限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

LOB的其余部分仅包含非极值代理的限制订单。为了实现上述程序，我们假设A={α}∪^A和B={β}∪^B.我们假设假设假设1-6适用于本节。此外，我们作出以下假设。假设7。对于任何α∈^A，β∈^B和a.e.（t，ω），我们有λαtF+，αt（p）≥ λαtF+，αt（p），λβtF+，βt（p）≤ λβtF+，βt（p），P≥ 0，λαtF-,αt（p）≤ λαtF-,αt（p），λβtF-,βt（p）≥ λβtF-,βt（p），P≤ 0、假设8。对于任何α∈^A，β∈^B和a.e.（t，ω），我们有：F+，αt（p）Fαt（p）≤F+，αt（p）Fαt（p），F-,βt(-p） fβt(-p）≤F-,βt(-p） fβt(-p） P≥ 假设7确保从α代理人的角度来看，在任何时间t的基本价格分布随机支配着从α代理人的角度来看的各自分布。相反的关系适用于做空者。假设8中的第一个不等式确保了log F+、αt（·）的衰减速度比log F+、αt（·）更快，这也符合这样的解释，即与α代理相比，α代理将较小的概率分配给基本价格的大跳跃，将较大的概率分配给小跳跃。类似的解释适用于假设8中的第二个不等式。假设8确保，在一个空的LOB中，非极值代理会比极值代理更愿意在远离零的地方发布其限额订单。引理6。假设1-8成立。固定任意α∈^A和β∈^B.那么，对于a.e.（t，ω），以下为ally∈ R： 第7页→ （p- y） F+，αt（p）在p中不递减∈ 【y，Pat（y）】，第7页→ （y）- p） F级-,βt（p）是不增加的inp∈ 【Pbt（y），y】。证明：通过区分目标函数、回忆（30）–（31）和使用假设8，陈述很容易完成。我们还需要做出一个假设，以限制极端代理所看到的最大可能需求量。

也就是说，极端代理相信外部需求永远不会超过这些代理持有的库存。假设9。对于Leb P-a.e.（t，ω），我们有：Dt-Q+fα/βt（x）dx≤ ua{α}, -Dt公司-Q-fα/βt（x）dx≤ ub{β},其中Q+和Q-定义见（4）。为了构造一个平衡点，我们需要在信任空间和映射α7上施加一定的拓扑条件→ fα。假设10。空间^A和^B是紧度量空间，上面有Borel-sigma代数（即关于Borel-sigma代数的uA和ubare度量）。此外，对于a.e.（t，ω），映射α7→ fα作为映射^a连续→ L[0，Cp]和作为映射的^B→ L[-Cp，0]。最后，我们需要确保需求规模曲线“不太弯曲”。假设11。存在一个递增的连续（确定性）函数: [0，∞) → [0，∞), s、 t。（0）=0，对于a.e.（t，ω），| D-1吨（x）- D-1t（y）|≤ （| x）- y |），对于所有x，y∈ R、 现在，我们开始在连续统博弈中构造一类特殊的均衡。如前所述，均衡首先通过求解辅助两人博弈来构建，如第3节所述。在两人博弈中，我们假设两个代理具有信念α和β。因此，我们考虑（44）的唯一有界解（Y，Y），并根据引理4构造相关的（Va，Vb），其解（43）。然后，引理3暗示（Va，Vb）是两人平衡（^pa，^pb，^τ，’p）的值函数，其中^pat=pat（Vat），^pbt=pbt（Vbt），^τ=inf{t∈ [0，T]：Vat=Vbt}，\'pt=Vat+Vbt。让我们介绍一下≥^τ}，pbt=^pbt{t<^τ}+？p^τ{t≥^τ}。（50）利用这些辅助量，我们旨在为连续统博弈构建一个均衡，其中（ν，θ）满足以下两个条件。

首先，νat=ua（{α}）δpat+(R)νat，νbt=ub（{β}）δpbt+(R)νbt，（51）在R上的sigma加法度量空间中具有渐进可测量的？νaan和？νbtaking值，这样，对于所有t∈ [0，T]，[pat，Cp]上支持的是“νatis”，而[pat，Cp]上支持的是“νbtis”[-Cp，pbt]。其次，θat=ua（a）δVat，θbt=ub（b）δVbt。（52）注意，在这样的市场中，我们有τa=τb=^τ。以下定理是本文的主要结果。定理1。假设1-11成立。考虑（43）的任何解（Va，Vb）（其存在由命题1和引理4保证）以及（50）给出的相关解（pa，pb）。然后，存在渐进可测测度值过程（ν，θ）和随机场p，v：Ohm ×【0，T】×S→ P（R）×R，在定义3的意义上形成平衡，并满足（51）–（52）以及ovt（1，α）=Vat，vt(-1，α）=Vbt，对于所有（t，ω，α），opt（1，α）=pat，pt(-1，β）=pbt，对于所有（t，ω）。备注5。回想一下，总是存在一个“微不足道”的平衡，其中所有代理都在时间零点停止。然而，这种平衡是不现实的，从建模的角度来看似乎没有用处。上述结果的主要贡献是存在一个潜在的非平凡均衡，其中博弈的持续时间^τ由（43）的解决定，通常没有理由为零。第5节中的数值实验证实了后者。备注6。注意，如备注2中所述，我们已经构建了一个均衡，满足vt（1，α）=vat=vat，vt(-1，α）=vbt=vbt， α∈ A.∪ B、 （t，ω）∈ [0，T]×Ohm.因此，在这种均衡中，没有代理人在博弈结束之前执行市场订单，因此，经验分布u保持不变，且（12）保持不变。这一节的其余部分致力于定理1的证明。

首先，我们证明，在一个（ν，θ）满足（51）–（52）的市场中，代理商发布低于要价的限价卖出订单或发布高于出价的限价买入订单（严格地）从来都不是最优的。此外，代理商在^τ之前提交市场订单（严格来说）从来都不是最优的。为了实现这一点，我们需要利用假设7、8，将代理的值函数与Va和Vb进行比较。为了方便起见，引入了分量“νaA”和“νbare”，以表示νat（{pat}）≥ ua（{α}）和νb（{pbt}）≥ ub（{β}）。引理7。假设1–8成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。给定任意α∈ A和任何容许控制（p，τ），对于信念为α的长代理，存在容许控制p，s.t.，p-A.s.，supp（pt） [帕特，∞), 对于allt∈ [0，T]和（p，^τ）不会降低目标值，即J（ν，θ），（p，τ）（1，α）≤ J（ν，θ），（p，^τ）（1，α）。同样，给定任何β∈ B和任何容许控制（p，τ），对于信念为β的短代理，存在容许控制p，s.t.，p-a.s.，supp（pt） (-∞, pbt]，对于所有t∈ [0，T]和（p，^τ）不会减少目标值，即J（ν，θ），（p，τ）(-1，β）≤ J（ν，θ），（p，^τ）(-1，β）。附录中给出了上述引理的证明。这个引理有一个直接但有用的推论。推论1。假设1–8成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。给定任意α∈ A、 设（p，τ）是具有信念α的长代理的非最优策略，在所有可容许策略类中满足：p-A.s.supp（pt） [帕特，∞), 对于所有t∈ [0，T]，τ=^τ。那么（p，τ）在定义2的意义上，在所有可接受的策略类中是最优的。同样，给定任何β∈ B、 设（p，τ）是具有信念β的短代理的最优策略，在所有可容许策略类中满足：p-a.s.supp（pt） (-∞, pbt]，对于所有t∈ [0，T]，τ=^τ。

那么（p，τ）在定义2的意义上，在所有可接受的策略类中是最优的。因此，无论代理使用的是哪种极限顺序策略，她都可以选择以下停止阈值：^v（s）=Va{s>0}+Vb{s<0}。这意味着，给定形式（51）的LOBν和如上所述的停止策略^v，如果任何状态（s，α）都存在最优极限顺序策略^p（s，α），那么（s，α），^v）在定义2的意义上为处于状态（s，α）的代理形成最优控制。此外，在这种情况下，（52）给出的θ满足条件（11）。接下来，我们需要构建一个表（51）中的LOBν，并对所有代理的相关最优限制顺序策略s.t.（10）进行统计。特别是，以下引理（其证明推迟到附录中）表明，对于表（51）中的任何ν，策略（δpa，Va）和（δpb，Vb）对于极端代理都是最优的。引理8。假设1-9成立，且（ν，θ）满足（51）–（52）。然后，在定义2的意义上，给定（ν，θ），策略（δpa，Va）对于信念为α的长代理是等时的，策略（δpb，Vb）对于信念为β的短代理是最优的。其余步骤将在下一小节中执行。4.1非极端因素的平衡策略在本小节中，我们构建了形式为（51）的度量值过程（νa，νb）和一个渐进可测量的随机场（^pt（s，α）），从而控制（^p（1，α），Va）和（^p(-1，α），Vb）对于信念分别为α，长和短的非极端代理是最优的（回想一下，极端代理的最优策略是在引理8中构造的），并且满足固定点约束（10）。鉴于引理7，我们可以将可能的控制p限制为满足以下条件的：supp（pt） [帕特，∞), 对于所有t∈ [0，T]。

很明显，我们可以限制PTT的支持[-Cp，Cp]。由于停止策略是固定的，对于任何α∈^A，一个多头球员的目标减少到“Jα，（p），其中“Jα，（p）t=EhZTtexp-Zst'cαupau，pbu杜邦(R)hα，as（ps，pas，pbs）ds+exp-ZTt？cαupau，pbu杜！pb^τ| Fti，\'cαt（pat，pbt）=cαt（pat，pbt）1{t≤^τ}，\'hα，at（pt，pat，pbt）=hα，at（pt，pat，pbt）1{t≤^τ}，以及（13）和（16）中定义的cα和hα。根据假设7和9，我们有Lc，bt（x）=infp>Q-（νbt）：-Dt（p- x） >νbt（（p，∞))= pbt公司∨ 十、十、∈ supp（fαt）。此外，对于任何z≥ pat，{u>0:lc，at（u）≥ z} ={u>0:u≥ Z- D-1t（νat（[pat，z））}，因此，对于任何B≥ pat，ZBpatfαt（u）（lc，at（u）- pat）du=Zlc，at（B）-patZCpu+pat-D-1t（νat（[pat，pat+u）））fαt（y）dydu。上述观察结果允许我们简化目标：hα，at（pt，pat，pbt）=λαtZ∞路径（z- pbt）F+，αtZ- D-1t（νat（[帕特，z）））+ pbtF+，αt（pat）+Zz-D-1t（νat（[pat，z）））patfαt（u）lc，at（u）duipt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）=λαtZCppath（z- pbt）F+，αtZ- D-1t（νat（[帕特，z）））+Zz公司-patF+，αtu+帕特- D-1t（νat（[帕特，帕特+u）））duipt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat）。注意，上述目标不依赖于νb（对于给定的pb），因此，我们可以分离长代理和短代理的平衡问题（当然，这仅适用于非极值代理）。为简单起见，我们只考虑长代理的问题–短代理可以类似地处理。用κtand^νat表示pT和νat的推进度量，在映射x 7下→ 十、- 拍打很明显，这种变换保持了可测性，因此，我们可以将平衡问题重新表述为寻找κ和^νa，在[0，Cp]中支持的测度空间中的值。在新变量中，目标采用更方便的形式。

特别是，hα，at（pt，pat，pbt）=^hα，at（κt，pat，pbt），其中^hα，at（κt，pat，pbt）=λαtZCph（z+pat- pbt）F+，αtz+帕特- D-1t（^νat（[0，z）））+ZzF+，αtu+帕特- D-1t（^νat（[0，u）））duiκt（dz）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat）。请注意，\'Jα，（p）用af fine generator^Gαt（y）=\'cαu求解BSDEpau，pbuy+hα，at（κt，pat，pbt）。为了使“Jα”（p）最大化，有必要找到一个使上述生成器最大化的策略κ。反过来，后者相当于最大化^hα，at（·，pat，pbt）。因此，我们需要找到一个渐进可测量的随机场（κt（α）），其值为P（R）（具有弱拓扑），s.t.，对于ua-a.e.α∈^A，κt（α）∈ argmaxκ∈ψ^hα，at（κ，pat，pbt）（53）适用于dt×P-a.e.（t，ω），其中ψ={P∈ P（π）：supp（P） π}和∏=[0，Cp]。因此，标准BSDE结果表明，对于处于状态（1，α）的试剂，κ（α）是最佳的，对于ua-a.e.α∈^A.此外，如果我们确保满足固定点约束（10）（并且类似的构造适用于短代理），我们将在定义3的意义上获得连续玩家博弈中的非平衡。注意，我们可以重写^hα，at（κ，pat，pbt）=λαtZRFt（α，p，^νat）κ（dp）+2λαtpbtF-,αt（pbt）+λαtpbtF+，αt（pat），Ft（α，p，^νat）=（p+pat- pbt）F+，αtp+pat- D-1t（^νat（[0，p）））+ZpF+，αtu+帕特- D-1t（^νat（[0，u）））杜。（54）假设极端长代理在pa后限制订单，固定点约束（10）（更准确地说，对应于长代理的部分（10））变为：^νat（[0，x]）=ua（{α}）+Z^aκt（α；[0，x]）ua（dα），十、≥ 0。（55）上述方程可以针对不同的（t，ω）分别求解，因此，为此，我们定义（t，ω），并在没有引起歧义的情况下省略tsubscript。下面的语句适用于a.e.（t，ω）。

结果表明，搜索measureK（dα，dx）=κ（α；dx）ua（dα）更方便，它是Mua的一个元素^A×∏, ^A×∏上的有限西格玛加性度量空间，具有第一个边缘uA。通过通常的分解完成从K到κ的转换。因此，对于a.e.（t，ω），我们需要找到（K，ν）∈ Mua^A×∏×Mua（a）（π）求解以下系统K∈ argmaxK∈Mua（^a×∏）RF（α，p，ν）K（dα，dp），ν（dx）=ua（{α}）δ（dx）+K^A×dx,（56）式中，Mua（a）（π）是∏上的有限西格玛加性度量的空间，总质量ua（a）=ua（{α}）+ua（^a）。显然，上述系统可以表述为一个定点问题。然而，解决这个问题的主要挑战在于F（α，·，·）不是连续的：例如，如果ν有原子，它可能在p中不连续。因此，我们将F替换为其“molli fi”版本：^F（α，p，ν）=supp∈πF（α，p，ν）- |P- p |。下面的引理表明，我们可以用（56）中的^F代替F，任何新问题的解决方案都会解决原来的问题。引理9。对于任何α∈^A和ν∈ Mua（a）（π），函数p 7→^F（α，p，ν）是p中的1-Lipschitz∈ π，andargmaxp∈∏^F（α，p，ν）=argmaxp∈πF（α，p，ν）。证明：为了方便起见，我们放弃了对（α，ν）的依赖。从定义上看，第一句话很清楚。这也是显而易见的∈∏^F（p）=支持∈πF（p），我们用S表示这个上确界。由于^F在∏中是连续的，它达到了它的上确界，因此，对于每个^F（p）=S的psuch，有必要证明F（p）=S（注意，相反的含义是明显的）。假设相反，则F（p）≤ s- ε、 对于某些ε>0且所有p∈ ∏∩ （p- ε、 F的上半连续性。然后，我们得到^F（p）≤ s- ε、 这是一个矛盾。

要看到F是上半连续的，请注意它是左连续的，只有向下的跳跃，直接从（54）开始。总结上述讨论，为了找到（56）的解决方案，有必要找到以下对应关系的固定点mua^A×∏3 K 7→K（￠ν（K）），其中￠ν（K；dx）=u（{α}）δpa（dx）+K（^A×dx）∈ Mua（a）（π）（57）为单值，且▄K（ν）=argmaxK∈Mua（^a×∏）Z^F（α，p，ν）K（dα，dp） Mua^A×∏. （58）提案2。假设10、11成立。然后，通信K:K 7→由（57）–（58）定义的|K（|ν（K）），有一个固定点。证明：为了证明该命题，我们使用了Kakutani的对应定理（参见[26]中的定义II.7.8.1和theorem II.7.8.6）。注意，Mua^A×∏, 具有弱拓扑，是凸紧的（byProkhorov定理）。此外，它还可以看作是连续函数空间的对偶的一个子空间，它是半赋范的。因此，为了应用Kakutani定理，只需证明K是上半连续的（uhc），具有非空紧凸值。还请注意，K（ν）是凸的定义（作为凸集上线性泛函的argmax），因此，K是凸值，我们只需要显示它是uhc，具有非空紧值。同于第7页→ ν（p）是一个连续函数，连续函数和uhc对应的组合是uhc对应，有必要验证ν7→~K（ν）是auhc非空紧值对应。为了实现这一点，我们使用了经典的Berge定理（参见[41]，第E.3节），该定理将问题归结为函数（K，ν）7的连续性→ φ（K，ν）=Z^F（α，p，ν）K（dα，dp），（59）Mua^A×∏×Mua（a）（π），通过L’evy-Prokhorov度量进行度量。在剩下的证明中，我们证明φ（K，ν）在（K，ν）中是联合连续的。

更精确地说，φ（K，ν）在K中是连续的，并且它在K上是连续的inν（关于L'evy-Prokhorov度量）。首先，我们证明φ（K，ν）在K中是连续的。通过弱拓扑的定义，期望的连续性将遵循^F（α，p，ν）关于（α，p）的联合连续性。由于引理9，^F（α，p，ν）在p中是1Lipschitz（均匀地在α上∈因此，有必要检查^F（α，p，ν）在α中是连续的。后者源自于F（α，p，ν）在α中是连续的，在p上是一致的∈ ∏。实际上，请注意，如果，对于某些α∈ U（α），我们有| F（α，p，ν）- F（α，p，ν）|≤ εP∈ π，则^F（α，p，ν）=F（α，p，ν）- |P- p |≤ F（α，p，ν）- |P- p |+ε≤^F（α，p，ν）+ε，这与类似的对称不等式一起表明^F（α，p，ν）-^F（α，p，ν）≤ ε。上面的第一个性质来自于F在p中是上半连续的（并且从上面以2Cp为界），这在引理9的证明中显示，因此，在somep中实现了^F定义的上确界。证明F（α，p，ν）在α中是连续的，在p上是一致的∈ 我们回忆起（54），期望的连续性直接来自假设10。仍然需要证明φ（K，ν）在ν中是连续的∈ Mua（a）（π），均匀覆盖K∈ Mua^A×∏. 由于φ的定义，每一个这样的K都有固定的总质量，期望的连续性来自以下事实：^F（α，p，ν）在ν中是连续的，均匀地覆盖在（α，p）上∈^A×∏。为了证明后者，fixε>0，并让dbe L'evy Prokhorov度量为Mua（a）（π）。我们证明存在一个递增的连续确定性函数C:[0，∞) → [0，∞), s、 t。