银行挤兑时间和模型的平均场博弈

如果我们假设σ=0，在这种情况下，Fi=FB=（FBt）t≥0，在时间t，每个储户都知道BSS的资产价值过去到时间t≤ t、 如果所有储户的决定（运行或不运行）仅基于此信息，那么对于每个∈ [0，T]，un[0，T]∈ fB因此，所有存款人在t时都知道该信息。提案2.1。在公共信息的情况下，如果我们将停车时间定义为T∧ inf{t>0；L（Bt）≤ 1} ，那么唯一的纳什等式是当所有储户决定在时间^τ运行时。因此，一旦bank出现流动性问题，就会发生银行挤兑，即使这早在bank破产之前就已经发生了。还要注意的是，根据这一主张，所有储户都经历了存款的完全回收，这与大多数储户通常经历重大损失的典型银行挤兑形成了鲜明对比。证据我们首先认为，我们确实已经确定了纳什均衡。如果除了我以外的所有其他储户都选择了运行时间τ给出的策略，那么我们可以证明，我不能比选择也运行时间τ做得更好。如果L（B^τ）≤ 1、所有其他储户都会立即存款，我唯一希望的投资者是torun at time^τ。现在，如果L（B^τ）>1，n没有储户h作为在L（Bt）>1时运行的理由，因为在L（Bt）仍然严格大于1的情况下，不运行一个小时间间隔，他或她可以在不面临任何风险的情况下赚取更高的利息。这证明了每个储户使用^τ作为运行时间是一个纳什均衡。我们没有证明这个纳什均衡是唯一的纳什均衡，因为我们对公共信息案例并不真正感兴趣。平均场对策公式。

我们现在考虑一个对应于大量储户的渐近状态，发送n→ ∞, 我们跟踪初始沉积D>0的代表性沉积体的行为。虽然当Di=1/n时，支付函数本身减少到零，但我们并不十分关心目标函数值的渐近行为，因此我们可以在n人博弈中简单地重新缩放Pito nPiin，而不改变平衡集。事实上，我们希望在这种渐近状态下控制的主要数量是平衡停止时间的经验分布，因为它包含描述银行挤兑时间的所有信息。当n较大时，通常的平均场博弈启发式方法表明，如果确定银行资产价值的过程不是确定性的，则un会随机测量u。特别是，该极限u应取决于B的时间演化，即u[0，t]应为每个t的FBt可测量值∈ [0，T]。如果确定了概率度量u，则可以定义6 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker在时间t时，当银行资产价值为y时，提取尝试的个人支付Pu（t，y）=D∧L（y）- u【0，t】+,通过求解最优止损问题sup0的止损时间，给出代表存款人要求返还存款的最佳时间≤θ≤ TE[e（r-r） θPu（θ，Bθ）]。上述最大化可在所有外汇停止时间θ内理解，其中filtrationFX=（FXt）0≤T≤这是我们的普通投资者在时间t观察到的信号Xt=Bt+σwt产生的过滤。此处（Wt）0≤T≤这是一个依赖于（Bt）0的进程≤T≤与之前的每个WI共享相同的分布。

如果我们能够解决每个（随机）度量u的最佳停止问题，我们就可以定义一个映射u→ 法则（^τ| B），其中^τ是最佳停止时间，平均场博弈方法的最后一步是为该地图找到一个固定点。下一节更准确地阐述了平均场游戏，并解释了与n人游戏的联系。3、时间的一般平均场对策：主要结果是时间T的紧集 [0，∞] 自始至终都是固定的，我们假设它是离散的，或者对于某些T为[0，T]形式∈ [0，∞]. 固定两个过滤概率空间(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）和(Ohmind、Find、Find、Pind），将分别容纳一个普通噪声和一个独立（或特殊）噪声。我们还得到了过滤系数Fsig=（Fsigt）t∈t产品空间Ohmcom×Ohm带Fsigt的Ind Fcomt公司为每个t查找。此过滤表示代理可用的信号或信息。而不是观察完整的过滤Fcom探员发现隐藏的噪音后，只看到Fsig。给出了目标函数F：Ohmcom×Ohmind×P（T）×T→ R、 其中，P（T）表示T上的Borel概率测度集。这里，F（ω，ω，m，T）表示一个代理通过在时间T停止而获得的回报，给定公共和独立噪声的值（ω，ω），并给定其他代理停止时间的分布m。有了这些成分，我们将制定一个n人游戏及其连续极限asn→ ∞. 下面的假设A将澄清关于F的精确假设（可测量性、连续性等），在此之前，我们将默认这些预期是有意义的。示例3.1。在第2节给出的示例中，我们进行了以下识别。LetT=[0，T]，并让(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）和(Ohmind，Find，Find，Pind）都等于连续实值路径的维纳空间。

目前，Ohmcom=Ohmind=C（[0，T]）配备了Borelσ-field、维纳测度和自然（增强）过滤。su b-filtrationfSigig是过程（Wt+σWt）产生的完整过滤∈[0，T]，当从Ohmcom×Ohmindto公司Ohmcomand to公司Ohm分别为ind。目标函数（重正化后）isF（ω，ω，m，t）=e（r-r） t“1∧L（ωt）- m【0，t】+#.注意，在本例中，独立噪声ω不出现在payoff中，其唯一作用是指定信息结构Fsig。银行挤兑时间和模型的平均场博弈73.1。n人游戏。n-player游戏≥ 1在产品空间中定义(Ohm, F、 F，P）：=(Ohmcom、Fcom、Fcom、Pcom）∞正常=1(Ohmind，Find，Find，Pind）。一个典型的元素Ohm 表示为~ω=（ω，ω，…），带ω∈ Ohmcomandωi∈ Ohmindfor i公司≥ 1、我们称ω为agent i的公共噪声，称ω为agent i的特殊噪声。定义projectionsWi（ω，ω，…）=ωi，对于i=0，1。。最后，对我来说≥ 1、定义过滤Fi=（拟合）t∈ITH代理的Tof byFit：=（W，Wi）-1（Fsigt）：=σ{{（W，Wi）∈ C} ：C∈ Fsigt}。确定经验测量图un:Tn→ P（T）乘以un（T，…，tn）=nnXk=1δtk。（3.1）我们将使用以下常用符号：给定e=（e，…，en）∈ 对于某些集合，定义-i=（e，…，ei）-1，ei+1，en）和（~ e）-i、 x）=（e，…，ei-1，x，ei+1，en），对于x∈ E和i=1，n、 为了尽量减少括号的数量，我们通过写入un（~ t）来滥用符号-i、 s）代替un（（~ t-i、 s）），当t∈ Tnand s公司∈ T.For≥ 如果τ是Fi停止时间（定义于Ohm) 安第斯山脉FW、 Wi，un（~τ），τi≥ EFW、 Wi，un~τ-i、 σ, σ- ，对于每个备选Fi停止时间σ，对于每个i=1，n、 3.2。平均场游戏。

下一步，我们定义了上述游戏的最终代理对应物，称为平均场游戏，它是在产品空间上制定的Ohmcom×Ohmind.我们在产品度量Pcom×Pind下写下期望值，并在Ohmcomand公司Ohm分别为ind。定义3.2。强平均场平衡（MFE）是Fsig停止时间τ*在…上Ohmcom×Ohm令人满意的F（W，W，u，τ*)≥ EF（W，W，u，τ）,对于每个备选Fsig停止时间τ，其中u=Pcom×Pind[τ*∈ · | W] （3.2）是τ的正则条件定律*鉴于W，我们在这里说强MFE，因为在定义4.2中，我们稍后将引入弱MFE的概念。这个强均衡概念的一个证明是以下定理，该定理解释了如何使用强MFE为当时的博弈构建近似纳什均衡。首先，需要一些假设。下面，考虑由T的有界可测函数集B（T）生成的top ologyσ（P（T），B（T））；这就是说，σ（P（T），B（T））是P（T）上最粗糙的拓扑，因此映射m 7→RTИdm对于每个Д都是连续的∈ B（T）。通过kνkT V=sup确定T上有符号度量ν的总变化ZTf dν：f∈ B（T），支持∈T | f（T）|≤ 1..在以下内容中，Ohmcom×OhmINDI始终配备概率度量Pcom×Pind。8 REN’E CARMONA、FRANC,OIS DELARUE和DANIEL Lacker假设A.（A.1）F是可联合测量的，P（T）配备了mapsm 7生成的σ场→ m（C），其中C T是一个Borel集。（A.2）对于几乎每一个（ω，ω），m ap m 7→ F（ω，ω，m，t）是σ（P（t），B（t））-连续的，均匀地在t中。也就是说，对于每个m∈ P（T），mapm 7→ 支持∈TF（ω，ω，m，t）- F（ω，ω，m，t）σ（P（T），B（T））-在m.（A.3）处连续，它认为e“supm”∈P（T）支持∈TF（W、W、m、t）#< ∞. （3.3）假设（A.2）可能难以验证。相反，它涵盖了两大类例子。

首先，因为σ（P（T），B（T））比弱收敛的拓扑更精确，用弱连续性（即弱收敛拓扑的连续性）代替σ（P（T），B（T））-连续性就足够了。此外，因为[0，∞] 是紧的，F（ω，ω，m，t）在（m，t）中的联合连续性意味着（A.2）。第二类示例，实际上是激励拓扑σ（P（T），B（T））的一类示例，由F（ω，ω，m，T）=G（ω，ω，m[0，T]，T）形式的函数F组成，其中G：Ohmcom×Ohmind×[0，1]×T→ R是可测量的。如果G=G（ω，ω，u，t）在u中是连续的，在t中是一致的，对于每个固定的（ω，ω），则F满足（A.2）。这来自于一个简单的引理，在第5节中得到了证明。引理3.3。每m∈ P（T），mapm 7→ 支持∈T | m[0，T]- m[0，t]|是σ（P（t），B（t））-在m处连续。以下主要结果说明了如何使用平均场平衡来构建n人博弈的近似平衡。其证明见第5节。定理3.4。假设假设A成立。假设τ*是平均场平衡，设u如（3.2）所示。对于每个k定义一个Fk停止时间Ohm 由τk（ω，ω，…，ωn）=τ*（ω，ωk）。那么就有了n≥ 0带n→ 0使得~τn=（τ，…，τn）是每个n的一个n-Nash均衡，并且更多→∞EhF（W，Wk，un（~τn），τk）i=EF（W，W，u，τ*), 对于每个k.3.3。战略互补性和多边金融机构的存在。strongMFE的存在性结果是可用的，即使对于不连续的ou s F，只要一个合适的互补性质成立，如引言中所述。本节大量借鉴了具有战略互补性的美国文献[30，37]中的观点，其中有大量基于单调性而非连续性的存在性证明。

下面，让我们假设一个P（T）值的随机变量uonOhmcom×Ohm如果u[0，t]是Fcomt可永远测量的，则使用Fcom自适应随机度量∈ T、 假设B.（B.1）F是右续s。该σ场与P（T）上弱收敛拓扑生成的Borelσ场一致。每对Fcom自适应随机测度u，~u满足u[0，t]的银行运行9（B.2）的时间和模型的平均场博弈≥ u[0，t]表示所有t∈ T a.s.，工艺（Mt）T∈由MT定义的Tde=F（W，W，|u，t）- F（W，W，u，t）是一个子鞅。（B.3）每m∈ P（T），T 7→ 几乎可以肯定，F（W，W，m，t）是上半连续的。（B.4）条件（A.1）和（A.3）保持不变。如果u≤ 随机顺序意义下的|u（即，如果|u[0，t]≤ u[0，t]a.s.每t∈ [0，T]），如果τ≤ τ是停止时间，取mtinasumption（B.2）yieldsE[F（W，W，￠u，￠τ）]的子马尔丁格尔性质的期望值- E[F（W，W，|u，τ）]≥ E[F（W，W，u，％τ）]- E[F（W，W，u，τ）]，（3.4）性质，通常称为增加差异。因此，假设（B.2）要求，对于“较大”u，函数F随t的增加比较小u的增加更多。这些假设在博弈中引入了战略互补性，并将时间模型的博弈重新定义为一个超模博弈。在银行运行模型的背景下，它们是很自然的，在这种模型中，度量u可以捕捉到人们如何提前跑到银行。如果u≥ uinstochastic order，那么在u之下，更多的人更早地跑到了银行。在u下，rewardan代理通过等待τ到τ>τ而获得的收益不应超过u下的相同奖励。

换句话说，如果人们倾向于提前去银行，那么等待投资者的“等待成本”应该会更大。虽然假设B是存在所需的全部条件，但以下更强的假设将有助于更好地理解平衡结构。当P（t）具有弱收敛拓扑时，假设C.（C.1）F（W，W，m，t）在（m，t）中几乎肯定是联合连续的。（C.2）条件（A.3）成立。定理3.5。如果假设B成立，则存在强MFE。如果两种假设C带都成立，则存在强MFEτ*和θ*对于任何强MFEτ，我们有θ*≤ τ≤ τ*a、 假设B的一些例子如下。首先，假设每t≤ t′，every（ω，ω），和every m，m′∈ P（T）满足m≤ 随机顺序中的m′（表示m[0，s]≥m′[0，s]对于每个s），我们有f（ω，ω，m′，t′）- F（ω，ω，m′，t）≥ F（ω，ω，m，t′）- F（ω，ω，m，t）。然后假设B的次鞅部分成立，因为过程M是非减量的。下面的命题和备注说明了如何验证假设B f或基于差异过程的一大类示例。提案3.6。假设T=[0，T]，并假设Ohmcom×OhmIND支持连续性差异X=（Xt）t∈[0，T]在所有光滑函数Д上定义了小型生成器，f（x）=b（x）·f（x）+Tr[a（x）f（x）]，其中b和a是可测函数，其值分别为Rd和正半确定×d矩阵集。假设F的形式为F（ω，ω，m，t）=F（Xt（ω，ω），ν*m（t），t），10 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker，其中f有界，且* m（t）=Z[0，t]Д（t- s） m（ds）。此外，假设f:Rd×R×[-T、 T] （x、y、t）7→ f（x，y，t）∈ R在x上有两个有界连续导数，在y和t上都有一个有界连续导数，并且ν：[0，t]→ R是连续的。

假设以下一种情况：（i）Д是非减量且凸的，yf公司≥ 0，以及Lxf+tf和yf是每个固定值（x，t）的非减量iny，其中lx表示L对x变量的作用。（ii）Д为非递增和凸面，yf公司≤ 0，以及Lxf+tf和yf是每个固定值（x，t）的非递增iny。最后假设Eztsupy∈R | a（Xt）xf（Xt，y，t）| dt<∞. （3.5）然后假设（B.2-3）和（C.1）成立。证据唯一重要的主张是，次鞅属性（B.2）成立。为了验证这一点，fix两个Fcom适应的随机测量值u和满足u[0，t]≥ |u[0，t]a.s.对于每t.ByIt^o公式，df（Xt，ν* u（t），t）=Lxf（Xt，Д* u（t），t）+tf（Xt，Д* u（t），t）+yf（Xt，Д* u（t），t）Д′* u（t）dt+xf（Xt，Д* u（t），t）·a（Xt）dBt，其中B=（Bt）t∈[0，T]是标准布朗运动（根据概率空间的扩展定义）。假设（3.5）imp假设dBtterm是鞅。显示f（Bt，ν* u（t），t）- f（Bt，Д* eu（t），t）是一个子鞅，需要检查其dt项是否始终为非负。如果u≤ eu如假设B中所示，然后是df的dt项（Bt，ν* u（t），t）-df（Bt，Д* eu（t），t）精确地表示为xf（Bt，ν）* eu（t），t）- Lxf（Bt，Д* u（t），t）+tf（Bt，Д* eu（t），t）- tf（Bt，Д* u（t），t）+yf（Bt，^1* eu（t），t）Д′* eu（t）- yf（Bt，^1* u（t），t）Д′* u（t）。现在请注意，如果m≤ 随机顺序下的m nRG dm≤Rg dm，对于每个非减量函数g，尤其是如果Д是非减量（分别为非递增）且凸的，则* ~m≥^1* m（分别为。≤) 和Д′* ~m≥ ^1′英寸* m点方向。考虑到这一点，必须检查任一组假设是否确保上述数量为非负。

假设（3.5）不是很严格；只要xf和a是有界的，或者更一般地，在线性增长假设和初始状态X的适当可积性下。条件（i-ii）更具限制性，下面的简单结果更广泛地说明了假设（B.2）在处理非常自然的平均场相互作用形式方面的局限性。特别是，命题3.7表明，我们的银行挤兑模型不能满足假设（B.2），因为F（ω，ω，m，t）依赖于m[0，t]。提案3.7。假设T是连续的，假设F（ω，ω，m，T）=G（m[0，T]），对于某些连续的G:[0，1]→ 我们假设R在（0，1）上是可微的。如果F满足假设（B.2），则G为常数。银行挤兑时间和模型的平均场博弈11Proof。对于m，em∈ P（[0，T]），带m≤ em，假设（B.2）意味着确定性过程G（em[0，t]）- G（m[0，t]）是一个子鞅，这意味着它是非减量的。换句话说，对于0≤ s≤ T≤ T，G（em[0，T]）- G（em[0，s]）≥ G（m[0，t]）- G（m[0，s]）。除以t- 取极限，我们发现′（F（t））F（t）≥ G′（F（t））F（t），假设F（t）=m[0，t]和F（t）=em[0，t]有导数和F。关键是随机优势对密度的变化不敏感。给定u∈ （0，1），存在m≤ emand t公司∈ [0，T]使得F（T）=u，而F（T）=0，F（T）=1，这意味着G′（u）≥ 另一方面，如果∈ （0，1），存在m≤ em和t∈ [0，T]使得F（T）=u，而F（T）=1，F（T）=0，这意味着G′（u）≤ 0.因此G′≡ 0打开（0，1）。3.4。一个例子。Nutz[32]的最新模型，或至少其许多特化，可以证明满足我们的假设A。