半静态交易策略的结果空间不需要

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英文标题：
《The space of outcomes of semi-static trading strategies need not be
  closed》
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作者：
Beatrice Acciaio, Martin Larsson, Walter Schachermayer
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  Semi-static trading strategies make frequent appearances in mathematical finance, where dynamic trading in a liquid asset is combined with static buy-and-hold positions in options on that asset. We show that the space of outcomes of such strategies can have very poor closure properties when all European options for a fixed date $T$ are available for static trading. This causes problems for optimal investment, and stands in sharp contrast to the purely dynamic case classically considered in mathematical finance.
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中文摘要：
半静态交易策略经常出现在数学金融中，在数学金融中，流动资产的动态交易与该资产期权的静态买入和持有头寸相结合。我们表明，当所有固定日期美元新台币的欧式期权都可用于静态交易时，此类策略的结果空间可能具有非常差的封闭性。这给最优投资带来了问题，与数学金融学中经典的纯动态案例形成了鲜明对比。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> The_space_of_outcomes_of_semi-static_trading_strategies_need_not_be_closed.pdf (138.42 KB)

2022-5-25 08:47:45 上传

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关键词：交易策略 Mathematical Quantitative mathematica QUANTITATIV

半静态交易策略的结果空间不应被封闭*Martin Larsson+Walter Schachermayer2016年6月3日摘要半静态交易策略经常出现在数学金融中，其中流动资产的动态交易与该资产期权中的静态买入和持有头寸相结合。我们表明，当固定日期T的所有欧洲期权都可用于静态交易时，此类策略的结果空间可能具有非常差的封闭性。这导致了最优投资问题，并与数学金融中经典的纯动态情况形成鲜明对比。1引言和主要结果给出了随机定义的局部鞅和有限停止时间(Ohm, F、F、P）在离散时间或连续时间内，我们考虑S在时间T的半静态交易结果。更具体地说，我们考虑S和arisk自由资产的零利率自融资动态交易，以及最终价值清单上书写的英国罗佩斯期权的静态（买入和持有）头寸。此类结果的形式为（H·S）T+H（ST），其中H·S表示S-可积过程hw相对于S的随机积分，H是满足某些可积条件的可测函数。半静态策略由投资者选择的一对（H，H）组成。这一类型的*英国伦敦WC2A2AE Houghton街10号伦敦经济和政治学院统计系。acciaio@lse.ac.uk.+苏黎世ETH数学系，R–amistrasse 101，CH-8092，苏黎世，瑞士，马丁。larsson@math.ethz.ch.

非常感谢瑞士国家科学基金会（SNF）在163425赠款下提供的财政支持法库特（Fakult）-弗尔·马蒂克（f）-维恩大学（Universit）-维恩，奥斯卡·摩根斯坦广场1号，A-1090维恩，沃尔特。schachermayer@univie.ac.at苏黎世ETH理论研究所。部分由奥地利科学基金（FWF）资助，资助项目为P25815；维也纳科学技术基金（WWTF）资助，资助项目为MA09-003；Max R¨ossler博士；Walter Haefner基金会和ETHZurich基金会。文献中广泛使用了半静态交易策略；参见例如[Hob11、HK12、BHLP13、GHLT+14、DS14]及其参考文献。一个关键原因是，收集所有此类静态索赔的时间零价格确定了STunder P定律，ifP是定价标准。还可以限制静态组件h（ST）位于给定的可用选项的有限维集合中，例如h（ST）=a+aC（ST）+····+anCn（ST），其中Ci（ST）=（ST-Ki）+是一种普通的电话支付方式，带有给定的罢工Ki，和a，一∈ R由投资者选择。这种设置在文献中也很常见；参见示例[DH07、ABPS13、BN15]。然而，与我们的设置不同，h是从可测量函数的有限维空间中选择的。本文的主要目的之一是阐明这两种情况可能表现出的截然不同的性质。半静态交易策略的最大合理结果空间是U+V之和={U+V:U∈ U、 五∈ V}，w其中＝{（H·S）T:H是S-可积的，H·S是[0，T]}上的上鞅，V=L(Ohm, σ（ST），P）。gains过程H·S的超artin-gale性质是一个弱约束，它由排除双策略的任何合理可容许性或可积性条件所隐含（通常从一开始就假定S是局部鞅）。

要求静态成分是可积的，而不仅仅是可测量的，对应于一个固定的初始资本要求：如果结果f=（H·S）T+H（ST）是可积的，则被解释为需要固定的初始资本，如果（H·S）T∈ U、 那么h（ST）也必须是可积的。另一方面，最小的合理结果空间（至少在没有交易限制的情况下）可以说是U∞+ 五、∞, 其中u∞= {（H·S）T:H是S-可积的，H·S是有界鞅}，V∞= L∞(Ohm, σ（ST），P）。特别是，这种半静态交易策略的动态成分显然满足迄今为止文献中所考虑的可容许性和可积性条件。空间U和V具有非常强的g闭包性质。对于V，这是显而易见的；对于Umuch少些。Kunita和Watanabe[K W67]早就证明了，若Hn·S是一个鞅序列，则（Hn·S）T→ 对于某个极限f，则该极限又是形式f=（H·S）T，其中H·S是一个Hmartingale；参见例如【Pro05，定理IV.41】。对于任何p，在Hpand Lpcase中也有相同的结果∈ （1，∞], 你证明了在一致（而非H）可积性和L（而非L）收敛下，该陈述也是正确的；有关进一步的讨论，请参见[Yor78]和[DS99]。同样，以下结果对于数学金融套利理论的发展至关重要：如果∈ U、 联合国≥ -1和un→ f表示某个随机变量f的概率，然后是f∈ U- L+。也就是说，f由U的某些元素控制。进一步的讨论和归纳可以在[DS94]和[DS98]中找到。

请注意，这些结果特别意味着∞在L中关闭∞, 它在任何Lpspace（p≥ 1） 包含在U中，并且其在Lis中的闭包包含在U中- L+。一个自然的问题是，这些闭包性质在多大程度上延续到空间su+V和U∞+ 五、∞半静态交易策略的结果。答案是他们没有。本文的目的是通过示例来证明这一点。这是在我们的两个主要结果，定理1.1和1.3中完成的，它们分别涉及离散和连续时间的情况。定理1.1。存在离散时间随机基(Ohm, F，（Ft）t∈具有可数样本空间的{0,1,2}，P）Ohm , 有界鞅S=（St）t的等式∈{0,1,2}这样就成立了：存在随机变量g和gm，m≥ 1，以便（i）总经理∈ U∞+ 五、∞和总经理≥ 每米0，（ii）gm→ g几乎肯定，并且对于每个p，在lp中∈ [1，∞),（iii）g/∈ U+V- L+。因此，非负随机变量是表现最好的半静态交易策略的最终结果：它们的动态和静态成分都是有边界的。特别是，动态交易策略在经典sen-se中是可以接受的。此外，随机变量gm在相当强的意义上收敛到极限g，但该极限不能表示为满足最小正则性条件的任何半静态交易策略的最终结果，甚至不受其支配。从构建过程中可以清楚地看到，每个GMT都可以被视为一个数字期权组合，由基础股票的头寸对冲；见第2节备注2.3。为了证明定理1.1，我们构造了最终结果gm，收敛到一个可积极限g，如果它有一个表示g≤ u+v带u∈ U和v∈ V，将违反简单界限kuk+kvk<∞.

为了实现这一点，我们构建了一系列简单的模型，每个模型都包含一个U元素∞+ 五、∞其LPnorm很小，但其分量以U表示∞和V∞尽管如此，L中的数量仍然很大。然后将这些模型粘贴在一起，形成一个新模型，该模型允许所需的元素序列gm。第2节描述了各个模型，第3节描述了粘贴过程。备注1.2。让我们提到定理1.1的一个可想象的扩展：是否有可能加强定理1.1的第（ii）部分，以便gm→ g英寸L∞? 我们不知道答案。我们强调，离散时间并没有什么特殊之处，使得定理1.1起作用。可以在基本连续时间设置中构造一个类似的示例，如下结果所示。定理1.3。存在随机基础(Ohm, F，F，P）配有布朗运动W和停止时间T，使得价格过程S=WT保持以下条件：存在随机变量g和gm，m≥ 1，以便（i）总经理∈ U∞+ 五、∞和总经理≥ 每米0，（ii）gm→ g几乎肯定，并且对于每个p，在lp中∈ [1，∞),（iii）g/∈ U+V- L+。此外，S是一致有界的。证明遵循定理1.1的模式。唯一的区别在于第4节中介绍的各个模型的构造。然后，粘贴过程完全按照第3节所述进行，我们不再重复。上述定理的一个简单推论是，空间{（H·S）T+H（ST）：H·S是一个高阶鞅，H（ST）∈ Lp（σ（ST））}不需要在Lp（p）中闭合≥ 1） 。在p=2的情况下，相应空间的闭合，但对于半静态Jacod Yor theoremin来说，有很多静态声明是至关重要的【AL15】。因此，我们预计这一结果不会延续到实际的多系统索赔案例中。

上述空间的非闭性是众所周知的一个例子，即Banach空间的闭子空间的和不必是闭的；参见【Hal74】第41in节。另一个直接的推论是（H·S）T+H（ST）- f:H为1-容许，H（ST）∈ L（σ（ST）），f∈ L+在L中不必是闭的。这里，如果H是S-可积的且H·S≥ -1、该空间是具有半静态交易机会的投资组合优化的自然结果空间。因此，在这种情况下，最优策略的存在是一个微妙的问题。最后，我们提供了一个结果，证明定理1.1和1.3中的非封闭性是由静态声明的空间V的有限维引起的。如果V被有限维的s速度代替，则保持紧密。定理1.4。让C，Cnbe L的线性独立元素。Lof空间中的闭包W=（（H·S）T+nXi=1aiCi:H是1-容许的，a，一∈ R） 包含在W中- L+。如果re-H是S-可积且H·S，则称其为1-容许的≥ -1.证明。设{（Hm·S）T+Hm:m≥ 1} 是W中的L-收敛序列。特别是，它在L中以1-可容许性为界，Hm·S是一个超鞅，E[|（Hm·S）T |]≤1+E[1+（Hm·S）T |]≤ 2，因此序列{（Hm·S）T:m≥ 1} 以L为界。因此序列{hm:m≥ 1} 在L中有边界。现在写为m=rmPni=1amiCi，其中rm≥ 0，且向量am=（am，…，amn）具有单位范数，并取一个子序列以获得am→ a对于某些单位向量a.ThusPni=1Amico，收敛到一个随机变量，该随机变量通过C的线性独立性而非零，中国。Lof{hm:m中的边界≥ 1} 那么意味着{rm:m≥ 1} 有界，因此在传递到子序列后收敛。总之，我们已经证明，通过传递到一个子序列，我们可以证明hmis在L中收敛。

因此，（Hm·S）Talso在L中收敛，例如toa极限f。根据[DS99]中的推论4.11，该极限的形式为f=（H·S）T- 对于一些1容许H和一些g∈ L+。这证明了结果。2离散情况下面的引理描述了在证明离散时间定理1.1时使用的个体模型。随后根据第3节中描述的程序将这些单独的模型粘贴在一起。引理2.1。固定ε∈ （0，1/2），M>0，a，b∈ [2，3]。存在一个离散的时间-仓促基础(Ohm, F，（Ft）t∈{0,1,2}，P），具有有限样本空间Ohm, 配备鞅S=（St）t∈{0,1,2}，在{±a，±b}中有定位值，以及一个随机变量fsuch：（i）f∈ U∞+ 五、∞和f≥ 0，（ii）kfkp=M（ε/2）1/p对于所有p∈ [1，∞),（iii）任何陈述≤ u+v带u∈ U和v∈ V satis kuk+kvk≥ 16年月日。引理2.1的证明。价格过程S=（St）t=0,1,2和过滤（Ft）t=0,1,2构造如下。定义S=0，设F={, Ohm}. 设S=±1，概率各为1/2。接下来，让X是P（X=1）=ε=1的伯努利随机dom变量- P（X=0），与S无关。集合F=σ（S，X）。确定事件A={S=1}，并考虑稍大的事件A=A∪ {X=1}。现在设置S=±a oneA和S=±b oneAc。鞅条件E[S | F]=向下旋转条件概率，P（S=a | F）=a+S2aoneA，P（S=b | F）=b+S2boneAc。（2.1）注意，这些索引位于（0，1）中，因为a，b≥ 2和S=±1。最后，设置F=F=σ（S，X，S）。这就完成了随机基的描述(Ohm, F、F、P）和价格过程。特别是，观察到上述构造仅涉及三个独立的“币面”，因此可以容纳在八点样本空间中Ohm = {0，1}。随机变量f定义为bef=M（1eA- 1A）=MX1Ac。我们现在证明f满足性质（i）–（iii）。（i） ：清晰f≥ 0.观察f=-MS+MeA公司- 1eAc.

（2.2）由于a={| S |=a}，很明显f∈ U∞+ 五、∞.（ii）：只需注意E[| f | p]=Mpε/2。（iii）：假设f≤ 对于某些u，u+v∈ U和v∈ 五、通过f的非负性，我们有f≤ fu+fv。应用下面的第（ii）部分和引理2.2得出εM=E[f]≤ E[符]+E[符]≤ 8εM（kuk+kvk）。这就完成了L emma 2.1的证明。使用了f的以下关键特性，直观地表明，虽然f是U+V的元素，但它几乎与U和V正交。这迫使f在U和V中的分量变大，而f本身则相当小。我们把自己放在引理2.1的证明中。引理2.2。随机变量f满意度E【fu】≤ εmkuk适用于任何u∈ U、 安第斯群岛≤ 12εmkvk对于任何v∈ 五、证据选择任意u=（H·S）∈ U、 在目前的d iscr ete设置中，H·S是鞅。因此，也使用X和S的独立性，E[fu]=M E[X1Ac（H·S）]=MεE[1Ac（H·S）]=MεE[1Acu]≤ Mεkuk。接下来，对于任何v∈ V，E【fv】≤ M E[| v | E[X | S]]。我们声称E[X | S]≤ 12ε，这就完成了引理的证明。由于X=0oneAc，界限显然适用于该事件。此外，鉴于（2.1）和∈ [2，3]和P（eA）≥ 1/2，我们有P（S=a）=E[1eAP（S=a | F）]≥×a-12a≥ 1/8。ThusE[X | S=a]≤E[X]P（S=a）≤ 8ε，表明所声称的界在事件{S=a}上成立。事件{S=-a} 类似地创建。备注2.3。支付的第二部分（2.2）可以解释为基于价格过程最终价值的数字期权。实际上，如果S=±a，则支付+M/2，或者-如果S=±b，则为M/2。

因此，f可以被视为一个由数字期权和部分对冲组成的投资组合- （M/2）S.3粘贴各个模型我们现在描述粘贴过程，该过程从引理2.1中的构建块生成定理1.1的证明。定义εn=2-n、 Mn=2n，并在区间[2，3]中选择可数个不同的数字an，bn。现在对每个n应用yma 2.1以获得随机基(Ohmn、 Fn，Fn，Pn）和相应的价格过程Sn=（Snt）t∈{0,1,2}和满足表2.1性质的随机变量fn，其中（ε，M，a，b）替换为（εn，Mn，an，bn）。现在，我们将这些模型粘贴在一起。具体而言，定义Ohm =[n≥1.Ohmn、 Ft=σ（A:A∈ Fnt，n≥ 1） ，P（·|Ohmn） =Pn，P(Ohmn） =2-n、 在哪里Ohm 被理解为不相交的联合。特别是{Ohmn： n个≥ 1} 构成的F-可测划分Ohm. 接下来，通过t=Xn定义价格过程≥1SntOhmn、 让随机变量gmand g由gm=mXn=1fn给出Ohmn、 g=Xn≥1fnOhmn、 显然，gm几乎肯定会收敛到g。事实上，对于任何p，收敛实际上需要p lacein lp∈ [1，∞). 事实上，为了实现Pn下的期望，我们有byLemma 2.1（ii），E[| g- gm | p]=∞Xn=m+1-嫩[| fn | p]=∞Xn=m+1-nεnMpn。自2日起-nεnMpn=2-n（n+1-p） ，右侧趋于零，因为m趋于完整。此外，每个GML都位于U∞+ 五、∞. 事实上，对于每一个n，引理2.1（iii）产生fn=（Hn·Sn）+Hn（Sn），对于一些Hn和Hn，这两个分量是有界的。Thusfn公司Ohmn=（HnOhmn·S）+hn（S）1Ohmn、 从那以后Ohmn={| S |∈ {an，bn}}，右边的第二项是S的（bou-nded）函数。因此fnOhmN∈ U∞+ 五、∞. 由于gmis是这些术语的有限总和，因此gmis位于美国∞+ 五、∞也此外，由于每个FN都是非负的，所以GMS是非负的。最后，假设g位于U+V中-L+，比如g≤ u+v，u=（H·S）和v=H（S）。那么u和v位于L。