从（48）中获得的一维RBSDE（对于▄）：(-dYt=-ct▄Yt+▄ctψC（Y2ct）+▄gtdt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RT▄YtdKt=0，▄YT=0（49）。请注意▄Y=Y是该方程的唯一解。另一方面，上述RBSDE在Y中是明确的，例如，根据[35]中的定理7.1，其唯一解允许以下解释，作为最优停止问题的值函数：Yt=supτ∈TtE公司Zτtexp-ZstcuducsψC（Y2cs）+gsds公司英尺我们将使用此表示在| Y |上建立一个界。首先，请注意，在我们的假设下，存在常数C>0和λ∈ （0，1），因此，对于所有t，y，y和a.e.ω，我们有：git（y，y）ct（y，y）= 2.gat公司拍打y+y, Pbt公司Y-Y±gbt拍打y+y, Pbt公司Y-Ycαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y+ cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Y≤ Cct（y，y）ct（y，y）=cαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y- cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Ycαt拍打y+y, Pbt公司Y-Y+ cβt拍打y+y, Pbt公司Y-Y≤ λ<1，cα、Pa、Pb、GaAs和Gb定义在（13）、（28）、（29）、（23）和（25）中。

第一个不等式在C=5Cp时成立，它来自Pa、Pb和跳跃大小的有界性。第二个是假设6。上述不平等意味着：ctψC（Y2ct）+▄gt▄ct≤ λC+C，对于所有t和a.e.ω。后一种估计，连同以下引理，意味着期望的上限：| Yt |≤ λC+C对于所有t和a.e.ω。引理5。考虑任意常数C＞0，任意连续函数S:[0，T]→ R、 绝对有界于C，[0，T]上的任意非负连续函数C，[0，T]上的任意连续函数g，满足| g |≤ C | C |。对于任何0≤ T≤ τ≤ T，表示：Yt，τ=Zτtexp-Zstc（u）dug（s）ds+exp-Zτtc（u）duS（τ）。然后| Yt，τ|≤ C 0≤ T≤ τ≤ T、 证明：对于任何0≤ T≤ τ≤ T，我们有Zτtexp-Zstc（u）dug（s）ds+exp-Zτtc（u）duS（τ）≤ -ZτtCd经验值-Zstc（u）du+ 经验值-Zτtc（u）duC=CThus，我们有一个满足| Yt |的解Yof（48）≤ λC+C，P-a.s.，对于所有t.然后，对于C≥λC+C，我们得到ψC（Yt）=Yt，因此，Yalso解(-dYt公司=-ct（Yt，Y2ct）ψC（Yt）+ctψC（Y2ct）+gt（Yt，Y2ct）dt公司- ZtdWt+dKtYt≥ 0，RTYtdKt=0，YT=0注意，上述RBSDE与（47）中的Y方程一致。这个一维RBSDE有一个globallyLipschitz生成器，因此是一个独特的解决方案。这意味着Y=Y1c，我们得到了所需的界onY1c：| Y1ct |≤ λC+C，P-a.s.对于所有t，提供C≥ λC+C。类似地，考虑到封顶系统的Ypart（47），在Y1c固定的情况下，我们得到| Y2ct |≤ λC+C，P-a.s.对于所有t，提供C≥ λC+C。步骤3：适当封顶系统的解算原始系统。

为了证明（47）的解（Y1ct，Y2ct）也解出了原始系统（44），我们只需要证明，给定（Y1c，Y2c）的边界，cappedsystem的生成器与原始生成器一致，转换为ψC（Y1ct）=Y1ct，ψC（Y2ct）=Y2ct，ψC（Y2ct）=Y2ct，ψC（Y1ct）=Y1ct。前两个等式满足ifC的要求≥ λC+C，C≥ λC+C，而后两个要求λC+C≤ C、 λC+C≤ C、 只要λ<1，就可以检查这些不等式是否有解。“最小”解为C=C=C=C=C=C1- λ。通过上述封顶选择，（47）的解也解（44），从而表明（44）的解的存在。此解决方案受构造限制。有界解的唯一性源于这样一个事实，即当（y，y）在有界集上变化时，（44）的生成元是Lipschitz，因此，标准结果是YieldUnique。备注4。上述证明提供了任何系统（44）的存在性结果，其生成器由（45）–（46）给出，具有任意（有界和Lipschitz）渐进可测随机函数{ci，gi}，只要以下公式适用于a.e.（t，ω）和all（y，y）∈ R： Xi=1吉特（y，y）≤ Cct（y，y），ct（y，y）≤ λct（y，y），某些常数C>0和λ∈ （0，1）。4连续统博弈中的均衡。在本节中，我们为第2节中描述的连续玩家博弈构建了定义3意义上的均衡。构建均衡的主要困难在于博弈的混合控制停止性质（当然，还有多个参与者的事实）。因此，我们试图将问题分为两个部分—隔离游戏的“停止”部分。为了做到这一点，可以方便地做出假设，保证书的每一面都存在所谓的“极端”代理。

这些代理人被称为“极端代理人”，因为他们的信念支配着书中同一方的其他代理人的信念，在下面解释的意义上。我们用α表示长边的极值信念，用β表示短边的极值信念。简言之，信念为α的代理在长代理中最不乐观，信念为β的代理在短代理中最不悲观。例如，极端代理人可以被解释为做市商，因为他们比同一方的任何其他代理人更接近于市场中立（回想一下，我们在这个游戏中仍然没有任何指定的做市商——市场中立只是做市商的特征之一）。事实上，如果假设多头经纪人是看涨的（这是很自然的，因为在游戏结束之前，多头经纪人选择等待而不是提交市场订单），那么，信念为α的经纪人是最不看涨的。在本节中，我们构建了一个均衡，其中第一个内部市场秩序的时间和买卖价格由极端代理决定，而LOB的其余形状则由其他代理的行为决定。因此，平衡的构建分为两部分。在第一部分中，极端代理使用辅助两人博弈的结果，并确定第一个内部市场秩序的时间τ以及买卖价格Pa和pb，在他们之间找到一个均衡。在第二部分中，其他代理根据给定的（pa、pb、τ）确定其最佳行动。当然，我们最终证明了在由极值和非极值代理组成的整个市场中，每个代理的策略都是最优的。结果lobν有两个原子，即出价和要价，由极值代理和一些非极值代理的限制订单组成。