市场权重函数路径生成的交易策略

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英文标题：
《Trading Strategies Generated Pathwise by Functions of Market Weights》
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作者：
Ioannis Karatzas, Donghan Kim
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Almost twenty years ago, E.R. Fernholz introduced portfolio generating functions which can be used to construct a variety of portfolios, solely in the terms of the individual companies\' market weights. I. Karatzas and J. Ruf recently developed another methodology for the functional construction of portfolios, which leads to very simple conditions for strong relative arbitrage with respect to the market. In this paper, both of these notions of functional portfolio generation are generalized in a pathwise, probability-free setting; portfolio generating functions are substituted by path-dependent functionals, which involve the current market weights, as well as additional bounded-variation functions of past and present market weights. This generalization leads to a wider class of functionally-generated portfolios than was heretofore possible, and yields improved conditions for outperforming the market portfolio over suitable time-horizons.
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中文摘要：
大约二十年前，E.R.Fernholz引入了投资组合生成函数，该函数可用于构建各种投资组合，仅根据单个公司的市场权重。一、 Karatzas和J.Ruf最近开发了另一种投资组合功能构建的方法，这使得市场的强相对套利条件非常简单。在本文中，函数投资组合生成的这两个概念都是在无概率的路径环境中推广的；投资组合生成函数由路径依赖函数代替，路径依赖函数包括当前市场权重，以及过去和当前市场权重的附加有界变差函数。这种泛化导致功能生成投资组合的类别比以前更广泛，并在适当的时间范围内产生优于市场投资组合的更好条件。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Trading_Strategies_Generated_Pathwise_by_Functions_of_Market_Weights.pdf (1.25 MB)

2022-6-10 20:16:38 上传

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关键词：交易策略 Mathematical Quantitative Differential Applications

市场权重函数路径生成的交易策略*IOANNIS KARATZAS+DONGHAN KIM2019年3月12日摘要近二十年前，E.R.Fernholz引入了投资组合生成函数，可用于构建各种投资组合，仅根据单个公司的市场权重。一、 Karatzas和J.Ruf最近开发了另一种构建投资组合功能的方法，这就为市场的强相对套利创造了非常简单的条件。在本文中，函数投资组合生成的这两个概念都是在无概率环境下推广的；投资组合生成函数可能不如twicedifferentiable平滑，涉及当前市场权重，以及与市场权重相关的其他有界变化函数。这种泛化导致功能生成投资组合的类别比以前更广泛，产生了处理“规模”和“动量”效应的新方法，并改善了在适当的时间范围内表现优于市场投资组合的条件。关键词和短语：随机投资组合理论、pathwise It^o公式、pathwise Tanaka公式、交易策略、函数生成、正则函数、强相对套利、规模效应、动量效应。1引言“功能生成投资组合”的概念由Fernholz（1999，2002）提出，并不是随机投资组合理论的基本组成部分；另一概述见Fernholz和Karatzas（2009）。由各公司市场权重的适当函数生成的投资组合具有财富动态，财富动态可以仅用这些权重表示，并且不涉及任何随机积分。构建这样的投资组合不需要对参数进行任何统计估计或任何优化。

完全可观测的量，如“市场权重”（marketweights）的当前值，其时间演化是根据连续半鞅建模的，是构建这些投资组合所需的唯一要素。一旦这个结构被识别出来，数学解释它的构造只需要简单地应用It^o法则。然后，目标是在适当的结构条件下构建优于参考投资组合（例如，市场投资组合）的投资组合。*国家科学基金会在NSF-DMS-14-05210资助下部分支持的研究+纽约哥伦比亚大学数学系，NY 10027（电子邮件：ik@math.columbia.edu)，以及新泽西州普林斯顿市帕默广场一号441室投资管理公司（电子邮件：ikaratzas@intechjanus.com).纽约哥伦比亚大学数学系，NY 10027（电子邮件：dk2571@columbia.edu).Karatzas和Ruf（2017）最近发现了一种新的交易策略功能生成方法，他们称之为“加性生成”，而不是Fernholz的投资组合“乘法生成”。这种新方法削弱了市场模型的假设：资产价格和市场权重是连续的半鞅，交易策略是由这些半鞅的“正则”函数构造的，而无需借助随机演算。在此加法中生成的交易策略要求在适当的时间范围内对市场进行强相对套利的条件更简单；另见Fernholz等人（2018年）。大约40年前，F¨ollmer（1981）通过一种不同但相关的发展表明，It^o微积分的某些方面可以“逐路”发展，而不需要任何概率结构。

一旦给定函数在固定的时间间隔（有限长）上承认沿给定嵌套分区序列的二次变化/协变的路径特性，这种新型It^o变量公式的变化可以通过泰勒展开的应用以一种令人惊讶的简单方式证明。然后，Wuermli（1980）在同样的背景下引入了当地时间的概念和相应的路径田中公式。这允许通过适当定义路径局部时间，将变量公式的更改应用于不太规则的函数。这些当地时间的概念最近得到了进一步发展；参见Perkowski和Pr–omel（2015），Davis等人（2018），以及Cont和Perkowski（2018）。在本文中，我们以几种方式概括了交易策略的加法和乘法函数生成。首先，我们使用pathwise It^o演算表明，根据市场权重和完全没有概率考虑的方式，可以构建交易策略，从给定函数中以加法或乘法生成。我们强加的唯一分析结构是，市场权重在路径意义上允许连续协变量。其次，我们承认生成函数依赖于有限变量的附加参数。引入新的论点，而不是市场权重，在构建投资组合时提供了额外的灵活性；见Strong（2014），Schied等人（2018），Ruf和Xie（2018）。我们提出了各种类型的附加此类论点，大意是可以从依赖于它们的函数生成各种新的交易策略；这些策略为市场投资组合的强相对套利创造了新的充分条件。

然后，我们展示了如何应用pathwise Tanaka公式，从生成函数中构造比以前更粗糙的投资组合。为了使用It^o公式，函数需要至少两次可微，而Tanaka公式需要较少的平滑函数，即绝对连续。因此，田中公式的使用极大地拓宽了投资组合生成函数的类别。我们还通过加法和乘法生成的交易策略为强相对套利提供了新的充分条件。Karatzas和Ruf（2017）中现有的充分条件要求生成函数为“Lyapunov”，或相应的“Gamma函数”为非减量函数。相比之下，本文中的新充分条件依赖于生成函数本身固有的非减损结构。这一新情况表明，根据市场权重和有限变化的附加参数，可以从更丰富的函数集合中生成优于市场组合的交易策略。我们提供了一些有趣的交易策略示例，并对其进行了实证分析。预览：第2节介绍了我们的目的所需的pathwise It^o演算的元素。第3节定义了交易策略和常规函数，然后讨论了如何以加法和乘法的方式从常规函数生成交易策略。第4节为此类交易策略提供了充分的条件，以产生与市场相关的强大相对套利。第5节展示了以与第3节类似的方式生成交易策略的方法，但借助当地时间和田中公式的相关概念，从较不平滑的函数生成交易策略。

第6节给出了一些由熵函数生成的交易策略示例，以及强套利的相应充分条件。第7节包含第6节讨论的投资组合的实证结果。最后，第8节得出结论。2按路径计算如下，我们让X=（X，···，Xd）为a[0，∞)d值连续函数，表示价值随时间变化的资产的ad维向量。每个组成部分在[0，T]上定义，固定T>0，Xi（T）代表时间T的ithasset价值∈ [0，T]。我们要求X的分量在路径意义上承认与给定的重组序列（Tn）n相关的连续协变量∈[0，T]的Nof分区。序列（Tn）n∈对于n，每个分区的形式为Tn={0=t（n）<t（n）<····<tnN（Tn）=t}∈ N、 以及T T· · · , 网格大小| | Tn | |：=最大值[tj，tj+1]∈Tn | tj+1- tj |随着n减小到零→ ∞. 我们确定该序列（Tn）n∈本文其余部分的Nof分区。此处和下方的符号【tj，tj+1】∈ Tn表示tjand和tj+1是Tn分区中的连续点，即tj<tj+1，Tn∩ （tj，tj+1）=. 同样，当我们写[tj，tj+1]∈ TN和tj≤ 同时，当j是满足tj的最大指标时，我们设置tj+1=t≤ t、 利用这个符号，我们提出了X沿（Tn）n的路径二次协变的概念∈N、 如下所示。定义2.1。连续函数X=（X，X，···，Xd）被称为沿给定的嵌套分区序列（Tn）n具有路径二次协变量∈Nof【0，T】，如果序列X的极限【tj，tj+1】∈Tntj公司≤t型Xi（tj+1）- Xi（tj）Xk（tj+1）- Xk（tj）, n∈ N（2.1）存在于任何t∈ [0，T]为n→ ∞ 以及由此产生的映射，用t 7表示→ hXi，Xki（t），每1≤ i、 k级≤ d

我们将hXi，Xki称为xind Xk的路径二次协变量，并定义Xiby hXii的路径二次变量：=hXi，Xii。我们强调，x分量的路径协变量和二次变量的存在在很大程度上取决于嵌套或“重新定义”序列（Tn）n的选择∈Nof分区。Cont（2016）中的示例5.3.2和以下论点说明了这一事实。我们还注意到，要使It^o公式在路径意义上成立，需要存在路径协变量和二次变量。接下来，我们陈述由F¨ollmer（1981）引入的原始一维路径It^o公式。定理2.2（二次变分路径的路径It^o公式，F¨ollmer（1981））。固定一个连续函数X，它允许沿给定的嵌套分区序列T=（Tn）n的二次变化≥[0，T]中的1个。然后对于每个C（R，R）函数f，变量公式f的路径变化X（t）- fX（0）=Ztf公司十(s)dX（s）+ZtfX（s）dhXi（s）（2.2）持有t∈ [0，T]。这里，F¨ollmer It^o积分定义为逐点极限ZTFX（s）dX（s）：=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tf（X（tj））（X（tj+1）- X（tj）），（2.3），（2.2）右侧的最后一个积分是Lebesgue-Stieltjes积分。我们还需要比定理2.2更高维的路径It^o公式，并带有额外的“输入”作为额外参数。为此，我们将A=（A，A，···，Am）作为有限变量的附加向量函数，并考虑（d+m）-维函数fX（t），···，Xd（t），A（t），···，Am（t）时间t的∈ [0，T]。我们说一个给定的函数f:Rd+m→ R表示Cj，k（R（d+m），R），如果它对于前d个分量是j次连续可微的，对于最后m个分量是k次连续可微的。

我们还表示为如果是Ith偏导数，则是D`f的（D+`）Th偏导数。我们现在给出了包含X和A的路径It^o公式的以下版本。附录中给出了该公式，证明思路与f¨ollmer的原始定理相同。定理2.3（多维路径It^o公式）。固定沿给定分区序列T=（Tn）n具有路径二次协变量的d维连续函数X≥[0，T]和[0，T]上定义的具有有限变化的m维连续函数。然后每f∈C2,1（R（d+m），R），变量公式F的路径变化X（t），A（t）- fX（0），A（0）=Zt公司fX（s），A（s）dX（s）+mX`=1ZtD`fX（s），A（s）dA`（s）+dXi，k=1Zti、 kf公司X（s），A（s）dhXi、Xki（s）（2.4）持有t∈ [0，T]。这里，F¨ollmer It^o积分定义为逐点极限fX（s），A（s）dX（s）：=limn→∞X【tj，tj+1】∈Tntj公司≤tdXi=1如果X（tj），A（tj）Xi（tj+1）- Xi（tj）, （2.5）而（2.4）右侧的其他积分是Lebesgue-Stieltjes积分。在上一节中，我们考虑了3种按路径感知生成的交易策略[0，∞)d值连续函数X=（X，····，Xd），它允许与重组序列（Tn）n相关的连续协变量∈[0，T]的Nof分区；我们还假设A=（A，···，Am）是有限变量的附加向量函数。在本节中，X的组成部分将表示d可交易资产的价值过程，并最终表示股票市场中市场权重的系统。

同时，遗嘱的组成部分模拟了与这些市场权重相关的可观察但不可交易数量的演变。对于欧氏空间的子集V，我们用C（[0，T]，V）表示定义在[0，T]上的连续V值函数的空间；而CBV（[0，T]，V）代表C（[0，T]，V）中具有有界变化的函数的空间。根据Karatzas和Ruf（2017），我们对这对（X，A）的交易策略有以下定义。定义3.1（交易策略）。对于d维函数X的对（X，A）∈ C（[0，T]，Rd）和m维函数A∈ CBV（[0，T]，Rm），假设θ=（θ，···，θd）是一个表示为θi（·）=Θi的d维函数X（·），A（·）, i=1，···，d.（3.1）这里，Θ=（Θ，···，d）是一个函数向量，我们可以定义一个积分r··（t）dX（t）≡R·Pdi=相对于X的1θi（t）dXi（t）；我们写θ∈ L（X，A），表示这个。我们应该这样说∈ L（X，A）是相对于X的一种交易策略，如果在Vθ（·；X）的意义上是“自我融资的”- Vθ（0；X）=Z·dXi=1θi（t）dXi（t）（3.2）保持不变。在（3.2）和下面的公式中，Vθ（t；X）：=dXi=1θi（t）Xi（t），0≤ t型≤ T（3.3）表示策略θ在T时的价值过程。其解释是，θi（T）代表在T时投资于资产i的“股数”。如果Xi（T）是该资产的价格，则θi（T）Xi（T）是在T时投资于资产i的美元金额，而Vθ（T；X）是所有资产的总投资价值。“自我融资”意味着既没有注入也没有提取资本：收益被重新投资，损失必须被吸收。

只要积分器X是固定的，并且从上下文中看很明显，我们就应该写Vθ（·）而不是Vθ（·；X）。定理2.3中前面的路径It^o公式表明，被积函数∈ 特殊形式的L（X，A）θ（t）=fX（t），A（t）, 对于某些函数f∈ C2,1（R（d+m），R），对积分器X起着非常重要的作用∈ C（[0，T]，Rd），允许有限的二次协变量hXi，Xji，1≤ i、 j≤ 一个适当的嵌套分区序列。由此产生以下定义。定义3.2（可接受的交易策略）。设X是C（[0，T]，Rd）中的d维函数，是CBV（[0，T]，Rm）中的m维函数。d维交易策略θ：[0，∞) → 如果存在一个函数G:Rd×Rm，则Rdin L（X，A）被称为对（X，A）的容许交易策略→ 空间C2,1中的R（R（d+m），R），使得（3.1）保持Θi=iG；即θ（t）=GX（t），A（t）, 0≤ t型≤ T、 （3.4）如果θ是（X，A）的可接受交易策略，则根据定理2.3，上述（3.2）的最后一个积分被解释为Apithwise F¨ollmer It^o积分。在下文中，我们将为这对函数（X，a）定义一个正则函数，由一个d维连续函数X和一个CBV中的m维函数a组成（[0，T]，Rm）。定义3.3（常规功能）。我们说函数G:Rd×Rm→ C2,1（R（d+m），R）中的R对（X，A）是正则的，由一个d维连续函数X和一个∈ CBV（[0，T]，Rm），如果连续函数ΓG（T）：=GX（0），A（0）- GX（t），A（t）+Zt公司GX（s），A（s）dX（s），0≤ t型≤ T（3.5）在紧致层段上的变化有限，为[0，T]。备注3.4。