银行挤兑时间和模型的平均场博弈

[32]中平衡点的显式计算可以与定理3.4结合使用，以构造n-player近似平衡。我们仅描述了该模型的一个简单案例，见【32，第5.1节】。设T=[0，∞], 假设Ohmcom=Ohmind=D↑是非减量右连续实值函数的空间[0，∞). 注意，对于任何f∈ D↑极限f(∞) = 限制→∞f（t）存在于R中∪ {∞}. 给出了Constantsc>0和r>0，目标函数isF（ω，ω，m，t）=expZt公司R- ω（s）- ω（s）- 厘米【0，秒】ds公司.过程γt（ω，ω）=ω（t）- ω（t）- cm[0，t]可以解释为代理人对银行破产率的感知。这种感知的利率随时间变化，取决于一个公因子ω和一个独立的f因子ω，以及已经跑到银行的代理的比例。事实上，这不是[32]中给出的目标函数的原始形式，而是在引理2.1中推导出来的（更精确地说，方程（2.3））。在这个例子中，检查假设（A.1）是否成立很简单，我们可以使用引理3.3来检查假设（A.2）是否成立。假设（A.3）成立，只要asE经验值支持≥0ZtR- W（s）- W（s）ds公司< ∞.另一方面，在大多数情况下，这类模型的假设（B.2）似乎不成立。然而，[32]中的论点导致了当代理可以访问所有信息时，MFE的显式计算，即wh en Wand W+Ware都适用于Fsig。定理3.4可以用来构造显式的n-参和者近似平衡。4、超越互补性：弱平衡本节阐述了如何在目标函数适度连续性假设下，通过导出存在性结果和极限定理，超越互补性的限制性假设。我们的时间集现在是一个有限的间隔T=[0，T]，T>0。

设C=C（[0，T]）表示[0，T]上的连续实值函数空间，赋予其上范数。对于波兰空间E，我们总是为Borel概率测度空间E写P（E），赋予它弱收敛的拓扑结构。对于本节的其余部分，我们指定Ohmcom=Ohmind=C，12 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker为了简单起见，公共噪声和独立噪声现在都将是一维标准布朗运动。这可以在不同的方向上推广，最明显的是通过使这些布朗运动多维化，这不会改变分析。让我们在C上为维纳测度写W，并通过设置PCOM=Pind=W来专门设置第3节。写B=（Bt）t∈[0，T]和W=（Wt）T∈对于C上的正则过程，设FB=（FBt）T∈[0，T]和FW=（FWt）T∈[0，T]表示其天然（原始）过滤。目标函数现在是一个函数F:C×P（[0，T]）×[0，T]→ R、 请注意，第2节的银行挤兑模型的完整信息版本适用于此专门设置；参见示例3.1。n人博弈的均衡概念如第3.1节所示，但现在有了完整的信息：给定独立的维纳过程B和（Wi）ni=1，代理i选择一个随机时间τi，该时间必须是相对于完全过滤FB，W，…，的停止时间，。。。，Wngeneratedby（B，W，…，Wn），但我们不会详细说明。回想一下≥ 0我们说，如果τ是FB，W，…，则~τ=（τ，…，τn）是一个-纳什均衡，。。。，Wn停止时间（数值在[0，T]中）和ifEFB、 Wi，un（~τ），τi≥ EFB、 Wi，un~τ-i、 σ, σ- ，对于每个备选方案FB，W，。。。，Wn停止时间σ，f或每个i=1，N

不幸的是，我们的证明技术似乎仅限于这种完全信息的情况；这篇论文的早期版本包含了以下结果的部分信息，但其中有一个漏洞。我们感兴趣的是描述纳什均衡的极限行为，如n→ ∞, 除了定理4.5的逆构造之外。为此，我们引入了强平衡和弱平衡的概念，类似于随机微分方程的强解和弱解。强平衡与定义3.2完全相同，但包含完整信息：定义4.1。强平均极限平衡（MFE）是FB，W-停止时间τ*定义onC，配备维纳测度W，满足[F（B，W，u，τ*)] ≥ E[F（B，W，u，τ）]，对于每个FB，W-停止时间τ，其中u=W[τ*∈ ·|B] 是τ的条件定律*鉴于B.弱MFE的定义需要谨慎。由于我们将大量处理弱限制，我们必须根据弱收敛的以下基本事实准备f或一些可测性损失：如果（Z，Yn）是弱收敛到（Z，Y）的随机变量，并且如果YnisZ可对每个n测量，那么绝对没有理由期望Y在极限内是Z可测的，尽管Z不依赖于n。因此，我们定义了弱MFE的概念，其中u不需要是B-可测量的，τ可以是随机停止时间，在某种意义上精确如下。与随机微分方程弱解的定义类似，我们将弱解的定义基于（B，W，u，τ）的联合分布性质。事实上，出于稍后将变得清楚的原因，通过不仅考虑τ的条件定律，而且考虑（W，τ）的联合条件定律，可以方便地包含更多信息。

因此，我们研究正则空间Ohm := C×P（C×[0，T]）×[0，T]，（4.1）和let（B，W，u，τ）表示自然投影（B，W）给出的正则过程：Ohm →C、 u：Ohm → P（C×[0，T]），τ：Ohm → [0，T]。因为我们将在这个空间上处理许多规范过滤，所以我们将引入以下符号，我们将在续集13中系统地使用计时和银行挤兑模型的人场游戏。连续过程B和W各自产生过滤FB=（FB）t∈[0，T]和fw分别以自然方式定义。随机时间τ生成原始滤波fτt=σ{τ∧ t} 。由多个过程生成的过滤用FB表示，例如，W：=FB∨ FW或FB，Wt=σ（FBt∪ FWt）。我们使用相同的符号FW，τ不仅用于过滤FW∨ Fτ定义于Ohm, 但对于在C×[0，T]上生成的过滤，这应该不会引起任何混淆。通过该识别，过滤Fu=（Fut）t∈[0，T]打开Ohm （或在P（C×[0，T]）上定义为fuT=σ{u（C）：C∈ FW，τt}。等效地，如果π在C×[0，T]上定义为πT（w，s）=（w·∧t、 s∧ t） ，则Fut=σ{uo π-1t}。我们还可以为u的两个边缘写入uW=u（·×[0，T]），uτ=u（C×·），这两个边缘分别取P（C）和P（[0，T]）中的值。给定过滤F=（Ft）t∈[0，T]，我们写F+表示正确的连续过滤（Ft+）T∈[0，T]，其中asusual Ft+：=∩s> tFsfor t∈ [0，T）和FT+=FT。请注意，右过滤Fτ+是最小的过滤，τ是一个停止时间，因此，右连续过滤在以下定义中的出现非常自然：定义4.2。

弱平均场平衡（MFE）是一种概率测度POhm 因此：（1）（B，W）是关于过滤FB，W，u，τ+的维纳过程。（2） （B，u）与W无关。（3） τ与（B，W，u）兼容，因为对于每个t∈ [0，T]。（4） 最优性条件为：EP[F（B，W，uτ，τ）]=supP′EP′[F（B，W，uτ，τ）]，其中上确界覆盖所有P′∈ P(Ohm) 满足（1-3）和P′o （B、W、u）-1=Po （B、W、u）-1.（5）弱不动点条件成立：u=P（（W，τ）∈ · | B、 u）。以下结果是对上述定义的首次论证，陈述后，我们将进一步阐述弱MFE的直观含义。回想一下W d enotes Wienermeasure，并在C.命题4.3中为p乘积度量写W=W×W。假设F有界且可联合测量，且t 7→ F（b，w，m，t）是连续的，对于每个m和w-几乎每个（b，w）。假设τ*是强MFE，定义u=W（τ*∈ ·|B） 。然后测量值=Wo （B，W，u，τ*)-1（4.2）为弱MFE。命题4.3的证明见第6节。由于一些术语的滥用，我们可以将（4.2）中定义的度量值P本身称为强MFE。我们还可以确定MFE的一些中间产品。τ可能是在P下可测量的a.s.（B，W，u），在这种情况下，wesay P是一个具有强停止时间的弱MFE。相反，我们可以引用弱MFETo来表示τ是a.s.（B，W，u）-在P下可测量意味着τ相对于σ（B，W，u）的P完成是可测量的。等价地，存在一个可测映射eτ：C×P（C×[0，T]）→ [0，T]这样p（τ=eτ（B，W，u））=1.14 REN’e CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL LACKERmore详细描述为具有弱停止时间的弱MFE，以强调τ无法（B，W，u）测量。

同样，如果u是P-a.s.B可测量的，我们说弱MFE P是具有弱停止时间的强MFE。具有强停止时间的强MFE自然需要这两个可测性条件，并且根据命题4.3，这将简化为我们已经称之为强MFE的情况。定义4.2的“兼容性”条件（3）有些不寻常。如上所述，我们不能期望τ在取弱极限后是（B，W，u）可测量的，但条件（3）捕获了我们确实保留的重要结构，正如（1）中的要求一样，（B，W）保留了维纳过程相对于较大过滤的要求。在[28，12]中的随机差异平均场游戏中也发现了类似的兼容性条件（另见[11]），事实上，兼容性的概念都属于同一个范畴，我们在第6节中有所澄清。直观地说，只要在每个时间t，这种随机化有条件地独立于给定信号历史的所有未来信息，就允许代表性代理将其停止时间从外部随机化到信号（B，W，u）。从数学上讲，相容性增加的原因如下（此处非正式说明，并在定理6.4中精确说明）：如果τ满足（3），则存在一系列FB，W，u-停止时间τk，即（B，W，u，τk）=> （B，W，u，τ），其中=> 表示法律上的趋同。在这种情况下，相容的停车时间集是有效停车时间集的闭合。连续目标函数。我们几乎准备好陈述本节的主要结果，但首先我们需要一些假设：假设D。

函数F有界且可联合测量，且P（[0，T]）×[0，T]（m，t）7→ F（b，w，m，t）对于w是连续的-几乎每个（b，w）∈ C、 当P（[0，T]）具有弱收敛拓扑时。boun dedness假设只是为了方便起见，这很容易被放松，代价是一些谨慎的增长或可积性假设。连续性假设对于我们的弱收敛方法很重要，但不幸的是，它可能会受到限制。例如，我们在介绍中的银行挤兑模型涉及不连续函数P（[0，T]）×[0，T] （m，t）7→m【0，t】。尽管如此，银行挤兑模型的近似值可以通过用φ代替m[0，t]来解释* m（t）=R[0，t]φ（t- s） m（ds），其中φ：[-T、 T]→ R是连续的，在某种意义上“接近”阶跃函数1【0，T】。第一个结果是一个极限定理，表明n-p层平衡收敛于弱MFE。回顾第3.1节中的n人游戏的符号。对于每个n和每个t，田纳西州∈ [0，T]我们定义了随机联合经验测度（C×[0，T]）bun（T，…，tn）=nnXi=1δ（Wi，ti）。（4.3）定理4.4。假设假设D成立。Letn≥ 0带n→ 0，并假设~τn=（τn，…，τnn）是每个n人博弈的n-Nash均衡。定义n=nnXi=1PoB、 Wi，Bun（~τn），τni-1、然后（Pn）∞n=1是紧的，每个弱极限都是弱MFE。如果用正确的方法解释，定理4.4中出现的测度pn是一个很自然的研究对象。我们可以写Pn=Po （B，WU，Bun（~τn），τnU）-1，其中U是从{1，…，n}均匀抽取的随机变量，独立于（B，Wi）∞i=1。可以将其视为随机选择的代表性代理。

由于τnimay在任何有用的意义上都不具有对称性，因此，通过使用，比如P，就无法得到关于银行挤兑时间和模型的farMEAN FIELD博弈15o（B，W，Bun（~τn），τn）-1，对应于任意选择agent1作为代表。与定理4.4相反的是，同样的想法出现在下面，它类似于弱平衡情况下的定理3.4。定理4.5。假设假设D成立。设P为弱MFE。那么就有了n→ 0和n-Nash平衡~τn=（τn，…，τnn），使得p=limn→∞nnXi=1PoB、 Wi，Bun（~τn），τni-1、事实上，如果τ*= τ*（B，W）是定义4.1意义上的强MFE，那么我们可以采用τni=τ的形式*（B，Wi）。最后，我们给出了弱MFE的一个存在性结果。结合定理4.5，证明了n人对策存在近似的n人均衡。定理4.6。在假设D下，存在弱MFE。现阶段有一些评论。结合这两个极限定理告诉我们，弱MFE集正是n-player近似平衡的极限集。如果我们能找到一个强MFEτ*, 逆极限定理4.5展示了如何从中构造出一个近似的n-player均衡，其形式是一种令人愉悦的对称分布形式，如定理3所示。结果和参数的一般结构类似于[28，12]。一般设置中的证明本节证明了第3节的结果。在本节中，我们致力于空间(Ohm, F、 F，P）在第3.1节中定义。使用一些ab符号，任何函数φOhmcom×OhmINDI自动扩展到所有Ohm 通过设置φ（ω，ω，…）：φ（ω，ω）。定理3.4的证明。缩写~τn，-k： =（~τn）-k、 和definen=supeτeF（W，W，un（~τn，-1，eτ），eτ）- EF（W，W，un（~τn），τ）,其中，su premum超过F停止时间。显然是≥ 根据对称性，索引1可以替换为任何k∈ {1，…，n}。

因此，对于每个n，τ是一个n-Nash均衡。我们只能证明n→ 0.首先，我们显示Limn→∞E支持∈TF（W，W，un（~τn），t）- F（W，W，u，t）= 0。（5.1）注意σ（P（T），B（T））的基本开集为=M∈ P（T）：ZTИid（m- m）< ，i=1，K,对于k≥ 1，>0，和dД，^1k∈ B（T）。因为（τk=τ*（W，Wk））∞k=1是条件i.i.d.给定的W，它们的共同条件定律是u=u（W），即大数定律un（~τn）/∈ U | W=ω→ 0，（5.2）16 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL LACKERfor几乎任何时候的yω，对于每个基本σ（P（T），B（T））-u（ω）的开放邻域U。由于连续性假设（A.2），对于每个δ>0和几乎每个（ω，ω），我们可以找到一个基本的σ（P（T），B（T））-开邻域Uu（ω），使得∈ U表示支持∈TF（ω，ω，ν，t）- F（ω，ω，u（ω），t）< δ。因此，对于a.e.ω，P支持∈TF（W，W，un（~τn），t）- F（W，W，u（W），t）≥ δW=ω→ 由于假设（A.3），限制（5.1）来自支配收敛。接下来，我们认为Limn→∞supeτEF（W，W，un（~τn，-1，eτ），eτ）= supeτEF（W，W，u，eτ）. （5.3）事实上，使用easy estimatesupt∈Tkun（~τn，-1，t）- un（~τn）kT V≤ 2/n，以及（5.2），我们推断，对于几乎每个ω，对于u（ω）的每个基本σ（P（T），B（T））-op-ennightborhood U，我们有limn→∞Pun（~τn，-1，t）/∈ U、 f或一些t∈ TW=ω= 0.重复导致（5.1）的参数以获取支持∈TF（W，W，un（~τn，-1，t），t）- F（W，W，u，t）→ 最后，我们从（5.1）、（5.3）和τ的最优性得出结论*thatlimn公司→∞n=supeτEF（W，W，u，eτ）- EF（W，W，u，τ*)= 0引理3.3的证明。修正>0。找到一个有限集0=t<t<···<tN=sup t，使m（tk，tk+1）≤ 对于每k=0，N- 考虑σ（P（T），B（T））-开放邻域Uof mgiven byU={m∈ P（T）：| m（tk，tk+1）- m（tk，tk+1）|∨ |m【0，tk】- m【0，tk】|<，k=0。

N- 1} 。对于m∈ U和t∈ （tk，tk+1）我们有| m[0，t]- m【0，t】|≤ |m【0，t】- m[0，tk]|+| m[0，tk]- m[0，tk]|+| m[0，tk]- m【0，t】|≤ m（tk，t）+m（tk，t）+m[0，tk]- m【0，tk】|≤ m（tk，tk+1）+m（tk，tk+1）+m[0，tk]- m【0，tk】|≤ 3。设置π={t，…，tN-1} ，我们有，对于m∈ U、 支持∈T | m[0，T]- m[0，t]|=支持/∈π| m[0，t]- m【0，t】|∨ 最大值∈π| m[0，t]- m【0，t】|≤ 3。超模下银行挤兑时间和模型的平均场博弈。在本节中，我们将介绍heorem 3.5。设S表示（a.S.equal的等价类）Fsig停止时间的集合，设M表示（a.S.equal的等价类）P（T）值随机变量u的集合，这些变量在某种意义上是Fcom适应的，即u[0，T]是每个T可测量的a.S.Fcomt。用几乎确定的partialorder装备S，这意味着我们解释不等式τ≤ τ′几乎可以肯定。用几乎确定的随机顺序装备M，意味着u′≥ u当且仅当u′[0，t]≤ u[0，t]a.s.每t∈ [0，T]，请注意，右连续性使得量化器的顺序无关紧要。注意，M是一个格，即一个偏序集，其中每两个元素都有唯一的最小上界和唯一的最大下界；例如u∨ u′是由（u）定义的随机测量∨ u′）【0，t】=u【0，t】∧ u′[0，t]。另一方面，S是一个完整的格，因为它是一个偏序集，其中每个子集都有上确界和下确界。事实上，“本质上确界”的概念提供了正确的上确界操作，其完整性源于假设（B.1），即过滤是连续的。