限价指令簿的内生形成：交易之间的动态

正值x对应于潜在外部购买订单的到达时间，负值对应于潜在外部销售订单的到达时间。更准确地说，我们将基本价格过程X（或外部投资者的保留价格过程）定义为M：Xt=ZRxM（{t}×dx）的跳跃过程。（1） 请注意，X是M的跳跃过程，但它不是一个累积跳跃过程：除跳跃时间外，它始终保持在X=0（因此，X也可以解释为基本价格的变化）。我们选择sex=0来简化符号。通常，任何X∈ R是可能的，但它对游戏的唯一影响是将所有价格和价值移动X。为了更好地理解拟议的框架，从经济学的角度来看，将Xas视为最后一个交易价格可能是有用的，它发生在当前游戏开始之前（虽然这对于数学构造并不重要）。过程λ描述了潜在外部市场订单（买入和卖出）的到达强度。函数fti是t时刻潜在基价值的概率密度。我们将f称为跳跃大小的密度过程。当基本价格的跳跃幅度（以及需求弹性，如下所述）不足以触发交易时，该跳跃仍由代理“未注册”，基本价格返回零。资产外部需求的弹性由逐步可测量的随机领域描述：（t，p）7→ Dt（p），适用于FW。我们假设，a.s.，Dt（·）是一个严格递减的连续函数，取值为零。

然后，在时间t、价格水平p和更优惠的价格下，购买和出售资产的总外部需求等于toD+t（p）=max0，Dt（p- Xt）1{Xt>0}, D-t（p）=- 最小值0，Dt（p- Xt）1{Xt<0}, （2） 分别为。在任何时候，每个代理（即战略参与者）都可以提交市场订单或限价订单。本文进一步提出的假设使得提交限额指令的水平可能永远无法执行–这实际上允许代理等待（即什么也不做）。我们不允许在限价订单中有任何时间优先权。相反，我们假设刻度大小为零（一组可能的价格水平为R），hencean代理可以通过在竞争订单的上方或下方发布订单来实现优先级（并对其进行任意循环）。游戏在终端时间T或第一笔交易发生时停止，以较早者为准。下一小节将解释订单执行的机制。代理商的数量是有限的，代理商的库存量是以“每单位质量代理商的份额”来衡量的（参见[23]中对这一假设的讨论）。我们假设代理被分为两组：初始库存为正的代理（长代理，通常用上标“a”表示），以及初始库存为负的代理（短代理，用上标“b”表示）。我们假设每个代理的库存的绝对大小是相同的∈ {-1，1}，并且库存为s的代理发布大小为s的订单。

我们之前的调查结果[23]推动了这些假设，调查结果表明，在均衡状态下，代理库存的绝对值只会按比例缩放其订单的规模，但不会改变订单的类型和位置。我们还假设，对于每个α，我们都有一对可测量的信念空间a和B，以及∈ A.∪ B、 存在主观概率测度PαOhm,F, 一个具有信念α的主体在测度Pα下对外部需求进行建模。代理在不同信仰间的经验分布分别由a和b上的一对可数加性有限测度u=（ua，ub）给出。请注意，由于游戏在第一个市场订单执行后立即停止，因此经验分布u在整个游戏中保持不变。我们对测度{Pα}作如下假设。假设1。在每个Pα下，W保持布朗运动，N的跳跃过程是一个具有条件独立增量W.r.t.FWT的过程（在[30]的意义上）。上述假设贯穿全文。这意味着，在每个Pα下，X是一个具有条件独立增量w.r.t.FWT的过程。利用这一观察结果和Pαw.r.t.P的绝对连续性，可以很容易地推断出，在每个Pα下，X的跳跃测度（即测度M）的补偿器由λαtfαt（X）dtdx给出，（3）具有一些非负的FW自适应λ和FW渐进可测fα，s.t.RRfαt（X）dx=1。λα和fα的解释与λ和f的解释相同，但在测量值Pα下。

请注意，出于技术原因，我们选择不改变不同测量值Pα下的W分布，以避免相关RBSDE系统（43）发生器中的Z依赖性。很明显，如果ZαT=dPα/dP由过程的随机指数给出，则满足假设1，该过程是FW自适应随机函数w.r.T.补偿N的积分。即，dZαT=ZαT-ZRΓαt（x）[N（dt，dx）- λtft（x）dtdx]，其中Γα≥ -1是FW逐步可测量的。N在Pα下的补偿器是通过将其在P下的补偿器乘以1+α得到的，因此，在这种情况下，假设1明显满足（参见[30]）。在第5节中，我们以上述形式提供了一系列概率测度{Pα}的示例。在提议的设置中，由（3）给出的Pα下X的补偿器表示具有信念α的代理使用的供应/需求信号：特别是，它确定外部买卖订单的到达强度。实际上，X的值是由W的路径和随机度量N的实现唯一确定的。由于N的补偿器在每个Pα下可能不同，因此X的最终补偿器也可能不同，但是，它始终保持适应FW。因此，X在Pα下的分布由（λα，fα）的选择唯一确定。因此，代理人的信念可以被视为他们用来将W给出的观察信息映射到（3）给出的预测信号的“模型”。2.2连续统玩家游戏在本文的其余部分，我们主要使用过滤FW，因此，我们表示F=FW。代理的状态为（s，α）∈ （{1}×A）∪ ({-1} ×B）=：S.现在让我们讨论代理的控制和订单执行规则。

首先，我们假设代表代理信念的α不随时间变化。因此，代理的状态过程只代表她的库存，库存只能更改一次（因为游戏在第一次交易后结束）。每个代理的控制由一对进程（p，v）=（pt，vt）t给出∈[0，T]，请注意，[23]的精确设置和主要问题与本文不同。然而，这两个建模框架有许多共同的特性。特别是，在这两种情况下，每个代理人都是风险中性的，而且实际上很小（因此，没有个人影响），这最终导致他们的均衡策略只会随着初始库存的规模而扩展。要有一个完整的外部需求模型，还需要知道它的弹性D，但后者是F适应的，因此，它在每个Pα下的分布是相同的。请注意，根据新披露的信息，未来需求的条件分布可能会动态变化。相对于F可逐步测量。过程p取p（R）中的值，R上的概率度量空间，配备弱拓扑，而v取R中的值。第二个坐标v确定代理决定提交市场订单的时间，其形式定义如下。第一个坐标pt表示代理商限价订单在价格水平上的时间t分布。例如，如果PTI是位于x的Diracmeasure，那么在时间t，代理将在价格水平x发布其所有限额订单。所有限额订单的集合由限额订单簿（LOB）描述，这是一对过程ν=（νat，νbt）t∈[0，T]，R上的有限西格玛加性度量值，适用于F。

这里，νat对应于累计限价卖出订单，而νBt对应于在时间t发布的累计限价买入订单。在时间t的任何时候，买入价和卖出价∈ [0，T]由随机变量spbt=Q+（νbt），pat=Q给出-（νat），其中函数Q-和Q+作用于R上的sigma加法度量κviaQ+（κ）=sup supp（κ），Q-（κ） =inf supp（κ）。（4） 请注意，PBAND PAT始终被定义为扩展随机变量，但可能采用有限值。假设在时间t，代理人发布价格水平p的限价销售订单。如果购买资产或低于价格水平p的需求，D+t（p），超过在时间t以下发布的所有限价销售订单的金额，即D+t（p）>νat((-∞, p） ），然后执行代理的限价销售订单。类似的执行规则适用于限制购买订单。因此，如果代理人遵循限价指令策略p，则其限价指令在时间TP（a=inf{t）由外部市场指令（部分）执行∈ [0，T]：D+TQ-（pt）> νat(-∞, Q-（pt））},Tp，b=inf{t∈ [0，T]：D-TQ+（pt）> νbt（Q+（pt），∞)},分别针对多头和空头经纪人。让我们澄清上述公式的含义。为简单起见（且仅为本示例的目的），假设需求弹性曲线D是确定性的。注意，D+t≡D-T≡ 0，除非X在t跳变。因此，上述公式表明，当且仅当X在t跳变，且其跳变足够大时，代理行的限价订单的非零部分在t时由外部订单执行，因此代理行的“最佳限价订单”的需求高于具有更高价格优先级的所有限价订单的大小。后者与D的连续性一起确保此时执行代理的限额指令的非零部分。VT的值表示买入价或卖出价的临界水平（即阈值），在该临界水平下，代理决定提交市场订单。

我们假设代理的市场订单大小等于其库存，并且按照提交订单时可用的出价或要价执行。因此，代理人将在τv，a=inf{t时提交下一个市场订单∈ [0，T]：vt≤ pbt}，τv，b=inf{t∈ [0，T]：vt≥ pat}，分别代表多头和空头经纪人。所有阈值v的集合由一对过程θ=（θat，θbt）t描述∈【0，T】，R上的有限西格玛加性度量值，适用于F。备注1。上述执行时间的定义利用了以下假设，即每个代理都非常小，因此，一旦需求达到，她的订单就必须执行。他们还使用以下两个隐含的假设：每个代理都认为，在相同价格水平的所有订单中，她的限价订单将首先执行，而她的市场订单将以可用的最佳价格执行。[23]讨论了这些假设及其与有限人博弈的关系。似乎可以很自然地假设，代理人的过滤被外部交易产生的信息扩大了，即通过导致交易的X跳跃。请注意，由于游戏在第一次交易后结束，因此可能只有一次这样的跳跃。然后，很容易看出，扩大后的过滤的可预测过滤，仅限于第一笔交易之前的时间间隔，是F本身。当然，我们要求控制是可预测的。为了方便起见，我们有时将νtas称为“度量”，而不是“一对度量”。很明显，对于相对于F的每个停止时间τv，a/b，存在一个过程vt，适用于F，使得τv，a/b为上述表示。回想一下，每个代理都是小规模的，因此，即使她执行的是其库存的非零部分，这也可能不构成非零规模的交易。

因此，我们将第一个“重要”执行时间定义为非零数量代理执行其库存非零部分的第一次时间（即非零总库存量交易时）。考虑外部市场订单的第一个重要执行时间：Ta=inf{t∈ [0，T]：D+T（pat）>0}，Tb=inf{T∈ [0，T]：D-t（pbt）>0}，（5）同样，我们定义了内部市场订单的第一个重要执行时间：τa=inf{t∈ [0，T]：θat((-∞, pbt]）>0}，τb=inf{t∈ [0，T]：θbt（[pat，∞)) > 0}。（6） 最后，给定（ν，X，D），我们确定清算价格：~pc，at=sup{p<Q+（νat）：D+t（p）>νat((-∞, p） ）}，pc，at=▄pc，at{▄pc，at≥pat}，~pc，bt=inf{p>Q-（νbt）：D-t（p）>νbt（（p，∞))}, pc，bt=~pc，bt{~pc，bt≤pbt}。对于具有策略（p，v）的长代理，游戏在Tp，a时结束∧ τv，a∧ T∧ 助教∧ Tb∧ τa∧ τb（与短剂类似）。如果一个代理在游戏结束时还有库存，那么它将按市价计价。下面描述了使用策略（p，v）计算长代理回报的精确规则。如果游戏被外部市场指令终止：Tp，a∧ 助教∧ Tb<T∧ τa∧ τb（注意，相等是不可能的，因为右侧是可预测的，而左侧是完全不可访问的）。o如果Tp，a∧ Ta<Tb（相等是不可能的），那么回报是zpc，在-∞zpt（dz）+Z∞pc，at（pc，at+pbt）pt（dz），t=Tp，a∧ 助教。（7） o如果Tb<Tp，a∧ Ta，那么回报是pbTb+pc，bTb。请注意，代理的剩余库存将标记为结算价格所转移的投标价格。这个选择可以（试探性地）解释如下。假设在交易之后，一个新的博弈开始了，代理具有相同的库存分布，并且对X的未来跳跃分布有相同的信念（即相同的{（λα，fα）}）。

然后，与原始游戏相比，新游戏中唯一不同的参数是X的值，在新游戏中，X等于清算价格。正如以下讨论（1）中所述，X的新值将简单地将新游戏中的所有价格和值移动X，因此，bidprice将被清算价格的值移动。最后，很容易推断（本文稍后将显示）代理以正水平发布限价购买订单是次优的。因此，如果执行外部销售订单，结算价格为非正，因此，剩余库存标记为向下移动的当前出价（如果执行外部购买订单，则相反）。如果游戏被内部市场指令终止：T∧ τa∧ τb<Tp，a∧ 助教∧ Tb.o如果τb<τa∧ T则收益为paτb.o如果τa∧ T≤ τb当收益为pbτa时∧T、 为了解释上述情况，假设出现内部购买订单：即τb<τa∧T请注意，内部顺序是不同的，因为它们是可预测的。因此，多头代理可以准确地在τband“flick”时采取行动，将订单限制在最佳要价pa，以匹配来自空头代理（发起内部购买订单）的市场订单。另一方面，如果任何代理人（多头或空头）不在pa交易，他们将按库存计价。在代理人没有外部给出资产估值的情况下，没有标准的方法来选择按市价计价规则（我们坚持使用这种设置，因为我们认为代理人是“纯粹的投机者”）。

特别是，可以使用其他标记规则。在此，我们仅选择具有经济意义的标记规则。pa改变的出价或要价，以及自pb起≤ 0≤ pa，很容易看出，所有人在pa进行交易都是有益的。下图（包含方程式（7）的参考）描述了多头代理的回报：t=0pbτ内部卖出paτ内部买入内部市场指令PBTNO市场指令PBTB+pc，BTBE外部卖出（7）外部买入外部市场指令类似规则适用于空头代理。形式上，给定（ν，θ，X，D），从初始状态（1，α）开始并使用控制（p，v）的个体目标由以下公式给出：J（ν，θ），（p，v）（1，α）=Eα锆z1{z≤pc，a^Tp，a}+pb^Tp，a+pc，a^Tp，a{z>~pc，a^Tp，a}p^Tp，a（dz）1{Tp，a<Tb∧^τv，a∧τb}（8）+pbTb+pc，bTb{Tb<^Tp，a∧^τv，a∧τb}+paτb{τb<τv，a}+pbτv，a{τb≥^τv，a}{^Tp，a∧Tb>^τv，a∧τb}iwhere^Tp，a=T∧ Tp，a∧ Ta，^τv，a=T∧ τv，a∧ τa，我们假设0·∞ = 类似地，J（ν，θ），（p，v）(-1，α）=Eα-锆z1{z≥pc，b^Tp，b}+pa^Tp，b+pc，a^Tp，b新西兰<~pc、b^Tp、bop^Tp，b（dz）1{Tp，b<Ta∧^τv，b∧τa}（9）- （paTb+pc，aTa）1{Ta<^Tp，b∧^τv，b∧τa}-pbτa{τa<τv，b}+paτv，b{τa≥^τv，b}{^Tp，b∧Ta>^τv，b∧τa}iwhere^Tp，b=T∧ Tp，b∧ Tb，^τv，b=T∧ τv，b∧ τb.每个代理人的目标都是最大化她的目标。上述目标可能看起来很复杂——这是因为它们旨在提供一个接近真实世界的执行规则和市场标记。在下一小节中，我们将建立更透明的目标表示。在以下定义中，我们假设一个随机基，一个布朗运动W，一个随机测度M，一个随机域D，空间a和B，一组相关测度{Pα}α∈A.∪B、 和经验分布u是固定的，并满足本节前面所做的假设。