限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

C（0）=0和^F（α，p，ν）-^F（α，p，ν）≤ C（ε）， P∈ π，α∈^A，d（ν，ν）≤ ε。如果我们设法证明存在一个递增的连续确定性函数B：[0，∞) → [0，∞), s、 t.B（0）=0和f（α，p，ν）≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）+B（ε），（60）然后^F（α，p，ν）=F（α，p，ν）- |P- p |≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）- |P- p |+B（ε）≤ F（α，（p- ε）∨ 0，ν）- |（p- ε）∨ 0- p |+B（ε）+ε≤^F（α，p，ν）+B（ε）+ε。后者与ν和ν被切换的类似不等式一起，产生了所需的ν中^F的一致连续性。因此，只剩下证明（60）。对于任何p∈ π，根据L’evy Prokhorovmetric的定义，我们得到：ν（[0，p））≥ ν（[0，（p- ε）∨ 0））- ε，因此，根据假设11，-D-1（ν（[0，p）））≥ -D-1（ν（[0，（p- ε）∨ 0）））- （ε） 。那么，对于任何p∈ π，p+pa- D-1（ν（[0，p）））≥ （p- ε）∨ 0+pa- D-1（ν（[0，（p- ε）∨ 0）））- （ε） ，表示f+，αp+pa- D-1（ν+（p））≤ F+，α（p- ε）∨ 0+pa- D-1（ν+（（p- ε）∨ 0））+ Mf公司（ε） ，其中我们使用了fα由某个常数Mf限定的事实。上述估计以及pa、Pb和F+、α的有界性，得出了（54）中第一项的期望不等式（60）。综合上述估计，我们得到（54）右侧最后一项的类似不等式，从而完成证明。命题2意味着，对于a.e.（t，ω），我们可以找到Kt，ω∈ Mua^A×∏, s、 t.Kt，ω∈~K（~ν（Kt，ω）），因此，（Kt，ω，~ν（Kt，ω））满足（56）。接下来，我们需要建立Kt，ω相对于（t，ω）的可测性。也就是说，我们需要证明存在一个渐进可测映射（t，ω）7→ Kt，ω∈Mua^A×∏, 这样kt，ω∈ argmaxK∈Mua（^a×∏）φt，ω（K，ν（Kt，ω）），（61）表示Leb P-a.e.（t，ω），其中φ和￠ν在（59）和（57）中定义。我们表示S=[0，T]×Ohm, 设S为S上的推进sigma代数（定义为w.r.t.过滤F）。

我们还表示X=Mua^A×∏并介绍通信g:S×X→ 十、 由（t，ω，K）7给出→ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））。请注意，X是可分离和可度量的，请考虑函数（t，ω，K，K）7→ φt，ω（K，￠ν（K）），定义在（S×X，S）上 B（X））。请注意，该函数在K中是连续的（如命题2的证明所示），在（t，ω，K）中是可测的（如命题2的证明所示），因此，它是一个Carath\'eodory函数。然后，可测最大值定理（参见文献[1]中的定理18.18）意味着gis a（S B（X））-与非空值和紧值的可测对应。考虑其他通信g:S→ 十、 由（t，ω）7给出→ {K∈ X:K∈ argmaxKφt，ω（K，￠ν（K））}。让我们展示如何从g中可测量地选择Leb P-a.e.（t，ω）。标准的可测量选择结果（参见[1]中的推论18.27和定理18.26）表明，如果ghas B（X）可测图和非空值。后者来自命题2，前者由以下引理保证。引理10。通信是 B（X）-可测图。证明：用Γg表示此图。让IX:X→ X×X由IX（K）=（K，K）给出。那么，Γg=（id×IX）-1（Γ），其中 S×X×X由Γ给出=t、 ω，K，K |（t，ω）∈ S、 K级∈ 十、 K级∈ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））∩ {（t，ω，K，K）|（t，ω）∈ S、 K级∈ 十} 。显然，id×ix是一个可测映射，而集合{（t，ω，K，K）|（t，ω）∈ S、 K级∈ 十} 是可测量的。因此，我们只需要检查t、 ω，K，K |（t，ω）∈ S、 K级∈ 十、 K级∈ argmaxK∈Xφt，ω（K，￠ν（K））是S B（X）-可测量。后一个集合正是g的图形，它是可测量的，因为对应的gis是可测量的（参见[1]中的定理18.6）。因此，我们得出结论，存在一个逐渐可测量的K，其值以Mua为单位^A×∏, Leb满足（61） P-a.e.（t，ω）。

它只剩下通过解体从K构建κ。让我们介绍A=S×A，配备西格玛代数S B^A, 以及通过Q（dt，dω，dα，dp）=Kt，ω（dα，dp）dtP（dω）定义的A×π上的度量Q。注意，A上Q的边际分布是uA（dα）dtP（dω）。然后，由于从A×π到∏的自然投影有一个Borel范围，因此[32]中的定理5.3和5.4暗示存在一个核κ：A 3（t，ω，α）7→ κt，ω（α）∈ P（π），这是自然投影从a×π到∏的正则条件分布，给定从a×π到a的自然投影，在Q下。即，对于每个绝对有界可测f:a×π→ R、 我们有ZA×∏f（t，ω，α，p）Kt，ω（dα，dp）dtP（dω）=ZA×∏f（t，ω，α，p）κt，ω（α；dp）ua（dα）dtP（dω）。（62）上述性质得出，^νat，ω=Иν（Kt，ω）和κt，ω满足固定点约束（55）。对于Leb，κ满意度（53）仍有待观察 P ua-a.e.（t，ω，α）。假设情况并非如此，则存在可测集B [0，T]×Ohm, 使用正测度，s.t.表示任何固定值（t，ω）∈ B、 存在可测量的setC^A，s.t.uA（C）>0，对于所有α∈ C、 ZR^Ft，ω（α，p，~ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）≤ZRFt，ω（α，p，～ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）<supκ∈ψZRFt，ω（α，p，|ν（Kt，ω））κ（dp）=supκ∈ψZR^Ft，ω（α，p，￠ν（Kt，ω））κ（dp）。上述不等式对于所有α都变得不严格∈^A\\C.然后，对于固定值（t，ω）∈ B、 我们可以选择一个可测量的|κ：^a→ P（π）（与我们选择可测量K的方式相同，但在这种情况下，α变量需要可测量性），s.t.supκ∈ψZR^Ft，ω（α，p，|ν（Kt，ω））κ（dp）=ZR^Ft，ω（α，p，|ν（Kt，ω））|κ（α；dp），ua-a.e.α∈因此，对于所有α，我们得到了ZR^Ft，ω（α，p，～ν（Kt，ω））κt，ω（α；dp）<ZR^Ft，ω（α，p，～ν（Kt，ω））～κ（α；dp）∈ C、 非严格不等式适用于所有α∈^A。

对ua积分，并使用（62）与F（t，ω，α，p）=^F（t，ω，α，p，|ν（Kt，ω）），我们得到了集B（具有正度量）上与（61）的矛盾。因此，对于ua-a.e.α∈^A，（53）Leb保持 P-a.e.（t，ω）。这意味着，如果我们将^pt（α）定义为κt（α）的推进，则在映射x 7下→ x+pat，对于任意y和a.e.（t，ω），所得策略^p（α）使生成器^Gαt（y）最大化。然后，我们定义νatto是^νat的推进，在映射x 7下→ x+pat，并使用标准BSDE结果得出结论，对于ua-a.e.α∈^A，J（ν，θ），（^p（α），Va）（1，α）=Jα，（^p（α））≥\'Jα，（p）=J（ν，θ），（p，Va）（1，α）适用于所有容许策略p，这意味着对于具有信念α的长代理，^p（α）是最优的。通过选择νaan和^p，可以满足（10）中给出的νa上的定点条件，因为它相当于（55）（假设极端多头代理在pa后限制订单，这对他们来说是最优的）。这与推论1一起，意味着（^p（α），Va）是具有信念α的长代理的最优策略∈^A.短代理的待遇类似。因此，我们完成了定理1.5示例的证明在本节中，我们考虑了我们模型的最简单的具体示例，并展示了如何使用它。考虑astochastic基础(Ohm,F=（Ft）t∈[0，T]，P），具有泊松随机测度N，其补偿器为λtft（x）dxdt，如第2.1小节所述。我们假设Jt（x）=x（即M≡ N），因此N是（潜在）基本价格过程X的跳跃度量。我们还假设T=20，λT≡ 1和FTI是均匀分布的密度[-C、 C]，其中常数CI选择足够大，因此该区间包含以下所有fα的支持。

我们取A={α}∪^A，B={β}∪^B，其中^A=iK | 0≤ i<K,^B=-iK | 0≤ i<K是单位间隔的均匀划分，这里的大多数计算都使用K=500。^a（或^b）上的ua（或ub）限制为相应离散空间的每个点分配1/K的质量。注意，这意味着ua（^a）=ub（^b）=1。我们还确定ua（{α}）=ub（{β}）=0.1。接下来，我们考虑一组正数{λ+，α，λ-,α、 C+，α，C-,α} α∈A.∪B、 定义α（x）=λ+，α（λ+，α+λ-,α） C+，α[0，C+，α]（x）+λ-,α（λ+，α+λ-,α） C类-,α[-C-,α、 0]（x），λα=λ+，α+λ-,α。在此，我们使用C+，α=C-,α=C+，β=C-,β=0.5和C+，α=a+bα，C-,α=C-,α， α∈^A，C-,β=a- bβ，C+，β=C+，β， β∈^B，a=0.5，B=10。最后，对于任何α∈ A.∪ B、 我们引入Γα（x）=λαλfα（x）f（x）- 1，dZαt=Zαt-ZRΓα（x）[N（dt，dx）- λf（x）dtdx]，并通过其氡Nikodym密度ZαT确定Pα<<P。使用[30]中的一般结果（或[16]中的一般结果，对于本文使用的确定性情况），可以很容易地检查，在这种Pα下，N是具有补偿因子λαfα（x）dxdt的泊松随机测度。我们假设需求弹性具有确定性、时间常数和价格线性：Dt（p）=-kp，弹性参数k=0.2。通过以上（C±，α，C±，β，ua（{α}），ub（{β}），k）的选择，很容易看出假设9是满足的。请注意，对于α，λ±，α的选择∈^A∪^B，只要满足假设7和8，就不会影响平衡。显然，如果我们选择λ±，α=λ±，α和λ±，β=λ±，β作为α，情况就是这样∈ A和β∈ B、 在此，我们考虑（λ±，α，λ±，β）的几组不同值。让我们在这个例子中构建一个平衡。请注意，在本例中，布朗运动W不会影响跳跃强度，反过来也不会影响代理的目标，因此，RBSDE系统（44）成为反射ODS的系统。

我们可以很容易地解决这个问题，使用一个简单的Euler格式，然后恢复值函数（Va，Vb），如引理4所示，并以反馈形式构造出价和要价（pa，pb），如引理3所示。我们使用上面选择的参数以及λ+，α=2.5，λ来实现此策略-,α=1，λ+，β=1，λ-,β=2.5（因此极端ask代理看好，而极端bid代理看跌）。结果如图1左侧所示。使用相同的参数，我们认为这本书超出了最佳出价和要价。为了构造它，我们用数值方法解决固定点问题（56）。后者是通过将限额订单的可能价格水平集限制为有限集（即大区间的划分）来实现的，这将（56）简化为有限维定点问题。此外，我们允许每个代理商仅以单一价格水平邮寄限价订单，这进一步简化了问题。因此，我们通过标准递归迭代找到一个解决方案，在每个步骤上最大化有限集上的目标。图1右侧绘制了代理的最优limitorder策略（在时间零点），作为代理信念α的函数∈^A∪^B.请注意，最优极限顺序策略p（·）是分段常数。值得一提的是，如果可以找到一个固定点，那么这种限制不会损害代理行为的最佳性。事实上，众所周知的现象是，在连续玩家游戏中，纯控制的均衡也为分布式控制的设置提供了均衡。事实上，这是连续玩家游戏的优势之一。

我们考虑分布式控制只是为了证明平衡确实存在，对于纯控制的设置来说，这要困难得多（如果可能的话）。这种离散性似乎是模型中固有的，而不仅仅是我们在此选择的价格或信念离散化的产物，因为当我们增加可能的信念（K）和价格水平的数量时，结果不会改变。最后，我们展示了如何使用所提出的框架来建模间接市场影响，当业务线的初始变更创建“反馈回路”并导致进一步的变更时，间接市场影响就会出现。请注意，最初的变化可能由交易（在经典的最优执行模型中就是这种情况）或新的限额指令触发。后者的一个极端例子是所谓的“欺骗”——即发布大额限额订单，目的是使资产价格朝相反方向移动。据我们所知，迄今为止，还没有任何模型能够解释这一活动究竟是如何导致LOB（尤其是价格）发生变化的。为了对这一过程进行建模，我们修改了当前示例，假设（λ±，α，λ±，β）实际上是相关市场指标的函数，我们用I表示：λ+，α=2.3 exp（Is），λ-,α=经验值(-Is），λ+，β=exp（Is），λ-,β=2.3 exp(-Is），（63），其中s=2.6是灵敏度。我们进一步假设，I是所谓的市场失衡：所有最高出价限价订单的规模与所有最高出价限价订单的规模之比，减去1。这是一个众所周知的经验事实（参见[14]、[11]、[39]），即这样一个指标对下一次价格变动的方向具有预测力。请注意，I是LOB的函数，而LOB又是平衡的结果，其中I是输入。

严格地说，我们的结果并不能保证存在这种额外的固定点约束的平衡。事实上，（63）给出的具有“反馈信念”的平衡可以被视为以下映射的固定点：（λ±，α，λ±，β）7→ ν7→ I 7→ （λ±，α，λ±，β），（64）式中（λ±，α，λ±，β）7→ ν将数字（λ±，α，λ±，β）映射到平衡LOBν，如本节第一部分所述，以及I 7→ （λ±，α，λ±，β）由（63）给出。在此，我们不证明上述固定点的一般存在性结果，但我们可以通过迭代应用相关映射（假设迭代确实收敛）进行数值计算。特别是，图2的右上部分显示了LOB与反馈信念平衡的示例，由（63）给出，I=0.0984456。我们的下一个目标是展示一旦LOB受到干扰，市场如何从一个均衡转移到另一个均衡（假设反馈信念（63））。值得一提的是，没有规范的方法来描述代理如何实现均衡。然而，我们提出了一种基于（64）迭代的特定算法，其背后有以下基本原理。对于任何参数λ=（λ±，α，λ±，β）（作为时间的函数给出），代理知道它们的平衡策略：（p（(R)λ），v（(R)λ）），可以如本例第一部分所示进行计算（其存在性源自本文的主要结果）。如果LOB受到干扰，I发生变化，反过来，参数通过（63）从|Μ变为|Μ。然后，代理将其策略更改为（p（(R)λ），v（(R)λ）），这就形成了一个关于新参数集∧的平衡。

在新的平衡中，LOB以及由此产生的不平衡I可能会发生变化，从而导致参数的进一步变化，依此类推，直到代理达到一组与前一组参数一致的参数（或者，从数值角度来看，几乎一致）。我们相信，这种迈向新均衡的算法在经济上是有意义的，尽管它当然不是唯一可能的选择。从数学上讲，它对应于迭代映射（64）。为了说明这种方法，我们在之前获得的平衡LOB中添加了一个位于最佳出价的0.05大小的额外限额购买订单，如图2右下部分所示。这意味着通过（63）改变不平衡I，进而改变代理的参数（λ±，α，λ±，β）。因此，代理调整其控制以达到新的平衡，然后使用新的不平衡重新计算参数，等等。图3显示了在第一个迭代中LOB和函数（Va、Vb）的情况。我们可以看到，失衡的最初变化使代理机构对资产更加乐观，并且他们倾向于将其限额订单调高。特别是，最佳出价队列的大小增加，而最佳提问队列的大小减少，进一步加剧了市场的不平衡。图3的左侧部分还显示，从第三步开始，值函数Va和Vb在时间零点重合，这意味着代理实际上选择提交内部市场订单，从而终止游戏。后者构成了反馈信念的平衡（63）。这项实验尤其说明了为什么predictiveWe强调故意欺骗是非法行为。重要的是要注意，具有反馈信念的均衡（63）通常不是唯一的，但所提出的算法会导致特殊的均衡。

由此产生的均衡是退化的，从某种意义上说，博弈立即结束，但当然，存在其他均衡。市场不平衡的力量是一种“自我充实的预言”：代理人将其对下一个市场秩序类型的信念建立在市场不平衡的基础上，这一事实本身意味着市场不平衡的充分变化将触发正确类型的市场秩序。当然，本节第二部分提供的分析仅仅是一个示例，这意味着要阐明我们的理论结果的潜在应用。也就是说，我们的主要结果表明映射（64）的一次迭代得到了很好的定义。然而，缺少对最终迭代方案的严格分析，包括其收敛到固定点的分析。一般来说，考虑其他指标也很有意思：例如，选择最后一笔交易的规模和方向作为相关指标，可以模拟市场订单对LOB的间接影响（除了即时执行限额订单产生的明显、直接影响之外）。在我们未来的研究中，我们计划找到合适的模型规格，以便在拟定的环境下对间接市场影响进行更彻底的分析，并根据市场数据测试我们模型的预测。6附录引理证明7。我们考虑一个具有信念α的长代理，并引入'Jα，（p，τ）t=EhZτtexp-Zst'cαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦(R)hα，as（ps，pas，pbs）ds+exp-Zτt'cαu加索尔∧ Q-（pu），pbu杜邦pbτ∧^τ| Fti，其中'cαt（x，y）=cαt（x，y）1{t≤^τ}，\'hα，at（κ，x，y）=hα，at（κ，x，y）1{t≤^τ}，x，y∈ Rκ∈ P（R），含cα和hα，见（13）和（16）。