银行挤兑时间和模型的平均场博弈

要证明（1）稍微有点复杂：显然Po （B、W）-1=W，其中通常Wdenotes-Wiener测量。还要注意，如果gt:C→ R是有界的，FB，Wt是可测的，那么ne[gt（B，W）| B]=ZCgt（B，W）W（dw）=E[gt（B，W）| FBt]，a.s。因此，由于τ是a.s.（B，W）-可测的，如果t∈ [0，T]和C∈ FW，τtthenu（C）=P（（W，τ）∈ C | B）=P（（W，τ）∈ C | FBt），P- a、 这表明（完成）FBt中包含的（完成）Futis。因此，在P下，FB，W，u，τ的完成包含在FB，Wt中，这证明了性质（1）。弱不动点条件（5）成立，因为u是B-可测量的。最后，最优性条件（4）来自推论6.5。6.2。兼容性的快捷方式。作为最后的准备步骤，在证明主要结果之前，我们陈述最后一个有用的引理。它允许我们检查一个更简单的标准来代替定义4.2中的兼容性属性（3），该属性在限制下表现不太好。事实上，这个引理正是我们研究（W，τ）的条件联合定律的原因，而不仅仅是τ本身。引理6.7。假设P∈ P(Ohm) 满足定义4.2的性质（2）和（5）。假设也是FB，uT∨ FW，τt独立于σ{Ws-重量：s∈ [t，t]}，对于每个t∈ [0，T）。然后定义4.2的P满足性（3）；即FτT+在条件上独立于FB，W，uT给定FB，W，uT+，对于每个T∈ [0，T]。证据根据定理6.4的最终要求，有必要检查Fτ是否有条件地依赖于FB，W，ut对于每个t∈ [0，T]。

固定有界函数ft，gT，gT，h+，和ht，使得ft（τ）是Fτt-可测的，gT（B，u）是FB，ut-可测的，gT（B，u）是FB，ut可测的，h+（W）是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量，ht（W）是FWt可测量的。计算机ft（τ）gT（B，u）gT（B，u）h+（W）ht（W）= E[英尺（τ）gT（B，u）gT（B，u）ht（W）]E[氢+（W）]=Egt（B，u）gt（B，u）Zft（s）ht（w）u（dw，ds）E[h+（W）]=Egt（B，u）EhgT（B，u）| FB，utiZft（s）ht（w）u（dw，ds）E【h+（W）】=Ehgt（B，u）ht（W）ft（τ）Ehgt（B，u）| FB，utiiE【h+（W）】=Ehgt（B，u）ht（W）ft（τ）Ehgt（B，u）h+（W）FB，W，utii。第一步使用假定的独立性，而第二步和第四步使用固定点属性u=P（（W，τ）∈ ·|B、 u）。第三步使用的事实是，对于C×[0，t]上的每个有界ed-FW，τt-可测函数φ，rφdu是Fut-可测的（而FB，ut-可测）。最后，24 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lacker最后一步使用了简单的识别Hgt（B，u）h+（W）FB，W，uti=EhgT（B，u）| FB，utiE[h+（W）]。极限定理的证明本节专门讨论定理4.4和4.5的证明。此时，回忆这些定理中的符号可能是有用的。尤其要注意区分（3.1）中定义的停车时间u（~τn）的经验测量值与（4.3）中定义的联合经验测量值bu（~τn）。7.1。定理4.4的证明。缩写为bun=bun（~τn）。首先请注意，Po（B，周）-1=Wforall k，因此Pn的C-边缘不依赖于n。显然，[0，T]-边缘序列（Pnoτ-（1）∞n=1很紧，因为[0，T]很紧。表明边缘序列（Pno（bun）-（1）∞n=1很紧，这表明平均值序列测量EPn【bun（·）】∈ P（W×[0，T]）是正确的（c.f.[34，命题2.2]的证明）。但这源于观察到的EPn的第一个边缘【bun（·）】是每个n的维纳测度。由于每个边缘序列都是正确的，因此序列（Pn）∞n=1 P(Ohm) 很紧。

设P为Pn的任何极限点，并重新标记子序列以假定Pn→ P我们检查P是否满足weakMFE的五个定义属性。（1）的证明：首先，请注意po （B、W）-1=limn→∞nnXk=1Po （B，周）-1=W。我们接下来证明（B，W）是关于FB，W，u，τ+，或等效于FB，W，u，τ的维纳过程。修复t∈ [0，T）.设ft，gt，ht和h+分别是[0，T]，P（C×[0，T]），C和C上的连续函数。假设ftis Fτt-可测，gtis Fut-可测，htis FB，Wt-可测，h+为σ{（Bs- Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}-可测量。那么，因为（B，W，…，Wn）是FB，W，。。。，Wn+-维纳过程，EPft（τ）gt（u）ht（B，W）h+（B，W）= 画→∞nnXi=1EPft（τni）gt（bun）ht（b，Wi）h+（b，Wi）= 画→∞nnXi=1EPft（τni）gt（bun）ht（b，Wi）EP公司h+（B，Wi）= EP【ft（τ）gt（u）ht（B，W）】EPh+（B，W）.这表明σ{（Bs- Bt，Ws- Wt）：s∈ 在P下，[t，t]}与FB，W，u，τt无关。（2）的证明：证明（B，u）和W在P下是独立的很简单：对于有界连续函数f:C×P（C×[0，T]）→ R和g：C→ R、 大数定律银行挤兑时间与模型的平均场对策25yieldsEP[f（B，u）g（W）]- EP[f（B，u）]]EP[g（W）]=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）g（Wi）- EP[f（B，Bun）]nnXi=1EPg（Wi）= 画→∞EP“f（B，Bun）nnXi=1g（Wi）-Zg dW！#=0，因为Wiare i.i.d.和P下的W定律。证明（5）：x点条件（5）的证明也很简单。设f和g分别是C×P（C×[0，T]）和d C×[0，T]上的有界连续s函数，并且注意到P[f（B，u）g（W，τ）]=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）g（Wi，τni）= 画→∞EP公司f（B，Bun）Zg dbun= EP公司f（B，u）Zg du.（3）的证明：因为我们已经建立了性质（2）和（5），引理6.7将立即产生（3），一旦我们可以证明FB，uT∨ FW，τ表示σ{Ws的依赖性- 重量：s∈ [t，t]}，对于每个t∈ [0，T）.修复T∈ [0，T）。

将有界连续函数f固定在C×P（C×[0，T]）、gton[0，T]、hton C和h+上。假设f是一致连续的（因此FB，uT-可测），g是fτT-可测，htis FWt-可测，h+是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量。定义un，-i： =n- 1Xk6=iδ（Wk，τnk）=nn- 1bun-N- 1δ（Wk，τnk），注意kbun，-我- bunkT V≤ 2/（n）- 1） a.s.总变异拓扑比弱变异拓扑更为有效，因此| f（B，Bun）- f（B，Bun，-i） |→ 0，在L中∞, 在i.现在一致，因为σ{Wis- 智慧：s∈ [t，t]}独立于FWit∨ FB，（Wk）k6=它，我们有EPf（B，u）gt（τ）ht（W）h+（W）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun）gt（τni）ht（Wi）h+（Wi）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun，-i） gt（τni）ht（Wi）h+（Wi）= 画→∞nnXi=1EPf（B，Bun，-i） gt（τni）ht（Wi）EP【h+（Wi）】=limn→∞nnXi=1EPf（B，Bun）gt（τni）ht（Wi）EP【h+（Wi）】=EP【f（B，u）gt（τ）ht（W）】EP【h+（W）】。26 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A and DANIEL Lacker这意味着FB，uT∨ FW，τ表示σ{Ws的依赖性- 重量：s∈ [t，t]}，在P下。（4）的证明：仍需证明最优性条件在极限内成立。重新调用uτ（·）=u（C×·）表示u的[0，T]-边缘。根据推论6.5，可以显示[F（B，W，uτ，τ）]≥ EP[F（B，W，uτ，σ）]，对于每个FB，W，u-停止时间σonOhm 形式为σ=σ（B，W，u），其中σ：C×P（C×[0，T]）→[0，T]是连续的。确定这样的停车时间。对于n人博弈定义σi=σ（B，Wi，Bun（~τn））。那么σiis a FB，W，。。。，Wn停止时间。回想一下，undente表示联合温度度量bun的[0，T]-边缘。

Nash性质意味着EP[F（B，W，u，τ）]=limn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn），τni）≥ lim s upn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn，-i、 σi），σi）= lim s upn→∞nnXi=1EPF（B，Wi，un（~τn），^σ（B，Wi，Bun（~τn）））= EP[F（B，W，uτ，^σ（B，W，u））]。实际上，第三行中的等式来自于简单估计kun（~τn，-i、 σi）-un（~τn）kT V≤2/n，其中kmkT V=sup | f|≤1Rf dm表示总变化，也表示假设D确保的连续性ofF=F（b，w，m，t）in m。第一行和最后一行都使用引理6.1来处理F in（b，w）的潜在不连续性，最后一步关键是使用^σ的连续性。7.2。定理4.5的证明。让P∈ P(Ohm) 做一个软弱的MFE。在某些交替概率空间（e）上构造Ohm,eF，eP），一个具有P定律的C×P（C×[0，T]）值随机变量（B，u）o（B，u）-1和一系列随机变量（Wi，τi），这些随机变量在给定条件下是独立的（B，u），并且具有共同的条件律u。这里有一些符号，因为（B，u）既用于新的随机变量，也用于正则空间上定义的随机变量Ohm, 但这不会引起混淆，因为我们专门研究（eOhm,eF，eP）中。对于每个i，（B，u，Wi，τi）的定律精确地为P。通常，设τn=（τ，…，τn），fort，田纳西州∈ [0，T]确定经验测量（现在是一个Ohm)un（t，…，tn）=nnXi=1δti，bun（t，…，tn）=nnXi=1δ（Wi，ti）。定义：=supσ∈SnE公司F（B，W，un（~τn，-1，σ），σ）- EF（B，W，un（~τn），τ）+,这里是FB，W，。。。，Wn停止时间（定义一次Ohm). 按symmetrysupσ∈SnEhF（B，Wk，un（~τn，-k、 σ），σ）i≤ n+EhF（B，Wk，un（~τn），τk）i，（7.1）每k=1，…，银行挤兑时间和模型的平均场游戏27，n、 我们首先表明→ 确实如此≤ E“支持∈[0，T]F（B，W，un（~τn，-1，t），t）- F（B、W、u、t）#+supσ∈s∞EF（B，W，u，σ）- EF（B，W，un（~τn），τ）+,其中S∞= ∪N≥1Sn。

我们声称，第一行上的项收敛为零。实际上，kun（~τn，-1，t）- un（~τn）k≤ 2/n和un（~τn）→ u弱a.s.根据largenumbers（有条件）定律。使用以下假设得出结论：P（[0，T]）×[0，T]） （m，t）7→ F（b，w，m，t）对于每个固定（b，w）是（均匀）连续的。第二项也趋于零，因为F（B，W，un（~τn），τ）→ EF（B，W，u，τ）≥ supσ∈s∞EF（B，W，u，σ）.事实上，为了证明最后一个不等式，请注意，对于任何σ∈ s∞我们可以很容易地检查Fσ是否在条件上依赖于FB，W，ut。对于每个t，Fσ依赖于FB，W，ut。因为（B，W，u，τ）具有弱MFE定律P，定义4.2的最优性条件（4）提供了所需的等式。似乎我们已经证明了（τ，…，τn）对于当时的参与者博弈形成了一个n-Nash均衡，其中n→ 0，但这并不准确。停止时间τi不是相对于FB，W，…，的停止时间，。。。，Wn，但更大的过滤。这需要更多的近似值，使用T heorem 6.4的直接扩展来处理停止时间向量，作为对单个停止时间的操作；这个扩展的证明是完全相同的，但显然更麻烦。注意Fτ，。。。，τntis条件独立于FB，W，。。。，WnTgiven FB，W，。。。，Wn，ut，对于每个t，因为（B，W，…，Wn）是FB，W，。。。，Wn，τ，。。。，τn-维纳过程。因此，使用上述定理6.4的扩展，我们可以发现FB，W，。。。，Wn停止时间，τk，τnk，使得（B，W，…，Wn，τk，…，τnk）=> （B，W，…，Wn，τ，…，τn），如k→ ∞. 设~τn，k=（τk，…，τnk），且定义kn：=最大值=1，。。。，Nsupσ∈SnEhF（B，Wi，un（~τn，k，-i、 σ），σ）i- EhF（B，Wi，un（~τn，k），τik）i+.对于固定的n，我们可以认为limk→∞kn=n。

事实上，这是从atlimk→∞最大值=1，。。。，NEhF（B，Wi，un（~τn，k），τik）i- EF（B，Wi，un（~τn），τi）= 0，按构造，和limk→∞最大值=1，。。。，nE“支持∈[0，T]F（B，Wi，un（~τn，k，-i、 t），t）- F（B，Wi，un（~τn，-i、 t），t）#= 0，因为m 7→ F（b，w，m，t）在m中是连续的，在t中是均匀的，几乎对于每个固定的（b，w）。总之，我们可以确定kn→ ∞ 使nnxi=1Law（B，Wi，Bun（~τn，kn），τikn）→ 定律（B，W，u，τ），以及knn↓ 0且最大值=1，。。。，nsupσ∈SnEhF（B，Wi，un（~τn，kn，-i、 σ），σ）i≤ EhF（B，Wi，un（~τn，kn），τikn）i+kn。28勒内·卡莫纳、弗朗克·奥斯·德拉鲁和丹尼尔·拉克尔8。连续性假设D下的存在性本节致力于定理4.6的证明。首先，我们证明了在时间集和公共噪声分布空间是有限的情况下，存在一个weakMFE（更准确地说，是一个具有弱停止时间的str-on-g-MFE）。然后，我们取弱极限。我们介绍以下离散化。对于每个正整数n，设tni=i2-对于i=0，…，nT，第2条。在严格正勒贝格测度的可测集合中选择划分πnof R，这样一来，πn+1是每个n和并集π的敌人∪N≥1πn生成整个钻孔σ场。我们将根据πn的集合包含增量Btni+1来定义FB的过滤-Btni。准确地说，定义σ-fieldgntnk=σn{Btni- Btni公司-1.∈ C} ：C∈ πn，i=1，ko，对于k=1，2n，Gn=σ{{B∈ C} ：C∈ πn}。此外，对于t∈ [0，T]，定义Tn=最大值{tnk:k=0，…，2n，tnk≤ t} ，并设Gnt=GnTn、 然后Gn=（Gnt）t∈[0，T]定义了过滤，并定义了每个n，T的f。此外，FBt=σ∞[n=1Gnt！，对于t∈ [0，T]。通过构造，对于每个非空集C，W（C）>0∈ GnT。设mn表示函数集sm:C→ P（[0，T]），这样，对于每个T∈ [0，T]mapb 7→m（b）[0，t]是Gnt可测量的。

当然，由于GnTis FINITE∈ mn必须是GnT的每个原子的常数。由于具有逐点收敛的拓扑结构，MN很容易被看作是紧的，因为P（[0，T]）是紧的。最后，将A定义为一组概率度量q∈ P（C×[0，T]），其中B和W是独立的FB，W，τ-维纳过程。定理8.1。对于每个n，存在∈ Mnand Q∈ A满足以下条件：（1）m（B）=Q（τ）∈ ·|GnT）。（2） 最优性条件成立，等式[F（B，W，m（B），τ）]≥ supQ′∈AEQ′[F（B，W，m（B），τ）]证明。从定理6.4可以看出，A是紧凸的；见备注6.3。用Φn（m）=arg maxQ定义从Mnto到A子集的amapΦnf∈AEQ[F（B，W，m（B），τ）]。地图（m，Q）7→ 由于引理6，等式[F（B，W，m（B），τ）]在Mn×A上联合连续。1和F的连续性=F（b，w，m，t）in（m，t）。因此，根据Berge的th-eorem[4，T-heorem 17.31]，Φnhas是闭合图，并取非空凸值。定义映射ψn:Mn→ 2Mnbyψn（m）={Q（τ∈ ·|GnT）：Q∈ Φn（m）}。因为Qo B-1=W，对于连续有界函数f：[0，T]→ 我们可以写q[f（τ）| GnT]（b）=XCEQ[f（τ）1{b∈C} ]W（C）C（b），用于b∈ C、 其中，和是GnT的原子。对于每个这样的原子C，注意W（C）>0，并且m apQ 7→ 式[f（τ）1{B∈C} ]在A上由引理6.1连续。因此，我们可以查看Q 7→ Q（τ∈ ·|GnT）作为从a到Mn的连续a ffine映射。因此，集值映射ψnhas是闭图，时间和银行挤兑模型的平均场博弈29其值是非空的、凸的和紧的。根据Kakutani定理【4，推论17.55】，它给出了一个固定点；也就是说，存在∈ MN使m∈ ψn（m）。定理4.6的证明。对于每个n，letmn∈ MN和Qn∈ A满足第8.1条的性质（1-2）。定义bmn:C→ P（C×[0，T]）bybmn（B）=Qn（（W，τ）∈ ·|GnT）。这里我们注意到，如果C∈ FW，τt或t∈ [0，T]，那么我们有bmn（B）=Qn（（W，τ）∈ ·|Gn公司Tn） ，（8.1）其中Tn=最小值{tnk:k=0，…，2n，tnk≥ t} 。

事实上，这是成立的，因为B是Qn下的FB，W，τ-维纳过程，并且因为gnt是由Gn生成的T与事件{Btni- Btni公司-1.∈ C′}对于C′∈ tni的πnand-1.≥ t、 接下来，确定Pn∈ P(Ohm) byPn=Qno （B，W，bmn（B），τ）-1、我方声明（Pn）∞n=1很紧，每个极限点都是定义意义上的弱MFE 4.2。我们从紧密性开始，通过显示每个边缘都是紧密的。请注意，第一个边际Pno （B、W）-1=Wis明显紧固，因为它是恒定的。此外，Pno τ-1很紧，因为[0，T]很紧凑。证明Pno u-1是严密的，必须证明均值测度EPn【u（·）】是严密的（c.f.【34，命题2.2】的证明）。但是，对于任何可测集C C×[0，T]，EPn[u（C）]=EQn[bmn（B）（C）]=EQn[Qn（（W，τ）∈ C | GnT）]=Qn（（W，τ）∈ C） =Pn（（W，τ）∈ C） 。也就是说，平均测量值EPn[u（·）]精确地为p Pno （W，τ）-1，我们已经观察到了。紧密度为（Pn）∞n=1已建立，通过假设n确定极限点P和滥用符号→ P我们将通过检查定义4.2的五个性质来证明P是弱MFE：证明（1）：明确Po （B、W）-1=limn→∞Qn公司o （B、W）-1=W。我们必须证明（B，W）是P下的FB，W，u，τ-维纳过程。固定N和Fix t∈ {tN，…，tNN-1} 。设ft、gt、ht和h+分别是[0，T]、P（C×[0，T]）、C和C上的有界连续函数。假设ftis Fτt-可测，gtis Fut-可测，htis FB，Wt-可测，h+为σ{（Bs-Bt，Ws- Wt）：s∈ [t，t]}-可测量。Sin ce公司Tn=t表示n≥ N和Gnt FBt，根据（8.1），地图b 7→ bmn（b）（C）是每个C可测量的FBt∈ FW，τt。这意味着bmnisFBt/Fut是可测量的，尤其是gt（bmn（B））是可测量的。

因此，由于（B，W）是Qn下的anFB，W，τ-维纳过程，EP[ft（τ）gt（u）ht（B，W）h+（B，W）]=limn→∞方程[ft（τ）gt（bmn（B））ht（B，W）h+（B，W）]=limn→∞EQn[ft（τ）gt（bmn（B））ht（B，W）]EQn[h+（B，W）]=EP[ft（τ）gt（u）ht（B，W）]EP[h+（B，W）]。这足以得出σ{（Bs）的结论- Bt，Ws- Wt）：s∈ 在P下，[t，t]}与FB，W，u，τt无关。我们只证明了这对t是正确的∈ ∪∞N=1{tN，…，tNN-1} ，但这需要注意的是，这个集合在[0，T]中是稠密的。30 REN’E CARMONA，FRANC,OIS DELARUE，A和DANIEL Lackerfroof（2）：因为B和W在Qn下是独立的，对于C×P（C×[0，T]）上的有界连续函数f和C上的有界连续函数g，我们有ep[f（B，u）g（W）]=limn→∞方程[f（B，bm（B））g（W）]=limn→∞EQn[f（B，bm（B））]EQn[g（W）]=EP[f（B，u）]EP[g（W）]。因此，（B，u）和W在P下是独立的。证明（5）：固定N≥ 设g和h分别是C×[0，T]和P（C×[0，T]）上的连续有界函数。注意到fis GnT可测量所有n≥ N、 使用L emma 6.1来处理b中f的不连续性，我们得到EP[f（b）h（u）g（W，τ）]=limn→∞方程[f（B）h（bmn（B））g（W，τ）]=limn→∞EQnf（B）h（bmn（B））Zg d bmn（B）= EP公司f（B）h（u）Zg du.这适用于每个N和每个GNT可测量的f。因为FBT=σ(∪N≥1GNT），对于每个FBT可测量的f，必须保持相同的识别。证明（3）：因为我们已经建立了属性（2）和（5），引理6.7将产生（3），一旦我们可以证明FB，uT∨ FW，τt独立于σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}，对于每个人∈ [0，T）.修复T∈ [0，T）.将有界连续函数f固定在C×P（C×[0，T]）、gton[0，T]、hton C和h+上。假设g是fτT-可测的，htis FWt-可测的，h+是σ{Ws- 重量：s∈ [t，t]}-可测量。在Qn下，（B，W）是标准的FB，W，τ-维纳过程，很容易得出h+（W）与FBT无关的结论∨ FW，τt。