限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

（尽管如此，第2.3小节表明，输入（M，{Pα}）可以被代理的信号{λα，fα}代替。）定义1。对于给定的市场（ν，θ）和状态（s，α）∈ S、 如果表达式的正部分在（8）（如果S=1）或（9）（如果S=-1） 在Pα下有一个有限的期望。定义2。对于给定的市场（ν，θ）和状态（s，α）∈ S、 我们称之为容许控制（p，v）最优ifJ（ν，θ），（p，v）（S，α）≥ J（ν，θ），（p，v）（s，α）p-a.s.，对于任何容许控制（p，v）。在上面，我们对具有连续玩家的游戏进行了标准假设：每个代理都太小，当她改变控制时，不会影响累积控制（由ν描述）的分布。接下来，我们定义拟议博弈中的均衡。当然，在实践中，并非所有代理都会同时行动：只有一小部分代理会在游戏结束时提交内部市场订单，其他代理则会进入下一个游戏，更新了X。然而，游戏结束时代理的这种“库存”（前提是游戏结束时有内部市场订单）与“集群交易”的经验观察一致。定义3。给定市场（ν，θ）和一对F-逐步可测随机场（p，v）：Ohm ×【0，T】×S→ P（R）×R形成平衡，if1。对于u-a.e.（s，α）∈ S、 （p（S，α），v（S，α））是（ν，θ）和（S，α），2的最优控制。对于任何t<\'t，以下为P-a.s.：=t∧ 助教∧ Tb∧ τa∧ τb）和任意x∈ R： νat((-∞, x] ）=ZApt（1，α(-∞, x] ）ua（dα），νbt((-∞, x] ）=ZBpt(-1，α；(-∞, x] ）ub（dα），（10）θat((-∞, x] ）=ZA{vt（1，α）≤x} ua（dα），θbt((-∞, x] ）=ZB{vt(-1，α）≤x} ub（dα）。（11） 请注意，所有代理立即停止的平凡平衡总是可能的。

然而，这种平衡显然不足以用于建模，其他非平凡平衡的存在也远不明显。在本文的剩余部分，我们使用一个辅助的两人博弈（参见第3节）来确定一类更现实的潜在均衡，其中博弈的结束时间由关联RBSDE系统的解唯一确定（参见（44）），并且我们在定理1中证明了这类均衡的存在性。尽管可以构建模型，其中产生的均衡仍然微不足道（即游戏结束时间为零），但正如第5节中的示例所证实的那样，一般情况并非如此。备注2。在上述定义中，我们隐含地假设，在所有参与者的博弈结束之前，代理人状态的经验度量一直保持不变。事实上，如果平衡是这样的，P-a.s.，对于所有t<\'t，我们有：uo （（s，α）7→ St（s，α））-1=u，（12）耐受（1，α）=1[0，Tp（1，α），a∧τv（1，α），a）（t）和St(-1，α）=-1[0，Tp(-1，α），b∧τv(-1，α），b）（t）。如果非零数量的代理严格在T之前执行其订单，则条件（12）可能失败：即ifTp（1，α），a∧τv（1，α），a<T表示具有正ua-测度的一组α，或Tp(-1，α），b∧τv(-1，α），对于具有正ub-度量的一组α，b<T。后者不能由于外部市场订单而发生，因为它们只在Ta之前到达特定的时间∧ Tb≥只有零数量的代理才能针对任何此类市场指令执行其限额指令（参见（5））。同样，在τa之前的任何时间t∧ τb≥只有零数量的代理商才能执行其内部市场订单（参见（6））。然而，这样的时间t的集合可能是不可数的。

因此，为了确保u保持不变，因此，（12）保持不变，有必要只考虑满足所有t的平衡P-a.s.，除了可能的可数集：vt（1，α）≥ 增值税：=Q-（θat），vt(-1，α）≤ vbt：=Q+（θbt），α∈ A.∪ B、 在随后的章节中，我们构建了这样一个平衡。2.3目标的表示在本节中，我们提供了代理目标的等效表示，这使其更易于处理，也更便于后续分析。此外，还表明所提出的平衡问题的主要输入参数是信号{（λα，fα）}α∈A.∪B、 形成{Pα}下X的补偿器，以及需求弹性D（后者独立于α，在许多现实模型中，可以是确定性的）。特别是，不需要跟踪随机测度N和概率测度{Pα}，它们只需要显示当前设置在异源信念游戏的标准框架内。利用驱动泊松测度N和布朗运动W的独立性，根据标准参数导出所需的表示。首先，我们介绍本文将使用的新符号。对于任何α∈ A.∪ B、 t型∈ [0，T]，p，x，y∈ R和κ∈ P（R），我们定义了x和y级极限指令的瞬时拟合：F+，αt（x）=Z∞十、∨0fαt（u）du，F-,αt（y）=Zy∧0-∞fαt（u）du，cαt（x，y）=λαtF-,αt（y）+F+，αt（x）. （13） 接下来，我们将结算价格定义为基本价格x的函数：lc，at（x）=supp<Q+（νat）：Dt（p- x） >νat((-∞, p） （）, （14） lc，bt（x）=infp>Q-（νbt）：-Dt（p- x） >νbt（（p，∞)). （15） 请注意，如果X在时间t有正跳变，则时间t的清算价格由▄pc，at=lc，at（Xt）给出。类似地，如果X在时间t有负跳变，则▄pc，bt=lc，bt（Xt）。

最后，我们引入了执行的限价指令的瞬时回报率，按照κ分布，买卖价格y和x:hα，at（κ，x，y）=λαtZ∞（Q）-（κ）∧x）∨0fαt（u）“Zlc，at（u）-∞zκ（dz）+y+lc，at（u）1{lc，at（u）≥x}κ（（lc，at（u）），∞))#du（16）+λαtZy∧0-∞fαt（u）y+lc，bt（u）du，hα，bt（κ，x，y）=λαtZ（Q+（κ）∨y）∧0-∞fαt（u）“Z∞lc，bt（u）zκ（dz）+x+lc，bt（u）1{lc，bt（u）≤y}κ(-∞, lc、bt（u））#du（17）+λαtZ∞十、∨0fαt（u）（x+lc，at（u））du。使用上述符号，我们可以得到目标的简化表达式，如下引理所示。注意，此表示中的期望值是在参考度量下进行的，目标仅取决于累积作用（ν，θ）和（{λα，fα}，D）（如（13）–（17）中的表达式仅取决于（{λα，fα}，D））。引理1。假设1成立。给定市场（ν，θ），对于任何α∈ A.∪ B和任何容许策略（p，v），我们有：J（ν，θ），（p，v）（1，α）=EhZ^τv，a∧τbexp-Zscαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦hα，as（ps，pas，pbs）ds（18）+exp-Z^τv，a∧τbcαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜！paτb{τb<τv，a}+pbτv，a{τb≥^τv，a}i、 J（ν，θ），（p，v）(-1，α）=-EhZ^τv，b∧τaexp-Zscαupau，pbu∨ Q+（pu）杜邦hα，bs（ps，pas，pbs）ds（19）+exp-Z^τv，a∧τbcαupau，pbu∨ Q+（pu）杜！pbτa{τa<τv，b}+paτv，b{τa≥^τv，b}i、 式中，^τv，a=T∧ τv，a∧ τa，τv，b=T∧ τv，b∧ τ带期望值是在P下进行的。证明：证明很容易在W上进行条件化。注意，在FT的条件下，M是一个泊松随机测度，确定性补偿器λαtfαt（x）dt dx在[0，t]×R上是有限的。还记得D，ν，θ，p，v，pa，pb，τv，a，τv，b，τa，τb，以及引理上方定义的所有随机函数都适用于F。在FT的条件下，它们成为时间的确定性函数。

回顾基本价格过程，Xt=RRxM（{t}×dx），并介绍yt=Xt{Xt>（帕特∧Q-（pt））∨0}+1{Xt<pbt∧0}.请注意，^Tp，ais是Yt第一次正跳的时间，tb是其第一次负跳的时间。注意，以FT为条件，清算价格pc，at成为t和Yt的确定函数：pc，at=lc，at（Yt）。因此，以FT为条件，（8）中的期望值内的表达式成为Y第一次跳跃的时间和大小的函数。在FT条件下，X是具有补偿器λαtfαt（u）dudt的泊松随机测度的跳跃过程。同样清楚的是，在FT条件下，Y是强度为cαt的非齐次复合泊松过程的跳跃过程拍打∧ Q-（pt），pbt, 时间t的跳跃大小分布由λαtfα（x）cαt给出拍打∧ Q-（pt），pbt{x≤pbt公司∧0}+1{x≥（帕特∧Q-（pt））∨0}dx。那么，一个标准的计算结果就是（18）。方程式（19）的推导方法类似。（18）和（19）中的期望是在P下进行的，因为期望中的表达式适用于F=FW，并且W在P和Pα下具有相同的分布。3一个两人博弈在本节中，我们考虑一个辅助的非零和两人控制停止博弈。它与连续玩家游戏相关，但将在后续章节中建立精确的联系。关于非零和两人控制停止游戏的更多信息，请参阅[33]、[34]以及其中的参考文献。然而，值得一提的是，目前的游戏不属于之前考虑的任何类别。我们将在即将开展的工作中对这类游戏进行更详细的描述【22】。假设第2.1小节中的所有概率结构均已就位。

即，如第2节所述，我们给出了一个布朗运动W、泊松测度N、计数随机测度M、一系列概率测度{Pα}和需求弹性过程D的随机基。我们假设假设1成立。此外，假设A={α}和B={β}。考虑一个两人游戏，其中第一个（长）玩家从初始库存1开始，并有信念α，第二个（短）玩家从初始库存开始-1和信仰β。游戏按照与上一节中描述的规则相似的规则进行：每个代理可以在书的相应一侧发布限制订单，也可以通过提交市场订单来终止游戏。根据外部市场指令执行限额指令的方式与前一节所述完全相同。然而，在此，在任何给定时间，每个代理仅允许在单个位置发布限额指令（即，控制PTI是Dirac度量）。此外，当前游戏与前一节定义的游戏之间的主要区别在于，在此，每个玩家都有一个非零质量，因此可以影响LOB。事实上，由于这本书的每一边只有一名球员，LOB是由两个Dirac度量值的组合给出的：νat=δpat，νbt=δpbt，由球员的限制指令的位置控制：长代理的PAP，短代理的pbt。显然，Pa也与要价一致，而Pb是标价。请注意，这些价格中的每一个现在都由一个代理控制，这与上一节中描述的原始名称不同。停止阈值也是如此：由Diracmeasures给出的θaA和θbare，这些测度的位置分别对应于多头和空头使用的阈值Va和Vb。

在这个新游戏中（由于其简单性），使用相关的停止时间τa和τb更方便。事实上，我们将进一步限制代理的控制，以便τa=τb=：τ和paτ=pbτ=(R)pτ。这些限制背后的含义很清楚：每个代理都假设对方将在与她完全相同的时间执行市场订单，并且这些订单是以相同的价格执行的。考虑到上述考虑因素，我们将（8）转化为长期参与者的目标：~Ja，（pb，\'p），（p，τ）=EαpTp，a{Tp，a<Tb∧τ} +2pbTb{Tb<Tp，a∧τ} +(R)pτ{Tp，a∧Tb>τ}, （20） 其中，pb、p和p是R值F适应过程，τ是值为[0，T]的停止时间，Tb=inf{T∈ [0，T]：Xt<pbt}，Tp，a=inf{T∈ [0，T]：Xt>pt}，Xt=M（{T}×R）。类似地，对于短试剂，￠Jb，（pa，￠p），（p，τ）=-EαpTp，b{Tp，b<Ta∧τ} +2数据{Ta<Tp，b∧τ} +(R)pτ{Tp，b∧Ta>τ}, （21）参见，例如，【19】、【36】、【17】、【6】以及其中的参考文献，了解相关的经典Dynkin对策，这些对策是零和且仅停止的。式中，pa、(R)p和p是R值F-适应过程，τ是值为[0，T]的停止时间，ta=inf{T∈ [0，T]：Xt>pat}，Tp，b=inf{T∈ [0，T]：Xt<pt}。利用引理1，我们推导出目标函数的以下形式：Ja，（pb，\'p），（p，τ）=EhZτexp-Zscαu（pu，pbu）du气体（ps、pbs）ds（22）+exp-Zτcαu（pu，pbu）du\'pτi，其中cα在（13）中定义，而gat（x，y）=λαt2yFα，-t（y）+xFα，+t（x）. （23）类似地，△Jb，（pa，’p），（p，τ）=-EhZτexp-Zscβu（pau，pu）dugbs（pas，ps）ds（24）+exp-Zτcβu（pau，pu）du\'pτi，其中gbt（x，y）=λβtyFβ，-t（y）+2xFβ，+t（x）. （25）为了确保上述表达式得到很好的定义，并分析两人博弈中的均衡，我们需要做出以下假设。假设2。

存在一个常数C>0，s.t.，P-a.s，|λαt |，| fαt（x）|≤ C、 对于所有α∈ A.∪ B、 t型∈ [0，T]和x∈ R、 我们还假设可能的价格跳跃大小是有界的。假设3。存在一个常数Cp>0，s.t.，P-a.s.，supp（fαt） [-Cp，Cp]，对于所有α∈ A.∪ B和T∈ [0，T]。用一组连续的F-适应过程Y表示，使得sup0≤T≤T | Yt |∈ 五十、 我们说，如果'p'，则终端执行价格'p是可接受的∈ S、 如果p是F-逐步可测、满足、p-A.S.，| pt |，则允许使用控制（p，τ）≤ Cpfor all t公司∈ [0，T]，τ是F-停止时间。接下来，我们将介绍两人博弈中的最优和均衡的概念，它们类似于定义2-3。定义4。对于给定的容许控制（pb，\'p），我们将长代理的容许控制（p，τ）称为最优控制，如果￠Ja，（pb，\'p），（p，τ）≥对于任何容许的控制（p，τ），为Ja，（pb，p），（p，τ）。类似地，对于给定的可容许（pa，\'p），我们称短代理的可容许控制（p，τ）为最优，如果￠Jb，（pa，\'p），（p，τ）≥Jb，（pa，(R)p），（p，τ），用于任何容许控制（p，τ）。定义5。组合（pa，pb，τ，’p）是两人博弈中的均衡，如果它是允许的，并且给定（pb，’p），控制（pa，τ）对于长代理是最优的，而给定（pa，’p），控制（pb，τ）对于短代理是最优的。在下一小节中，我们通过一个反向随机微分方程（RBSDE）系统来描述均衡策略。3.1通过RBSDE系统来描述均衡。下一个假设用于确保代理最优控制的唯一性和规律性。假设4。P-a.s.，对于任何α∈ A.∪ B和t∈ [0，T]，fαT（·）在其支架内部是连续的，fαT（0）=0，且0<f+，αT（0）<1。假设5。

P-a.s.，对于任何α∈ A和t∈ [0，T]，F+，αT（·）/FαT（·）是supp（FαT）内部的递减函数∩ R+，在间隔的右端消失。类似地，P-a.s.，对于任何β∈ B和t∈ [0，T]，F-,βt（·）/fβt（·）是supp（fβt）内部的一个递增函数∩ R-, 在间隔的左端消失。备注3。例如，正跳跃分布的对数凹度（与负跳跃的分布类似）暗示了F+、αt（·）/Fαt（·）的单调性。与其要求F+、αt（·）/Fαt（·）是递减的，不如假设其增长率从上到下为1- ε、 对于ε>0的常数，与（t，ω）无关。为了证明具有两人博弈均衡特征的RBSDE系统的解的存在性，我们还需要假设“信念的范围是相对有界的”。假设6。存在一个常数C>0，s.t.，P-a.s.：C≤λαtλβt≤ C、 C类≤fαt（x）fβt（x）≤ C 十、∈ R t∈ [0，T]。首先，我们分析了一个代理的个体优化问题，并根据给定的交易对手的行为来进行优化。假设我们得到了一个流程“p”∈ 可逐渐测量的砂（pa，pb），以便P-a.s.，| pat |，| pbt |≤ Cp，T∈ [0，T]。让我们介绍代理的价值函数：Vat=ess supτ∈Tt，pEhZτtexp-Zstcαu（pu，pbu）du气体（ps、pbs）ds（26）+exp-Zτtcαu（pu，pbu）du\'pτFti，Vbt=ess infτ∈Tt，pEhZτtexp-Zstcβu（pau，pu）dugbs（pas，ps）ds（27）+exp-Zτtcβu（pau，pu）du\'pτFti，其中tti是F-停止时间的集合，其值在[t，t]中，p是任何F-逐步可测量的过程，具有| p |≤ （13）、（23）和（25）中定义了Cp和cα、Ga和G。

此外，我们还引入了以下随机函数：Ga，xt（y，z）=-cαt（x，z）y+gat（x，z），x，y∈ R、 Gat（y，z）=supx∈RGa，xt（y，z）=-cαt（Pat（y），z）y+gat（Pat（y），z），y∈ R、 其中Pat在ask端提供最佳价格位置，以反馈形式给出：Pat（y）=inf arg maxp∈R（p- y） F+，αt（p），y∈ R、 （28）同样，对于任何可接受的pa，我们定义为Bt（y）=sup arg maxp∈R（y- p） F级-,βt（p），y∈ R、 （29）Gbt（z，y）=-cβtz、 Pbt（y）y+gbtz、 Pbt（y）, Y∈ R、 Pat（y）的值可以描述为p的唯一非负解p- y=F+，αt（p）/Fαt（p），（30），除非y太大，在这种情况下，Pat（y）是Fαt支撑的上边界，或者太小，在这种情况下，Pat（y）=0。同样，Pbt（y）是y的唯一非正解p- p=F-,如果y太小，则为βt（p）/fβt（p），（31）或fβt支撑的下边界，如果y太大，则为零。引理2。假设1-5成立。然后，随机函数Pa和Pb是逐步可测的，并且满足P-a.s.，对于所有t∈ [0，T]：0≤ 帕特（y）≤ Cp，-Cp公司≤ Pbt（y）≤ 0，帕特（y）≥ y、 Pbt（y）≤ YY∈ R、 此外，Pat（·）和Pbt（·）是非递减的1-Lipschitz。证明：渐进可测性性质和上述不等式直接来自假设2-4。单调性和1-Lipschitz性质遵循假设5和表示（30）–（31）。上述引理以及假设2-4意味着，对于任何容许的（p，pb，\'p），Gat（0，pbt）和Ga，ptt（0，pbt）是有界过程，Gat（y，pbt）和Ga，ptt（y，pbt）是y中的Lipschitz，均匀地覆盖在a.e.（t，ω）上。